【学习课题】第二讲 力与直线运动 【课时编号】2
典型例题
【例1】用长度为L的铁丝绕成一个高度为H的等螺距螺旋线圈。将它竖直地固定于水平桌面。穿在铁丝上的一珠子可沿此螺旋线无摩擦地下滑。这个小珠子从螺旋线圈最高点无初速滑到桌面经历的时间t=。
【例2】质量均为m的物体A和B用劲度系数为k的轻质弹簧连接在一起，将B放在水平桌面上，A用弹簧支撑着，如图所示，若用竖直向上的力拉A，使A以加速度a匀加速上升，试求：(1)经过多长时间B开始离开地面 (2)在B离开桌面之前，拉力的最大值
训练题 （05年扬州）如图质量为m的小球用水平弹簧系住，并用倾角为30°的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态．当木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为 （ ）
A．0? B．大小为g，方向竖直向下
C．大小为g，方向垂直于木板向下? D．大小为g，方向水平向右
[例3] 一质量为500kg的木箱放在质量为2000kg的平板车的后部，木箱到驾驶室的距离L=1.6m．已知木箱与木板间的动摩擦因数为μ=0.484，平板车以v0=22.0m/s的恒定速度行驶．突然驾驶员刹车使车做匀减速运动，为不让木箱撞击驾驶室，g取10m/s2，试求：
（1）开始刹车到平板车完全停止至少要经过多长时间？
（2）驾驶员刹车时的制动力不能超过多大？（g取10m/s2）
训练题如图所示，质量M = 8kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平恒力F，F = 8N，当小车向右运动的速度达到1.5m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m = 2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ = 0.2，小车足够长．求从小物块放上小车开始，经过t = 1.5s小物块通过的位移大小为多少？（取g = 10m/s2）．
【例4】如图所示，质量分别为mA、mB的两个物体A、B，用细绳相连跨过光滑的滑轮，将A置于倾角为θ的斜面上，B悬空．设A与斜面、斜面与水平地面间均是光滑的，A在斜面上沿斜面加速下滑，求斜面受到高出地面的竖直挡壁的水平方向作用力的大小．
训练题 如图所示，质量M = 10kg的木楔静置于粗糙的水平地面上，木楔与地面间的动摩擦因数μ = 0.02．在木楔的倾角为θ = 30°的斜面上，有一质量m = 1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑，当滑行路程s = 1.4m时，其速度υ = 1.4m/s在这个过程中木楔没有移动，求地面对木楔的摩擦力的大小和方向（取g = 10m/s2）．
[例5] 如图1-3(a)，质量分别为m1=1kg和m2=2kg的A、B两物块并排放在光滑水平面上，若对A、B分别施加大小随时间变化的水平外力F1和F2，若F1=（9 – 2t）N，F2 =（3 +2t）N，则：（1）经多长时间t0两物块开始分离？
（2）在图1-3(b)的坐标系中画出两物块的加速度a1和a2随时间变化的图象？
（3）速度的定义为v = Δs/Δt，“v-t”图象下的“面积”在数值上等于位移Δs；加速度的定义为a=Δv/Δt，则“a-t”图象下的“面积”在数值上应等于什么？（4）由加速度a1和a2随时间变化图象可求得A、B两物块分离后2s其相对速度为多大？
[例6]（2005年北京西城区一模）如图所示，电荷量均为＋q、质量分别为m、2m的小球A和B，中间连接质量不计的细绳，在竖直方向的匀强电场中以速度v0匀速上升，某时刻细绳断开，求：
⑴电场的场强及细绳断开后，A、B两球的加速度
⑵当B球速度为零时，A球的速度大小
⑶自细绳断开至B球速度为零的过程中，两球组成系统的机械能增量为多少？
训练题（2005年福建一模）在一个水平面上建立x轴,在过原点O垂直于x轴的平面的右侧空间有一个匀强电场，场强大小E=6×105N/C，方向与x轴正方向相同，在O处放一个带电量q=-5x10-8C，质量m=10g的绝缘物块。物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，沿x轴正方向给物块一个初速度vo=2m/s，如图所示，求物块最终停止时的位置。(g取10m／s2)
