2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析） |
|
|
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 440.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-06-07 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一．选择题（每题3分）
1．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）一个袋子里装有8个球，其中6个红球2个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
6．（3分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
7．（3分）若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3
8．（3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）21*cnjy*com
A．90° B．100° C．110° D．120°
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，点P从点A出发沿AB→BC→CD以3cm/s的速度向终点D匀速运动，同时，点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，设P点运动的时间为ts，△APQ的面积为Scm2，下列选项中能表示S与t之间函数关系的是（ ）【21教育名师】
A． B． C． D．
二．填空题（每题3分）
11．（3分）在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）若△ABC∽△DEF，DE=2AB，若△DEF的面积为20，则△ABC的面积为 ．21*教*育*名*师
13．（3分）若反比例函数y=﹣的图象经过点A（m，3），则m的值是 ．
14．（3分）一辆汽车行驶的距离S（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是S=9t+t2，当t=10s时，S= m．21-cnjy*com
15．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，若=，则= ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 ．
17．（3分）菱形ABCD，AB=5，cosB=，点E在AD上，若CE=，则DE的长度为 ．
18．（3分）如图，在一笔直的东西走向的沿湖道路上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC=4km，则BC= km．
19．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
20．（3分）如图，AD，BE分别为△ABC的中线与高，AD=BE，过AD，BE的交点F作AB的平行线交AE于点G，若EG=，DF=，则tanC= ．
三.解答题
21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷值，其中x=2sin60°﹣tan45°．
22．（7分）图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．www.21-cn-jy.com
（1）在图1中确定点C（点C在小正方形的顶点上），画出三角形ABC，使tanB=1，△ABC的面积为10；
（2）在图2中确定点D（点D在小正方形的顶点上），画出三角形ABD，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形，且AD＞BD，直接写出∠DAB的余弦值．
23．（8分）初一（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选项目人数统计表
项目
男生（人数）
女生（人数）
机器人
7
9
3D打印
m
4
航模
2
2
其他
5
n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m= ，n= ；
（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 °；
（3）从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．【21cnj*y.co*m】
24．（8分）如图，点E在正方形ABCD的边AD上，将△ABE绕点B顺时针旋转至点E的对应点E′落在CD上时停止旋转，点A′为点A旋转后的对应点，过点E作BE′的垂线分别交BA′，BC于点F， G，点H为垂足．
（1）如图1，求证：FH=GH；
（2）若点D恰在BA′的延长线上，如图2，直接写出图2中已有的所有等腰直角三角形．
25．（10分）A，B两地间仅有一长为180千米的平直公路，若甲，乙两车分别从A，B两地同时出发匀速前往B，A两地，乙车速度是甲车速度的倍，乙车比甲车早到45分钟．
（1）求甲车速度；
（2）乙车到达A地停留半小时后以来A地时的速度匀速返回B地，甲车到达B地后立即提速匀速返回A地，若乙车返回到B地时甲车距A地不多于30千米，求甲车至少提速多少千米/时？
26．（10分）如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．
（1）如图1，求证：∠DAC=∠PAC；
（2）如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，，连接EF，过点F作AD的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；
（3）在（2）的条件下，如图3，若AE=DG，PO=5，求EF的长．
27．（10分）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，点A为OB中点，3OB=2OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，横坐标为t（t＞2）的点P在抛物线y=ax2+bx+3上，过点P作直线CD的垂线，点E为垂足，若线段PE的长为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式，并直接写出相应的自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点D作PC的垂线，点F为垂足，∠CFD的平分线交CD于点G，交x轴正半轴于点H，若CG=3OH，求t值．
