2017-2018学年黑龙江省哈工大附中九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年黑龙江省哈工大附中九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 364.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-06-07 00:00:00 | ||
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文档简介
2017-2018学年黑龙江省哈工大附中九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2?x3=x6 B．（﹣x2）3=x6 C．x6÷x5=x D．x2+x3=x5
3．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如果将抛物线y=（x﹣2）2+1向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣3）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x+1）2
5．（3分）如图在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式不正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
6．（3分）如图，线段AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且BC=4，tan∠BDC=，则⊙O的半径为（ ）21·世纪*教育网
A．2 B．5 C．4 D．4
7．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B均在（1，0）的右侧，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＜0
8．（3分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①长度相等的弧叫做等弧；②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；③圆的切线垂直于过切点的半径；④一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．21cnjy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=42°，则∠BAD的值为（ ）
A．30° B．21° C．58° D．48°
10．（3分）已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：a2﹣1= ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）抛物线y=（x+1）2﹣3的顶点坐标为 ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD= ．
16．（3分）如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 cm．
17．（3分）某商场第1年销售电视机5000台，第3年销售电视机7200台，如果每年的销售量比上一年增加的百分率相同，则这个百分率为 ．
18．（3分）在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，若以点N（m，2）为圆心的⊙N同时与x轴、直线AB相切，则m的值为 ．21·cn·jy·com
19．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ．
20．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A、C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO的延长线于点E，若PC=6，tan∠PDA=，则OE的长为 ．
三、解答题（满分60分）
21．（6分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．
22．（6分）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在网格中小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出△ABD（点D在网格中小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．
23．（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖直有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知tan∠BAF=，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据≈1.414，≈1.732）
24．（10分）已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．
25．（8分）经销店为某工厂代销一种建筑材料．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
26．（10分）△ABC中，∠ABC=45°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）如图1，求证：BF=AC；
（2）如图2，连接DE，求证：DE平分∠ADB；
（3）在图2中，若AD=4，AE=，求BC的长．
27．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，m），直线AB上有一点M，M的横坐标为m，以M为顶点的抛物线经过点B．
（1）如图1，当m=5时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点M作BM的垂线交y轴于点C，延长CM至点D使MC=MD，作ME∥x轴，DE∥y轴，ME与DE交于点E，设点D（x，y），求DE的长并直接写出y关于x的函数关系式．
（3）过点D作BM的平行线交（2）中的函数图象于点P，连接BD、MP，当以点B、M、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：（A）原式=3，故A不是最简二次根式；
（B）原式=，故B是最简二次根式；
（C）原式=，故C不是最简二次根式；
（D）原式=，故D不是最简二次根式；
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2?x3=x6 B．（﹣x2）3=x6 C．x6÷x5=x D．x2+x3=x5
【解答】解：（A）原式=x5，故A错误；
（B）原式=﹣x6，故B错误；
（D）原式=x2+x3，故D错误
故选：C．
3．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
4．（3分）如果将抛物线y=（x﹣2）2+1向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣3）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x+1）2
【解答】解：抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），
向左平移1个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标为（1，4），
所以，所得抛物线解析式为y=（x﹣1）2+4．
故选：B．
5．（3分）如图在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式不正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【解答】解：A、∵DE∥BC，
