《圆》分层练习
基础题
1．下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
2．把地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长也都增加了，谁增加得多一些呢（ ）
A．地球多 B．篮球多 C．一样多 D．不能确定
3．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（ ）
A．4πr B．2πr C．πr D．2r
4．已知线段AB长3厘米，经过A，B两点，以半径2厘米作圆，则（ ）
A．可作1个 B．可作2个 C．可作无数个 D．无法作出
5．到点O的距离等于8的点的集合是 ．
6．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为 cm．
7．过圆内的一点（非圆心）有 条直径．
8．在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成8个部分，4个圆把平面最多分成14个部分，那么10个圆把平面最多分成 个部分．21·cn·jy·com
9．已知线段AB=3cm，用图形表示到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点的集合．【21·世纪·教育·网】
10．实践探究：有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？www-2-1-cnjy-com
能力题
1．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（ ）
A．4π B．9π C．16π D．25π
2．如图，在⊙O中，弦的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
3．下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中错误的个数为（ ）【21cnj*y.co*m】
A．2 B．3 C．4 D．5
4．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于 ．
5．已知，圆A的周长是圆B的周长的4倍，那么圆A的面积是圆B的面积的 倍．
6．线段AB=10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有 个．
7．已知线段AB=4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A、B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．【21教育】
8．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
提升题
1．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是（ ）
A．LA＞LB＞LC B．LA＜LB＜LC C．LB＞LC＞LA D．LC＜LA＜LB
2．如图是公园的路线图，⊙O1，⊙O2，⊙O两两相切，点A，B，O分别是切点，甲乙二人骑自行车，同时从点A出发，以相同的速度，甲按照“圆”形线行驶，乙行驶“8字型”线路行驶．若不考虑其他因素，结果先回到出发点的人是（ ）21*教*育*名*师
A．甲 B．乙 C．甲乙同时 D．无法判定
3．如图甲，圆的一条弦将圆分成2部分；如图乙，圆的两条弦将圆分成4部分；如图丙，圆的三条弦将圆分成7部分．由此推测，圆的四条弦最多可将圆分成 11 部分；圆的十九条弦最多可将圆分成 部分．21世纪教育网
4．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是 ．【21教育名师】
5．如图所示，最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的几倍？阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的多少？21-cnjy*com
6．如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是SA，所有标注B的图形面积都是SB．
（1）求标注C的图形面积SC；
（2）求SA：SB．
答案和解析
基础题
1．【答案】B
解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
2．【答案】C
解：根据圆的周长公式为2πr，假设地球的半径为R，篮球的半径为r，地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长将变为：2π（R+1）和2π（r+1），即
2π（R+1）=2πR+2π，2π（r+1）=2πr+2π，∴周长都增加了2π．
3．【答案】B
解：圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr．
4．【答案】B
解：如图，分别以A、B为圆心、2cm为半径作圆，两圆相交于点C、D，然后分别以C、D为圆心，2cm为半径作圆，则⊙C和⊙D为所求．
5．【答案】以点O为圆心，以8为半径的圆
解：到点O的距离等于8的点的集合是：以点O为圆心，以8为半径的圆．
6．【答案】10
解：∵⊙O的半径为5cm，∴⊙O的直径为10cm，即圆中最长的弦长为10cm．
7．【答案】且只有一
解：过圆内的一点（非圆心）有且只有一条直径．
8．【答案】92
解：∵1个圆把平面分成部分=2，
2个圆把平面最多分成的部分=2+2=4，
3个圆把平面最多分成的部分=2+2+4=2+2（1+2）=8，
4个圆把平面最多分成的部分=2+2（1+2+3）=14，
∴10个圆把平面最多分成的部分=2+2（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=92．
9．解：如图：
阴影部分就是到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形
10．解：设圆形草坪的半径为r，则由题意知，2πr=62.8，解得：r≈10m．
所以选射程为10米的喷灌装置，安装在圆形草坪的中心处．
能力题
1．【答案】C
解：由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积是以5为半径的圆与以3为半径的圆组成的圆环的面积，即π×52﹣π×32=16π．
2．【答案】C
解：如图，在⊙O中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD．共有4条弦．
3．【答案】C
解：①根据半圆也是弧，故此选项错误，符合题意；
②由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，故此选项正确，不符合题意；
③过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项错误，符合题意；2·1·c·n·j·y
④长度相等的弧不为等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，符合题意．
4．【答案】半径
解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；21教育网
5．【答案】16
解：设圆A的半径为a，圆B的半径为b．由题意2πa=4×2πb，∴a=4b，∴⊙A的面积：⊙B的面积=π?（4b）2：πb2=16：1．21cnjy.com
6．【答案】2
解：如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．
7．解：这样的圆能画2个．如图：
作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，21·世纪*教育网
则⊙O1和⊙O2为所求圆．
8．解：（1）连OB，如图，∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，∴∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∵∠2=∠A+∠1，∴∠2=2∠A，∵OB=OE，∴∠2=∠E，∴∠E=2∠A，∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．2-1-c-n-j-y
提升题
1．【答案】D
解：设面积是S．则正方形的边长是，则周长LA=4==4；
长方形的一边长x，则另一边长为，则周长LB=2（x+），∵（x+）2≥0，∴x+≥2，∴LB≥4，即LB≥；圆的半径为，LC=2π×=，∵＜，∴LC＜LA＜LB．21*cnjy*com
2．【答案】C
解：设⊙O1的半径是r，则⊙O2的半径是r，⊙O的半径是2r．则延“8字型”线路行驶时：路线长是4πr．同样按“圆”形线行驶的路线长4πr．因而两人同时到达．
3．【答案】191
解：一条弦将圆分成1+1=2部分，
二条弦将圆分成1+1+2=4部分，
三条弦将圆分成1+1+2+3=7部分，
四条弦将圆分成1+1+2+3+4=11部分，…
n条弦将圆分成1+1+2+3+…+n=1+部分，当n=19时，1+=191部分．
4．【答案】π
解：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A'重合，则转过的距离是圆的周长是π，因而点A'对应的实数是π．www.21-cn-jy.com
5．解：3+2=5（厘米），（3.14×52）÷（3.14×22）=52÷22=，
（×3.14×52﹣×3.14×32﹣×3.14×22）÷（3.14×32）
=[×（52﹣32﹣22）]÷32=6÷9=．
答：最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的倍，阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的．
6．解：（1）由题意得到圆M的半径为（6﹣4）÷2=1，则．
（2），∴．∵，
∴，∴SA：SB=5：6．
《圆的对称性》分层练习
基础题
1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等
2．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
3．如图，在⊙O中，，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（ ）
A．122° B．120° C．61° D．58°
4．如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
5．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 ．
6．如图，AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，AB=a，则OA= ．
7．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠COD的度数是 度．2-1-c-n-j-y
8．⊙O的半径为3cm，弦AB= cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数为 °．
9．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠COA．
10．已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由．
能力题
1．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1：2：3，则这个扇形中圆心角度数最大的是（ ）21世纪教育网
A．30° B．60° C．120° D．180°
2．如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
3．如图，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（ ）
A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC
4．如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，CE∥AB，若的度数为40°，则的度数为 ．
5．如图，在⊙O中，=，若∠AOB=40°，则∠COD= °．
6．从半径为10厘米的圆周上截下长为14.13厘米的弧，则此弧所对的圆心角是 度．
7．如图，A、B、C、D均为⊙O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．21教育网
8．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是弧AB的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．21·世纪*教育网
提升题
1．如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则∠COF=（ ）【21cnj*y.co*m】
A．90° B．100° C．108° D．120°
2．如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（ ）21*教*育*名*师
A．＜ B．= C．＜ D．=
3．如图，在⊙O中，=2，则线段AB 2AC（填“＞”“＜”或“=”）．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ．
5．如图，在⊙O中，点C为的中点，AD=BE，求证：CD=CE．
6．如图，∠AOB=90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD．2·1·c·n·j·y
答案和解析