[例7]（2005年武汉一模）如图11所示，PR是一长为L=0.64m的绝缘平板固定在水平地面上，挡板R固定在平板的右端。整个空间有一个平行于PR的匀强电场E，在板的右半部分有一个垂于纸面向里的匀强磁场B，磁场的宽度d=0.32m。一个质量m=0.50×10－3kg、带电荷量为q=5.0×10-2C的小物体，从板的P端由静止开始向右做匀加速运动，从D点进入磁场后恰能做匀速直线运动。当物体碰到挡板R后被弹回，若在碰撞瞬间撤去电场（不计撤掉电场对原磁场的影响），物体返回时在磁场中仍作匀速运动，离开磁场后做减速运动，停在C点，PC=L/4。若物体与平板间的动摩擦因数取10m/s2。
（1）判断电场的方向及物体带正电还是带负电；
（2）求磁感应强度B的大小；
（3）求物体与挡板碰撞过程中损失的机械能。
训练题（2005年南京一模）如图所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，一带电微粒由a点进入电磁场并刚好能沿ab直线向上运动，下列说法正确的是（ ）
A．微粒一定带负电
B．微粒动能一定减小
C．微粒的电势能一定增加
D．微粒的机械能一定增加
[例8]（2005年重庆一模）如图所示，两根相距为d足够长的平行光滑金属导轨位于水平的平面内，导轨与轴平行，一端接有阻值为R的电阻。在x>0的一侧存在竖直向下的匀强磁场，一电阻为r的金属直杆与金属导轨垂直放置，并可在导轨上滑动。开始时，金属直杆位于x=0处，现给金属杆一大小为v0、方向沿x轴正方向的初速度。在运动过程中有一大小可调节的平行于x轴的外力F作用在金属杆上，使金属杆保持大小为、方向沿x轴负方向的恒定加速度运动。金属轨道电阻可忽略不计。
求：（1）金属杆减速过程中到达x0的位置时金属杆的感应电动势E；
（2）回路中感应电流方向发生改变时，金属杆在轨道上的位置；
（3）若金属杆质量为m，请推导出外力F随金属杆在轴上的位置（x）变化关系的表达式。
训练题（2005年上海二模）如图所示，电阻不计的平行金属导轨MN和OP水平放置，MO间接有阻值为R的电阻，导轨相距为d，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感强度为B，质量为m，电阻为R的导体棒CD垂直于导轨放置，并接触良好。用平行于MN的恒力F向右拉动CD。CD受恒定的摩擦阻力Ff。已知F > Ff。求：
（1）CD运动的最大速度是多少？
（2）当CD达到最大速度后，电阻R消耗的电功率是多少？
（3）当CD的速度是最大速度的 EQ \A( )时，CD的加速度是多少？
能力训练
一、选择题
1．如图所示，人在岸上通过滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则在小船匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．绳的拉力不断增大 B．绳的拉力不断减小
C. 船受到的浮力保持不变 D．船受到的浮力不断减小
2．如图所示，板A的质量为2m，滑块B的质量为m，板A用细绳拴住，细绳与斜面平行。B沿倾角为θ的斜面在A板中间一段匀速下滑，若A、B之间以及B与斜面之间的动摩擦因数相同，则此动摩擦因数为． ( )
A．tanθ B．(tanθ)/2 C. 2tanθ D．(tanθ) /5
3．如图所示，木块A、B质量分别为m1、m2，且，ml＝2m2，当木块如图甲所示，挂在轻质弹簧下并处于静止状态时，弹簧的伸长量为x，现把A、B用一根不计质量并不可伸长的细绳相连，如图乙所示，用一个轻质滑轮挂在弹簧下，不计一切摩擦，当A、B在运动过程中，弹簧的伸长量为( )
A．等于x B．大于x而小于2x C.大于x／3而小于2x／3 D．小于X而大于2x／3
4．如图所示，甲带正电，乙是不带电的绝缘块，甲、乙叠放在一起置于光滑的水平地面上，空间存在水平方向的匀强磁场，在水平恒力F的作用下，甲、乙一起向左加速运动，那么在加速运动阶段 ( )
A．甲、乙之间的摩擦力不断增大 B.甲、乙之间的摩擦力不变
C.甲、乙两物体的加速度不断减小 D．甲对乙的压力不断增大
5．（05年南京）弹簧秤挂在升降机的顶板上，下端挂一质量为2kg的物体?当升降机在竖直方向上运动时，弹簧秤的示数始终是16N．如果从升降机的速度为3m/s时开始计时，则经过1s，升降机的位移可能是（g取10m/s2） （ ）
A．2m B．3m C．4m D．8m
6．物体从粗糙斜面的底端，以平行于斜面的初速度υ0沿斜面向上 （ ）
A．斜面倾角越小，上升的高度越大 B．斜面倾角越大，上升的高度越大
C．物体质量越小，上升的高度越大 D．物体质量越大，上升的高度越大
7物块A1、A2、B1和B2的质量均为m，A1、A2用刚性轻杆连接，B1、B2用轻质弹簧连结，两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态，如图今突然撤去支托物，让物块下落，在除去支托物的瞬间，A1、A2受到的合力分别为和，B1、B2受到的合力分别为F1和F2，则