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分）
1．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：y=（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，此选项错误；
B、不是中心对称图形，此选项错误；
C、是中心对称图形，此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误；
故选：C．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵sinA=sinA=，
∴可设a=3，c=5，由勾股定理可求得b=4，
∴cosA==，
故选：B．
4．（3分）下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、正方体的三视图均为正方形，故A错误；
B、圆柱的俯视图是圆，故B错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故C正确；
D、球体的三视图均为圆，故D错误；
故选：C．
5．（3分）一个袋子里装有8个球，其中6个红球2个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得：一袋中装有8个球，6个红球，2个绿球，
随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是=．
故选：D．
6．（3分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AD∥BC
∴
∵CD∥BE
∴△CDF∽△EBC
∴，
∴
∵AD∥BC
∴△AEF∽△EBC
∴
∴D错误．
故选：D．
7．（3分）若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过第二、四象限，
∴3﹣m＜0，解得m＞3．
故选：C．
8．（3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
【解答】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y=（x﹣3）2﹣1，
则，
（x﹣3）2﹣1=2x+b，
x2﹣8x+8﹣b=0，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
A．90° B．100° C．110° D．120°
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠ABC=40°，
∵，
∴2∠ABC=∠COE=80°，
又∵∠OCF=∠OEF=90°，
∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°．
故选：B．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，点P从点A出发沿AB→BC→CD以3cm/s的速度向终点D匀速运动，同时，点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，设P点运动的时间为ts，△APQ的面积为Scm2，下列选项中能表示S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，A、P、Q三点构成三角形时，0＜t＜3，Q在边AD上．
分三种情况：
①0＜t≤1时，P在边AB上．
∵AP=3t，AQ=t，
∴S=AP?AQ=?3t?t=t2，所以B、C错误；
②1＜t≤2，P在边BC上．
∵AQ=t，
∴S=AQ?AB=?t?3=t；
③2＜t＜3，P在边CD上．
∵DP=9﹣3t，AQ=t，
∴S=AQ?DP=?t?（9﹣3t）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，所以A错误；
故选：D．
二．填空题（每题3分）
11．（3分）在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 （﹣1，2） ．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
12．（3分）若△ABC∽△DEF，DE=2AB，若△DEF的面积为20，则△ABC的面积为 5 ．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，DE=2AB，
∴△ABC的面积为，
故答案为：5
13．（3分）若反比例函数y=﹣的图象经过点A（m，3），则m的值是 ﹣2 ．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣的图象经过点A（m，3），
∴3=﹣，解得m=﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（3分）一辆汽车行驶的距离S（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是S=9t+t2，当t=10s时，S= 140 m．
【解答】解：当t=10时，S=9×10+×102=90+×100=90+50=140（m），
故答案为：140
15．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，若=，则= ．
【解答】解：解：如图所示：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴==，
∴==．
故答案为．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=2，
∴S扇形ABD==．
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=．
故答案为
17．（3分）菱形ABCD，AB=5，cosB=，点E在AD上，若CE=，则DE的长度为 2或4 ．
【解答】解：如图1，过A作AF⊥BC于F，过C作CH⊥AD于H，cosB==，
