2017-2018学年黑龙江省哈工大附中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）（含解析）

2017-2018学年黑龙江省哈工大附中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）
　
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在﹣4，﹣3，0，1中，绝对值最小的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2=a5 B．a3?a2=a6 C．（a2）3=a6 D．a6÷a3=a2
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）若反比例函数的图象经过点A（﹣m，m ），则m的值为（　　）
A．2 B． C． D．
5．（3分）如果将抛物线y=x2+3先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，那么所得抛物线的解析式是（　　）21教育网
A．y=（x﹣3）2+1 B．y=（x+3）2+1 C．y=（ x﹣3）2+5 D．y=（x+3）2﹣5
6．（3分）如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
7．（3分）在直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）2-1-c-n-j-y
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大后减小
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至在△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE=（　　）
A．90° B．85° C．80° D．40°
9．（3分）如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（　　）21*cnjy*com
A．32° B．38° C．52° D．66°
10．（3分）同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
　
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）函数自变量的取值范围是　 　．
12．（3分）把多项式x2y﹣8xy+16y分解因式的结果为　 　．
13．（3分）不等式组的解集是　 　．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则cosB的值是　 　．
15．（3分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别为（﹣3，0）和（1，0），则抛物线的对称轴为直线　 　．【21教育名师】
16．（3分）如图，⊙O的直径CD=10，弦AB=8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为　 　．【21教育】
17．（3分）已知，点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y=5（x﹣2）2+k的三个点，则 y1、y2、y3的大小关系为　 　．（用“＜”按从小到大的顺序排列）
18．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶的时间t（秒）函数关系式是s=15t﹣6t2，汽车刹车后停下来前进了　 　米．
19．（3分）已知菱形ABCD中，点O是边CD的中点，点P是对角线AC上一动点，点E是直线CD上一点，若菱形的边长为8，sinB=，DE=2，当△PEO的周长最小时，tan∠POC=　 　．
20．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，AC⊥AB于点A，点E在边CD上，且满足DF?DB=DE?DC，FE=FB，BD平分∠ABE，若AB=6，CF=9，则OE的长为　 　．
　
三．解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25--27题各l0分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中a=tan30°+4cos60°．
23．（8分）如图，直线y=kx+2k （k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x2m+1交于点A其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）点P是x轴上一点，当△COP是以OC为底的等腰三角形时，若△AOB的面积为2，求点P的坐标．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，且AE=AB，EF⊥EC，连接BF．
（1）求证：△AEF∽△BCE；
（2）若AB=3，BC=3，求线段FB的长．
25．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为每天180元时，房间可全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）直接写出房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）求宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）若宾馆每天的利润为w元，则每个房间每天的定价为多少元时，w有最大值，最大值是多少．
26．（10分）已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，连接AC、BD，过圆心O作OH⊥AC于点H．
（1）如图1，求证：BD=2OH；
（2）如图2，连接BC、BO，求证：∠OBC=∠ABD；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CBD=60°，作射线DO交BC于点G，在CD上取一点P使ED=EP，连接PB交OG于点F，若PF=6，tan∠BGD=4，求线段OH的长．21·cn·jy·com