基础题
1．【答案】A
解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；
B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；
C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．
2．【答案】D
解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等．
3．【答案】A
解：∵，∴∠AOB=∠AOC=122°．
4．【答案】D
解：∵，∴∠BOD=∠AOE=32°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°，∴∠COE=32°+32°=64°．21*cnjy*com
5．【答案】60°
解：如图，∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°．
6．【答案】a
解：过O作OC⊥AB于C点，如图，∴AC=BC=a，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠A=30°，∴cos30°==，∴OA=a．www-2-1-cnjy-com
7．【答案】120
解：∵=，∠AOB=60°，∴∠BOC=∠AOB=60°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BOD=180°，∴∠COD=180°﹣∠BOC=120°．【21教育】
8．【答案】90
解：∵OA=OB=3，AB=，∵OA2+OB2=AB2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABO是直角三角形，且∠AOB=90°．21-cnjy*com
9．证明：∵=，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形，∵∠ACB=60°，∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA，∴∠AOB=∠BOC=∠COA．
10．解：∠AOC和∠BOD相等，理由如下：
∵在⊙O中，弦AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB﹣∠COB=∠COD﹣∠COB，∴∠AOC=∠BOD．
能力题
1．【答案】D
解：由题意可得，三个圆心角的和为360°，∵三个圆心角的度数比为1：2：3，∴最大的圆心角度数为：360°×=180°．
2．【答案】C
解：连接OC、OD，∵BC=CD=DA，∴∠COB=∠COD=∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，∴∠BCD=×2（180°﹣60°）=120°．
3．【答案】C
解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，
∴∠AOE=∠BOE=∠AOB，又∵∠COD=∠AOB，∴∠AOE=∠BOE=∠COD，∴CD=AE=BE，∵在△ABE中，AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．【21·世纪·教育·网】
4．【答案】70°
解：连接OE，∵=40°，∴∠COE=40°．∵OC=OE，∴∠E==70°．
∵CE∥AB，∴∠AOE=∠E=70°，∴的度数为70°．
5．【答案】40
解：∵在⊙O中，=，∴=，∵∠AOB=40°，∴∠COD=∠AOB=40°．
6．【答案】81
解：360×[14.13÷（3.14×2×10）]=360×[14.13÷62.8]=360×=81（度）．
7．解：连接OD，∵AB=2DE=2OD，∴OD=DE，又∵∠E=18°，∴∠DOE=∠E=18°，∴∠ODC=36°，同理∠C=∠ODC=36°，∴∠AOC=∠E+∠OCE=54°．21cnjy.com
8．解：AOBC是菱形．证明：连OC．
∵C是的中点，∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°，∵CO=BO（⊙O的半径），∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC．同理△OCA是等边三角形，∴OA=AC，又∵OA=OB，∴OA=AC=BC=BO，∴AOBC是菱形．www.21-cn-jy.com
提升题
1．【答案】C
解：∵AC=CD=DE=EF=FB，∴，∴∠COF=×180°=108°．
2．【答案】C
解：A、因为四边形AEFD为正方形，所以AD=AE，则其所对的弧相等，因为AB＞AE，所以AB＞AD，故不正确；【21教育名师】
B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD=AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得＞，故不正确；
C、弦AB＜AE+BE（三角形两边之和大于第三边），弦BC=EF+BE+FC＞EF+BE=AE+BE＞弦AB，所以＞，故正确；
D、由图可看出其不相等，故错误．
3．【答案】＜
解：连接BC，∵=2，∴=，∴AC=BC，∵AC+BC＞AB，∴AB＜2AC．
4．【答案】125°
解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=70°，∵D是BC弧的中点，∴∠COD=70°，∴∠OCD=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
5．证明：连接OC，∵点C为的中点，∴∠AOC=∠BOC．∵AD=BE，OA=OB，∴OD=OE．
在△COD与△COE中，，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD=CE．
6．证明：连接AC，∵∠AOB=90°，C、D是的三等分点，∴∠AOC=∠COD=30°，∴AC=CD，又OA=OC，∴∠ACE=75°，∵∠AOB=90°，OA=OB，∴∠OAB=45°，∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°，∴∠ACE=∠AEC，∴AE=AC，∴AE=CD．21·cn·jy·com
《圆的对称性》分层练习
基础题
1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
2．如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（ ）21教育网
A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm
3．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
4．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（ ）
A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
5．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 ．
6．在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径为7，直线y=mx﹣3m+4交⊙O于A、B两点，则线段AB的最小值为 ．
7．如图，点P在半径为3的⊙O内，OP=，点A为⊙O上一动点，弦AB过点P，则AB最长为 ，AB最短为 ．21*教*育*名*师
8．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm．
9．已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长．
10．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．
求证：AE=BF．
能力题
1．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．cm D．cm
2．据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为（ ）【21·世纪·教育·网】
A．15m B．17m C．18m D．20m
3．如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（ ）
A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm
4．如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=6cm，CE=2cm，则弦AB的长为 ．www-2-1-cnjy-com
5．如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD= ．
6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=4，CD=1，则EC的长为 ．21*cnjy*com
7．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
8．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱项距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时，高度为5m的船是否能通过该桥？请说明理由．21cnjy.com
提升题
1．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）21世纪教育网
A．4 B． C． D．
3．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 ．
4．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC= ．
5．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．
6．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到AC的距离为4cm．【21cnj*y.co*m】
（1）求弦AC的长；
（2）问经过几秒后，△APC是等腰三角形．
答案和解析
基础题
1．【解答】C
解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2∴x=2，∴CD=2．2-1-c-n-j-y
2．A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm
【解答】D
解：连接OC，设OE=3x，EB=2x，∴OB=OC=5x，∵AB=20,∴10x=20,∴x=2，∴由勾股定理可知：CE=4x=8，∴CD=2CE=16．
3．【解答】C
解：如图，AE=AB=×24=12，CF=CD=×10=5，OE==5，OF=12，
①当两弦在圆心同侧时，距离=OF﹣OE=12﹣5=7；
②当两弦在圆心异侧时，距离=OE+OF=12+5=17．
所以距离为7或17．
4．【解答】D
解：连接OA．设圆的半径是x尺，在直角△OAE中，OA=x，OE=x﹣1，∵OA2=OE2+AE2，
则x2=（x﹣1）2+25，解得：x=13．则CD=2×13=26（cm）．
5．【解答】3≤OP≤5
解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB与M，∴AM=BM，∵AB=8，∴AM=4，在Rt△AOM中，OM=3，OM的长即为OP的最小值，∴3≤OP≤5．2·1·c·n·j·y
6．【解答】
解：∵直线y=mx﹣3m+4必过点D（3，4），∴最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵⊙O的半径为7，∴C（7，0），∴OA=OC=7，∴AD=2,∴AB的长的最小值为．21-cnjy*com
7．【解答】6，2
解：AB为过P点的直径时，则AB最长为6，当OP⊥AB时，AB为过P点的最短弦，
∵OP⊥AB，在Rt△APO中，AP=PB=AB=，∴AB=2．
8．【解答】3
解：∵OD⊥AC于点D，∴AD=CD，又∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=BC，∵BC=6cm，∴OD=3cm．
9．解：环形的面积为9π，根据圆的面积公式可得：π×OA2﹣π×OM2=9π，解得OA2﹣OM2=9，再根据勾股定理可知：9就是AM的平方，所以AM=3，AB=6．
10．证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM．又∵OE=OF，∴EM=FM，∴AE=BF．
能力题
1．【解答】B
解：如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，
∵折叠后恰好经过圆心，∴OE=DE，∵⊙O的半径为4，∴OE=OD=×4=2，∵OD⊥AB，∴AE=AB，在Rt△AOE中，AE=2．∴AB=2AE=4．
2．A．15m B．17m C．18m D．20m
【解答】C
解：连结OA，如图，∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=×24=12，在Rt△OAD中，OA=5，OD=5，∴CD=OC+CD=13+5=18（m）．
3．A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm
【解答】B
解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm,∴OE=6cm，AE=AB=8cm，在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA=10cm．