∵AB=5，
∴BF=3，
∴FC=5﹣3=2，AF=4，
∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，
∴AF=CH=4，AH=CF=2，
∴DH=5﹣2=3，
Rt△CHE中，CE=，
由勾股定理得：EH==1，
∴DE=3﹣1=2，
如图2，同理可得：DE=DH+HE=3+1=4，
∴DE的长为2或4；
故答案为：2或4．
18．（3分）如图，在一笔直的东西走向的沿湖道路上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC=4km，则BC= 2 km．【21教育】
【解答】解：作CD⊥AB于点B．
∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°﹣60°=30°，
∴CD=AC?sin∠CAD=4×=2（km），
∵Rt△BCD中，∠CBD=90°，
∴BC=CD=2（km），
故答案是：2．
19．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 3 ．
【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN=AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC是直径时，最大，
如图，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，
∴AD=6，
∴MN=AD=3
故答案为：3．
20．（3分）如图，AD，BE分别为△ABC的中线与高，AD=BE，过AD，BE的交点F作AB的平行线交AE于点G，若EG=，DF=，则tanC= ．
【解答】解：过点D作DM∥BE，交AC于点M．
∵D是BC的中点，DM∥BE，BE⊥AC，
∴∠CMD=∠CEB=90°，CM=EM，
∴CM=EN，DM=BE
∵AD=BE，∴DM=AD，
在Rt△ADM中，∵DM=AD，
∴∠DAC=30°，
设AD=BE=2a，则DM=a，AM=a
∴AF=AD﹣DF=2a﹣
在Rt△ADM中，∵∠DAC=30°，
∴EF=AF=a﹣，AE=（a﹣）
∵DM∥BE，
∴=，即=，
∴CM=EM=
∵FG∥AB，
∴，即=，
∴（a﹣）2=2a，解得a1=，a2=（因为AD=2a=＜DE=，不合题意舍去）
∴DM=a=
所以tanC===
故答案为：．
三.解答题
21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷值，其中x=2sin60°﹣tan45°．
【解答】解：（﹣）÷
=
=
=，
当x=2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1，
∴原式==．
22．（7分）图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．21·cn·jy·com
（1）在图1中确定点C（点C在小正方形的顶点上），画出三角形ABC，使tanB=1，△ABC的面积为10；【21·世纪·教育·网】
（2）在图2中确定点D（点D在小正方形的顶点上），画出三角形ABD，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形，且AD＞BD，直接写出∠DAB的余弦值．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如图所示，△ABD即为所求，
∵AD==2，
∴cos∠DAB==．
23．（8分）初一（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．21·世纪*教育网
男、女生所选项目人数统计表
项目
男生（人数）
女生（人数）
机器人
7
9
3D打印
m
4
航模
2
2
其他
5
n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m= 8 ，n= 3 ；
（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 144 °；
（3）从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：（1）由两种统计表可知：总人数=4÷10%=40人，
∵3D打印项目占30%，
∴3D打印项目人数=40×30%=12人，
∴m=12﹣4=8，
∴n=40﹣16﹣12﹣4﹣5=3，
故答案为：8，3；
（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数=×360°=144°，
故答案为：144；
（3）列表得：
男1
男2
女1
女2
男1
﹣﹣
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
﹣﹣
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
﹣﹣
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能．
所以P（ 1名男生、1名女生）=．
24．（8分）如图，点E在正方形ABCD的边AD上，将△ABE绕点B顺时针旋转至点E的对应点E′落在CD上时停止旋转，点A′为点A旋转后的对应点，过点E作BE′的垂线分别交BA′，BC于点F，G，点H为垂足．
（1）如图1，求证：FH=GH；
（2）若点D恰在BA′的延长线上，如图2，直接写出图2中已有的所有等腰直角三角形．
【解答】证明：（1）∵△A'BE'是由△ABE旋转而成，
∴△A'BE'≌△ABE，
∴∠A'=∠A，BA'=BA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠A=∠C=90°，
∴∠A'=∠C=90°，BA'=BC，BE'=BE'，
在Rt△A'BE'与Rt△CBE'中
，
∴Rt△A'BE'≌Rt△CBE'，
∴∠A'BE'=∠E'BC，
∵EH⊥BE'，
∴∠FBH+∠BFH=90°，∠GBH+∠HGB=90°，
∴∠BFH=∠BGH，BF=BG，FH=GH，
（2）∵AB=AD，∠A=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵BC=CD，∠C=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∵BH=EH，∠EHB=90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∵DA'=A'E'，∠DA'E'=90°，