∴=，故本选项错误；
B、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=≠，故本选项正确；
C、∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴=， =，
∴=，故本选项错误；
D、∵DE∥BC，
∴△DEH∞△FBH，
∴=，
∵=，
∴=，故本选项错误；
故选：B．
6．（3分）如图，线段AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且BC=4，tan∠BDC=，则⊙O的半径为（ ）21教育网
A．2 B．5 C．4 D．4
【解答】解：∵tan∠BDC=，∠BDC=∠BAC，
∴tan∠BAC=，
∵线段AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且BC=4，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠BAC=，
解得，AC=8，
∴AB=，
∴⊙O的半径为2，
故选：A．
7．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B均在（1，0）的右侧，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＜0
【解答】解：A、∵抛物线开口向下，
∴a＜0，A不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，B符合题意；
C、∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，C不符合题意；
D、∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，D不符合题意．
故选：B．
8．（3分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①长度相等的弧叫做等弧；②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；③圆的切线垂直于过切点的半径；④一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2-1-c-n-j-y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①长度相等的弧叫做等弧，错误，完全重合的两条弧叫做等弧；
②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，正确，垂径定理；
③圆的切线垂直于过切点的半径；正确，切线的性质；
④一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．错误．应该是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；【21cnj*y.co*m】
故选：B．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=42°，则∠BAD的值为（ ）
A．30° B．21° C．58° D．48°
【解答】解：连接BD，如图，
则∠ADB=90°，并且∠ABD=∠ACD=42°．
所以∠BAD=90°﹣∠ABD=90°﹣42°=48°．
故选：D．
10．（3分）已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
∴EF=?10=10﹣2x，
∴S=（10﹣2x）?x=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，
∴S与x的关系式为S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为：x≥2．
12．（3分）因式分解：a2﹣1= （a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：a2﹣1=a2﹣12=（a+1）（a﹣1）．
13．（3分）不等式组的解集是 x＞1 ．
【解答】解：，
由①得，x＞1；
由②得，x＞﹣3，
故此不等式组的解集为：x＞1．
故答案为：x＞1．
14．（3分）抛物线y=（x+1）2﹣3的顶点坐标为 （﹣1，﹣3） ．
【解答】解：
∵y=（x+1）2﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD= ．2·1·c·n·j·y
【解答】解：根据题意得AE=9﹣1=8，
根据垂径定理得CE=DE，
根据相交弦定理得CE2=AE?BE，
CE=2．
所以CD=4．
16．（3分）如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 cm．【21教育】
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
连结AB，如图，
∵扇形OAB的圆心角为90°，
∴∠AOB=90°，
∴AB为圆形纸片的直径，
∴AB=4cm，
∴OB=AB=2cm，
∴扇形OAB的弧AB的长==π，
∴2πr=π，
∴r=（cm）．
故答案为．
17．（3分）某商场第1年销售电视机5000台，第3年销售电视机7200台，如果每年的销售量比上一年增加的百分率相同，则这个百分率为 20% ．
【解答】解：设每年的销售量比上一年增加的百分率为x，由题意得：
5000（1+x）2=7200，
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）；
答：这个百分率为20%．
故答案为：20%．
18．（3分）在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，若以点N（m，2）为圆心的⊙N同时与x轴、直线AB相切，则m的值为 ± ．21世纪教育网
【解答】解：在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（1，0），B（0，2），
∵以点N（m，2）为圆心的⊙N同时与x轴、直线AB相切，
∴点N（m，2）到x轴的距离和到直线AB的距离相等，
∴2=，
解得：m=±，
故答案为：±．
19．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ．21*教*育*名*师
【解答】解：过点A作AQ⊥BC于点Q，
∵AB=AC，BC=8，tanC=，
∴=，QC=BQ=4，
∴AQ=6，
∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，
过B′点作B′E⊥BC于点E，
∴B′E=AQ=3，
∴=，
∴EC=2，
设BD=x，则B′D=x，
∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，
∴x2=（6﹣x）2+32，
解得：x=，
直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．
故答案为：．
20．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A、C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO的延长线于点E，若PC=6，tan∠PDA=，则OE的长为 ．21-cnjy*com
【解答】解：
∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，
∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO；
连接OC，
∵PA=PC=6，tan∠PDA=，
∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，
∴CD=4，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，
∵∠EPD=∠ODE，
∴△OED∽△DEP，
∴==2，
∴DE=2OE
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，