A．= 0，= 2mg，F1 = 0，F2 = 2mg? B．= mg，= mg，F1 = 0，F2 = 2mg
C．= mg，= 2mg，F1 = mg，F2 = mg? D．= mg，= mg，F1 = mg，F2 = mg
二、计算题
8.气球上接着一重物，某一时刻两者以速度V一起从地面匀速上升，忽然重物脱离气球，经过时间t重物落回地面，不计空气对重物的阻力，则重物离开气球时气球离地面的高度是多少
9.在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz(z轴正方向竖直向上)，如图所示。已知电场方向沿z轴正方向，场强大小为E磁场方向沿y轴正方向，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g。问：一质量为m、带电量为+q的从原点出发的质点能否分别在坐标轴x，y，z上以速度v做匀速运动 若能，m、q、E、B、V及g应满足怎样的关系 若不能，说明理由。
10．如图所示，在倾角为θ=37的足够长的固定斜面底端有一质量为m=1.0kg的物体，物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.25。现用轻细绳将物体由静止沿斜面向上拉动，拉力F=10.ON，方向平行斜面向上，经时间t＝4.0s绳子突然断了，求：
(1)绳断时物体的速度大小
(2)从绳子断了开始物体再返回到斜面底端的运动时间
(sin37＝0.60，cos37=0.80，g取10m／s2)
11．（05年福建）放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F作用，力F的大小与时间t的关系、物块速度υ与时间t的关系如图所示．取g = 10m/s2．试利用两图线求出物块的质量及物块与地面间的动摩擦因数?
12．如图所示，物体B放在物体A的水平表面上，已知A的质量为M，B的质量为m，物体B通过劲度系数为k的弹簧跟A的右侧相连?当A在外力作用下以加速度a0向右做匀加速运动时，弹簧C恰能保持原长l0不变，增大加速度时，弹簧将出现形变．求：
（1）当A的加速度由a0增大到a时，物体B随A一起前进，此时弹簧的伸长量x多大
（2）若地面光滑，使A、B一起做匀加速运动的外力F多大？
13．（2005年上海二模）物体A、B都静止在同一水平面上，它们的质量分别是mA和mB，与水平面之间的动摩擦因数分别为μA和μB。用平行于水平面的力F分别拉物体A、B，得到加速度a和拉力F的关系图象分别如图中A、B所示。
（1）利用图象求出两个物体的质量mA和mB。
甲同学分析的过程是：从图象中得到F=12N时，A物体的加速度aA=4m/s2，B物体的加速度aB=2m/s2，根据牛顿定律导出：
乙同学的分析过程是：从图象中得出直线A、B的斜率为：kA＝tan45°=1,kB=tan26°34′=0.5,而
请判断甲、乙两个同学结论的对和错，并分析错误的原因。如果两个同学都错，分析各自的错误原因后再计算正确的结果。
（2）根据图象计算A、B两物体与水平面之间动摩擦因数μA和μB的数值。
14．（05年如东）一圆环A套在一均匀圆木棒B上，A的高度相对B的长度来说可以忽略不计。A和B的质量都等于m，A和B之间的滑动摩擦力为f（f < mg）。开始时B竖直放置，下端离地面高度为h，A在B的顶端，如图所示。让它们由静止开始自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动，并且碰撞前后的速度大小相等。设碰撞时间很短，不考虑空气阻力，问：在B再次着地前，要使A不脱离B，B至少应该多长？
15．（2005年广东一模）两根足够长的、固定的平行金属导轨位于同一斜面内，两导轨间的距离为L ，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量为m、电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，假设未加磁场时两棒均能在斜面上匀速下滑。现在整个导轨平面内加上垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B。开始时，棒cd静止，棒ab有沿斜面向下的初速度v0，若两导体棒在运动过程中始终不接触，且导体棒与导轨间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则：
（1）两导体棒在运动中产生的焦耳热最多是多少？
