2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（五四学制）（含解析）

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（五四学制）
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）在一次游戏当中，小明将下面前面的四张扑克牌中的某一张旋转180°后，得到后面四张牌的图示，小芳看了后，很快知道小明旋转的是哪一张扑克！你知道是（　　）21教育网
A．黑桃9 B．方块J C．黑桃8 D．梅花3
2．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．不可能事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（　　）www-2-1-cnjy-com
A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣321*cnjy*com
5．（3分）已知点P是半径为5的⊙O内的一个定点，且OP=3，则过点P的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（　　）【21教育名师】
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
6．（3分）如图，已知点P为反比例函数y=﹣上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四边形MONP的面积为（　　）
A．﹣6 B．3 C．6 D．12
7．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．
8．（3分）如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB=（　　）
A．150° B．135° C．115° D．120°
9．（3分）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4两部分（如图）则（S1+S4）：（S2+S3）的值为（　　）
A．1：（n+1） B．1：（2n+1） C．1：n D．n：（n+1）
10．（3分）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：
（1）a=40，m=1；
（2）乙的速度是80km/h；
（3）甲比乙迟h到达B地；
（4）乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．
正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
　

二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）抛物线y=﹣2x2+6x﹣1的顶点坐标为　 　．
12．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长是4cm，则圆锥的侧面积是　 　cm2（结果保留π）．
13．（3分）某人把四根绳子紧握在手中，仅在两端露出它们的头和尾，然后随机地把一端的四个头中的某两个相接，另两个相接，把另一端的四个尾中的某两个相接，另两个相接，则放开手后四根绳子恰好连成一个圈的概率是　 　．
14．（3分）如图，⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离为　 　．
15．（3分）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1=1时，r2018=　 　．
16．（3分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=　 　海里．
17．（3分）平行四边形ABCD中，两邻边长分别为4cm和6cm，它们的夹角为60°，则两条对角线的长为　 　cm和　 　cm．
18．（3分）如图，一个圆作滚动运动，它从A位置开始，滚过与它相同的其他六个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过　 　圈．
19．（3分）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为　 　．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P′，连CP′，则线段CP′的最小值为　 　．
　

三、解答题（21题、22题每题7分，23题、24题每题8分，25题、26题、27题每题10分，共60分） 21世纪教育网
21．（7分）先化简，再求代数式的值．
（﹣）÷，其中tan60°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
22．（7分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，线段DE的两个端点也在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：
（1）试说明如何平移线段DE，使其与边BC重合？
（2）将△ABC绕坐标系中的某点P逆时针旋转180°，得到对应△FED，使边BC对应边为线段ED，请在图中画出△FED，并直接写出P点的坐标；
（3）在（2）中，线段AC在旋转过程中扫过的面积为　 　．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB=CD，求⊙O半径．
24．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？
25．（10分）在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天．
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？【21·世纪·教育·网】
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．【21教育】
（1）∠ACB=　 　°，理由是：　 　；
（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．
27．（10分）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+6交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，21*教*育*名*师
（1）求a，b的值；
（2）连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，过点A作AD⊥x轴，过点P作PD⊥BC于交直线AD于点D，设点P的横坐标为t，AD长为d，求d与t的函数关系式（请求出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，DP与BC交于点F，过点D作DE∥AB交BC于点E，点Q为直线DP上方抛物线上一点，连接AP、PC，若DP=CE，∠QPC=∠APD时，求点Q坐标．
　