∴OE=．
故答案为：．
三、解答题（满分60分）
21．（6分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．
【解答】解：当x=4×﹣2×=2﹣1时，
∴原式=×
=
=
=
22．（6分）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在网格中小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出△ABD（点D在网格中小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．
【解答】解：（1）图中△ABC即为所求．（∠ACB=90°）
（2）图中，△ABD即为所求．（AB=AD=5）
23．（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖直有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知tan∠BAF=，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据≈1.414，≈1.732）www.21-cn-jy.com
【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，tan∠BAF=，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=5，AF=5．
∴BG=AF+AE=5 +15．
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5 +15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
24．（10分）已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°；
在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，
∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A=60°，
∴OE∥AC（同位角相等，两直线平行）；
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DF．
∵DF与⊙O相切，
∴∠ADF=90°．
设⊙O的半径是r，则EB=r，EC=4﹣r，AD=4﹣2r．
在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴AF=2AD=8﹣4r．
∴FC=4r﹣4；
在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，
∴4﹣r=2（4r﹣4），
解得，r=；
∴⊙O的半径是．
25．（8分）经销店为某工厂代销一种建筑材料．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．【21·世纪·教育·网】
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
【解答】解：（1）售价降了260﹣240=20（元），
∵当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，
∴月销售量就会增加7.5×2=15吨，
则此时的月销售量为45+15=60吨；
（2）若每吨材料售价为x（元），
∵当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，
∴月销售量就会增加×7.5=（260﹣x）吨，即月销售量为[45+（260﹣x）]吨，
∴该经销店的月利润为y=（x﹣100）[45+（260﹣x）]=﹣0.75（x﹣210）2+9075，
∵当x=210元时，总利润y的最大值为9075，
∴该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨210元．
26．（10分）△ABC中，∠ABC=45°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．www-2-1-cnjy-com
（1）如图1，求证：BF=AC；
（2）如图2，连接DE，求证：DE平分∠ADB；
（3）在图2中，若AD=4，AE=，求BC的长．
【解答】解：（1）∵∠BEC=90°，
∴∠EBF+∠BFE=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠ACE+∠CFD=90°，
∵∠BFE=∠CFD，
∴∠EBF=∠ECA，
∵∠BEC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ECB=45°=∠ABC，
∴BE=CE，
在△BEF和△CEA中，，
∴△BEF≌△CEA，
∴BF=AC，
（2）由（1）知，∠BCE=45°，
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴点B，C，D，E共圆，
∴∠BDE=∠BCE=45°，
∴∠ADE=90°﹣∠BDE=45°=∠BDE，
∴DE平分∠ADB；
（3）如图2，连接AF，
由（1）知，△BEF≌△CEA，
∴EF=AE=，
根据勾股定理得，AF=2，
在Rt△ADF中，DF==2，
设AC=x，BE=y，
∴BF=AC=x，
则BD=BF+DF=x+2，
在Rt△BEF中，BF2﹣BE2=10，
∴x2﹣y2=10①，
在Rt△ABD中，AB2﹣BD2=AD2，
∴（y+）2﹣（x+2）2=16，
∴y2+2y﹣x2﹣4x=10②，
联立①②解得，y=3或 y=（舍），
在Rt△BCE中，BC=BE=y=6，
27．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，m），直线AB上有一点M，M的横坐标为m，以M为顶点的抛物线经过点B．21*cnjy*com
（1）如图1，当m=5时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点M作BM的垂线交y轴于点C，延长CM至点D使MC=MD，作ME∥x轴，DE∥y轴，ME与DE交于点E，设点D（x，y），求DE的长并直接写出y关于x的函数关系式．【21教育名师】
（3）过点D作BM的平行线交（2）中的函数图象于点P，连接BD、MP，当以点B、M、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意A（4，0），B（0，5），代入y=kx+b中，得到，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5．
∵M（5，﹣），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣5）2﹣，把（0，5）代入得到a=，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣5）2﹣．
（2）如图2中，延长EM交y轴于F．
∵∠MFC=∠DEM=90°，∠DME=∠CMF，CM=DM，
∴△DME≌△CMF，
∴FM=EM=m，
∵OB=m，
∴EM=OB，
∵CD⊥AB，
∴∠DMB=90°，
∴∠BMF+∠DME=90°，∵∠BMF+∠ABO=90°，
∴∠DME=∠ABO，∵OB=EM，∠AOB=∠DEM=90°，
∴△DME≌△ABO，
∴DE=AO=4，
∵FM∥OA，
∴=，
∴=，
∴BF=m2，
∴M（m，m﹣m2），
∵D（x，y），FM=EM=m，
∴2m=x，y=4+m﹣m2，
∴m=x代入y=4+m﹣m2，
得到y=﹣x2+x+4．
（3）①如图3中，抛物线的解析式y=﹣x2+x+4如图所示，
由（2）可知，M（m，m﹣m2），D（2m，4+m﹣m2），
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴P（3m，4+m﹣m2﹣m2）代入y=﹣x2+x+4，解得：m=8或0（舍弃），
∴P（24，﹣20）．
②如图4中，当四边形PBMD是平行四边形时，