4．【解答】2cm
解：作OM⊥AB于点M，连接OA，圆半径OA=（DE+EC）=4cm OE=DE﹣OD=2cm，在直角△OEM中，∠CEB=30°，则OM=OE=1cm，在直角△OAM中，根据勾股定理：AM=（cm），∴AB=2AM=2cm．21·世纪*教育网
5．【解答】
解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵∠C=90°，AC=5，CB=12，∴由勾股定理，得AB=13，∵5×12=13?CE，∴CE=，∴由勾股定理，得AE=，∴由垂径定理得AD=．
6．【解答】
解：连接BE，∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=2，∴AC=BC=2，设OA=x，∵CD=1，∴OC=x﹣1，在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2，∴22+（x﹣1）2=x2，解得：x=，∴OA=OE=，OC=，∴BE=2OC=3，∵AE是直径，∴∠B=90°，∴CE=．www.21-cn-jy.com
7．解：（1）∵CD⊥AB，AO⊥BC，∴∠AFO=∠CEO=90°，在△AOF和△COE中，
，∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，∵CE=2，∴AF=2，∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，∴AB=4．【21教育】
（2）∵AO是⊙O的半径，AO⊥BC，∴CE=BE=2，∵AB=4，∴，∵∠AEB=90°，∴∠A=30°，又∵∠AFO=90°，∴cosA===，∴，即⊙O的半径是．
8．解：不能通过．
设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18，R2=302+（R﹣18）2，R2=900+R2﹣36R+324，解得R=34m，连接OM，在Rt△MOE中，ME=16，OE2=OM2﹣ME2即OE2=342﹣162=900，∴OE=30，∴DE=34﹣30=4，∴不能通过．
提升题
1．【解答】B
解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，设AB的长为xcm，∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=x；∵OA=4cm，BC=10cm，∴BE=5cm，DE=（x﹣5）cm，OD=（x﹣4）cm，又∵∠ADB=60°，∴DE=OD，∴x﹣5=（x﹣4），解得：x=6．
2．【解答】B
解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=1，∴PD=PE=，∴a=3+．
3．【解答】（﹣1，1）
解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是（﹣1，1）．
4．【解答】5
解：∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，∴N、M分别为AC、AB的中点，即MN为△ABC的中位线，∵MN=2.5，∴BC=2MN=5．21·cn·jy·com
5．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．
（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠C+∠B=90°，同理∠C+∠CNM=90°，∴∠CNM=∠B，∵∠CNM=∠AND，∴∠AND=∠B，∵，∴∠D=∠B，∴∠AND=∠D，∴AN=AD；
（2）解：设OE的长为x，连接OA，∵AN=AD，CD⊥AB，∴DE=NE=x+1，∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，∴OA=OD=2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，∴x2+42=（2x+1）2．解得x=或x=﹣3（不合题意，舍去），∴OA=2x+1=2×+1=，即⊙O的半径为．
6．解：（1）过O作OD⊥AC于D，易知AO=5，OD=4，从而AD=3，∴AC=2AD=6；
（2）设经过t秒△APC是等腰三角形，则AP=10﹣t，
①若AC=PC，过点C作CH⊥AB于H，∵∠A=∠A，∠AHC=∠ODA=90°，∴△AHC∽△ADO，∴AC：AH=OA：AD，即AC：=5：3，解得t=s，∴经过s后△APC是等腰三角形；
②若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10﹣x，又∵AC=6，则10﹣t=6，解得t=4s，∴经过4s后△APC是等腰三角形；【21教育名师】
③若AP=CP，P与O重合，则AP=BP=5，∴经过5s后△APC是等腰三角形．
综上可知当t=4或5或s时，△APC是等腰三角形．
《圆周角和圆心角的关系》分层练习
基础题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
2．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．55° C．145° D．70°
3．如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A=20°，则∠1等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AD延长线上一点，若∠CDE=80°，则∠B等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
5．如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠OBC的度数为 ．
6．如图，有一个圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是40°．为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
7．如图，⊙O的直径CD⊥EF，∠OEG=30°，则∠DCF= ．
8．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= ．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．
10．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB=10，AC=6，求BC、BD的长．21cnjy.com
能力题
1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（ ）
A．75° B．65° C．60° D．50°
2．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．不能确定
3．如图，OA，OB分别为⊙O的半径，若CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠P=70°，则∠DCE的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为 ．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为 ．
6．如图，已知在△ABC中，以AB为直径作半圆O，交BC的中点D，若∠BAC=50°，则的度数是 度．21*cnjy*com
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，∠1=∠2，EC=BC．
（1）若∠CBD=39°，求∠CAD的度数；
（2）求证：BC=CD．
8．如图，在⊙O中，AB，BC为互相垂直且相等的两条弦，连接AC．求证：
（1）AC是⊙O的直径；
（2）作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，则四边形ODBE是正方形．
提升题
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD等于（ ）21·世纪*教育网
A．4 B．6 C．8 D．12
2．如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为（ ）
A．2R B．R C．R D．R
3．在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB=108°，点C为⊙O上的动点，以AO、AC为边构造?AODC．当∠A= °时，线段BD最长．
4．如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP=OM，则满足条件的∠OCP的大小为 ．
5．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为4，求BC的长．
6．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB=弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．【21cnj*y.co*m】
（1）试说明：DE=BF；
（2）若∠DAB=60°，AB=6，求△ACD的面积．
答案和解析
基础题
1．【答案】B
解：∵OB=OC，∴∠BOC=180°﹣2∠OCB=100°，∴由圆周角定理可知：∠A=∠BOC=50°．21教育网
2．【答案】D
解：∵∠C=35°，∴∠AOB=2∠C=70°．
3．【答案】D
解：∵OC∥AB，∴∠C=∠A=20°，又∵∠O=2∠A=40°，∴∠1=∠O+∠C=20°+40°=60°．
4．【答案】C
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B=∠CDE=80°．
5．【答案】40°
解：∵OA⊥BC，∴=，∴∠AOB=2∠CDA=2×25°=50°，∴∠OBC=90°﹣50°=40°．www.21-cn-jy.com
6．【答案】5
解：∵∠A=40°，∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是80°，∴共需安装360°÷80°≈5．
7．【答案】30°
解：∵⊙O的直径CD⊥EF，∴=，∵∠OEG=30°，∴∠EOG=90°﹣∠OEG=60°，∴∠DCF=∠EOG=30°．【21教育名师】
8．【答案】80°
解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠C=80°．
9．解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，∵∠BAC=120°，AB=AC=4，∴∠C=30°，∴∠BOA=60°．又∵OA=OB，∴△AOB是正三角形．∴OB=AB=4，∴BD=8．∴⊙O的直径为8．
10．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，∴BC=8，即BC=8；∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD，∴=，∴AD=BD，∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=×10=5，即BD=5．【21教育】
能力题
1．【答案】B
解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．
2．【答案】B
解：∠D=∠AOC，∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B=∠AOC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D=180°，3∠D=180°，∴∠D=60°．2-1-c-n-j-y
3．【答案】D
解：∵∠P=70°，∴∠AOB=140°．∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC=∠OEC=90°，∴∠DCE=180°﹣140°=40°．【21·世纪·教育·网】
4．【答案】
解：连接AQ，BQ，∵∠P=45°，∴∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，∴△ABQ是等腰直角三角形．∵AB=2，∴2BQ2=4，∴BQ=．
5．【答案】65°
解：∵∠CBE=50°，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°，∵DA=DC，∴∠DAC=65°．
6．【答案】130
解：连接AD、OD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=25°，BD=DC，∴∠ABD=65°，∴∠AOD=130°,∴的度数为130°．
7．（1）解：∵∠CBD=39°，∴∠CAD的度数为：39°（同圆中，同弧所对圆周角相等）；
（2）证明：∵EC=BC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠1+∠CBD=∠2+∠BAC，∵∠1=∠2，∴∠CBD=∠BAC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠CBD=∠BDC，∴BC=CD．21·cn·jy·com
8．解：（1）∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，
（2）∵OD⊥AB，OE⊥BC，∴四边形ODBE是矩形，由垂径定理可知：BD=AB，BE=BC，∵AB=BC，∴BD=BE，∴矩形ODBE是正方形．www-2-1-cnjy-com
提升题
1．【答案】C
解：∵∠BAC=120°，AB=AC=4,∴∠C=∠ABC=30°,∴∠D=30°,∵BD是直径,∴∠BAD=90°,∴BD=2AB=8．21-cnjy*com
