2018年中考数学考前知识“重落实”（第04期，共含4个专题）

——多边形与平行四边形
1．了解：多边形的概念，平行四边形的相关概念，多边形的内角和与外角和定理.
2．理解：多边形的内角和定理，平行四边形的性质与判定.
3．会：求一个多边形的内角和;用判定定理方法证明一个四边形是平行四边形.
4．掌握：多边形的外角和定理，平行四边形的性质定理与判定定理.
5．能：用多边形的外角和定理来解决相关问题;熟练地应用平行四边形的性质来解答有关线段和角的计算.
1．从考查的题型来看，主要以解答题的形式进行考查,少数以填空题或选择题的形式进行考查，属于中档题,难度一般.
2．从考查的内容来看,重点涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理;多边形与平行四边形的应用.
3．从考查的热点来看,主要涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的实际综合应用.
一、多边形的内角和与外角和定理
1．多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°．
2．注意：多边形的边数每增加1，内角和增大180°，外角和不变；四边形的内角和与外角和的度数相等．
二、平行四边形
1．性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等；
（2）平行四边形的对边平行且相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分．
2．判定：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
3．注意：（1）夹在两条平行线间的平行线段相等；
（2）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积；【21教育名师】
（3）由平行四边形的性质可以证明线段相等或角相等或平行关系；
（4）平行四边形的判定经常与全等三角形的有关问题相结合，学会将平行四边形问题转化为三角形问题；
（5）针对实际问题，灵活选用平行四边形的判定方法来证明一个四边形是平行四边形是解决此类问题的关键．
1．（2017?云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【解析】设这个多边形是n边形，则（n–2）?180°=900°，解得：n=7，即这个多边形为七边形．故选C．
【考点】多边形内角与外角．
2．（2017?临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【答案】C
【解析】设所求正n边形边数为n，由题意得（n–2）?180°=360°×2，解得n=6．则这个多边形是六边形．故选C．
【考点】多边形内角与外角．
3．（2017?铜仁市）一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】180°–144°=36°，360°÷36°=10，则这个多边形的边数是10．故选C．
【考点】多边形内角与外角．
4．（2017?黔西南州）四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是
A．∠A=∠C B．AD∥BC
C．∠A=∠B D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】如图，∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，∴选项A、B、D正确，故选C．
【考点】平行四边形的判定与性质．
5．（2017?衡阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是
A．AB=CD B．BC∥AD
C．∠A=∠C D．BC=AD
【答案】D
【解析】∵AB∥CD，∴当AB=CD时，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；当BC∥AD时，由两组对边分别的四边形为平行四边形可知该条件正确；当∠A=∠C时，可求得∠B=∠D，由两组对角分别相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；当BC=AD时，该四边形可能为等腰梯形，故该条件不正确；故选D．
【考点】平行四边形的判定．
6．（2017?牡丹江）如图，点E，F分别放在?ABCD的边BC、AD上，AC、EF交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是__________．
【答案】AF=CE
【解析】AF=CE，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，故答案为：AF=CE．
【考点】平行四边形的判定与性质．
7．（2017?抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为__________．
【答案】3
【解析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=3．故答案为：3．
【考点】平行四边形的判定与性质．
8．（2017?凉山州）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为__________．
【答案】12
【解析】∵AF∥BC，∴∠AFC=∠FCD，在△AEF与△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF=DC，∵BD=DC，∴AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴S四边形AFBD=2S△ABD，又∵BD=DC，∴S△ABC=2S△ABD，∴S四边形AFBD=S△ABC，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，∴S△ABC=AB?AC=×4×6=12，∴S四边形AFBD=12．故答案为：12．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
9．（2017?镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【解析】（1）∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
【考点】平行四边形的判定与性质．
10．（2017?大庆）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
【解析】（1）∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG=∠C，
∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，
∴∠F=∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）∵∠C=45°，
∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=BE=BD=，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM=BM=BF=1，
∴DM=3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF=，
即D，F两点间的距离为．
【考点】平行四边形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质．
11．（2017?咸宁）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【解析】（1）∵BE=FC，∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）如图所示：
由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，∴AB∥DF，
∵AB=DF，∴四边形ABDF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
1．（2018?长安区一模）一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n>3，且n为正整数），它的外角和
A．增加（n–2）×180° B．减小（n–2）×180°
C．增加（n–1）×180° D．没有改变
2．（2018?石狮市模拟）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是
A．10 B．9 C．8 D．6
3．（2018?石家庄模拟）有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为2·1·c·n·j·y
A．144° B．84° C．74° D．54°
4．（2018?平谷区一模）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是
A．3 B．4 C．6 D．12
5．（2018?徐州一模）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不能得出BE∥DF的是21*cnjy*com
A．AE=CF B．BE=DF C．∠EBF=∠FDE D．∠BED=∠BFD
6．（2018?昭阳区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=8，BE=3，则平行四边形ABCD的周长是21*教*育*名*师
A．16 B．14 C．26 D．24
7．（2018?安庆一模）如图，在ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，AE、CF分别交BD于点M、N，则四边形AMCN与ABCD的面积比为
A． B． C． D．
8．（2017届广东省南雄市第二中学九年级下学期模拟考试数学试题）一个正多边形的内角是135°，这个正多边形的边数是
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
9．（2017届湖南省娄底市九年级中考一模数学试卷）在下列条件中，不能够判定一个四边形是平行四边形的是
A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行且相等
C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分
10．（2018?扬州一模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是__________．（只添加一个条件）
11．（2018?朝阳区校级一模）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．试说明：四边形ADCF是平行四边形．
1．下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是
A．AB=CD，CD=DA B．AB∥CD，AD=BC
C．AB∥CD，∠A＝∠C D．∠A=∠B，∠C=∠D
2．如图所示，一个含有60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为
A．120° B．180°
C．240° D．300°
3．如图，在ABCD中，AB=4 cm，AD=7 cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_________ cm．
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
5．如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF=∠ADE．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）判定四边形DEBF是否是平行四边形？
1．【答案】D
【解析】∵多边形的外角和等于360°，与边数无关，∴凸多边形的边数由3增加到n时，其外角度数的和还是360°，保持不变．故选D．
2．【答案】C
【解析】设多边形有n条边，由题意得：180°（n–2）=360°×3，解得：n=8．故选C．
3．【答案】B
【解析】正五边形的内角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是
∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=
84°，故选B．
4．【答案】B
【解析】由题意，得外角+相邻的内角=180°且外角=相邻的内角，∴外角=90°，360÷90=4，正多边形是正方形，故选B．
5．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
A，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF；
B，∵BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形或等腰梯形，∴故本选项不能判定BE∥DF；
C，∵AD∥BC，∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°，∵∠EBF=∠FDE，∴∠BED=∠BFD，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF；
D，∵AD∥BC，∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°，∵∠BED=∠BFD，∴∠EBF=∠FDE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF．故选B．
6．【答案】C
【解析】∵在平行四边形ABCD中，AD=8，∴BC=AD=8，AD∥BC，∴CE=BC–BE=8–3=5，∠ADE=
∠CED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE=5，∴平行四边形ABCD的周长是：2（AD+CD）=26．故选C．
7．【答案】B
【解析】∵E、F分别为BC、AD的中点，且四边形ABCD是平行四边形，∴M、N为线段BD的三等分点，∴S△AMN=S△ABD，S△CMN=S△CBD，∴S四边形AMCN=S□ABCD．故选B．
8．【答案】C
【解析】∵内角与外角互为邻补角，∴正多边形的一个外角是
180°-135°=45°，∵多边形外角和为360°，∴360°÷45°=8，则
这个正多边形是正八边形．故选C.
