2017-2018学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2017-2018学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项书写在相应的位置上）
1．（3分）sin60°=（　　）
A． B． C．1 D．
2．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
3．（3分）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（3分）某学习小组10名学生参加数学竞赛，他们的得分情况如下表：
人数（人）
2
3
4
1
分数（分）
80
85
90
95
那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　）
A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85
5．（3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）21-cnjy*com
A． B． C． D．
6．（3分）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是x=1
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=50°，则∠ABC的度数为（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
8．（3分）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD=（　　）【21教育】
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
　
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应的位置上）21*cnjy*com
11．（3分）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为　 　．
12．（3分）抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为　 　．
13．（3分）不透明的袋子里装有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是　 　．
14．（3分）一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为　 　cm．
15．（3分）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=　 　度．2-1-c-n-j-y
16．（3分）如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C=25°，则∠D=　 　．
17．（3分）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为　 　cm．
18．（3分）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=　 　．
19．（3分）如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是　 　．
20．（3分）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O、A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C7，若点P（13，m）在第7段抛物线C7上，则m=　 　．
　
三、解答题（本大题共8个小题，共60分．请在相应区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（4分）计算：|1﹣|+3tan30°﹣（﹣5）0﹣（﹣）﹣1．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=6，AE=6，求BC的长．
23．（8分）如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．
24．（7分）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
25．（8分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，求大树CD的高度（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
26．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
27．（7分）为了参加中考体育测试，甲，乙，丙三位同学进行足球传球训练．球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）传球三次后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到丙脚下的概率大？
28．（10分）如图1，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D（2，﹣3），且tan∠BAD=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结CD，求证：AD⊥CD；
（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
　

2017-2018学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项书写在相应的位置上）
1．（3分）sin60°=（　　）
A． B． C．1 D．
【解答】解：sin60°=，
故选：D．
　
2．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．
故选：A．
　
3．（3分）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：C．
　
4．（3分）某学习小组10名学生参加数学竞赛，他们的得分情况如下表：
人数（人）
2
3
4
1
分数（分）
80
85
90
95
那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　）
A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85
【解答】解：由表可知，90出现次数最多，故众数为90，
∵共有2+3+4+1=10个数据，
∴中位数是第5、6个数据的平均数，即中位数为=87.5，
故选：C．
　
5．（3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）21cnjy.com
A． B． C． D．
【解答】解：在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项A错误；2·1·c·n·j·y
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项B错误；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项C错误；
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项D正确；
故选：D．
　
6．（3分）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是x=1
【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．
A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；
B、﹣=﹣，当x＞﹣时，y随x的增大而增大，B正确；
C、y=x2+5x+4=（x+）2﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；
D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D不正确．
故选：B．
　
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=50°，则∠ABC的度数为（　　）21*教*育*名*师
A．20° B．25° C．40° D．50°
【解答】解：∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠AOPP=90°﹣∠P=40°，
∵∠AOP=∠B+∠OCB，
而OB=OC，
∴∠B=∠AOP=20°．
故选：A．
　
8．（3分）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴CD==5，
连接CD，如图所示：
∵∠OBD=∠OCD，
∴cos∠OBD=cos∠OCD=．
故选：C．
　
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选：D．
　
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵x=﹣=2，
∴4a+b=0，故①正确．
由函数图象可知：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞﹣3b，故②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0
又∵b=﹣4a，
∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，
∴7a﹣3b+2c=7a+12a﹣5a=14a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故③错误；
∵抛物线的对称轴为x=2，C（7，y3），
∴（﹣3，y3）．
∵﹣3＜﹣，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1=y3＜y2，故④错误．
方程a（x+1）（x﹣5）=0的两根为x=﹣1或x=5，
过y=﹣3作x轴的平行线，直线y=﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正确．
故选：B．
　
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应的位置上）【21cnj*y.co*m】
11．（3分）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为　﹣4　．
【解答】解：二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
所以最小值为﹣4．
故答案为：﹣4．
　
12．（3分）抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为　y=x2﹣8x+20　．
【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．