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
　

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）在一次游戏当中，小明将下面前面的四张扑克牌中的某一张旋转180°后，得到后面四张牌的图示，小芳看了后，很快知道小明旋转的是哪一张扑克！你知道是（　　）
A．黑桃9 B．方块J C．黑桃8 D．梅花3
【解答】解：黑桃9，黑桃8，梅花3都不是中心对称图形，旋转后都会有变化，没有变化，说明小明旋转的是方块J．故选B．
　
2．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．不可能事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为
【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，故错误；
B、随机事件发生的概率介于0和1之间，不一定是，故错误；
C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，故错误；
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，都是，故正确．
故选：D．
　
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC==4，
∴tanA==．
故选：B．
　
4．（3分）将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（　　）
A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣3
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：
y=5（x﹣2）2﹣3．
故选：D．
　
5．（3分）已知点P是半径为5的⊙O内的一个定点，且OP=3，则过点P的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【解答】解：如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
Rt△OAP中，OP=3，OA=5；
根据勾股定理，得AP=4；
∴AB=2AP=8；
故过点P的弦的长度都在8～10之间；
因此弦长为8、9、10；
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有4条．
故选：C．
　
6．（3分）如图，已知点P为反比例函数y=﹣上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四边形MONP的面积为（　　）
A．﹣6 B．3 C．6 D．12
【解答】解：由于点C为反比例函数y=﹣上的一点，
则四边形AOBC的面积S=|k|=6．
故选：C．
　
7．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．
【解答】解：∵旋转后AC′的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD=×3=，
根据勾股定理得：x2=（3﹣x）2+（）2，
解得：x=2，
∴EC=2，
则S△AEC=EC?AD=，
故选：D．
　
8．（3分）如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB=（　　）
A．150° B．135° C．115° D．120°
【解答】解：△ABC是正三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠APB=120°．
故选：D．
　
9．（3分）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4两部分（如图）则（S1+S4）：（S2+S3）的值为（　　）www.21-cn-jy.com
A．1：（n+1） B．1：（2n+1） C．1：n D．n：（n+1）
【解答】解：设点A到直线PG的距离为h1，P到BC的距离为h2；
将△CFD向左平移，使AE和CF重合，得?ABCD，如图所示，
∵PM∥BC，
∴==，
∴==，
故选：C．
　
10．（3分）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：2-1-c-n-j-y
（1）a=40，m=1；
（2）乙的速度是80km/h；
（3）甲比乙迟h到达B地；
（4）乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．
正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：（1）由题意，得m=1.5﹣0.5=1．
120÷（3.5﹣0.5）=40（km/h），则a=40，故（1）正确；
（2）120÷（3.5﹣2）=80km/h（千米/小时），故（2）正确；
（3）设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y=kx+b，由题意，得
解得：
∴y=40x﹣20，
根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，
把y=260代入y=40x﹣20得，x=7，
∵乙车的行驶速度：80km/h，
∴乙车的行驶260km需要260÷80=3.25h，
∴7﹣（2+3.25）=h，
∴甲比乙迟h到达B地，故（3）正确；
（4）当1.5＜x≤7时，y=40x﹣20．
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k'x+b'，由题意得
解得：
∴y=80x﹣160．
当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，
解得：x=．
当40x﹣20+50=80x﹣160时，
解得：x=．
∴﹣2=，﹣2=．
所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故（4）错误．
故选：C．
　