易知M（m，m﹣m2），D（2m，4+m﹣m2），P（m，4+m），
把P（m，4+m）代入y=﹣x2+x+4得到，m=﹣8或0（舍弃），
∴P（﹣8，﹣4）
综上所述，满足条件的点P坐标为（24，﹣20）或（﹣8，﹣4）．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2?x3=x6 B．（﹣x2）3=x6 C．x6÷x5=x D．x2+x3=x5
3．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如果将抛物线y=（x﹣2）2+1向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣3）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x+1）2
5．（3分）如图在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式不正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
6．（3分）如图，线段AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且BC=4，tan∠BDC=，则⊙O的半径为（ ）21·世纪*教育网
A．2 B．5 C．4 D．4
7．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B均在（1，0）的右侧，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＜0
8．（3分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①长度相等的弧叫做等弧；②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；③圆的切线垂直于过切点的半径；④一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．21cnjy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=42°，则∠BAD的值为（ ）
A．30° B．21° C．58° D．48°
10．（3分）已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：a2﹣1= ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）抛物线y=（x+1）2﹣3的顶点坐标为 ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD= ．
16．（3分）如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 cm．
17．（3分）某商场第1年销售电视机5000台，第3年销售电视机7200台，如果每年的销售量比上一年增加的百分率相同，则这个百分率为 ．
18．（3分）在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，若以点N（m，2）为圆心的⊙N同时与x轴、直线AB相切，则m的值为 ．21·cn·jy·com
19．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ．
20．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A、C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO的延长线于点E，若PC=6，tan∠PDA=，则OE的长为 ．
三、解答题（满分60分）
21．（6分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．
22．（6分）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在网格中小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出△ABD（点D在网格中小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．
23．（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖直有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知tan∠BAF=，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据≈1.414，≈1.732）
24．（10分）已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．
25．（8分）经销店为某工厂代销一种建筑材料．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
26．（10分）△ABC中，∠ABC=45°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）如图1，求证：BF=AC；
（2）如图2，连接DE，求证：DE平分∠ADB；
（3）在图2中，若AD=4，AE=，求BC的长．
27．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，m），直线AB上有一点M，M的横坐标为m，以M为顶点的抛物线经过点B．
（1）如图1，当m=5时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点M作BM的垂线交y轴于点C，延长CM至点D使MC=MD，作ME∥x轴，DE∥y轴，ME与DE交于点E，设点D（x，y），求DE的长并直接写出y关于x的函数关系式．
（3）过点D作BM的平行线交（2）中的函数图象于点P，连接BD、MP，当以点B、M、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：（A）原式=3，故A不是最简二次根式；
（B）原式=，故B是最简二次根式；
（C）原式=，故C不是最简二次根式；
（D）原式=，故D不是最简二次根式；
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2?x3=x6 B．（﹣x2）3=x6 C．x6÷x5=x D．x2+x3=x5
【解答】解：（A）原式=x5，故A错误；
（B）原式=﹣x6，故B错误；
（D）原式=x2+x3，故D错误
故选：C．
3．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
4．（3分）如果将抛物线y=（x﹣2）2+1向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣3）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x+1）2
【解答】解：抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），
向左平移1个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标为（1，4），
所以，所得抛物线解析式为y=（x﹣1）2+4．
故选：B．
5．（3分）如图在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式不正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【解答】解：A、∵DE∥BC，
∴=，故本选项错误；
B、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=≠，故本选项正确；
C、∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴=， =，
∴=，故本选项错误；
D、∵DE∥BC，
∴△DEH∞△FBH，
∴=，