9．【答案】A
【解析】A，一组对边平行，另一组对边相等，等腰梯形也符合这一条件，故不能够判定一个四边形是平行四边形；B，一组对边平行且相等，正确；C，两组对边分别平行，正确；D，对角线互相平分，正确.故选A．
10．【答案】BF=DE
【解析】添加的条件为BF=DE，连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO、BO=DO，∵BF=DE，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形．故答案为：BF=DE．
11．【解析】∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD，∵E是AD的中点，∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，
∵AD是BC边的中线，∴BD=CD，∴AF=DC，
又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．
1．【答案】C
【解析】根据平行四边形的判定，A、B、D条件均不能判定四边形ABCD为平行四边形.C选项中，所以只有C项能判定四边形ABCD为平行四边形.故选C.
2．【答案】C
【解析】根据三角形的内角和定理，得四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°?60°=120°，则根据四边形的内角和定理，得∠1+∠2=360°?120°=240°．故选C．
3．【答案】3
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CFE，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE=∠CBF，∴∠CBF=∠CFB，∴CF=CB=7 cm，∴DF=CF?CD=7?4=3 cm．故答案为3．
4．【解析】∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，∵，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC，
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
5．【解析】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC，
在△ADE与△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA）；
（2）四边形DEBF是平行四边形．理由如下：
∵DF∥EB，又由△ADE≌△CBF，知AE=CF，
∴AB–AE=CD–CF，即DF=EB．∴四边形DEBF是平行四边形．

——特殊的平行四边形
1．了解：矩形、菱形、正方形的概念及其之间的相互关系.
2．理解：矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.
3．会：会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形.
4．掌握：矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.
5．能：能运用矩形、菱形、正方形及梯形的性质解决相关线段或角的问题；熟练运用特殊四边形的判定及性质定理对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明；能综合运用特殊四边形的性质和判定定理解决问题，发现决定中点四边形形状的因素.
1．从考查的题型来看，主要以选择题或解答题的形式进行考查,属于中、高档题,难度比较大,综合性比较强.
2．从考查的内容来看,重点涉及的有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定定理及其综合应用.
3．从考查的热点来看,主要涉及的有：平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理;特殊四边形的图形平移、轴对称、旋转与生产实际相结合的综合问题.
一、矩形
1．概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等；
（4）矩形是轴对称图形．
3．判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
4．注意：（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性——一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质——轴对称图形、内角都是直角、对角线相等；
（2）证明一个四边形是矩形时，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
二、菱形
1．概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边相等；
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形是轴对称图形．
3．判定：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形；
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
4．菱形的面积：=底边长×高=两条对角线乘积的一半．
5．注意：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
三、正方形
1．概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；21·cn·jy·com
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．
3．注意：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形即可．
1．（2017?枣庄）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（–3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x<0）的图象经过顶点B，则k的值为
A．–12 B．–27 C．–32 D．–36
【答案】C
【解析】∵A（–3，4），∴OA==5，∵四边形OABC是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为–3–5=–8，故B的坐标为：（–8，4），将点B的坐标代入y=得，4=，解得：k=–32．故选C．
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
2．（2017?苏州）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E．将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'．设P、P'分别是EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为
A．28 B．24 C．32 D．32–8
【答案】A
【解析】如图，连接BD，DF，DF交PP′于H．
由题意PP′=AA′=AB=CD，PP′∥AA′∥CD，∴四边形PP′CD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，
∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∵AF=FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′，在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∠A=60°，AF=4，∴AE=2，EF=2，∴PE=PF=，在Rt△PHF中，∵∠FPH=30°，PF=，
∴HF=PF=，∵DF=4，∴DH=4，∴平行四边形PP′CD的面积=×8=28．故选A．
【考点】菱形的性质；平移的性质．
3．（2017?河北）求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是
A．③→②→①→④ B．③→④→①→②
C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵对角线AC，BD交于点O，∴BO=DO，∴AO⊥BD，即AC⊥BD，∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，故选B．
【考点】菱形的性质．
4．（2017?益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】C
【解析】A，菱形的对角线互相平分，此选项正确；B，菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C，菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D，菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确．故选C．
【考点】菱形的性质．
5．（2017?济南）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB=3，∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，∵AF⊥BE，∴∠EBO=∠GAO，在△GAO和△EBO中，，∴△GAO≌△EBO，∴OG=OE=1，∴BG=2，在
Rt△BOE中，BE=，∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，∴△BFG∽△BOE，
∴，即，解得，BF=，故选A．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
6．（2017?绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2，∠AEO=120°，则FC的长度为
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°–30°=30°，∴OF=CF，又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=，∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，故选A．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
7．（2017?陕西）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在Rt△ADE中，AE=，∵S△ABE=S矩形ABCD=3=?AE?BF，∴BF=．故选B．
【考点】矩形的性质．
8．（2017?玉林）如图，在矩形ABCD中，AB>BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有
A．5个 B．8个 C．9个 D．11个
【答案】C
【解析】∵E，G分别是边DA，BC的中点，四边形ABCD是矩形，∴四边形DEGC、AEGB是矩形，同理四边形ADHF、BCHF是矩形，则图中四个小四边形是矩形，故图中矩形的个数共有9个，故选C．
【考点】矩形的判定与性质．
9．（2017?贵阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．
（1）证明：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
【解析】（1）∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，AC=2DE，