二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）抛物线y=﹣2x2+6x﹣1的顶点坐标为　（，）　．
【解答】解：∵y=﹣2x2+6x﹣1
=﹣2（x﹣）2+
∴顶点的坐标是（）
故填空答案：（）．
　
12．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长是4cm，则圆锥的侧面积是　8π　cm2（结果保留π）．
【解答】解：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，侧面面积=×4π×4=8πcm2．
　
13．（3分）某人把四根绳子紧握在手中，仅在两端露出它们的头和尾，然后随机地把一端的四个头中的某两个相接，另两个相接，把另一端的四个尾中的某两个相接，另两个相接，则放开手后四根绳子恰好连成一个圈的概率是　　．
【解答】解：据题意分析可得：共9种连接方法，其中有6种能连成一个圈，即四条绳子依次首尾相接；故其概率为=．
　
14．（3分）如图，⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离为　2cm或4cm　．
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离为3cm，半径为1cm，
∴①当直线与圆在左边相切时，平移距离为：3cm﹣1cm=2cm，
②当直线与圆在右边相切时，平移距离为：3cm+1cm=4cm．
故答案是：2cm或4cm．
　
15．（3分）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1=1时，r2018=　32017　．
【解答】解：分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，
∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线L相切，
∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，
∵∠AOO1=30°，
∴OO1=2O1A=2r1=2，
在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2，
∴r2=3，
在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3，
∴r3=9=32，
同理可得r4=27=33，
所以r2018=32017．
故答案为：32017．
　
16．（3分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=　7　海里．
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD=90°﹣60°=30°
且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°
∴∠PAB=∠APB
∴BP=AB=7（海里）
故答案是：7．
　
17．（3分）平行四边形ABCD中，两邻边长分别为4cm和6cm，它们的夹角为60°，则两条对角线的长为　2　cm和　2　cm．
【解答】解：作DE⊥BC于E点．
∵∠BCD=60°，CD=4，
∴CE=2，BE=4，DE=2，
∴BD=2；
再作CF⊥AB于F点．
∵BC=6，∠CBF=60°，
∴BF=3，CF=3，
∴AC==2．
　
18．（3分）如图，一个圆作滚动运动，它从A位置开始，滚过与它相同的其他六个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过　　圈．
【解答】解：观察图1中，当⊙A旋转到⊙A′位置时，∠COD=90°，这个圆已经旋转180°，
即得出结论：⊙A旋转的度数是∠COD的两倍．
第一段和最后一段圆心角为120度．中间一共是4段6圆心角0度的弧，120°×2+60°×4=480度，
480°×2=960°，960°÷360°=（圈）
故答案是．
　
19．（3分）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为　﹣1或+1　．
【解答】解：（1）如图，延长AC，作FD⊥BC交点为D，FE垂直AC延长线于点E，
∵CF∥AB，∴∠FCD=∠CBA=45°，
∴四边形CDFE是正方形，
即，CD=DF=FE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=2，AB=AF，
∴AB==2，
∴AF=2；
∴在直角△AEF中，（2+EC）2+EF2=AF2
∴（2+DF）2+DF2=（ 2）2，
解得，DF=﹣1；
（2）如图，延长BC，做FD⊥BC，交点为D，延长CA，做FE⊥CA于点E，
同理可证，四边形CDFE是正方形，
即，CD=DF=FE=EC，
同理可得，在直角△AEF中，（EC﹣2）2+EF2=AF2，
∴（FD﹣2）2+FD2=（ 2）2，
解得FD=+1．
故答案为﹣1或+1．
　
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P′，连CP′，则线段CP′的最小值为　2　．
【解答】解：如图所示，过P'作P'E⊥AC于E，则∠A=∠P'ED=90°，
由旋转可得，DP=P'D，∠PDP'=90°，
∴∠ADP=∠EP'D，
在△DAP和△P'ED中，
，
∴△DAP≌△P'ED（AAS），
∴P'E=AD=2，
∴当AP=DE=2时，DE=DC，即点E与点C重合，
此时CP'=EP'=2，
∴线段CP′的最小值为2，
故答案为：2．
　