2．【答案】B
解：连接DC′，根据题意以及垂径定理，得弧C′D的度数是120°，则∠C′OD=120°．作OE⊥C′D于E，则∠DOE=60°，则DE=R，C′D=R．
3．【答案】27°
解：如图，连接OC，延长OA交⊙O于F，连接DF．
∵四边形ACDO是平行四边形，∴∠DOF=∠A，DO=AC，∵OF=AO，∴△DOF≌△CAO，∴DF=OC，∴点D的运动轨迹是F为圆心OC为半径的圆，∴当点D在BF的延长线上时，BD的值最大，∵∠AOB=108°，∴∠FOB=72°，∵OF=OB，∴∠OFB=54°，∵FD=FO，∴∠FOD=∠FDO=27°，∴∠A=∠FOD=27°．21世纪教育网
4．【答案】40°、20°、100°
解：(1)根据题意，画出图（1），在△QOC中，OC=OM，∴∠OMC=∠OCP，在△OPM中，MP=MO，∴∠MOP=∠MPO，又∵∠AOC=30°，∴∠MPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，在△OPM中，∠MOP+∠MPO+∠OMC=180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，整理得，3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°．21*教*育*名*师
(2)当P在线段OA的延长线上（如图2）,∵OC=OM，∴∠OMP=（180°﹣∠MOC）×①，∵OM=PM，∴∠OPM=（180°﹣∠OMP）×②，在△OMP中，30°+∠MOC+∠OMP+∠OPM=180°③，把①②代入③得∠MOC=20°，则∠OMP=80°,∴∠OCP=100°；
(3)当P在线段OA的反向延长线上（如图3），∵OC=OM，∴∠OCP=∠OMC=（180°﹣∠COM）×①，∵OM=PM，∴∠P=（180°﹣∠OMP）×②，∵∠AOC=30°，∴∠COM+∠POM=150°③，∵∠P=∠POM，2∠P=∠OCP=∠OMC④，①②③④联立得∠P=10°，∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°．
5．（1）证明：延长CE交⊙O于点M，∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，∴=，
∵C是的中点，∴=，∴=，∴∠BCM=∠CBD，∴CF=BF；
（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，∴∠BEF=∠ADB=90°，∵∠ABD=∠FBE，∴Rt△ADB∽Rt△FEB，∴，∵AD=2，⊙O的半径为4，∴AB=8，∴，∴BF=4EF，又∵BF=CF，∴CF=4EF，利用勾股定理得：BE=EF，又∵∠ACB=∠CEB=90°，∠ABC=∠CBE，∴△EBC∽△ECA，∴，∴CE2=AE?BE，∴（CF+EF）2=（8﹣BE）?BE，∴25EF2=（8﹣EF）?EF，∴EF=，∴BC=2．
6．（1）证明：∵=，∴CB=CD，∠CAE=∠CAB，又∵CF⊥AB，CE⊥AD，∴CE=CF，∴Rt△CED≌Rt△CFB（HL），∴DE=BF；
（2）解：∵CE=CF，∠CAE=∠CAB，∴△CAE≌△CAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠DAB=60°，∴∠CAB=30°，AB=6，∴BC=3，∵CF⊥AB于点F，∴∠FCB=30°，∴，，∴S△ACD=S△ACE﹣S△CDE=S△ACF﹣S△CFB=?（AF﹣BF）?CF=（AB﹣2BF）?CF=．
《确定圆的条件》分层练习
基础题
1．给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．三点确定一个圆 B．同圆中直径是最长的弦
C．圆周角是圆心角的一半 D．长度相等的弧是等弧
2．给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点
3．下列命题正确的个数有（ ）
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，则∠BAC的度数是（ ）
A．120° B．80° C．60° D．30°
5．过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多为 个．
6．平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．www-2-1-cnjy-com
7．如图△ABC中外接圆的圆心坐标是 ．
8．直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是 ．
9．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．【21教育】
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在△ABC的高CD上，点E、F分别是边AC和BC的中点，请你判断四边形CEDF的形状，并说明理由．21-cnjy*com
能力题
1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）21cnjy.com
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（ ）www.21-cn-jy.com
A．（0，） B．（，0） C．（0，2） D．（2，0）
3．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
4．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是 ．
5．已知直线l：y=x﹣4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆．21·世纪*教育网
6．等边三角形的边长为4厘米，它的外接圆的面积为 平方厘米．
7．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
8．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
提升题
1．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
2．如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（ ）
A．a：b：c B． C．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC
3．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC= ．2·1·c·n·j·y
4．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．若在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，则△ABC的最小覆盖圆的半径是 ；若在△ABC中，AB=AC，BC=6，∠BAC=120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是 ．
5．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
6．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．21教育网
求证：（1）AB=AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
答案和解析
基础题
1．【答案】B
解：A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；
B、正确；
C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；
D、错误，能够重合的弧是等弧．
2．【答案】D
解：A、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；
B、C、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；
D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确．
3．【答案】B
解：①过两点可以作无数个圆，正确；②经过三点一定可以作圆，错误；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，正确的有2个．21*cnjy*com
4．【答案】C
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，∴∠BAC=∠BOC=×120°=60°．
5．【答案】4
解：过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多4个．
6．【答案】能
解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．
7．【答案】（6，2）
解：分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2），即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6，2）．【21教育名师】
8．【答案】5
解：如图，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，∴外接圆半径为5．
9．解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：x2=122+（x﹣8）2，解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
10．解：四边形CEDF为菱形．
证明：∵AB为弦，CD为直径所在的直线且AB⊥CD，∴AD=BD，又∵CD=CD，∴△CAD≌△CBD，∴AC=BC；又∵E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，∴DF=CE=AC，DE=CF=BC，∴DE=DF=CE=CF，∴四边形CEDF为菱形．21世纪教育网
能力题
1．【答案】A
解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．21·cn·jy·com
2．【答案】A
解：如图，连结AC，CB．依相交弦定理的推论可得：OC2=OA?OB，即OC2=1×3=3，解得：OC=或﹣（负数舍去），故C点的坐标为（0，）．
3．【答案】C
解：∵⊙P经过点A、B、C，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），作PE⊥OB于E，PF⊥OC与F，由题意，得，解得，y=．【21·世纪·教育·网】
4．【答案】5x+2y≠9
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴，，解得：k=﹣，b=，∴直线AB的解析式为y=﹣x+，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴5x+2y≠9．
5．【答案】（3，﹣1）
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，2），点B（2，0），
∴，解得，∴y=﹣x+2．解方程组，得，∴当P的坐标为（3，﹣1）时，过P，A，B三点不能作出一个圆．【21cnj*y.co*m】
6．【答案】
解：∵等边三角形的边长为4厘米，OD⊥AB，∴AD=2厘米，又∵∠DAO=∠BAC=60°×=30°，∴AO==，∴S=π×（）2=平方厘米．
7．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
8．（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：，∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD，∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
提升题
1．【答案】C
解：∵62+82=102，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的外接圆的半径=5．
2．【答案】C
解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；设⊙O的半径为R，则：OD=R?cos∠BOD=R?cos∠BAC，OE=R?cos∠AOE=R?cos∠ABC，OF=R?cos∠BOF=R?cos∠ACB，故OD：OE：OF=cos∠BAC：cos∠ABC：cos∠ACB．2-1-c-n-j-y
3．【答案】1+
解：连接AB，则AB为⊙M的直径．
Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=OA=×=．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°，则OD=BD=OB=．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=BD=1．∴OC=CD+OD=1+．21*教*育*名*师
4．【答案】2.5；3
解：如图1，要求△ABC的最小覆盖圆的半径，即求其外接圆的半径．∵AB=5，AC=3，BC=4．∴△ABC是直角三角形．∴其外接圆的半径，即为斜边的一半，是2.5；
如图2，△ABC的最小覆盖圆的半径是BC边的一半，即×6=3．