∵EF=2DE，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=CE；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴AC=CE，
又∵四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形．
【考点】菱形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．
1．（2018?汕头模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于
A．4 B．8 C．16 D．18
2．（2018?泸州模拟）如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是
A．5 B．2 C． D．
3．（2018?山西模拟）如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为
A．1 B． C． D．
4．（2018?利州区一模）如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为
A． B． C． D．3
5．（2018?桐梓县二模）如图，矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=2，则AC的长为
A．2 B．4 C．2 D．4
6．（2018?丹江口市模拟）下列识别图形不正确的是
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
7．（2018?高新区模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为
A．8 B．8 C．4 D．6
8．（2018?平南县二模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④
9．（2017届上海市青浦区中考一模数学试卷）顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
1．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于
A．3.5 B．4 C．7 D．14
2．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM＋PN的最小值是_______ ．
3．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在边AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=24，E是AB上的一点，且
∠DCE=45°，BE=8，求DE的长．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．
求证：四边形BDCE是菱形．
5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形BCFD是菱形；
（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．
1．【答案】A
【解析】∵菱形ABCD的周长为32，∴AB=8，∵H为AD边中点，O为BD的中点，∴OH=AB=4．故选A．
2．【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°，∴BC==5（cm），∴AE×BC=BO×AC，故5AE=24，解得AE=．故选C．
3．【答案】D
【解析】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=CD，而∠A=60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，在Rt△ABH中，AH=1，AD=2，∴DH=，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF，∴∠2=∠1，DE=DF，∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF=DE，而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．故选D．
4．【答案】D
【解析】过点C作CE⊥BD于点E，根据题意得：BC=CD=，BD=，∴BE=BD=，∴CE=，∴tan∠DBC==3．故选D．
5．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，∵∠AOB=60°，∴∠OAB=∠ABO=60°，∴△ABO是等边三角形，∵AB=2，∴AO=BO=AB=2．∴AC=2A0=4，故选B．
6．【答案】C
【解析】A，有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；B，有三个角是直角的四边形是矩形，正确；C，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；D，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．故选C．
7．【答案】D
【解析】如图，连接OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO，又∵∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90°，解得∠BAC=30°，∴∠FCA=30°，∴∠FBC=30°，∵FC=2，∴BC=，∴AC=2BC=4，∴AB=，故选D．
8．【答案】B
【解析】①∵点B′与点B关于AE对称，∴△ABF与△AB′F关于AE对称，∴AB=AB′，∵AB=AD，∴AB′=AD．故①正确；
②如图，连接EB′．则BE=B′E=EC，∠FBE=∠FB′E，∠EB′C=∠ECB′．则∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°，即△BB′C为直角三角形．∵FE为△BCB′的中位线，∴B′C=2FE，∵△B′EF∽△AB′F，∴，即，故FB′=2FE．∴B′C=FB′．∴△FCB′为等腰直角三角形．故②正确．
④设∠ABB′=∠AB′B=x°，∠AB′D=∠ADB′=y°，则在四边形ABB′D中，2x+2y+90°=360°，即x+y=135°．又∵∠FB′C=90°，∴∠DB′C=360°–135°–90°=135°．故④正确．
③假设∠ADB′=75°成立，则∠AB′D=75°，∠ABB′=∠AB′B=360°–135°–75°–90°=60°，∴△ABB′为等边三角形，故B′B=AB=BC，与B′B9．【答案】A
【解析】连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选A．
1．【答案】A
【解析】∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边的中点，∴OE是ABD的中位线，∴OH=AB=×7=3.5．故选A．
2．【答案】5
【解析】如图，作ME⊥AC交AD于点E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN=BM=AM，∵ME⊥AC交AD于E，∴AE=AM，∴AE=BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴EN=AB，而由题意可知， AB==5，∴EN=AB=5，∴PM+PN的最小值为5．故答案为5．
3．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°，∴∠CDF=∠B=90°．
在CBE和CDF中，，
∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；
（2）∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠DCG+∠DCF=45°，∴∠ECG=∠FCG．
在GCE和GCF中，
∵，∴GCE≌GCF，∴GE=GF．
∵GF=GD+DF，∴GF=GD+BE，∴GE=BE+GD；
（3）如图，把直角梯形ABCD补成正方形ABCG，且点F在AG的延长线上，GF=BE，
根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，设DE=x，则DG=x?8，
∴AD=AG?DG=32?x，AE=AB?BE=24?8=16．
在RtAED中，∵DE2=AD2+AE2，即x2=（32?x）2+162，解得x=20，∴DE=20．
4．【解析】∵BE∥CD，CE∥AB，
∴四边形BDCE是平行四边形．
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=BD，∴平行四边形BDCE是菱形．
5．【解析】（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，
∵点E为CD的中点，∴DE=EC，
在△BCE与△FDE中，，
∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，
又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，
∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；
（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，
在Rt△BAD中，AB=，
∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF==2．

——圆
1．了解：圆、圆心角、圆周角的概念，垂径定理及其逆定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
2．理解：圆周角定理及其推论，点与圆的位置关系及其运用，切线的性质与判定定理，切线长定理．
3．会：利用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算，运用切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，求n°的圆心角所对的弧长，求圆心角为n°的扇形面积.
4．掌握：圆周角定理及其推论的灵活运用，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
5．能：运用垂径定理解决有关问题，切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，利用点、直线的位置关系解决问题，根据公式中的已知量求圆锥中的未知量，运用圆的有关性质与位置关系进行综合性质计算与实际问题的解决.
1．从考查的题型来看，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查,多数题目较难,属于中、高档题.
2．从考查的内容来看,主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)，圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系,切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积).
3．从考查的热点来看,主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论);圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系,切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积)，阴影部分的面积.