（2）当ab棒的速度变为初速度的时，cd棒的加速度是多少？
O
2
1
3
4
5
6
2
4
8
10
6
a/m·s-2
图1-3(b)
图1-3(a)
A m
B 2m
O x
E
v0
N
M
O
P
C
D
R
B
h
A
B专题2答案
例1【解析】测试学生利用常规物理知识(物体沿光滑斜面滑下)解决本题中的问题。考察学生等效思维能力和变通的能力。
将此螺旋线圈等效长为L，高为H的光滑斜面，倾角为θ。
例2 C训练题【分析】 (1)弹簧一开始处于压缩状态，对物体A进行受力分析，可知弹簧的压缩量xl，mg＝kxl，则xl=mg/k；当B刚要离开地面时，弹簧处于伸长状态，伸长量为x2，mg=kx2，则x2=mg/k；由于物体A匀加速上升，xl+x2=at2/2
得：t=2√mg/ka
(2)对A受力分析，根据牛顿第二定律可知：F-mg-Fn＝ma，要使拉力F最大，即弹簧的弹力Fn要最大，而Fn的最大值为弹簧伸长得最长时的值，由题意可知Fn的最大值为物体B的重力mg。 F＝2mg+ma
【点评】弹簧类的问题一要分清楚弹簧是处于压缩还是拉伸状态，二要在理解整个变化的过程基础上清楚临界的状态。
例3【分析】 (1)刹车后，木箱 a木=μg =4.84 m/s2，S木=/ ．
车S车=/．若恰不撞， S木=L+S车．由以上几式可知，a车=5 m/s2，t=v0/a车=4.4 s
(2)F -μm2g=m1a 则F=12420 N
【点评】此类问题主张画出过程简图，从而分清对地位移与相对位移。
训练题【解析】开始一段时间，物块相对小车滑动，两者间相互作用的滑动摩擦力的大小为Ff = μmg = 4N??物块在Ff的作用下加速，加速度为am = = 2m/s2，从静止开始运动．
小车在推力F和f的作用下加速，加速度为aM = = 0.5m/s2，初速度为υ0 = 1.5m/s
设经过时间t1，两者达到共同速度υ，则有：υ = amt1 = υ0+aMt1?
代入数据可得：t1 = 1s，υ= 2m/s?
在这t1时间内物块向前运动的位移为s1 = amt = 1m??
以后两者相对静止，相互作用的摩擦力变为静摩擦力将两者作为一个整体，在F的作用下运动的加速度为a，则F =（M+m）a 得a = 0.8m/s2?
在剩下的时间t2 = t-t1 = 0．5s时间内，物块运动的位移为s2 =υt2+at2，得s2 = 1.1m．
可见小物块在总共1.5s时间内通过的位移大小为s = s1+s2 = 2.1m．
【例4】【解析】设绳中张力为FT，A、B运动的加速度的大小为a，对A在沿斜面方向由牛顿第二定律有：mAgsinθ-FT = mAa?
对B在竖直方向由牛顿第二定律有：FT-mBg = mBa?
联立上两式得：a = ，FT = ?
此时A对斜面的压力为FN1 = mAgcosθ，斜面体的受力如图所示??
在水平方向有：F+FTcosθ = FN1sinθ?
得：F = ?
训练题答案：f=0．61N，方向水平向左
[例5] 【分析】（1）当两物块分离瞬间，加速度相等，A、B间相互作用力为零。F1/m1=F2/m2 ，得to =2.5s
（2）略
（3）等于其速度的变化量为Δv
（4）等于图中阴影部分的“面积”大小，即VBA=6 m/s
【点评】理解分离瞬间是加速度相等而不是受力相等是关键。加速度在时间上的积累是速度变化。
[例6]答案：⑴⑵vA＝3v0⑶ΔEB＝15mv02
解析：⑴设电场强度为E，把小球A、B看作一个系统，由于绳末断前作匀速运动，则有：2qE=3mg，得到，细绳断后，根据牛顿第二定律，得：qE－mg=maA，所以，方向向上，qE－2mg=2maB，得，即方向向下。
⑵细绳断开前后两绳组成的系统满足合外力为零，所以系统动量守恒，设B球速度为零时，A球的速度为vA，根据动量守恒定律得：（m+2m）v0=mvA+0，得到vA＝3 v0。
⑶设自绳断开到球B速度为零的时间为t，则有：0＝v0+aBt，得，在该时间内A的位移为，由功能关系知：电场力对A做的功等于物体A的机械能增量：ΔEA=qEsA=12mv02，同理研究物体B得：ΔEB=qEsB=3mv02，所以得：ΔE＝ΔEA＋ΔEB＝15mv02
训练题答案：原点O左侧0.2m处
解析：第一个过程：物块向右做匀减速运动到速度为0。由摩擦力f =μmg，电场力F=qE，根据牛顿第二定律得：a=（f+F）/m=5（m/s2），由匀变速运动公式得：s1= v02/（2a）= 0.4 （m）
第二个过程：物块向左做匀加速运动，离开电场后在做匀减速运动直到停止。由动能定理得：Fs1— f（s1+s2）=0，由以上各方程联立解得：s2=0.2（m），则物块停止在原点O左侧0.2m处.