三、解答题（21题、22题每题7分， 23题、24题每题8分，25题、26题、27题每题10分，共60分） 21-cnjy*com
21．（7分）先化简，再求代数式的值．
（﹣）÷，其中tan60°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
【解答】解：原式=（﹣）×
=×
=．
∵tan60°＞a＞sin30°，即＞a＞．
取a=，
原式==．
　
22．（7分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，线段DE的两个端点也在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：
（1）试说明如何平移线段DE，使其与边BC重合？
（2）将△ABC绕坐标系中的某点P逆时针旋转180°，得到对应△FED，使边BC对应边为线段ED，请在图中画出△FED，并直接写出P点的坐标；
（3）在（2）中，线段AC在旋转过程中扫过的面积为　8π　．
【解答】解：（1）线段DE向下平移3个单位，向左平移6个单位，其与边BC重合；
（2）如图所示：
△FED即为所求，P点的坐标为（0，0）；
（3）线段AC在旋转过程中扫过的面积为=
线段AB扫过的面积=以0C为半径的扇形的面积﹣以OA为半径的扇形的面积，
故AC扫过的面积为：﹣=8π．
故答案为：8π．
　
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB=CD，求⊙O半径．
【解答】（1）证明：如图，连接CO，
，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=∠CAD，
∴∠CAD=∠BCD，
在△ADC和△CDB中，
∴△ADC∽△CDB．
（2）解：设CD为x，
则AB=x，OC=OB=x，
∵∠OCD=90°，
∴OD===x，
∴BD=OD﹣OB=x﹣x=x，
由（1）知，△ADC∽△CDB，
∴=，
即，
解得CB=1，
∴AB==，
∴⊙O半径是．
　
24．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．21·世纪*教育网
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？
【解答】解：由题意得：
（1）50+x﹣40=x+10（元）（3分）
（2）设每个定价增加x元．
列出方程为：（x+10）（400﹣10x）=6000
解得：x1=10 x2=20
要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个．（3分）
（3）设每个定价增加x元，获得利润为y元．
y=（x+10）（400﹣10x）=﹣10x2+300x+4000=﹣10（x﹣15）2+6250
当x=15时，y有最大值为6250．
所以每个定价为65元时得最大利润，可获得的最大利润是6250元．（4分）
　
25．（10分）在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天．
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？21·cn·jy·com
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成建校工程需x天，则甲工程队单独完成建校工程需1.5x．
依题意得：．（3分）
解得：x=120．
经检验：x=120是原方程的解．
∴1.5x=180，
答：甲需180天，乙需120天．（4分）
（2）甲工程队需总费用为0.8×180+0.01×180=145.8（万元）．（5分）
设乙工程队施工时平均每天的费用为m万元．
则：120m+120×0.01≤145.8．（7分）
解得：m≤1.205．
所以乙工程队施工时平均每天的费用最多为1.205万元．（8分）
　
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．21cnjy.com
（1）∠ACB=　90　°，理由是：　直径所对的圆周角是直角　；
（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）
（2）△EAD是等腰三角形．
证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，
∴∠CBD=∠ABE
∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°
∴∠AEB+∠EBA=90°，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD
∴△EAD是等腰三角形．
（3）解：∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
∴在直角三角形AEB中，EB=10
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE
∴△CDB∽△AEB，
∴===
∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在直角三角形ACB中，
AC2+BC2=AB2
即：（3x+6）2+（4x）2=82，
解得：x=﹣2（舍去）或x=
∴BD=5x=
　
27．（10分）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+6交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，2·1·c·n·j·y
（1）求a，b的值；
（2）连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，过点A作AD⊥x轴，过点P作PD⊥BC于交直线AD于点D，设点P的横坐标为t，AD长为d，求d与t的函数关系式（请求出自变量t的取值范围）；【21cnj*y.co*m】
（3）在（2）的条件下，DP与BC交于点F，过点D作DE∥AB交BC于点E，点Q为直线DP上方抛物线上一点，连接AP、PC，若DP=CE，∠QPC=∠APD时，求点Q坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+6过点A（﹣2，0），B（3，0），则
，
解得．
故抛物线解析式为y=﹣x2+x+6；
（2）如图2，过点P作PG⊥DE于点K，交x轴于点G，
∵PD⊥BC，DE⊥y轴，∠BCO=∠PDK，OB=3，OC=6
∴tan∠BCO=tan∠PDK=，DK=t+2，PK=DK=（t+2），
∵DK∥AB，AD⊥AB，
∴四边形ADKG为矩形，
∴AD=KG，
d=AD=KG=PG﹣PK=﹣t2+t+6﹣（t+2）=﹣t2+t+5（0＜t＜3）；
（3）如图3，过点P作PH⊥AD于点H，
在△PHD与△CNE中，
，
∴△PHD≌△CNE，
∴PH=CN=OC﹣ON，
∵四边形ADON为矩形，
∴CN=6﹣（﹣t2+t+5）=t2﹣t+1，PH=t+2，
∴t+2=t2﹣t+1，
解得t1=2，t2=﹣（舍），
把t=2代入抛物线y=﹣x2+x+6=4，
∴点P（2，4），
∵PH与y轴交于点R，PR=CR=2，
∴∠CPR=45°，PH=AH=4，
∴∠APH=45°，
∴∠APC=90°，
∵∠QPC=∠APD，
∴∠QPD=90°，
当点Q在第一象限时，过点Q作QL⊥PH于点L，
∴∠LQP=∠HPD，
∴tan∠LQP=tan∠HPD=，
设点Q（m，﹣m2+m+6），则PL=2﹣m，QL=﹣m2+m+2，则
=，
解得m1=1，m2=2（舍），
把m=1 代入﹣m2+m+6=6，
∴Q（1，6），
当点Q在第二象限时，过点Q作QM⊥PH，
∵∠CPH=∠APH=45°∠QPC=∠APD，
∴∠QPM=∠DPH tan∠QPM=tan∠DPH=，
设点Q（n，﹣n2+n+6）PM=2﹣n QM=﹣n2+n+2，
∴=，
解得n1=﹣，n2=2（舍），
把n=1﹣代入﹣n2+n+6=，
∴Q（﹣，）．
综上所述，点Q坐标为Q（1，6）或Q（﹣，）．