∵=，
∴=，故本选项错误；
故选：B．
6．（3分）如图，线段AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且BC=4，tan∠BDC=，则⊙O的半径为（ ）21教育网
A．2 B．5 C．4 D．4
【解答】解：∵tan∠BDC=，∠BDC=∠BAC，
∴tan∠BAC=，
∵线段AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且BC=4，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠BAC=，
解得，AC=8，
∴AB=，
∴⊙O的半径为2，
故选：A．
7．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B均在（1，0）的右侧，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＜0
【解答】解：A、∵抛物线开口向下，
∴a＜0，A不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，B符合题意；
C、∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，C不符合题意；
D、∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，D不符合题意．
故选：B．
8．（3分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①长度相等的弧叫做等弧；②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；③圆的切线垂直于过切点的半径；④一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2-1-c-n-j-y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①长度相等的弧叫做等弧，错误，完全重合的两条弧叫做等弧；
②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，正确，垂径定理；
③圆的切线垂直于过切点的半径；正确，切线的性质；
④一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．错误．应该是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；【21cnj*y.co*m】
故选：B．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=42°，则∠BAD的值为（ ）
A．30° B．21° C．58° D．48°
【解答】解：连接BD，如图，
则∠ADB=90°，并且∠ABD=∠ACD=42°．
所以∠BAD=90°﹣∠ABD=90°﹣42°=48°．
故选：D．
10．（3分）已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
∴EF=?10=10﹣2x，
∴S=（10﹣2x）?x=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，
∴S与x的关系式为S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为：x≥2．
12．（3分）因式分解：a2﹣1= （a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：a2﹣1=a2﹣12=（a+1）（a﹣1）．
13．（3分）不等式组的解集是 x＞1 ．
【解答】解：，
由①得，x＞1；
由②得，x＞﹣3，
故此不等式组的解集为：x＞1．
故答案为：x＞1．
14．（3分）抛物线y=（x+1）2﹣3的顶点坐标为 （﹣1，﹣3） ．
【解答】解：
∵y=（x+1）2﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD= ．2·1·c·n·j·y
【解答】解：根据题意得AE=9﹣1=8，
根据垂径定理得CE=DE，
根据相交弦定理得CE2=AE?BE，
CE=2．
所以CD=4．
16．（3分）如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 cm．【21教育】
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
连结AB，如图，
∵扇形OAB的圆心角为90°，
∴∠AOB=90°，
∴AB为圆形纸片的直径，
∴AB=4cm，
∴OB=AB=2cm，
∴扇形OAB的弧AB的长==π，
∴2πr=π，
∴r=（cm）．
故答案为．
17．（3分）某商场第1年销售电视机5000台，第3年销售电视机7200台，如果每年的销售量比上一年增加的百分率相同，则这个百分率为 20% ．
【解答】解：设每年的销售量比上一年增加的百分率为x，由题意得：
5000（1+x）2=7200，
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）；
答：这个百分率为20%．
故答案为：20%．
18．（3分）在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，若以点N（m，2）为圆心的⊙N同时与x轴、直线AB相切，则m的值为 ± ．21世纪教育网
【解答】解：在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（1，0），B（0，2），
∵以点N（m，2）为圆心的⊙N同时与x轴、直线AB相切，
∴点N（m，2）到x轴的距离和到直线AB的距离相等，
∴2=，
解得：m=±，
故答案为：±．
19．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ．21*教*育*名*师
【解答】解：过点A作AQ⊥BC于点Q，
∵AB=AC，BC=8，tanC=，
∴=，QC=BQ=4，
∴AQ=6，
∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，
过B′点作B′E⊥BC于点E，
∴B′E=AQ=3，
∴=，
∴EC=2，
设BD=x，则B′D=x，
∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，
∴x2=（6﹣x）2+32，
解得：x=，
直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．
故答案为：．
20．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A、C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO的延长线于点E，若PC=6，tan∠PDA=，则OE的长为 ．21-cnjy*com
【解答】解：
∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，
∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO；
连接OC，
∵PA=PC=6，tan∠PDA=，
∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，
∴CD=4，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，
∵∠EPD=∠ODE，
∴△OED∽△DEP，
∴==2，
∴DE=2OE
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，
∴OE=．
故答案为：．
三、解答题（满分60分）
21．（6分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．
【解答】解：当x=4×﹣2×=2﹣1时，
∴原式=×
=
=
=