一、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
2．推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等．
二、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．21教育网
3．正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余两项皆相等．【21·世纪·教育·网】
三、圆周角定理及其推论
1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3．注意：（1）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角．
（2）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．
（3）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化．
（4）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
四、点、直线、圆之间的位置关系
1．点与圆的位置关系判断
（1） dr，点P在⊙O外．
其中⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d．
2．直线与圆的位置关系判断
（1） dr，直线l与⊙O相离．
其中⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
五、计算公式
1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长．其中n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
2．扇形面积公式：．其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长．
3．圆锥的侧面积公式：．其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径．
4．阴影部分面积常用的方法：①公式法；②和差法；③割补法．其主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
5．注意：（1）在弧长的计算公式中，①若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长；②题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示；③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念．
（2）计算扇形面积时，有两个公式可供选择．已知扇形的圆心角度数与半径或扇形的弧长与半径都可以代入面积公式进行直接运算．
（3）①圆锥的母线与圆锥展开后所得扇形的半径相等；②圆锥的底面周长与圆锥展开后所得扇形的弧长相等．
1．（2017?黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【答案】C
【解析】连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5–x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5–x）2，∴x=2，∴CD=2，故选C．
【考点】垂径定理．
2．（2017?广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是
A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
【答案】D
【解析】∵AB⊥CD，∴，CE=DE，∴∠BOC=2∠BAD=40°，∴∠OCE=90°–40°=50°．故选D．
【考点】垂径定理．
3．（2017?阿坝州）如图将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
A．2 cm B． cm C．2 cm D．2 cm
【答案】D
【解析】过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA=2OD=2 cm，∴AD=（cm），∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2 cm．故选D．
【考点】垂径定理；翻折变换（折叠问题）．
4．（2017?苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为
A．92° B．108° C．112° D．124°
【答案】C
【解析】∵∠ACB=90°，∠A=56°，∴∠ABC=34°，∵，∴2∠ABC=∠COE=68°，又∵∠OCF=∠OEF=90°，∴∠F=360°–90°–90°–68°=112°．故选C．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；多边形内角与外角．
5．（2017?广安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=，BD=5，则OH的长度为
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，∴∠OHD=∠BHD=90°，∵cos∠CDB=，BD=5，∴DH=4，∴BH==3，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，解得：x=，∴OH=．故选D．
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
6．（2017?毕节市）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为
A．30° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解析】连接BD，∵∠ACD=30°，∴∠ABD=30°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°–
∠ABD=60°．故选C．
【考点】圆周角定理．
7．（2017?莱芜）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为
A．46° B．47° C．48° D．49°
【答案】C
【解析】∵OB=OC，∴∠B=∠BCO=21°，∴∠AOD=∠B+∠BCO=21°+21°=42°，∵AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切与点A，∴∠OAD=90°，∴∠ADC=90°–∠AOD=90°–42°=48°．故选C．
【考点】切线的性质．

1．（2018?淮南模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为【21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
2．（2018?香坊区一模）如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则
∠OAC的度数是
A．52° B．38° C．22° D．19°
3．（2018?资中县一模）已知⊙O的半径为4 cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5 cm，那么直线l与⊙O的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
4．（2018?黄岛区一模）如图，AB是⊙O的直径，∠BAD=70°，则∠ACD的度数是
A．20° B．15° C．35° D．70°
5．（2018?柳州一模）如图，已知BC是⊙O的直径，过点B的弦BD平行于半径OA，若∠B的度数是50°，则∠C的度数是
A．50° B．40°
C．30° D．25°
6．（2018?绍兴一模）已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．无法判断
7．（2018?河北模拟）如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则⊙C半径是
A． B．
C． D．2
1．如图，是⊙的直径，，则等于
A．70° B．55°
C．35° D．25°
2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为
A． 　　　 B．2　　　 　C．　 　　D．
3．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC为半径作弧CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 ．
4．如图，在RtABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=6，sin∠BAC=，求BE的长．
1．【答案】D
【解析】作直径AD，连接BD，如图，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∵AD=10，AB=6，∴BD==8，∴cosD=，∵∠C=∠D，∴cosC=．故选D．
2．【答案】D
【解析】∵∠AOB=38°，∴∠C=∠AOB=19°，∵AO∥BC，∴∠OAC=∠C=19°．故选D．
3．【答案】A
【解析】∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，∴3.5<4，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选A．
4．【答案】A
【解析】连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=70°，∴∠B=90°–∠BAD=20°，∴∠ACD=∠B=20°．故选A．
5．【答案】D
【解析】∵BD∥OA，∴∠AOB=∠B=50°，∴∠C=∠AOB=25°．故选D．
6．【答案】A
【解析】∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4<5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选A．
7．【答案】B
【解析】连接AD．∵∠AOD=90°，∴AD是圆的直径．在直角三角形AOD中，∠D=∠B=30°，OD=2，∴AD=．则圆的半径是．故选B．
1．【答案】A
【解析】∵∠AOC=130°，∴∠BOC=50°，∴∠D=∠BOC=25°．故选A．
2．【答案】A
【解析】因为⊙O的直径AB垂直于弦CD，CD=6，所以CE=3，因为∠A=30°，所以AC=6，AE=3，连接CO，则CO2=OE2+CE2，即CO2=（AE?CO）2+CE2，即CO2=（3?CO）2+32，解得CO=2，故选A．
3．【答案】
【解析】连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE==π，∴S阴影=S扇形AOB?S扇形COD?（S扇形AOE?S△COE）
===．
4．【解析】（1）连接DO，如图1所示
图1
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2，
∵OB=OD，∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，∴DO∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADO=90°，即AC⊥OD，
∴AC是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为R，
在RtABC中，∠ACB=90°，sin∠BAC=，
∴BC=×6=4，
由（1）知，OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴，
∴，解得：R=2.4，
过O作OF⊥BC于F，如图2所示：
图2
则BE=2BF，OF∥AC，
∴∠BOF=∠BAC，
∴sin∠BOF=，
∴BF=×2.4=1.6，
∴BE=2BF=3.2．

———视图与投影
1．了解：投影的定义，平行投影与中心投影的概念，物体的三视图.
2．理解：主视图、俯视图、左视图，平行投影与中心投影的性质.
3．会：区别平行投影与中心投影，画出主视图、俯视图、左视图.
4．掌握：平行投影与中心投影性质;主视图、俯视图、左视图的画法.