∴△DA'E'是等腰直角三角形，
所以等腰直角三角形有△ABD，△CBD，△BEH，△DA'E'．
25．（10分）A，B两地间仅有一长为180千米的平直公路，若甲，乙两车分别从A，B两地同时出发匀速前往B，A两地，乙车速度是甲车速度的倍，乙车比甲车早到45分钟．
（1）求甲车速度；
（2）乙车到达A地停留半小时后以来A地时的速度匀速返回B地，甲车到达B地后立即提速匀速返回A地，若乙车返回到B地时甲车距A地不多于30千米，求甲车至少提速多少千米/时？
【解答】解：（1）设甲车速度为x千米/时，则乙车的速度是x千米/时，
依题意得： =+，
解得：x=60．
经检验：x=60是原方程的解．
答：设甲车速度为60千米/时；
（2）设甲车提速y千米/时，
依题意得：180﹣（×2+）（60+y）≤30，
解得：y≥15．
所以甲车至少提速15千米/时．
26．（10分）如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．
（1）如图1，求证：∠DAC=∠PAC；
（2）如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，，连接EF，过点F作AD的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；21世纪教育网
（3）在（2）的条件下，如图3，若AE=DG，PO=5，求EF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠PAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠PAC；
（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，
∵FG∥AD，
∴∠FGD+∠D=180°，
∵∠D=90°，
∴∠FGD=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA=90°，
∴∠BED=90°，
∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，
∴四边形HGDE是矩形，
∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，
∵=，
∴∠HEF=∠FEA=∠BEA==45°，
∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，
∴∠HEF=∠HFE，
∴FH=EH，
∴FG=FH+GH=DE+DG；
（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，
∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，
∴△FHO≌△EHO，
∴∠FHO=∠EHO=45°，
∵四边形GHED是矩形，
∴EH∥DG，
∴∠OMH=∠OCP=90°，
∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，
∴∠HOM=∠OHM，
∴HM=MO，
∵OM⊥BE，
∴BM=ME，
∴OM=AE，
设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，
∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，
∴四边形GHMC是矩形，
∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，
∵DG=HE，GC=HM，
∴ME=CD=2a，BM=2a，
在Rt△BOM中，tan∠MBO===，
∵EH∥DP，
∴∠P=∠MBO，
tanP==，
设OC=k，则PC=2k，
在Rt△POC中，OP=k=5，
解得：k=，OE=OC=，
在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，
a=1，
∴HE=3a=3，
在Rt△HFE中，∠HEF=45°，
∴EF=HE=3．
27．（10分）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，点A为OB中点，3OB=2OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，横坐标为t（t＞2）的点P在抛物线y=ax2+bx+3上，过点P作直线CD的垂线，点E为垂足，若线段PE的长为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式，并直接写出相应的自变量t的取值范围；21教育网
（3）在（2）的条件下，过点D作PC的垂线，点F为垂足，∠CFD的平分线交CD于点G，交x轴正半轴于点H，若CG=3OH，求t值．
【解答】解：（1）当x=0时，y=ax2+bx+3=3，则C（0，3），
∴OC=3，
∵3OB=2OC，
∴OB=2，即B（2，0），
而点A为OB中点，
∴OA=1，即A（1，0），
∴抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣2），即y=ax2﹣3ax+2a，
∴2a=3，解得a=，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x+3；
（2）抛物线的对称轴为直线x=，则D（3，3），设P（t， t2﹣t+3），
当2＜t＜3时，d=3﹣（t2﹣t+3）=﹣t2+t；
当t＞3时，d=t2﹣t+3﹣3=t2﹣t；
（3）作OQ⊥PC于Q交直线FH于N，如图2，
∵C（0，3），D（3，3），
∴CO=CD，
∵∠FCD+∠OCQ=90°，∠FCD+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠OCQ，
在△CDF和△OCQ中
，
∴△CDF≌△OCQ，
∴CF=OQ，DF=CQ，
∵FH平分∠DFC，
∴∠QFN=∠DFN=45°，
∴△QNF为等腰直角三角形，
∴∠N=45°，QF=QN，即QC+CF=QO+ON，
∴QC=ON，
∴DF=ON，
∵CD∥x轴，
∴∠FGD=∠GHB，
而∠GHB=∠OHN，
∴∠FGD=∠OHN，
在△FDG和△NOH中
，
∴△FDG≌△NOH，
∴GD=HO，
∵CG=3OH，