5．证明：∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1=∠2．又∵DE∥AC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴AE=DE．又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB=90°．∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．∴∠EBD=∠EDB．∴BE=DE．∴AE=BE=DE．∵过A，B，D三点确定一圆，又∠ADB=90°，∴AB是A，B，D所在的圆的直径．∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．
6．证明：（1）∠ABF=∠ADC=120°﹣∠ACD=120°﹣∠DEC=120°﹣（60°+∠ADE）=60°﹣∠ADE，而∠F=60°﹣∠ACF，因为∠ACF=∠ADE，所以∠ABF=∠F，所以AB=AF．
（2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD=∠ACD，又DE=DC，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB，所以∠ABD=∠AEB，所以AB=AE．∵AB=AF，∴AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心．
《直线和圆的位置关系》分层练习
基础题
1．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则形成的圆环的面积为（ ）
A．无法求出 B．8 C．8π D．16π
3．下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．过圆的半径外端的直线是圆的切线
4．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么（ ）
A．0＜OP＜5 B．OP=5 C．OP＞5 D．OP≥5
5．已知等边三角形ABC的边长为2，那么这个三角形的内切圆的半径为 ．
6．如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为 （结果保留π）
7．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，切点为C，若AB=cm，OA=2cm，则图中阴影部分（扇形）的面积为 ．
8．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= ．
9．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上的一动点，连接AC并延长交⊙O于D，过点D作直线交OB延长线于E，且DE=CE，已知OA=8．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）当∠A=30°时，求CD的长．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AE=6，FB=4，求⊙O的面积．
能力题
1．直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
2．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC=50°，则∠COD的大小为（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
3．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（ ）时，PA与⊙O相切．
A．20° B．25° C．30° D．40°
4．已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 ．
5．如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交⊙M于P、Q两点，P点在Q点的下方．若点P的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是 ．
6．如图，在⊙O中，PD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点P，点C是⊙O上一点，连接BC、DC，∠APD=30°，则∠BCD= °．
7．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．21cnjy.com
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
8．如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD=3，AD=2，求BC的长；
（3）连接AE，若∠C=45°，直接写出sin∠CAE的值．
提升题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2≤x≤2 B．﹣2＜x＜2 C．0≤x≤2 D．﹣2≤x≤2
2．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1=1时，r2018= ．
4．如图，正方形ABCD的边长为9，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为 ．
5．如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）当OB=3，PA=6时，求MB、MC的长．
6．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．
答案和解析
基础题
1．【答案】A
解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，∴3.5＜4，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．21世纪教育网
2．【答案】D
解：如图所示，∵弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴C为AB的中点，∴AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA2﹣OC2=AC2=16，则形成圆环的面积为πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=16π．2·1·c·n·j·y
3．【答案】B
解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．21教育网
4．【答案】D
解：∵⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，∴当P与切点重合时，OP=5，当P与切点不重合时，OP＞5，∴OP≥5．【21cnj*y.co*m】
5．【答案】
解：过O点作OD⊥AB，∵O是等边△ABC的内心，∴∠OAD=30°，∵等边三角形ABC的边长为2，∴OA=OB，∴AD=AB=1，∴OD=AD?tan30°=．即这个三角形的内切圆的半径为．
6．【答案】π
解：连接OE、OF，∵AC=3，BC=4，∠C=90°，∴AB=5，∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∴FB=DB，CE=CF，AD=AF，OE⊥BC，OF⊥AC，又∵∠C=90°，OF=OE，∴四边形ECFO为正方形，∴设OE=OF=CF=CE=x，∴BE=4﹣x，FA=3﹣x；∴DB=4﹣x，AD=3﹣x，∴3﹣x+4﹣x=5，解得：x=1，则⊙O的面积为π．www.21-cn-jy.com
7．【答案】
解：如图，∵大圆的弦AB是小圆的切线，切点为C，OC是半径，∴OC⊥AB，∴AC=AB=cm，又∵OA=2cm，∴sin∠AOC=，∴∠AOC=60°，∠A=30°，∴OC=OA=1cm，∴图中阴影部分（扇形）的面积为（cm2）．
8．【答案】50°
解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠BAT=90°，∵∠ABT=40°，∴∠ATB=50°．
9．（1）证明：如图连接OD．
∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠A+∠ACO=90°，∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=∠ACO，∴∠ODA+∠EDC=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．
（2）在Rt△AOC中，∵OA=8，∠A=30°，∴OC=OA?tan30°=，∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=30°，∠DOA=120°，∠DOC=30°，∴∠DOC=∠ODC=30°，∴CD=OC=．
10．（1）证明：连结AD、OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，而OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；www-2-1-cnjy-com
（2）解：设⊙O的半径为R，∵OD∥AE，∴△FOD∽△FAE，∴，即，解得R=4，∴⊙O的面积=π?42=16π．21*cnjy*com
能力题
1．【答案】A
解：如图所示：
∵OM平分∠AOD，以点P为圆心的圆与直线AB相离，∴以点P为圆心的圆与直线CD相离．
2．【答案】B
解：∵AC是⊙O的切线，∴BC⊥AC，∴∠C=90°，∵∠BAC=50°，∴∠B=90°﹣∠BAC=40°，∴∠COD=2∠B=80°．2-1-c-n-j-y
3．【答案】B
解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°．【21教育名师】
4．【答案】2或
解：∵以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，∴⊙P与x轴相切（如图1）或⊙P过原点（如图2），当⊙P与x轴相切时，r=2；当⊙P过原点时，r=OP=．∴r=2或．【21教育】
5．【答案】（0，2.5）
解：连接MP，过P作PA⊥y轴于A，设M点的坐标是（0，b），且b＞0，∵PA⊥y轴，
∴∠PAM=90°，∴AP2+AM2=MP2，∴22+（b﹣1）2=b2，解得b=2.5．
6．【答案】30
解：连接OD，
∵PD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点P，∠APD=30°，∴∠PDO=90°，∴∠POD=60°，∴∠BCD=30°．21-cnjy*com
7．（1）证明：如图1，连接OB，∵AB是⊙0的切线，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2,∴∠2=∠3，∴CB平分∠ACE；
（2）解：如图2，连接BD，∵CE丄AB，∴∠E=90°，∴BC=5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴，∴BC2=CD?CE，∴CD=，∴OC=CD=，∴⊙O的半径=．
8．解：（1）连接OD，BD，∴OD=OB,∴∠ODB=∠OBD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．∵E为BC的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°，∴DE是⊙O的切线；
（2）∵CD=3，AD=2，∴AC=5，∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴BC2=AC?CD=5×3=15，∴BC=；
（3）作EF⊥CD于F，设EF=x，∵∠C=45°，∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x，∴BE=CE=x，∴AB=BC=2x，在RT△ABE中，AE=x，∴sin∠CAE=．
提升题
1．【答案】D
解：如图所示，当AB与⊙O相切时，有一个公共点，设这个公共点为G，连接OG，则OG⊥CD，这时OG=2，∠OCD=45°，sin45°=，OC==2，即x=2，如果直线AB在第二象限与圆相切，这时同理可求得x=﹣2，∴x的取值范围是﹣2≤x≤2．
2．【答案】A
解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；21*教*育*名*师
（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；
（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故（3）正确；
（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故（4）正确；正确个数有4个．21·世纪*教育网
3．【答案】32017
解：分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图:
，
∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线L相切，∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，∵∠AOO1=30°，∴OO1=2O1A=2r1=2，在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2，∴r2=3，在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3，∴r3=9=32，同理可得r4=27=33，所以r2018=32017．
4．【答案】6