22．（6分）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在网格中小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出△ABD（点D在网格中小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．
【解答】解：（1）图中△ABC即为所求．（∠ACB=90°）
（2）图中，△ABD即为所求．（AB=AD=5）
23．（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖直有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知tan∠BAF=，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据≈1.414，≈1.732）www.21-cn-jy.com
【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，tan∠BAF=，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=5，AF=5．
∴BG=AF+AE=5 +15．
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5 +15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
24．（10分）已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°；
在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，
∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A=60°，
∴OE∥AC（同位角相等，两直线平行）；
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DF．
∵DF与⊙O相切，
∴∠ADF=90°．
设⊙O的半径是r，则EB=r，EC=4﹣r，AD=4﹣2r．
在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴AF=2AD=8﹣4r．
∴FC=4r﹣4；
在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，
∴4﹣r=2（4r﹣4），
解得，r=；
∴⊙O的半径是．
25．（8分）经销店为某工厂代销一种建筑材料．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．【21·世纪·教育·网】
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
【解答】解：（1）售价降了260﹣240=20（元），
∵当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，
∴月销售量就会增加7.5×2=15吨，
则此时的月销售量为45+15=60吨；
（2）若每吨材料售价为x（元），
∵当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，
∴月销售量就会增加×7.5=（260﹣x）吨，即月销售量为[45+（260﹣x）]吨，
∴该经销店的月利润为y=（x﹣100）[45+（260﹣x）]=﹣0.75（x﹣210）2+9075，
∵当x=210元时，总利润y的最大值为9075，
∴该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨210元．
26．（10分）△ABC中，∠ABC=45°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．www-2-1-cnjy-com
（1）如图1，求证：BF=AC；
（2）如图2，连接DE，求证：DE平分∠ADB；
（3）在图2中，若AD=4，AE=，求BC的长．
【解答】解：（1）∵∠BEC=90°，
∴∠EBF+∠BFE=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠ACE+∠CFD=90°，
∵∠BFE=∠CFD，
∴∠EBF=∠ECA，
∵∠BEC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ECB=45°=∠ABC，
∴BE=CE，
在△BEF和△CEA中，，
∴△BEF≌△CEA，
∴BF=AC，
（2）由（1）知，∠BCE=45°，
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴点B，C，D，E共圆，
∴∠BDE=∠BCE=45°，
∴∠ADE=90°﹣∠BDE=45°=∠BDE，
∴DE平分∠ADB；
（3）如图2，连接AF，
由（1）知，△BEF≌△CEA，
∴EF=AE=，
根据勾股定理得，AF=2，
在Rt△ADF中，DF==2，
设AC=x，BE=y，
∴BF=AC=x，
则BD=BF+DF=x+2，
在Rt△BEF中，BF2﹣BE2=10，
∴x2﹣y2=10①，
在Rt△ABD中，AB2﹣BD2=AD2，
∴（y+）2﹣（x+2）2=16，
∴y2+2y﹣x2﹣4x=10②，
联立①②解得，y=3或 y=（舍），
在Rt△BCE中，BC=BE=y=6，
27．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，m），直线AB上有一点M，M的横坐标为m，以M为顶点的抛物线经过点B．21*cnjy*com
（1）如图1，当m=5时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点M作BM的垂线交y轴于点C，延长CM至点D使MC=MD，作ME∥x轴，DE∥y轴，ME与DE交于点E，设点D（x，y），求DE的长并直接写出y关于x的函数关系式．【21教育名师】
（3）过点D作BM的平行线交（2）中的函数图象于点P，连接BD、MP，当以点B、M、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意A（4，0），B（0，5），代入y=kx+b中，得到，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5．
∵M（5，﹣），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣5）2﹣，把（0，5）代入得到a=，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣5）2﹣．
（2）如图2中，延长EM交y轴于F．
∵∠MFC=∠DEM=90°，∠DME=∠CMF，CM=DM，
∴△DME≌△CMF，
∴FM=EM=m，
∵OB=m，
∴EM=OB，
∵CD⊥AB，
∴∠DMB=90°，
∴∠BMF+∠DME=90°，∵∠BMF+∠ABO=90°，
∴∠DME=∠ABO，∵OB=EM，∠AOB=∠DEM=90°，
∴△DME≌△ABO，
∴DE=AO=4，
∵FM∥OA，
∴=，
∴=，
∴BF=m2，
∴M（m，m﹣m2），
∵D（x，y），FM=EM=m，
∴2m=x，y=4+m﹣m2，
∴m=x代入y=4+m﹣m2，
得到y=﹣x2+x+4．
（3）①如图3中，抛物线的解析式y=﹣x2+x+4如图所示，
由（2）可知，M（m，m﹣m2），D（2m，4+m﹣m2），
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴P（3m，4+m﹣m2﹣m2）代入y=﹣x2+x+4，解得：m=8或0（舍弃），
∴P（24，﹣20）．
②如图4中，当四边形PBMD是平行四边形时，
易知M（m，m﹣m2），D（2m，4+m﹣m2），P（m，4+m），
把P（m，4+m）代入y=﹣x2+x+4得到，m=﹣8或0（舍弃），
∴P（﹣8，﹣4）
综上所述，满足条件的点P坐标为（24，﹣20）或（﹣8，﹣4）．
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