∴CG=3GD，
作GK⊥PC于K，如图2，
∵KG∥FD，
∴==3，
而△KGF为等腰直角三角形，
∴KF=KG，
∴==3，
在Rt△KCG中，tan∠KCG==，
在Rt△PCE中，∵tan∠PCE==，
∴=，
∴t=．
一．选择题（每题3分）
1．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）一个袋子里装有8个球，其中6个红球2个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
6．（3分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
7．（3分）若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3
8．（3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）21*cnjy*com
A．90° B．100° C．110° D．120°
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，点P从点A出发沿AB→BC→CD以3cm/s的速度向终点D匀速运动，同时，点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，设P点运动的时间为ts，△APQ的面积为Scm2，下列选项中能表示S与t之间函数关系的是（ ）【21教育名师】
A． B． C． D．
二．填空题（每题3分）
11．（3分）在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）若△ABC∽△DEF，DE=2AB，若△DEF的面积为20，则△ABC的面积为 ．21*教*育*名*师
13．（3分）若反比例函数y=﹣的图象经过点A（m，3），则m的值是 ．
14．（3分）一辆汽车行驶的距离S（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是S=9t+t2，当t=10s时，S= m．21-cnjy*com
15．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，若=，则= ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 ．
17．（3分）菱形ABCD，AB=5，cosB=，点E在AD上，若CE=，则DE的长度为 ．
18．（3分）如图，在一笔直的东西走向的沿湖道路上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC=4km，则BC= km．
19．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
20．（3分）如图，AD，BE分别为△ABC的中线与高，AD=BE，过AD，BE的交点F作AB的平行线交AE于点G，若EG=，DF=，则tanC= ．
三.解答题
21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷值，其中x=2sin60°﹣tan45°．
22．（7分）图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．www.21-cn-jy.com
（1）在图1中确定点C（点C在小正方形的顶点上），画出三角形ABC，使tanB=1，△ABC的面积为10；
（2）在图2中确定点D（点D在小正方形的顶点上），画出三角形ABD，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形，且AD＞BD，直接写出∠DAB的余弦值．
23．（8分）初一（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选项目人数统计表
项目
男生（人数）
女生（人数）
机器人
7
9
3D打印
m
4
航模
2
2
其他
5
n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m= ，n= ；
（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 °；
（3）从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．【21cnj*y.co*m】
24．（8分）如图，点E在正方形ABCD的边AD上，将△ABE绕点B顺时针旋转至点E的对应点E′落在CD上时停止旋转，点A′为点A旋转后的对应点，过点E作BE′的垂线分别交BA′，BC于点F， G，点H为垂足．
（1）如图1，求证：FH=GH；
（2）若点D恰在BA′的延长线上，如图2，直接写出图2中已有的所有等腰直角三角形．
25．（10分）A，B两地间仅有一长为180千米的平直公路，若甲，乙两车分别从A，B两地同时出发匀速前往B，A两地，乙车速度是甲车速度的倍，乙车比甲车早到45分钟．
（1）求甲车速度；
（2）乙车到达A地停留半小时后以来A地时的速度匀速返回B地，甲车到达B地后立即提速匀速返回A地，若乙车返回到B地时甲车距A地不多于30千米，求甲车至少提速多少千米/时？
26．（10分）如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．
（1）如图1，求证：∠DAC=∠PAC；
（2）如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，，连接EF，过点F作AD的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；
（3）在（2）的条件下，如图3，若AE=DG，PO=5，求EF的长．
27．（10分）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，点A为OB中点，3OB=2OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，横坐标为t（t＞2）的点P在抛物线y=ax2+bx+3上，过点P作直线CD的垂线，点E为垂足，若线段PE的长为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式，并直接写出相应的自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点D作PC的垂线，点F为垂足，∠CFD的平分线交CD于点G，交x轴正半轴于点H，若CG=3OH，求t值．