解：连结AC，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ACB=45°，∵△BCE沿CE折叠至△FCE，∴∠ECB=∠ECF，∵CF，CE与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，∴AC平分∠ECF，∴∠ECF=2∠ECA，∴∠ECB=2∠ECA，而∠ECB+∠ECA=45°，∴∠ECB=30°，在Rt△BEC，BE=BC=3，∴CE=2BE=6．21·cn·jy·com
5．证明：（1）∵AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴PA⊥OA,∴在Rt△MAP中，∠M+∠P=90°，而∠COB=∠APB，∴∠M+∠COB=90°，∴∠OBM=90°，即OB⊥BP，∴PB是⊙O的切线；【21·世纪·教育·网】
（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴，设MB=x，则MA=2x，MO=2x﹣3，∴MP=4x﹣6，在Rt△AMP中，（4x﹣6）2﹣（2x）2=62，解得x=4或0（舍去）,∴MB=4，MC=2．
6．（1）证明：连接OE，∵∠B的平分线BE交AC于D，∴∠CBE=∠ABE．∵EF∥AC，∴∠CAE=∠FEA．∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，∴∠FEA=∠OEB．∵∠AEB=90°，∴∠FEO=90°．∴EF是⊙O切线．
（2）解：∵AF?FB=EF?EF，∴AF×（AF+15）=10×10．∴AF=5．∴FB=20．∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE，∴△FEA∽△FBE．∴EF=10,∵AE2+BE2=15×15．∴AE=3．
《切线长定理》
基础题
1．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）21cnjy.com
A．10 B．18 C．20 D．22
2．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（ ）21·cn·jy·com
A．120° B．60° C．30° D．45°
3．已知P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A、B为切点，∠P=70°，C为⊙O上一个动点，且不与A、B重合，则∠BCA=（ ）2-1-c-n-j-y
A．35°C、145° B．110°、70° C．55°、125° D．110°
4．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
6．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于 ．2·1·c·n·j·y
7．已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA=6，则PB= ．
8．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为 ．21*cnjy*com
9．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长．www-2-1-cnjy-com
10．如图，点B在⊙O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当AC=5时，求AD的长．www.21-cn-jy.com
能力题
1．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6，OC=8，则BE+CG的长等于（ ）21教育网
A．13 B．12 C．11 D．10
2．如图，正方形ABCD边长为4，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）
A．12 B．24 C．8 D．6
3．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1=60°，∠2=65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（ ）
A．AB＞CE＞CD B．AB=CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB=CD=CE
4．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是 cm．
5．一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其AB=40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是 cm（结果保留根号）．【21·世纪·教育·网】
6．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则tan∠CBE= ．【21教育名师】
7．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．【21cnj*y.co*m】
（1）求证：AB+CD=AD+BC；
（2）求∠AOD的度数．
8．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
提升题
1．P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，则△PDE的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．不能确定
2．如图，△ABC中，∠A=60°，BC=6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E，若AB=CD=2，则CE= ．
4．如图所示，⊙D 的半径为3，A是圆D外一点且AD=5，AB，AC分别与⊙D相切于点B，C．G是劣弧BC上任意一点，过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F．
（1）△AEF的周长是 ；
（2）当G为线段AD与⊙D的交点时，连结CD，则五边形DBEFC的面积是 ．
5．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
6．已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F．【21教育】
（1）求证：DE=BC；
（2）若AC=6，BC=8，求S△ACD：S△EDF的值．
答案和解析
基础题
1．【答案】C
解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．21世纪教育网
2．【答案】B
解：连接OA，BO,∵∠AOB=2∠E=120°，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠P=180°﹣∠AOB=60°．21-cnjy*com
3．【答案】C
解：如图；连接OA、OB，则∠OAP=∠OBP=90°，∴∠BOA=180°﹣∠P=110°，∴∠AEB=∠AOB=55°；∵四边形AEBF是⊙O的内接四边形，∴∠AFB=180°﹣∠AEB=125°，①当C点在优弧AB上运动时，∠BCA=∠AEB=55°；②当C点在劣弧AB上运动时，∠BCA=∠AFB=125°．
4．【答案】B
解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．
5．【答案】2
解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．21*教*育*名*师
6．【答案】1
解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴∠APO=∠BPO=∠APB，∠PAO=90°,∵∠APB=60°，∴∠APO=30°，∵PO=2，∴AO=1．
7．【答案】6
解：∵PA、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点；∴PA=PB，即PB=6．
8．【答案】8cm
解：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm．
9．解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，∴PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，∵PA=8cm，∴△PEF的周长为：PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16（cm）．
10．解：连接OC、OD．∵OA是⊙B的直径，∴∠OCA=∠ODA=90°，∴AC、AD都是⊙O的切线．∴AD=AC=5．
能力题
1．【答案】D
解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC==10，∴BE+CG=10．
2．【答案】D
解：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4，EF=EC，设EF=EC=x，则DE=4﹣x，AE=4+x，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x）2，∴x=1，∴CE=1，∴DE=4﹣1=3，∴S△ADE=AD?DE÷2=3×4÷2=6．
3．【答案】A
解：∵∠1=60°，∠2=65°，∴∠ABC=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣60°﹣65°=55°，∴∠2＞∠1＞∠ABC，∴AB＞BC＞AC，∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，∴AC=CD，BC=CE，∴AB＞CE＞CD．
4．【答案】6
解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC，∴∠OAB=∠CAB=60°,∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴由勾股定理得OB=3cm，∴光盘的直径6cm．
5．【答案】40﹣
解：连接OD、BD，作DE⊥AB，∵BC与水平面的夹角为60°，∴∠DBE=60°，∴∠BDE=30°，设BE=x，则BD=2x，∴由勾股定理得4x2﹣x2=25，解得x=，∴OD=AE=40﹣．
6．【答案】
解：设BC的中点为O，连接AO，交BE于F．由于AB、AE分别切⊙O于B、E，则AB=AE，且∠BAF=∠EAF．又∵AF=AF，∴△ABF≌△AEF．∴AO垂直平分BE．在Rt△ABO中，BF⊥AO，则∠FBO=∠BAO，易知BO=2，AB=5，∴tan∠BAO=tan∠CBE=．
7．（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，∴AB+DC=AD+BC；
（2）解：连OE、ON、OM、OF，∵OE=ON，AE=AN，OA=OA，∴△OAE≌△OAN，∴∠OAE=∠OAN．同理，∠ODN=∠ODF．∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE．又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，∴∠OAN+∠ODN=×180°=90°，∴∠AOD=180°﹣90°=90°．
8．解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA=CE，同理DE=DB，PA=PB，∴三角形PDE的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12，即PA的长为6；21·世纪*教育网
（2）∵∠P=60°，∴∠PCE+∠PDE=120°，∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE=∠OCA=∠ACD；同理：∠ODE=∠CDB，∴∠OCE+∠ODE=（∠ACD+∠CDB）=120°，∴∠COD=180﹣120°=60°．
提升题
1．【答案】B
解：根据题意画出图形，如图所示，由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD=DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC=EB，又直线PA和直线PB为圆O的切线，所以PA=PB=4，
则△PDE的周长C=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8．
2．【答案】A
解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，∴BD+CF=6，∵AD=AF，∠A=60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF=DF，∵AB+AC+BC=16，BC=6，∴AB+AC=10，∵BD+CF=6，∴AD+AF=4，∵AD=AF=DF，∴DF=AF=AD=×4=2．
3．【答案】
解：∵CD是⊙O的切线，∴CD2=CB?CA，∵AB=CD=2，∴4=BC（BC+2），解得BC=﹣1+，∵CD是⊙O的切线，BE为⊙O的切线，∴∠CBE=∠CDO=90°，∴△BCE∽△DCO，∴，即，解得，CE=．
4．【答案】8；9
解：（1）如图1所示：连接ED，DG，FD，CD，∵AB，AC分别与⊙D相切于点B，C，∴AB=AC，∠ABD=∠ACD=90°，∵⊙D 的半径为3，A是圆D外一点且AD=5，∴AB==4，∵过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F，∴BE=EG，FG=FC，则△AEF的周长是：AE+EG+FG+AF=AB+AC=8．