5．能：能准确判断三种视图,利用投影的性质解决生活与生产中的实际问题，解决投影与解直角三角形、相似有关的实际问题.
1．从考查的题型来看，主要以填空题或选择题的形式进行考查,属于中、低档题,较为简单;少数题目以解答题的形式进行考查,属于中档题,难度一般.
2．从考查的内容来看,主要涉及的有：平行投影与中心投影的性质;主视图、俯视图、左视图的画法;由三视图判断几何体;投影与解直角三角形、相似相结合的问题.
3．从考查的热点来看,重点涉及的有：平行投影与中心投影的性质;主视图、俯视图、左视图的画法;由三视图判断几何体;投影与解直角三角形、相似相结合的实际问题.
一、立体图形的三种视图
1．概念：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图．物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图．www.21-cn-jy.com
2．画法：（1）确定主视图的位置，画出主视图；
（2）在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
（3）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”；
（4）为表示出旋转几何体（圆柱、圆锥、球等）的对称轴，可在视图中加点．
3．利用三视图求几何体的表面积或体积：首先利用三视图还原几何体，再去求几何体的表面积或体积．
4．注意：三个视图要放在正确的位置，主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等．可简述为： 长对正，高平齐，宽相等．【21教育】
二、投影
1．平行投影
（1）概念：有些光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯的一束光中的光线就可以看成是平行光线．由平行光线形成的投影是平行投影．
（2）性质：①直线或线段的平行投影是直线或线段或一点；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线或是两点；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上的两条线段，平行投影的比等于这两条线段的比．
2．中心投影
（1）概念：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，例如，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影．同一光源下，物体与影子上的两对对应点所在直线相交于一点，即光源处，而在中心投影中，物体的高度与影长一般是不成比例的．
（2）对于中心投影的问题通常有两种：①知道点源和木杆，画出影长；②知道标杆和影长，画出点光源．
（3）确定光源点（灯泡）的位置：①只要画出形成影子的两条光线，两条光线的交点就是灯泡的位置；②相交的光线为点光源发出的光线，其交点即为点光源；③点光源下两物体的影子可能在同一方向，也可能在不同方向；④找出影子的右端点与木杆的上端连线，再反向延长后有个交点即为光源点．
3．平行投影与中心投影的区别
（1）平行投影是在平行光线下所形成的投影，同一时刻，同一地点上的线段与线段若平行，则它们的影子平行或在同一条直线上，且线段的长与影长成比例；
（2）中心投影是从一点发出的光线的照射下所形成的投影，同一光源下，物体与影子上的对应点所在直线相交于一点，即光源处．
（3）太阳光线是平行光线，灯光的光线是从一点发出的．如下图所示．
因此在判断是太阳光线还是灯光光线时，只要看光线呈什么图形就可得出结论．即太阳光发射出来的光线是平行的，由灯光照射出来的光线是发散的．
1．（2017?贺州）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，沿与平面不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．故选B．
【考点】平行投影；等边三角形的性质．
2．（2017?绥化）正方形的正投影不可能是
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
【答案】D
【解析】在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段．故正方形纸板ABCD的正投影不可能是梯形，故选D．
【考点】平行投影．
3．（2017?金华）如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A、B两处各安装了一个监控探头（走廊内所用探头的观测区域为圆心角最大可取到180°的扇形），图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域．要使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是
A．E处 B．F处 C．G处 D．H处
【答案】D
【解析】如图，A，若安装在E处，仍有区域：四边形MGNS和△PFI监控不到，此选项错误；B，若安装在F处，仍有区域：△ERW监控不到，此选项错误；C，若安装在G处，仍有区域：四边形QEWK监控不到，此选项错误；D，若安装在H处，所有空白区域均能监控，此选项正确．故选D．
【考点】视点、视角和盲区．
4．（2017?桂林）如图所示的几何体的主视图是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据圆锥的摆放位置，可知从正面看圆锥所得的图形是三角形，故该圆锥的主视图是三角形，故选A．
【考点】简单几何体的三视图．
5．（2017?黑龙江）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是
A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7
【答案】D
【解析】由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，那么小立方体的个数可能是5个或6个或7个．故选D．
【考点】由三视图判断几何体．
6．（2017?盐城）如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱锥
【答案】C
【解析】由于主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，故该几何体是圆锥，故选C．
【考点】由三视图判断几何体．
7．（2017?广元）将五个相同的小正方体堆成如图所示的物体，它的俯视图是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从上面可看到第一横行右下角有一个正方形，第二横行有3个正方形．故选B．
【考点】简单组合体的三视图．
8．（2017?贵阳）如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图左边是一个圆、右边是一个正方形，
故选D．
【考点】简单组合体的三视图．
9．（2017?达州）如图，几何体是由3个完全一样的正方体组成，它的左视图是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形，故选B．
【考点】简单组合体的三视图．
1．（2018?越秀区模拟）下面四幅图是在同一天同一地点不同时刻太阳照射同一根旗杆的影像图，其中表示太阳刚升起时的影像图是
A． B．
C． D．
2．（2018?宁晋县模拟）如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子
A．越长 B．越短 C．一样长 D．随时间变化而变化
3．（2018?盘龙区模拟）如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是
A． B． C． D．
4．（2018?安庆一模）如图所示的几何体是一个正三棱柱，以下不是其三视图的是
A． B． C． D．
5．（2018?松北区一模）如图，下列水平放置的几何体中，左视图不是矩形的是
A． B．
C． D．
6．（2018?河北区模拟）由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是
A． B．
C． D．
7．（2018?合肥模拟）如图，水平的讲台上放置的圆柱体笔筒和正方体粉笔盒，其左视图是
A． B．
C． D．
1．如图所示，它是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则构成该几何体的小正方体的个数有

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是

A．12π cm2 B．8π cm2 C．6π cm2 D．3π cm2
3．有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是
　　　　　　　　　
A B C D
4．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
5．如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米．他继续往前走3米到达点E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米．已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
1．【答案】C
【解析】太阳东升西落，在不同的时刻，同一物体的影子的方向和大小不同，太阳从东方刚升起时，影子应在西方．故选C．
2．【答案】B
【解析】由图易得AB3．【答案】C
【解析】从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形．故选C．
4．【答案】B
【解析】A，是主视图，故此选项不合题意；B，不是其三视图，故此选项正确；C，是左视图，故此选项不合题意；D，是俯视图，故此选项不合题意．故选B．
5．【答案】B
【解析】A，圆柱的左视图是矩形，故本选项错误；B，圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项正确；C，三棱柱的左视图是矩形，故本选项错误；D，长方体的左视图是矩形，故本选项错误．故选B．
6．【答案】D
【解析】从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选D．
7．【答案】C
【解析】水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其左视图是一个含虚线的长方形，故选C．
1．【答案】B
【解析】由俯视图可以看出这个几何体是2行、3列，由主视图可以看出第一列最高是2层，从左视图可以看出第一行最高是2层，所以合计有5个小正方体．故选B．
2．【答案】C
【解析】几何体的侧面积是.故应选C．
3．【答案】C
【解析】从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形．故选C．
4．【答案】C
【解析】因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以他在地上的影子先变短后变长．故选C．
5．【答案】B
【解析】如图：根据题意可得Rt△DCG∽Rt△DBA，Rt△FEH∽Rt△FBA，所以，，
∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x米，BC=y米，
则，，∴，∴y=3，
∴，解得x=6．即路灯A的高度AB=6米．


——统计与概率
１．了解：全面调查与抽样调查的概念;统计图与频率、频数的概念;平均数、中位数、众数的概念;方差、标准差、极差的概念;必然事件、不可能事件、不确定事件的概念.