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分）
1．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：y=（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，此选项错误；
B、不是中心对称图形，此选项错误；
C、是中心对称图形，此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误；
故选：C．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵sinA=sinA=，
∴可设a=3，c=5，由勾股定理可求得b=4，
∴cosA==，
故选：B．
4．（3分）下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、正方体的三视图均为正方形，故A错误；
B、圆柱的俯视图是圆，故B错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故C正确；
D、球体的三视图均为圆，故D错误；
故选：C．
5．（3分）一个袋子里装有8个球，其中6个红球2个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得：一袋中装有8个球，6个红球，2个绿球，
随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是=．
故选：D．
6．（3分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AD∥BC
∴
∵CD∥BE
∴△CDF∽△EBC
∴，
∴
∵AD∥BC
∴△AEF∽△EBC
∴
∴D错误．
故选：D．
7．（3分）若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过第二、四象限，
∴3﹣m＜0，解得m＞3．
故选：C．
8．（3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
【解答】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y=（x﹣3）2﹣1，
则，
（x﹣3）2﹣1=2x+b，
x2﹣8x+8﹣b=0，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
A．90° B．100° C．110° D．120°
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠ABC=40°，
∵，
∴2∠ABC=∠COE=80°，
又∵∠OCF=∠OEF=90°，
∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°．
故选：B．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，点P从点A出发沿AB→BC→CD以3cm/s的速度向终点D匀速运动，同时，点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，设P点运动的时间为ts，△APQ的面积为Scm2，下列选项中能表示S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，A、P、Q三点构成三角形时，0＜t＜3，Q在边AD上．
分三种情况：
①0＜t≤1时，P在边AB上．
∵AP=3t，AQ=t，
∴S=AP?AQ=?3t?t=t2，所以B、C错误；
②1＜t≤2，P在边BC上．
∵AQ=t，
∴S=AQ?AB=?t?3=t；
③2＜t＜3，P在边CD上．
∵DP=9﹣3t，AQ=t，
∴S=AQ?DP=?t?（9﹣3t）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，所以A错误；
故选：D．
二．填空题（每题3分）
11．（3分）在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 （﹣1，2） ．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
12．（3分）若△ABC∽△DEF，DE=2AB，若△DEF的面积为20，则△ABC的面积为 5 ．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，DE=2AB，
∴△ABC的面积为，
故答案为：5
13．（3分）若反比例函数y=﹣的图象经过点A（m，3），则m的值是 ﹣2 ．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣的图象经过点A（m，3），
∴3=﹣，解得m=﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（3分）一辆汽车行驶的距离S（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是S=9t+t2，当t=10s时，S= 140 m．
【解答】解：当t=10时，S=9×10+×102=90+×100=90+50=140（m），
故答案为：140
15．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，若=，则= ．
【解答】解：解：如图所示：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴==，
∴==．
故答案为．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=2，
∴S扇形ABD==．
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=．
故答案为
17．（3分）菱形ABCD，AB=5，cosB=，点E在AD上，若CE=，则DE的长度为 2或4 ．
【解答】解：如图1，过A作AF⊥BC于F，过C作CH⊥AD于H，cosB==，
∵AB=5，
∴BF=3，
∴FC=5﹣3=2，AF=4，
∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，
∴AF=CH=4，AH=CF=2，
∴DH=5﹣2=3，