（2）如图2，AG=AD﹣DG=5﹣3=2．∵在△AEG和△ADB中，∠ABD=∠AGD=90°，∠BAD=∠EAG，∴△AEG∽△ADB，∴，∴EG=，∴EF=2EG=3，∴S△AEF=EF?AG=×3×2=3．又∵S四边形ABDC=2S△ABD=AB?BD=3×4=12，∴S五边形DBEFC=12﹣3=9．
5．解：（1）△OBC是直角三角形．证明：
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴∠OBE=∠OBF=∠EBF，∠OCG=∠OCF=∠GCF，∵AB∥CD，∴∠EBF+∠GCF=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°，∴△OBC是直角三角形；
（2）∵在Rt△BOC中，BO=6，CO=8，∴BC=10；
（3）∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴OF⊥BC，∴OF==4.8．
6．（1）证明：∵EC、ED都是⊙O的切线，∴EC=ED，∠ECD=∠EDC．∵∠EDC+∠EDB=90°，∠ECD+∠B=90°，∴∠EDB=∠B．∴ED=BE．∴DE=BE=EC．∴DE=BC．
（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，则AB=10，根据射影定理可得：
AD=AC2÷AB=3.6，∴BD=BC2÷AB=6.4，∴S△ACD：S△BCD=AD：BD=9：16，∵ED=EB，EF⊥BD，∴S△EDF=S△EBD，同理可得S△EBD=S△BCD，∴S△EDF=S△BCD，∴S△ACD：S△EDF=．
《圆内接正多边形》分层练习
基础题
1．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定
2．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（ ）
A．3：2：1 B．4：3：2 C．4：2：1 D．6：4：3
3．正六边形的边心距是，则它的边长是（ ）
A．1 B．2 C．2 D．3
4．如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB=2，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）
A．6 B．6 C．12 D．12
5．正八边形的中心角等于 度．
6．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为 ．
7．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形BCFG的面积是12cm2，则正八边形的面积为 cm2．【21·世纪·教育·网】
8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG= °．
9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=2cm，求⊙O的半径．
10．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；21·世纪*教育网
（2）求∠APH的度数．
能力题
1．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C． D．3
2．若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．古代数学家祖冲之和他的儿子根据刘徽的“割圆术”（用圆内接正多边形的周长代替圆周长），来计算圆周率π的近似值．他从正六边形算起，一直算到正24576边形，将圆周率精确到小数后七位，在世界上领先一千多年．根据这个办法，由圆内接正六边形算得的圆周率π的近似值是（ ）21教育网
A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14
4．如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为 ．（用锐角α的三角比表示）
5．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于 ．2-1-c-n-j-y
6．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．
7．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t= s时，四边形PBQE为菱形；
②当t= s时，四边形PBQE为矩形．
8．（1）如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，求正六边形的边长．
（2）如图2，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12．求证：AB=AC．
提升题
1．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFD
C．AC2+BF2=4CD2 D．DE2=EF?CE
2．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为何（ ）【21教育名师】
A．40 B．50 C．60 D．80
【答案】A
3．小刚在纸上画了一个面积为6分米2的正六边形，然后连接相隔一点的两点得到如图所示的对称图案，他发现中间也出现了一个正六边形，则中间的正六边形的面积是 分米2．21cnjy.com
4．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．【21教育】
例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．
已知长宽分别为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，则r的最小值是 cm．
5．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．
6．教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：
请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：
（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO= （用含a的式子表示）；
（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为 三角形；
（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．
答案和解析
基础题
1．【答案】B
解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为，正多边形的一个外角等于，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
2．【答案】A
解：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，∴BO=2OD，而OA=OB，∴AD=3OD，∴AD：OA：OD=3：2：1．www-2-1-cnjy-com
3．【答案】B
解：∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．21*教*育*名*师
4．【答案】C
解：如图，连接OA；取的中点D，连接AD、CD、OD；过点D作DE⊥OC于点E；∵OF=OA，且∠OFA=90°，∴∠OAF=30°，∠AOC=60°，∠AOD=∠COD=30°；∵圆的内接正十二边形的中心角==30°，∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边；∵OC⊥AB，且AB=2，∴AF=；在△AOF中，由勾股定理得：；在△ODE中，∵∠EOD=30°，∴DE=OD=1，，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12．21-cnjy*com
5．【答案】45
解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°．
6．【答案】6cm
解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=6×=3（cm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=6（cm）．
7．【答案】24
解：连接HE，AD，在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，∵正八边形每个内角为：=135°，∴∠HGM=45°，∴MH=MG，设MH=MG=x，则HG=AH=AB=GF=x，∴BG×GF=2（+1）x2=12，∴四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=6，∴正八边形的面积为：6×2+12=24（cm2）．
8．【答案】45°
解：设正八边形ABCDEFGH的外接圆为⊙O；∵正八边形ABCDEFGH的各边相等，∴圆周长，∴的度数为=90°，∴圆周角∠ACG=．
9．解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，∴cos30°=，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．
10．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中，∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．
能力题
1．【答案】B
解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是，则△BCE的边EC上的高是，△ACE边EC上的高是，则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．
2．【答案】B
解：360°÷n=．故这个正多边形的边数为4．
3．【答案】B
解：由题意n=6时，π≈=3．
4．【答案】
解：如图所示：
∵正n边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD=．
5．【答案】12
解：连接AO，BO，CO．∵AB、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边，∴∠AOB==60°，∠AOC==90°，∴∠BOC=30°，∴n==12．
6．【答案】72°
解：连接OA、OB、OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB=∠BOC=72°，∵OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠OCB=54°，在△OBP和△OCQ中，21世纪教育网
，∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP=∠COQ，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠BOP=∠QOC，∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠POQ=∠BOC=72°．21·cn·jy·com
7．（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP=EQ，同理可证PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．21*cnjy*com
（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
8．（1）解：连接OD，如图所示：
∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，∴∠O==60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=4，即正六边形的边长为4；
（2）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=BC=5，∵AB=13，AD=12，∴BD2+AD2=52+122=169=132=AB2，∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AB=AC．
提升题
1．【答案】B
解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，∴四边形ABCF是菱形，∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A选项正确；
∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，设AC与BF交于点O，由勾股定理得OB2+OC2=BC2，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，∴AC2+BF2=4CD2．故C选项正确；
由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，∴∠DCE=∠EDF，∴△CDE∽△DFE，∴，∴DE2=EF?CE，故D选项正确．
2．【答案】A
解：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．
3．【答案】2