2．理解：抽样调查、频率、平均数、中位数、众数、方差、随机事件、概率及频率估算概率.
3．会：计算频数和频率用频率估算事件的概率;求一组数据的平均数、中位数、众数，并会选择适当的统计量表示数据的集中趋势和集中程度;求一组数据的方差、标准差、极差，并会选择适当的统计量表示数据的波动趋势.
4．掌握：抽样调查的方式;频率的计算;平均数、中位数、众数的选用与计算;方差的计算;随机事件概率的计算;频率估算概率的计算及应用.
5．能：正确识别自然和社会想象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件;灵活选择适当的方法求事件的概率.
1．从考查的题型来看，以选择题或填空题的形式进行考查的题目相对简单,属于中、低档题;以解答题的形式进行考查的题目相对较难,属于中、高档题.
2．从考查的内容来看,主要涉及的有：抽样调查的方式;频率的计算;平均数、中位数、众数的选用与计算;方差的计算;随机事件概率的计算;频率估算概率的计算及应用.
3．从考查的热点来看,重点涉及的有：抽样调查的方式;频率的计算;平均数、中位数、众数的选用与计算;方差的计算;随机事件概率的计算;频率估算概率的计算及应用;统计与概率的以实际生活为背景的综合问题的应用解决.
一、数据的收集与整理
1．对于总体、个体、样本、样本容量、样本平均数、总体平均数的判断，在做题时只需严格根据定义判断即可，特别注意判断个体时必须是考察对象．
2．对于全面调查、抽样调查的选择：当考察数据较少时选择全面调查，但涉及人身安全时一定要选择全面调查；当考察数据较多时选择抽样调查．注意抽样时要全面、广泛，要有代表性．
3．对于统计图的考查，常涉及条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数分布直方图、频数折线图．做题时，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；扇形统计图能直接反映部分占总体的百分比大小．多个统计图时要注意各个统计图中各个项目数据之间的对应关系，防止弄混各个统计图的数据．
二、数据的集中与波动
1．对于平均数的计算方法，可以针对不同题型进行选择：
（1）当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：．
（2）当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中．
（3）当所给数据都在某一常数a的附近上下波动时，一般选用简化公式：．
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，．是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据） ．
2．对于涉及众数、中位数的试题：求众数时只需找到出现次数最多的数；求中位数时分两种情况，一是当数据是偶数个时，中位数是中间两个数的平均数；二是当数据是奇数个时中位数是中间数．特别注意求中位数时一定要弄清楚数据是偶数个还是奇数个．
3．对于数据的波动的考查主要涉及：
（1）极差——最大值与最小值的差；
（2）方差：，其中是数据的平均数；
（3）标准差：．
特别注意：计算方差时先求出数据的平均数再代入公式计算即可；极差也能表述数据的波动但不准确，所以如果准确判断数据的波动都用方差或标准差．
三、随机事件及其概率
1．对于随机事件的区分：必然事件——在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件；不可能事件——有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件；不确定事件——在一定的条件下重复进行试验时，可能发生也可能不发生的事件．特别注意：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）．
2．对于频率与概率的关系：当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值．
3．对于概率的计算：
（1）公式法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝．
（2）列表法：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
（3）画树状图：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．
（4）涉及几何图形时，常利用面积比来求概率，其计算公式为：，注意解这类题时除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算．
1．（2017?安徽）为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是
A．280 B．240 C．300 D．260
【答案】A
【解析】由题可得，抽查的学生中参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数为100–30–24–10–8=28（人），∴1000×=280（人），即该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是280人．故选A．
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体．
2．（2017?阜新）如图是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的众数与中位数分别是
A．26，30°C B．28°C，27°C
C．28°C，28°C D．27°C，28°C
【答案】C
【解析】根据7天的最高气温折线统计图，可得28°出现的次数最多，为3次，故最高气温的众数为28°；7天的最高气温按大小排列为：25°，26°，27°，28°，28°，28°，30°，故中位数为28°，故选C．
【考点】折线统计图；中位数；众数．
3．（2017?株洲）株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下，则馆内人数变化最大时间段为
9：00–10：00
10：00–11：00
14：00–15：00
15：00–16：00
进馆人数
50
24
55
32
出馆人数
30
65
28
45
A．9：00–10：00 B．10：00–11：00 C．14：00–15：00 D．15：00–16：00
【答案】B
【解析】由统计表可得：10：00–11：00，进馆24人，出馆65人，差值最大，故选B．
【考点】统计表．
4．（2017?鼓楼区校级一模）为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是21-cnjy*com
A．32000名学生是总体
B．每名学生是总体的一个个体
C．1500名学生的体重是总体的一个样本
D．以上调查是普查
【答案】C
【解析】某市参加中考的32000名学生的体重情况是总体，故A错误；每名学生的体重情况是总体的一个个体，故B错误；1500名学生的体重情况是一个样本，故C正确；该调查属于抽样调查，故D错误；故选C．
【考点】总体、个体、样本、样本容量；全面调查与抽样调查．
5．（2017?朝阳）某企业为了解职工业余爱好，组织对本企业150名职工业余爱好进行调查，制成了如图所示的扇形统计图，则在被调查的职工中，爱好旅游和阅读的人数分别是
A．45，30 B．60，40 C．60，45 D．40，45
【答案】C
【解析】爱好旅游人数：150×40%=60（人），爱好阅读的人数：150×（1–10%–40%–20%）=45（人），故选C．
【考点】扇形统计图．
6．（2017?内江）为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取老人的方法最合适的是
A．随机抽取100位女性老人
B．随机抽取100位男性老人
C．随机抽取公园内100位老人
D．在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人
【答案】D
【解析】为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人，这种抽取老人的方法最合适．故选D．