Rt△CHE中，CE=，
由勾股定理得：EH==1，
∴DE=3﹣1=2，
如图2，同理可得：DE=DH+HE=3+1=4，
∴DE的长为2或4；
故答案为：2或4．
18．（3分）如图，在一笔直的东西走向的沿湖道路上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC=4km，则BC= 2 km．【21教育】
【解答】解：作CD⊥AB于点B．
∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°﹣60°=30°，
∴CD=AC?sin∠CAD=4×=2（km），
∵Rt△BCD中，∠CBD=90°，
∴BC=CD=2（km），
故答案是：2．
19．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 3 ．
【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN=AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC是直径时，最大，
如图，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，
∴AD=6，
∴MN=AD=3
故答案为：3．
20．（3分）如图，AD，BE分别为△ABC的中线与高，AD=BE，过AD，BE的交点F作AB的平行线交AE于点G，若EG=，DF=，则tanC= ．
【解答】解：过点D作DM∥BE，交AC于点M．
∵D是BC的中点，DM∥BE，BE⊥AC，
∴∠CMD=∠CEB=90°，CM=EM，
∴CM=EN，DM=BE
∵AD=BE，∴DM=AD，
在Rt△ADM中，∵DM=AD，
∴∠DAC=30°，
设AD=BE=2a，则DM=a，AM=a
∴AF=AD﹣DF=2a﹣
在Rt△ADM中，∵∠DAC=30°，
∴EF=AF=a﹣，AE=（a﹣）
∵DM∥BE，
∴=，即=，
∴CM=EM=
∵FG∥AB，
∴，即=，
∴（a﹣）2=2a，解得a1=，a2=（因为AD=2a=＜DE=，不合题意舍去）
∴DM=a=
所以tanC===
故答案为：．
三.解答题
21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷值，其中x=2sin60°﹣tan45°．
【解答】解：（﹣）÷
=
=
=，
当x=2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1，
∴原式==．
22．（7分）图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．21·cn·jy·com
（1）在图1中确定点C（点C在小正方形的顶点上），画出三角形ABC，使tanB=1，△ABC的面积为10；【21·世纪·教育·网】
（2）在图2中确定点D（点D在小正方形的顶点上），画出三角形ABD，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形，且AD＞BD，直接写出∠DAB的余弦值．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如图所示，△ABD即为所求，
∵AD==2，
∴cos∠DAB==．
23．（8分）初一（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．21·世纪*教育网
男、女生所选项目人数统计表
项目
男生（人数）
女生（人数）
机器人
7
9
3D打印
m
4
航模
2
2
其他
5
n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m= 8 ，n= 3 ；
（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 144 °；
（3）从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：（1）由两种统计表可知：总人数=4÷10%=40人，
∵3D打印项目占30%，
∴3D打印项目人数=40×30%=12人，
∴m=12﹣4=8，
∴n=40﹣16﹣12﹣4﹣5=3，
故答案为：8，3；
（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数=×360°=144°，
故答案为：144；
（3）列表得：
男1
男2
女1
女2
男1
﹣﹣
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
﹣﹣
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
﹣﹣
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能．
所以P（ 1名男生、1名女生）=．
24．（8分）如图，点E在正方形ABCD的边AD上，将△ABE绕点B顺时针旋转至点E的对应点E′落在CD上时停止旋转，点A′为点A旋转后的对应点，过点E作BE′的垂线分别交BA′，BC于点F，G，点H为垂足．
（1）如图1，求证：FH=GH；
（2）若点D恰在BA′的延长线上，如图2，直接写出图2中已有的所有等腰直角三角形．
【解答】证明：（1）∵△A'BE'是由△ABE旋转而成，
∴△A'BE'≌△ABE，
∴∠A'=∠A，BA'=BA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠A=∠C=90°，
∴∠A'=∠C=90°，BA'=BC，BE'=BE'，
在Rt△A'BE'与Rt△CBE'中
，
∴Rt△A'BE'≌Rt△CBE'，
∴∠A'BE'=∠E'BC，
∵EH⊥BE'，
∴∠FBH+∠BFH=90°，∠GBH+∠HGB=90°，
∴∠BFH=∠BGH，BF=BG，FH=GH，
（2）∵AB=AD，∠A=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵BC=CD，∠C=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∵BH=EH，∠EHB=90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∵DA'=A'E'，∠DA'E'=90°，
∴△DA'E'是等腰直角三角形，
所以等腰直角三角形有△ABD，△CBD，△BEH，△DA'E'．