向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（4，4），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣4）2+4=x2﹣8x+20，
故答案为：y=x2﹣8x+20．
　
13．（3分）不透明的袋子里装有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是　　．
【解答】解：∵不透明的袋子里装有2个白球，1个红球，
∴球的总数=2+1=3，
∴从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率=．
故答案为：．
　
14．（3分）一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为　6　cm．
【解答】解：设该扇形的半径为R，则
=12π，
解得R=6．
即该扇形的半径为6cm．
故答案是：6．
　
15．（3分）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=　60　度．
【解答】解：∵∠AOB=120°，
∴∠ACB=120°×=60°，
故答案为：60．
　
16．（3分）如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C=25°，则∠D=　65°　．
【解答】解：∵∠C=25°，
∴∠A=∠C=25°．
∵⊙O的直径AB过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠D=90°﹣25°=65°．
故答案为：65°．
　
17．（3分）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为　3　cm．
【解答】解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
且△ABC为等边三角形，边长为4，
故高为2，即OC=，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=OC?cos30°=，
OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE=2FC=3．
故答案为：3．
　
18．（3分）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=　　．21世纪教育网
【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=CE=a，∠DCE=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD=a，∠BCD=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CF=EF=CE=a，
在Rt△BEF中，tan∠EBF===，
即tan∠EBC=．
故答案为．
　
19．（3分）如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是　2π+2　．【21·世纪·教育·网】
【解答】解：∵OA=AC=2，
∴AB=BC=CD=AD=，OC=4，
S阴影=+=2π+2，
故答案为：2π+2．
　
20．（3分）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O、A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C7，若点P（13，m）在第7段抛物线C7上，则m=　1　．21·世纪*教育网
【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）．
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；
C7顶点坐标为（13，1），A7（14，0）；
∴m=1．
故答案为1．
　
三、解答题（本大题共8个小题，共60分．请在相应区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）www-2-1-cnjy-com
21．（4分）计算：|1﹣|+3tan30°﹣（﹣5）0﹣（﹣）﹣1．
【解答】解：原式=﹣1+3×﹣1﹣（﹣3）
=﹣1+﹣1+3
=2+1．
　
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=6，AE=6，求BC的长．
【解答】解：（1）直线AC与△DBE外接圆相切．
理由：∵DE⊥BE
∴BD为△DBE外接圆的直径
取BD的中点O（即△DBE外接圆的圆心），连接OE
∴OE=OB
∴∠OEB=∠OBE
∵BE平分∠ABC
∴∠OBE=∠CBE
∴∠OEB=∠CBE
∵∠CBE+∠CEB=90°
∴∠OEB+∠CEB=90°，即OE⊥AC
∴直线AC与△DBE外接圆相切；
（2）设OD=OE=OB=x
∵OE⊥AC
∴（x+6）2﹣（6）2=x2
∴x=3
∴AB=AD+OD+OB=12
∵OE⊥AC
∴△AOE∽△ABC
∴
即
∴BC=4．
　
23．（8分）如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．
【解答】解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA=MB，连结AC，如图．
∵点C的坐标为（2，），
∴OM=2，CM=，
在Rt△ACM中，CA=2，
∴AM==1，
∴OA=OM﹣AM=1，OB=OM+BM=3，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）；
（2）将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，
得，
解得，
所以二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．
　
24．（7分）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？www.21-cn-jy.com
【解答】解：设销售单价定为x元（x≥10），每天所获利润为y元，
则y=[100﹣10（x﹣10）]?（x﹣8）
=﹣10x2+280x﹣1600
=﹣10（x﹣14）2+360
所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元
　
25．（8分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，求大树CD的高度（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）21教育网
【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：
则FE=BD=6米，DE=BF，
∵斜面AB的坡度i=1：2.4，
∴AF=2.4BF，
设BF=x米，则AF=2.4x米，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，
解得：x=5，
∴DE=BF=5米，AF=12米，
∴AE=AF+FE=18米，
在Rt△ACE中，CE=AE?tan36°=18×0.73=13.14米，
∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；
　
26．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　60　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　90　度；【21教育名师】
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=90°；
故答案为：60，90；
（2）60﹣15﹣30﹣10=5；
补全条形统计图得：
（3）根据题意得：900×=300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．
　
27．（7分）为了参加中考体育测试，甲，乙，丙三位同学进行足球传球训练．球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）传球三次后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到丙脚下的概率大？
【解答】解：（1）画树状图为：
共有8种等可能的结果数；
（2）传球三次后，球回到甲脚下的结果数为2，所以球回到甲的概率==；
（3）三次传球后，球回到丙脚下的结果数为3，球回到丙的概率为P=，
因为＞，
所以是传到丙脚下的概率要大．
　
28．（10分）如图1，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D（2，﹣3），且tan∠BAD=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结CD，求证：AD⊥CD；
（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：如图，过点D作DM⊥x轴于M，
∵D（2，﹣3），
∴DM=3，OM=2，
∵tan∠BAD=1，
∴AM=DM=3，
∴AO=AM﹣OM=3﹣2=1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
将点A的坐标代入抛物线得，a+2a﹣3=0，
解得a=1，
所以，y=x2﹣2x﹣3；
（2）证明：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点C（1，﹣4），
由勾股定理得，AD2=32+32=18，
CD2=（2﹣1）2+（﹣3+4）2=2，
AC2=（1+1）2+42=20，
∵AD2+CD2=AC2=20，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴AD⊥CD；
（3）设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A、D的坐标代入得，，
解得，
所以，直线AD的解析式为y=﹣x﹣1，
所以，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，
∵P是线段AD上的动点，
∴﹣1≤x≤2，
∴当x=时，线段PE长度的最大值是；
（4）解：设点F的坐标为（x，0），
①AD是平行四边形的边且FQ在x轴下方时，点Q的坐标为（x+3，﹣3），
代入抛物线得，（x+3）2﹣2（x+3）﹣3=﹣3，
解得x1=﹣3，x2=﹣1（舍去），
所以，F（﹣3，0）；
FQ在x轴上方时，点Q的坐标为（x﹣3，3），
代入抛物线得，（x﹣3）2﹣2（x﹣3）﹣3=3，
整理得，x2﹣8x+9=0，
解得，x=4±，
所以，F（4+，0）或（4﹣，0）；
②AD是平行四边形对角线时，∵A、F都在x轴上，
∴DQ∥x轴，
∴点Q的纵坐标为﹣3，
∴x2﹣2x﹣3=﹣3，
解得x1=2，x2=0，
∴DQ=2，
∴AF=2，
∵AO=1，
∴OF=2﹣1=1，
∴F（1，0），
综上所述，x轴上存在点F（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）或（1，0），使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形．21·cn·jy·com