【考点】抽样调查的可靠性．
7．（2017?黔南州）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是
A．了解我国民众对乐天集团“萨德事件”的看法
B．了解湖南卫视《人们的名义》反腐剧的收视率
C．调查我校某班学生喜欢上数学课的情况
D．调查某类烟花爆竹燃放的安全情况
【答案】C
【解析】A，了解我国民众对乐天集团“萨德事件”的看法调查范围广适合抽样调查，故A不符合题意；B，了解湖南卫视《人们的名义》反腐剧的收视率调查范围广适合抽样调查，故B不符合题意；C，调查我校某班学生喜欢上数学课的情况适合普查，故C符合题意；D，调查某类烟花爆竹燃放的安全情况调查具有破坏性适合抽样调查，故D不符合题意；故选C．21cnjy.com
【考点】全面调查与抽样调查．
8．（2017?毕节市）为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为
A．1250条 B．1750条 C．2500条 D．5000条
【答案】A
【解析】由题意可得：50÷=1250（条）．故选A．
【考点】用样本估计总体．
9．（2017?宜宾）某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是
A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵
【答案】D
【解析】A，∵4+10+8+6+2=30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；B，∵10＞8＞
6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；C，∵共有30个数，第15、16个数为5，∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；D，∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．故选D．
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数．
10．（2017?本溪）已知一组数据1，2，4，3，x的众数是2，则这组数据的中位数是
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【解析】∵数据1，2，4，3，x的众数是2，∴2出现的次数是2次，∴x=2，数据重新排列是：1、2、2、3、4，由于5个数中2在正中间，所以中位数是2．故选A．
【考点】众数；中位数．
11．（2017?苏州）有一组数据：2，5，5，6，7，这组数据的平均数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】（2+5+5+6+7）÷5=25÷5=5．所以这组数据的平均数是5．故选C．
【考点】算术平均数．
12．（2017?聊城）为了满足顾客的需求，某商场将5千克奶糖，3千克酥心糖和2千克水果糖混合成什锦糖出售．已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖为每千克20元，水果糖为每千克15元，混合后什锦糖的售价应为每千克
A．25元 B．28.5元 C．29元 D．34.5元
【答案】C
【解析】根据题意得：（40×5+20×3+15×2）÷（5+3+2）=29（元），所以混合后什锦糖的售价应为每千克29元．故选C．
【考点】加权平均数．
13．（2017?毕节市）对一组数据：–2，1，2，1，下列说法不正确的是
A．平均数是1 B．众数是1 C．中位数是1 D．极差是4
【答案】A
【解析】A，这组数据的平均数是：（–2+1+2+1）÷4=，故原来的说法不正确；B，1出现了2次，出现的次数最多，则众数是1，故原来的说法正确；C，把这组数据从小到大排列为：–2，1，1，2，中位数是1，故原来的说法正确；D，极差是：2–（–2）=4，故原来的说法正确．故选A．
【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．
14．（2017?鄂尔多斯）四张形状大小完全一致的卡片，放在不透明的箱子中，每张卡片正反面上分别标的点的坐标如下表所示：
第一张
第二张
第三张
第四张
正面
（2，3）
（1，3）
（–1，2）
（2，4）
反面
（–2，1）
（–1，–3）
（1，2）
（–3，4）
若从中随机抽取一张，其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】∵有四张形状大小完全一致的卡片，关于y轴对称的只有第三张，∴从中随机抽取一张，其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是：．故选A．
【考点】概率公式；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
15．（2017?宁波）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是．故选C．
【考点】概率公式．
16．（2017?辽阳）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵由图可知，黑色方砖4块，共有16块方砖，∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=，∴它停在黑色区域的概率是．故选B．
【考点】几何概率．
17．（2017?南宁）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：．故选C．
【考点】列表法与树状图法．
18．（2017?杭州）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表
组别（m）
频数
1.09～1.19
8
1.19～1.29
12
1.29～1.39
a
1.39～1.49
10
（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；
（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．
【解析】（1）a=50–8–12–10=20，
；
（2）该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数是：500×=300（人）．
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
1．（2018?营山县模拟）下列事件是必然事件的是
A．明天太阳从西边升起
B．掷出一枚硬币，正面朝上
C．打开电视机，正在播放“新闻联播”
D．任意画一个三角形，它的内角和等于180°
2．（2018?六安模拟）下列成语所描述的是必然事件的是
A．揠苗助长 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．大海捞针
3．（2018?濮阳二模）下列说法正确的是
A．高铁站对旅客的行李的检查应采用抽样调查
B．数据5、3、4、5、3的众数是5
C．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每掷硬币2次就必有1次正面朝上
D．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是S甲2=4.3，S乙2=4.1，则乙组数据稳定
4．（2018?遵义模拟）现将背面相同的4张扑克牌背面朝上，洗匀后，从中任意翻开一张是数字4的概率为
A． B． C． D．
5．（2018?嘉兴一模）某兴趣小组有6名男生，4名女生，在该小组成员中选取1名学生作为组长，则选取女生为组长的概率是21·世纪*教育网
A． B． C． D．
6．（2018?阜阳模拟）学校团委在“五四”青年节举行“校园之星”颁奖活动中，九（1）班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则所选两名代表恰好是甲和乙的概率是
A． B． C． D．