27．（10分）已知在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，m），直线AB上有一点M，M的横坐标为m，以M为顶点的抛物线经过点B．
（1）如图1，当m=5时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点M作BM的垂线交y轴于点C，延长CM至点D使MC=MD，作ME∥x轴，DE∥y轴，ME与DE交于点E，设点D（x，y），求DE的长并直接写出y关于x的函数关系式．
（3）过点D作BM的平行线交（2）中的函数图象于点P，连接BD、MP，当以点B、M、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
　

2017-2018学年黑龙江省哈工大附中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在﹣4，﹣3，0，1中，绝对值最小的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1
【解答】解：|﹣4|=4，|﹣3|=3，|0|=0，|1|=1，
即绝对值最小的数是0，
故选C．
　
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2=a5 B．a3?a2=a6 C．（a2）3=a6 D．a6÷a3=a2
【解答】解：A．a3与a2不是同类项不能合并，故A错误；
B．a3?a2=a5，故B错误；
C．（a2）3=a6，故C正确；
D．a6÷a3=a2，故D错误．
故选：C．
　
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
　
4．（3分）若反比例函数的图象经过点A（﹣m，m ），则m的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：将点A（﹣m，m）代入函数得，
m=﹣，
解得m=±2．
故选B．
　
5．（3分）如果将抛物线y=x2+3先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，那么所得抛物线的解析式是（　　）21-cnjy*com
A．y=（x﹣3）2+1 B．y=（x+3）2+1 C．y=（ x﹣3）2+5 D．y=（x+3）2﹣5
【解答】解：抛物线y=x2+3的顶点坐标为（0，3），把点（0，3）向下平移2个单位，再向左平移3个单位所得对应点的坐标为（﹣3，1），
所以平移后的抛物线解析式为y=（x+3）2+1．
故选B．
　
6．（3分）如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）21*教*育*名*师
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，CD∥AB
∵DE∥BC，
∴=， =，所以B、选项结论正确，C选项错误；
∵DF∥AB，
∴=，所以A选项的结论正确；
=，
而BC=AD，
∴=，所以D选项的结论正确．
故选C．
　
7．（3分）在直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）21·世纪*教育网
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大后减小
【解答】解：如图，设△AOB边OA上的高为y，
则S△AOB=×OA?h，
∵点B的横坐标逐渐增大，
∴h逐渐减小，
∴△OAB的面积将会逐渐减小．
故选：B．
　
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至在△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE=（　　）
A．90° B．85° C．80° D．40°
【解答】解：由旋转的性质可知，AB=AD，∠ADE=∠B=40°，
在△ABD中，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=40°，
∴∠BDE=∠ADE+∠ADB=80°．
故选：C．
　
9．（3分）如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（　　）
A．32° B．38° C．52° D．66°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=38°；
∴∠BCD=∠A=38°．
故选：B．
　
10．（3分）同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选C．
　
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）函数自变量的取值范围是　x≠﹣1　．
【解答】解：根据题意得：x+1≠0，解得x≠﹣1．
　
12．（3分）把多项式x2y﹣8xy+16y分解因式的结果为　y（x﹣4）2　．
【解答】解：原式=y（x2﹣8x+16）=y（x﹣4）2，
故答案为：y（x﹣4）2
　
13．（3分）不等式组的解集是　1＜x≤3　．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
解不等式x+2≥2x﹣1，得：x≤3，
则不等式组的解集为：1＜x≤3，
故答案为：1＜x≤3．
　
14．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则cosB的值是　　．
【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，tanA=，
∴=，
设BC=3x，AC=4x，故AB=5x，
则cosB===．
故答案是：．
　
15．（3分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别为（﹣3，0）和（1，0），则抛物线的对称轴为直线　x=﹣1　．【21cnj*y.co*m】
【解答】解：∵（﹣3，0）和（1，0）关于直线x=﹣1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．