25．（10分）A，B两地间仅有一长为180千米的平直公路，若甲，乙两车分别从A，B两地同时出发匀速前往B，A两地，乙车速度是甲车速度的倍，乙车比甲车早到45分钟．
（1）求甲车速度；
（2）乙车到达A地停留半小时后以来A地时的速度匀速返回B地，甲车到达B地后立即提速匀速返回A地，若乙车返回到B地时甲车距A地不多于30千米，求甲车至少提速多少千米/时？
【解答】解：（1）设甲车速度为x千米/时，则乙车的速度是x千米/时，
依题意得： =+，
解得：x=60．
经检验：x=60是原方程的解．
答：设甲车速度为60千米/时；
（2）设甲车提速y千米/时，
依题意得：180﹣（×2+）（60+y）≤30，
解得：y≥15．
所以甲车至少提速15千米/时．
26．（10分）如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．
（1）如图1，求证：∠DAC=∠PAC；
（2）如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，，连接EF，过点F作AD的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；21世纪教育网
（3）在（2）的条件下，如图3，若AE=DG，PO=5，求EF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠PAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠PAC；
（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，
∵FG∥AD，
∴∠FGD+∠D=180°，
∵∠D=90°，
∴∠FGD=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA=90°，
∴∠BED=90°，
∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，
∴四边形HGDE是矩形，
∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，
∵=，
∴∠HEF=∠FEA=∠BEA==45°，
∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，
∴∠HEF=∠HFE，
∴FH=EH，
∴FG=FH+GH=DE+DG；
（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，
∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，
∴△FHO≌△EHO，
∴∠FHO=∠EHO=45°，
∵四边形GHED是矩形，
∴EH∥DG，
∴∠OMH=∠OCP=90°，
∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，
∴∠HOM=∠OHM，
∴HM=MO，
∵OM⊥BE，
∴BM=ME，
∴OM=AE，
设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，
∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，
∴四边形GHMC是矩形，
∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，
∵DG=HE，GC=HM，
∴ME=CD=2a，BM=2a，
在Rt△BOM中，tan∠MBO===，
∵EH∥DP，
∴∠P=∠MBO，
tanP==，
设OC=k，则PC=2k，
在Rt△POC中，OP=k=5，
解得：k=，OE=OC=，
在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，
a=1，
∴HE=3a=3，
在Rt△HFE中，∠HEF=45°，
∴EF=HE=3．
27．（10分）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，点A为OB中点，3OB=2OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，横坐标为t（t＞2）的点P在抛物线y=ax2+bx+3上，过点P作直线CD的垂线，点E为垂足，若线段PE的长为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式，并直接写出相应的自变量t的取值范围；21教育网
（3）在（2）的条件下，过点D作PC的垂线，点F为垂足，∠CFD的平分线交CD于点G，交x轴正半轴于点H，若CG=3OH，求t值．
【解答】解：（1）当x=0时，y=ax2+bx+3=3，则C（0，3），
∴OC=3，
∵3OB=2OC，
∴OB=2，即B（2，0），
而点A为OB中点，
∴OA=1，即A（1，0），
∴抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣2），即y=ax2﹣3ax+2a，
∴2a=3，解得a=，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x+3；
（2）抛物线的对称轴为直线x=，则D（3，3），设P（t， t2﹣t+3），
当2＜t＜3时，d=3﹣（t2﹣t+3）=﹣t2+t；
当t＞3时，d=t2﹣t+3﹣3=t2﹣t；
（3）作OQ⊥PC于Q交直线FH于N，如图2，
∵C（0，3），D（3，3），
∴CO=CD，
∵∠FCD+∠OCQ=90°，∠FCD+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠OCQ，
在△CDF和△OCQ中
，
∴△CDF≌△OCQ，
∴CF=OQ，DF=CQ，
∵FH平分∠DFC，
∴∠QFN=∠DFN=45°，
∴△QNF为等腰直角三角形，
∴∠N=45°，QF=QN，即QC+CF=QO+ON，
∴QC=ON，
∴DF=ON，
∵CD∥x轴，
∴∠FGD=∠GHB，
而∠GHB=∠OHN，
∴∠FGD=∠OHN，
在△FDG和△NOH中
，
∴△FDG≌△NOH，
∴GD=HO，
∵CG=3OH，
∴CG=3GD，
作GK⊥PC于K，如图2，
∵KG∥FD，
∴==3，
而△KGF为等腰直角三角形，
∴KF=KG，
∴==3，
在Rt△KCG中，tan∠KCG==，
在Rt△PCE中，∵tan∠PCE==，
∴=，
∴t=．
同课章节目录