解：设O是原正六边形的中心，连接AO，FO，MO，设FO与AE交于点Q，AO与BE交于P，∵一个面积为6分米2的正六边形，连接相隔一点的两顶点得到如图所示的对称图案，∴∠AOF=×360°=60°，S△AOF=×6=1（分米2），【21cnj*y.co*m】
∴△OAF是等边三角形，∵AB=AF，∴OA⊥BF，∴AP=OP，∴AM=OM，同理：OF⊥AE，OQ=FQ，∴OM=FM，∴点M是△AOF的外心，∴S△OAM=S△AOF=（分米2），∴S△OPM=S△OAM=（分米2），∴中间的正六边形的面积是：12×S△OPM=2（分米2）．
4．【答案】
解：如图：
矩形ABCD中AB=1，BC=2，则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r=，两圆心距=1．
5．解：（1）如图1中，连接OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．
（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．
∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC=，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或，∴DE=DH=或．
6．解：（1）∵正三角形ABC的边长为a，由折叠的性质可知，点O是三角形的重心，∴CO=a；
（2）△CDE为等边三角形；
（3）由（2）知△CDE为等边三角形，∴CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，
∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，∵AB=BC=AC=a，∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，∴六边形KHGFED是一个正六边形．2·1·c·n·j·y
《弧长及扇形的面积》分层练习
基础题
1．已知圆O的半径是3，A，B，C 三点在圆O上，∠ACB=60°，则弧AB的长是（ ）
A．2π B．π C．π D． π
2．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（ ）
A． B． C．π D．2π
3．扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，那么扇形的半径是（ ）
A．6cm B．12cm C．24cm D．28cm
4．扇形的圆心角为60°，面积为6π，则扇形的半径是（ ）
A．3 B．6 C．18 D．36
5．如图，半径为6的⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则劣弧BD的长是 （结果保留π）．2-1-c-n-j-y
6．如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ．2·1·c·n·j·y
7．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．21-cnjy*com
8．如图，直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
9．如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？
10．如图，半径为12的圆中，两圆心角∠AOB=60°、∠COD=120°，连接AB、CD，求图中阴影部分的面积．
能力题
1．如图，△ABC为等边三角形，保持各边的长度不变，将BC边向三角形外弯曲得到扇形ABC，设△ABC的面积为S1，扇形ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＜S2 B．S1=S2 C．S1＞S2 D．无法确定
2．如图，正方形ABCD的面积为36cm2，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB是正方形，以B为圆心，BC长为半径画弧AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为（ ）cm2．
A．6π B．8π C．9π D．12π
3．一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且扇形面积是圆的面积的一半，则这个扇形的圆心角度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．75°
4．如图所示，半圆O的直径AB=4，以点B为圆心，2为半径作弧，交半圆O于点C，交直径AB于点D，则图中阴影部分的面积是 ．21*cnjy*com
5．如图，正方形ABCD中，AB=2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接BF，则图中阴影部分的面积是 ．
6．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是 ．
7．多少年来人们一直误认为“在月球上能看到长城”，直到“神舟五号”载人飞船发射成功，我们的航空英雄杨利伟亲口说出：“在那个高度不能看到长城”之后才得以验证．（飞船距地面343千米，而月球距地球38.4万千米）科学研究显示，眼睛的分辨率是指眼睛能够分辨两个相邻的点或线的能力，通常以刚能被分开的两点或两线对眼睛瞳孔中心的张角来表示．人眼分辨率的张角为0.1°，而长城的宽为10米左右，那么，请同学们算一算，离开长城有多高它就会在我们的视野中细得成为一条线了呢？（圆周的弧长可大略的看成是一段线段，取π值为3）21·世纪*教育网
8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求的长．
提升题
1．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）21*教*育*名*师
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
2．如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）
A．4圈 B．3圈 C．5圈 D．3.5圈
3．如图，在正方形ABCD中，AB=2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，与BC的延长线交于点E，则图中的长为 ．21教育网
4.如图，一个圆作滚动运动，它从A位置开始，滚过与它相同的其他六个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过 圈．
5．用一根长22cm的铁丝：
（1）能否围成面积是30cm2的扇形？若能，求出扇形半径；若不能，请说明理由．
（2）能否围成面积是32cm2的扇形？并说明理由．
6．如图所示，一只羊用一条长12米的绳子拴住，绳子的另一头被绑在一堵墙的大门外的点A处，大门的边缘底下B，C两点恰好与点A构成了等边三角形ABC的顶点，如果墙的那一边是一片足够大的草场，△ABC的边长为6米，那么这只羊最多可以吃到多少平方米的草（精确到0.1平方米）？
答案和解析
基础题
1．【答案】A
解：∵∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∴l==2π．
2．【答案】C
解：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，∴===，根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，即凸轮的周长=++=3×=π．
3．【答案】C
解：∵S扇形=lr，∴240π=?20π?r，∴r=24（cm）．
4．【答案】B
解：扇形的面积==6π．解得：r=6．
5．【答案】
解：如图，连接OC、OD，∵∠BAC=40°，∴∠BOC=2∠BAC=80°．∵⊙O的直径AB与弦CD垂直，∴=，∴∠BOC=∠BOD=80°，∴劣弧BD的长是．
6．【答案】
解：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长，即第一段=，第二段=．故B点从开始至结束所走过的路径长度=+=．
7．【答案】24π
解：阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=24π．
8．【答案】4﹣π
解：连结AD．∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4，∴∠C=60°，AB=4，∵AD=AC，∴三角形ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∴∠DAE=30°，∴图中阴影部分的面积=4×4÷2﹣4×2÷2﹣=4﹣π．www.21-cn-jy.com
9．解：由题意得，BE=2m，AC=3m，CD=0.5m，作BG⊥AC于G，则AG=AD﹣GD=AC+CD﹣BE=1.5m，由于AB=3，所以在Rt△ABG中，∠BAG=60°，根据对称性，知∠BAF=120°，故秋千所荡过的圆弧长是=2π≈6.3（米）．【21·世纪·教育·网】
10．解：S扇形AOB==24π，S△AOB==36，则S弓形AB=24π﹣36，S扇形COD==48π，作OE⊥CD于点E．则OE=OD=6，CD=2DE=2×6=12，S△COD=OE?CD=×6×12=36，则S弓形CD=48π﹣36，则S阴影=S弓形CD﹣S弓形AB=48π﹣36﹣（24π﹣36）=24π．www-2-1-cnjy-com
能力题
1．【答案】A
解：设三角形的边长是a，高是h，则a＞h．∵S1=ah，S2=??a=a2，∴S1＜S2．
2．【答案】C
解：∵四边形ABCD和四边形EFGB是正方形，且正方形ABCD的面积为36cm2，∴∠G=∠ABC=∠CEF=90°，AB=BC=6，EF=BE=GF=BG，设EF=BE=GF=BG=a，则阴影部分的面积S=S扇形BAC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF=+a2+?a?（6﹣a）﹣?（6+a）a=9π．
3．【答案】A
解：设圆的半径为r，扇形圆心角为n°．则扇形的半径为2r，利用面积公式可得：，解得n=45．
4．【答案】﹣
解：连接BC、OC、AC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=4，BD=BC=2，∴AC=2，∴AC=OA=OC=2，∴AB=2AC，∴∠ABC=30°，∴S阴=S扇形OAC+S△BOC﹣S扇形BDC=+×2×﹣=﹣．【21cnj*y.co*m】
5．【答案】6﹣π
解：
过F作FM⊥BE于M，则∠FME=∠FMB=90°，∵四边形ABCD是正方形，AB=2，∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=2，∠DCB=45°，由勾股定理得：BD=2，∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，∴∠DCE=90°，BF=BD=2，∠FBE=90°﹣45°=45°，∴BM=FM=2，ME=2，∴阴影部分的面积S=S△BCD+S△BFE+S扇形DCE﹣S扇形DBF=++﹣=6﹣π．【21教育名师】
6．【答案】2﹣
解：连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60°，OO′=OA，∴当O′中⊙O上，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．
7．解：根据题意得，10=，解得，R=6000（米），
所以离开长城有6000米高它就会在我们的视野中细得成为一条线了．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=DC，BC=AD，AD∥BC，
∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
在△ADE和△FAB中，，∴△ADE≌△FAB（AAS），∴DE=AB；
（2）连接DF，如图所示：在△DCF和△ABF中，，∴△DCF≌△ABF（SAS），∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴DE=AE=，∴的长=．21cnjy.com
提升题
1．【答案】B
解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，则∠COD=60°．
∴S扇形AOC=；S扇形BOC=．
在三角形OCD中，∠OCD=30°，∴OD=，CD=，BC=R，∴S△OBC=，S弓形=-=，＞＞，∴S2＜S1＜S3．
2．【答案】A
解：如图，设圆的周长是C，则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长=4C，则这个圆共转了4C÷C=4圈．21世纪教育网
3．【答案】
解：∵四边形ABCD为正方形，∴CA=AB=2，∠ACB=45°，∴∠ACE=135°，∴的长度==．21·cn·jy·com
4.【答案】
解：观察图1中，当⊙A旋转到⊙A′位置时，∠COD=90°，这个圆已经旋转180°，即得出结论：⊙A旋转的度数是∠COD的两倍．第一段和最后一段圆心角为120度．中间一共是4段6圆心角0度的弧，120°×2+60°×4=480度，480°×2=960°，960°÷360°=（圈）．【21教育】
5．解：（1）设扇形半径为xcm，依题意有x（22﹣2x）=30，x2﹣11y+15=0，解得x1=，x2=（舍去）．故扇形半径为cm；
（2）设扇形半径为ycm，依题意有y（22﹣2y）=32，y2﹣11y+16=0，解得y1=，y2=（舍去）．故扇形半径为cm．
6．解：羊可以吃到的草的最大面积由三部分组成：
第一部分：以点A为圆心，12米为半径．圆心角为60°的扇形的面积减去三角形ABC的面积；
第二部分：以点B为圆心，6米为半径，圆心角为60°的扇形面积；
第三部分与第二部分相等．
因此，羊可以吃到的草的面积是：（平方米）．