故答案为：x=﹣1．
　
16．（3分）如图，⊙O的直径CD=10，弦AB=8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为　8　．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，AB=8，
∴根据垂径定理可知AM=AB=4，
在Rt△OAM中，OM===3，
∴DM=OD+OM=8．
故答案为：8．
　
17．（3分）已知，点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y=5（x﹣2）2+k的三个点，则 y1、y2、y3的大小关系为　y3＜y1＜y2　．（用“＜”按从小到大的顺序排列）21世纪教育网
【解答】解：∵抛物线y=5（x﹣2）2+k，
∴该抛物线开口向上，有最小值，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴是直线x=2，21cnjy.com
∵点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y=5（x﹣2）2+k的三个点，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为：y3＜y1＜y2．
　
18．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶的时间t（秒）函数关系式是s=15t﹣6t2，汽车刹车后停下来前进了　　米．
【解答】解：∵s=15t﹣6t2=﹣6（t﹣）2+，
∴汽车刹车后到停下来前进了m．
故答案为：．
　
19．（3分）已知菱形ABCD中，点O是边CD的中点，点P是对角线AC上一动点，点E是直线CD上一点，若菱形的边长为8，sinB=，DE=2，当△PEO的周长最小时，tan∠POC=　或　．
【解答】解：分两种情况：
①当E在边CD上时，如图1，
作点O关于AC的对称点F，连接EF交AC与P，此时△POE的周长最小，
∵点O是边CD的中点，
∴点F是边BC的中点，
∴FC=BC=4，
过E作MN⊥AD于M，交BC的延长线于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，
∴sinB=sinD=，
在Rt△EMD中， =，
∴EM=，
∵MD∥CN，
∴△EMD∽△ENC，
∴，
∴，
∴EN=，
Rt△CEN中，由勾股定理得：CN===，
∴FN=FC+CN=4+=，
∴tan∠POC=tan∠PFC===；
②当E在CD的延长线上时，如图2，
同理可得：tan∠POC=tan∠PFC====；
故答案为：或．
　
20．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，AC⊥AB于点A，点E在边CD上，且满足DF?DB=DE?DC，FE=FB，BD平分∠ABE，若AB=6，CF=9，则OE的长为　2　．
【解答】解：∵DF?DB=DE?DC，
∴=，∵∠EDF=∠BDC，
∴△CDF∽△BDE，
∴∠2=∠5，
∵∠FOB=∠EOC，
∴△BOF∽△COE，
∴=，
∴=，
∴△EOF∽△COB，
∴∠3=∠4，
∵FB=FE，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，∵∠BAF=∠CAB，
∴△BAF∽△CAB，
∴AB2=AF?AC，
设AF=x，则有36=x（x+9），解得x=3，
∴AF=3，BF=EF==3，
BC==6，
∵△EOF∽△COB，
∴===，设OF=a，OB=2a，
在Rt△ABO中，∵AB2+AO2=OB2，
∴36+（3+a）2=4a2，
解得a=5，
∴OF=5，OC=4，
∴OE=2．
故答案为2．
　
三．解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25--27题各l0分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中a=tan30°+4cos60°．
【解答】解：原式=[﹣]?（a﹣2）
=a+2﹣
=﹣
=，
∵a=tan30°+4cos60°=+4×=2+，
∴原式==4+2．
　
23．（8分）如图，直线y=kx+2k （k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x2m+1交于点A其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）点P是x轴上一点，当△COP是以OC为底的等腰三角形时，若△AOB的面积为2，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y=（m+5）x2m+1是双曲线，
∴2m+1=﹣1，
解得，m=﹣1，
∴m+5=4，
∴双曲线的解析式是y=；
（2）y=0代入y=kx+2k，得x=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
∵△AOB的面积为2，设点A的纵坐标为a，
∴，
即，得a=2，
将y=2代入y=，得x=2，
∴点A的坐标为（2，2），
∵点A在直线y=kx+2k上，
∴2=2k+2k，得k=0.5，
∴，得或，
∴点C的坐标为（﹣4，﹣1），
∵△COP是以OC为底的等腰三角形，
∴点P在OC的垂直平分线上，且在x轴上，
∵点O（0，0），点C（﹣4，﹣1），
∴过点O和点C的直线是y=x，点O和点C的中点是（﹣2，﹣0.5），
设线段OC的垂直平分线的解析式为y=﹣4x+b，
则﹣0.5=﹣4×（﹣2）+b，得b=﹣8.5，
∴线段OC的垂直平分线的解析式为y=﹣4x﹣8.5，
将y=0代入y=﹣4x﹣8.5，得x=﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
　
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，且AE=AB，EF⊥EC，连接BF．
（1）求证：△AEF∽△BCE；
（2）若AB=3，BC=3，求线段FB的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠CBE=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
又∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠AFE=∠BEC，
∴△AEF∽△BCE；
（2）∵AB=3、AE=AB，
∴AE=、BE=2，
∵△AEF∽△BCE，
∴=，即=，
解得：AF=2，
则BF===．
　
25．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为每天180元时，房间可全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）直接写出房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）求宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）若宾馆每天的利润为w元，则每个房间每天的定价为多少元时，w有最大值，最大值是多少．
【解答】解：（1）y=﹣x+50；
（2）z=（180+x）y=（180+x）（﹣x+50）x=﹣x2+32x+9000；
（3）w=（180+x﹣20）y
=（180+x﹣20）（﹣x+50）x
=﹣x2+34x+8000
=﹣（x﹣170）2+10890，
170+180=350，
答：房间定价为350元时，W的最大值为10890元．
　
26．（10分）已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，连接AC、BD，过圆心O作OH⊥AC于点H．
（1）如图1，求证：BD=2OH；
（2）如图2，连接BC、BO，求证：∠OBC=∠ABD；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CBD=60°，作射线DO交BC于点G，在CD上取一点P使ED=EP，连接PB交OG于点F，若PF=6，tan∠BGD=4，求线段OH的长．www.21-cn-jy.com
【解答】（1）证明：如图1中，连接AO，延长AO交⊙O于G，连接CG、BG、BC．
∵AG 是直径，
∴∠ABG=90°，
∴AB⊥BG，∵AB⊥CD，
∴CD∥BG，
∴∠DCB=∠CBG，
∴=，
∴BD=CG，
∵OH⊥AC，
∴AH=HC，∵AO=OG，
∴CG=2OH，
∴BD=2OH．
（2）证明：如图2中，延长BO交⊙O于K，连接AK．
∵BK是直径，
∴∠BAK=90°，
∴AB⊥AK，
∵AB⊥CD，
∴AK∥CD，
∴∠ACD=∠CAK，
∴=，
∴∠CBO=∠ABD．
（3）解：如图3中，作BN⊥GD于N，设DG交AB于M，连接RM，CO．
∵∠COD=2∠CBD=120°，OC=OD，
∴∠CDO=30°，
∵∠BNM=∠MED=90°，
∴∠MBN=∠MDE=30°，
∵PE=DE，BE⊥DE，
∴BP=BD，∠EAD=∠EBP，
∴∠GBN+∠EBD=30°，∵∠NBF+∠EBP=30°，
∴∠NBG=∠NBF，
∵∠NBG+∠BGF=90°，∠NBF+∠BFG=90°，
∴∠BGF=∠BFG，
∴BG=BF，
∵tan∠BGD==4，
∴可以假设GN=NF=a，BN=4a，则BG=BF=7a，
在Rt△BNM中，∵∠NBM=30°，BN=4a，
∴MN=4a，BM=8a，
∵∠PMF=∠MPD+∠MDP=60°，∠BMF=∠EMD=60°，
∴∠FMP=∠FMB，
∴=，
∴=，
∴PM=，
∵PM=MD，
∴DM=，
∵∠FBM=∠MBD，
∴=，
∴=，
∴a=，
∴OH=BD=（6+10）=8．
　
27．（10分）已知在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，m），直线AB上有一点M，M的横坐标为m，以M为顶点的抛物线经过点B．【21·世纪·教育·网】
（1）如图1，当m=5时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点M作BM的垂线交y轴于点C，延长CM至点D使MC=MD，作ME∥x轴，DE∥y轴，ME与DE交于点E，设点D（x，y），求DE的长并直接写出y关于x的函数关系式．2·1·c·n·j·y
（3）过点D作BM的平行线交（2）中的函数图象于点P，连接BD、MP，当以点B、M、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意A（4，0），B（0，5），代入y=kx+b中，得到，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5．
∵M（5，﹣），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣5）2﹣，把（0，5）代入得到a=，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣5）2﹣．
（2）如图2中，延长EM交y轴于F．
∵∠MFC=∠DEM=90°，∠DME=∠CMF，CM=DM，
∴△DME≌△CMF，
∴FM=EM=m，
∵OB=m，
∴EM=OB，
∵CD⊥AB，
∴∠DMB=90°，
∴∠BMF+∠DME=90°，∵∠BMF+∠ABO=90°，
∴∠DME=∠ABO，∵OB=EM，∠AOB=∠DEM=90°，
∴△DME≌△ABO，
∴DE=AO=4，
∵FM∥OA，
∴=，
∴=，
∴BF=m2，
∴M（m，m﹣m2），
∵D（x，y），FM=EM=m，
∴2m=x，y=4+m﹣m2，
∴m=x代入y=4+m﹣m2，
得到y=﹣x2+x+4．
（3）①如图3中，抛物线的解析式y=﹣x2+x+4如图所示，
由（2）可知，M（m，m﹣m2），D（2m，4+m﹣m2），
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴P（3m，4+m﹣m2﹣m2）代入y=﹣x2+x+4，解得：m=8或0（舍弃），
∴P（24，﹣20）．
②如图4中，当四边形PBMD是平行四边形时，
易知M（m，m﹣m2），D（2m，4+m﹣m2），P（m，4+m），
把P（m，4+m）代入y=﹣x2+x+4得到，m=﹣8或0（舍弃），
∴P（﹣8，﹣4）
综上所述，满足条件的点P坐标为（24，﹣20）或（﹣8，﹣4）．