7．（2018?吉林模拟）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是www-2-1-cnjy-com
A．6 B．16 C．18 D．24
8．（2018?北碚区校级模拟）下列调查中，最适合采用抽样调查的是
A．对某校初三年级（2）班学生体能测试达标情况的调查
B．对“神州十一号”运载火箭发射前零部件质量状况的调查
C．对社区5名百岁以上老人的睡眠时间的调查
D．对市场上一批LED节能灯使用寿命的调查
9．（2018?宜兴市一模）已知A样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2，则A、B两个样本的下列统计量对应相同的是
A．平均数 B．方差
C．中位数 D．众数
10．（2018?邵阳县模拟）某校为调查1000名学生对新闻、娱乐、动画、体育四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，并利用调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据图中信息，可以估算出该校喜爱体育节目的学生共有
A．300名 B．250名 C．200名 D．150名
11．（2018?崇明县二模）某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么此次抽取的作品中等级为B的作品数为__________．
1．下面调查中，适合采用普查的是
A．调查全国中学生心理健康现状 B．调查你所在班级的同学的身高情况
C．调查我市食品合格情况 D．调查辽宁电视台《第一时间》收视率
2．在今年的全国山地越野车大赛中，其中的8名选手某项得分如表：
得分
80
85
87
90
人数
1
3
2
2
则这8名选手得分的众数、中位数分别是
A．85、85 B．87、85 C．85、86 D．85、87
3．一组数据a、b、c、d、e、f、g的平均数是m，方差是n，则另一组数据2a?3、2b?3、2c?3、2d?3、2e?3、2f?3、2g?3的平均数和方差分别是
A．2m、2n?3 B．2m?3、n C．m?3、2n D．2m?3、 4n
4．布袋中有1个黑球和1个白球，这两个球除颜色外其他都相同，如果从布袋中先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，那么两次都摸到白球的概率是 ．
5．课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（l）王老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有多少名？D类男生有多少名？并将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中男同学不少于1人的概率．
1．【答案】D
【解析】明天太阳从西边升起是不可能事件，A错误；掷出一枚硬币，正面朝上是随机事件，B错误；打开电视机，正在播放“新闻联播”是随机事件，C错误；任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件，D正确，故选D．
2．【答案】B
【解析】A，是不可能事件，故选项错误；B，是必然事件，选项正确；C，是不可能事件，故选项错误；D，是随机事件，故选项错误．故选B．
3．【答案】D
【解析】A，高铁站对旅客的行李的检查应采用普查，故错误；
B，数据5、3、4、5、3的众数是5和3，故错误；
C，“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每掷硬币2次不一定有1次正面朝上，故错误；
D，甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是S甲2=4.3，S乙2=4.1，则乙组数据稳定，故正确；故选D．
4．【答案】A
【解析】∵共有4张扑克牌，∴P（数字为4）=．故选A．
5．【答案】A
【解析】从这个小组中任意选出一名组长，每个人被选到的可能性相同，所有的选法有10种，女生当选为组长的方法有4种，由古典概型的概率公式得到其中女生当选为组长的概率是．故选A．
6．【答案】A
【解析】列表得：
甲
乙
丙
丁
甲
–––
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
–––
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
–––
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
–––
所有等可能的情况有12种，其中所选两名代表恰好是甲和乙的情况有2中，则P=．故选A．
7．【答案】B
【解析】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1–15%–45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．故选B．21世纪教育网
8．【答案】D
【解析】A，对某校初三年级（2）班学生体能测试达标情况的调查，人数较少，应采用全面调查；B，对“神州十一号”运载火箭发射前零部件质量状况的调查，意义重大，应采用全面调查；C，对社区5名百岁以上老人的睡眠时间的调查，人数较少，应采用全面调查；D，对市场上一批LED节能灯使用寿命的调查，具有破坏性，应采用抽样调查；故选D．
9．【答案】B
【解析】设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yi=xi+2，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差2，只有方差没有发生变化；故选B．
10．【答案】C
【解析】∵由图可知，喜欢体育节目人数占总人数的百分比=1–30%–40%–10%=20%，∴该校喜爱体育节目的学生=1000×20%=200（名）．故选C．
11．【答案】48
【解析】∵30÷25%=120（份），∴一共抽取了120份作品，∴此次抽取的作品中等级为B的作品数120–36–30–6=48份，故答案为：48．
1．【答案】B
【解析】对于选项A：人数众多，应用抽样调查，故此选项错误；对于选项B：人数不多，应用全面调查，故此选项正确；对于选项C：数量众多，破坏性较强，应用抽样调查，故此选项错误；对于选项D：范围太大，应用抽样调查，故此选项错误.故选B．
2．【答案】C
【解析】∵众数是一组数据中出现次数最多的数据，∴众数是85；把数据按从小到大的顺序排列，可得中位数为(85+87)÷2=86.故选C．
3．【答案】D
【解析】当一组数据中的每个数据都扩大或缩小相同的倍数时，则平均数也相应地扩大或缩小相同的倍数；当一组数据中的每个数据都增加或减少相同的数时，则平均数也相应地增加或减少相同的数．当一组数据中的每个数据都增加或减少相同的数时，则方差不会改变；当一组数据中的每个数据都扩大或缩小相同的倍数时，则方差就扩大或缩小平方倍．
4．【答案】
【解析】画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次都摸出白球的有1种情况，
∴两次都摸出白球的概率是.
5．【答案】（1）20人；（2）2人；1人；图见解析；（3）．
【解析】（1）一共调查的学生数是：(1+2)÷15%=20（名）.
（2）C组人数为：20×25%=5（名），
则女生人数为5?2=3（名）；
D组人数为：20×(1?15%?50%?25%)=20×10%=2（名），
则男生人数为2?1=1（名）.
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如图（男、女都要编号）：
则所有可能结果是：男男、男女、女男、女女、女男、女女，
故所选两位同学中男生不少于一人的概率P=．
啤酒与尿布的故事
?　　全球最大的零售商沃尔玛通过分析顾客购物的数据后发现，很多周末购买尿布的顾客同时也购买啤酒。
?　　经过深入观察和研究发现，美国家庭买尿布的多是爸爸。年轻的父亲们下班后要到超市买尿布，同时“顺手牵羊”带走啤酒，好在周末看棒球赛时过把酒瘾。
?　　后来沃尔玛就把尿布和啤酒摆放得很近，从而双双促进了尿布和啤酒的销量。这个故事被公认是数据挖掘的经典范例。