[例7]答案：（1）见下面解析；（2）0.13T；（3）4.8×10－4J。
解析：（1）物体由静止开始向右做匀加速运动，证明电场力向右且大于摩擦力。进入磁场后做匀速直线运动，说明它受的摩擦力增大，证明它受的洛仑兹力方向向下。由左手定则判断，物体带负电。物体带负电而所受电场力向右，证明电场方向向左。
（2）设物体被挡板弹回后做匀速直线运动的速度为v2，从离开磁场到停在C点的过程中，根据动能定理有，分解得v2=0.80m/s，物体在磁场中向左做匀速直线运动，受力平衡mg=qv2B，解得B=0.125T=0.13T。
（3）设从D点进入磁场时的速度为v1，根据动能定理有：，物体从D到R做匀速直线运动受力平衡：qE=μ(mg+qv1B)，解得v1=1.6m/s，小物体撞击挡板损失的机械能力：，解得△E=4.8×10－4J。
训练题 AD
[例8]答案：（1）；（2）；（3）。
解析：（1）设金属杆到达x0处时，其速度为v1，由运动学公式，解得：，金属杆的感应电动势。
（2）当金属杆的速度减小到零时，回路中感应电流方向发生改变，设此时金属杆的位置为xm，由运动学公式得。
（3）在金属杆沿x轴的正方向运动的过程中，设金属杆到达x处时，速度大小为v，则，金属杆的感应电动势为E=Bdv，回路中的感应电流为，金属杆受到的安培力为FA=BId，方向为x轴负方向，设x负方向为正方向，由牛顿第二定律F+FA=ma，外力F随金属杆的位置x变化的关系为：，在金属杆沿x轴的负方向运动的过程中，设金属杆到达x处时，速度大小为v，根据匀变速直线运动的对称性可知，v=，同理，此金属杆的感应电动势为E=Bdv，金属杆受安培力：，方向为x轴正方向，设负x方向为正方向，由牛顿第二定律F－FA =ma，外力F随金属杆位置x变化的关系为：。
训练题答案：（1）；（2）（）2R；（3）。
解析：（1）当CD运动到最大速度υm时，在水平方向受力平衡F = Ff + Bid CD上感应电动势E=Bdυm，通过CD的感应电流强度I = ，解得υm = 。
（2）当CD运动到最大速度后，电阻R上消耗的电功率P = I2R =（）2R
（3）当CD运动到最大速度的 EQ \A( )时，感应电动势为E′ = EQ \A( )Bdυm，通过CD的感应电流强度I′ = ，CD的加速度a = = 。
【歼灭难点训练参考答案】
1.AD 2.D 3.D 4.BD 5 AC 6 B7B
8.答案：h=v(t-√2vt/g)（提示：重物离开气球时有与气球相等的向上速度）
9.答案：x轴，能，mg＝qE+qvB；y轴，能，mg=qE(速度v大小可任意)；z轴，不能；因为重力和电场力在y轴方向上，而洛仑兹力方向为x轴负方向，三个力的合力不可能为零，所 以不可能沿z轴做匀速运动。
10.答案： (1)8.Om／s (2)4.2s或(√10+1)s（提示：物体沿斜面向上先加速，再减速至零，然后反向加速，注意加速度值每段都不同。）
11答案：μ=0．4
12答案：（1）x=m（a-a0）/k
（2）F=（M+m）a0
13．答案：（1）甲、乙两同学的分析都错；（2）μA=0.2，μB=0.1。
解析：（1）甲、乙两同学的分析都错。甲错在把水平力F当作合外力，而A、B两物块均受摩擦力f=4N；乙错在由于a轴和F轴的标度不同，斜率k不等于tanα。正确的求解是：由牛顿第二定律：mAaA=FA—f，变形代入数据得：；同理可以求得物体B的质量为：。
（2）由题意得摩擦力：正压力所以得到：，代入数据计算得到：μA=0.2，同理可以得到：。
14答案：释放后A和B相对静止一起做自由落体运动，
B着地前瞬间的速度为
B与地面碰撞后，A继续向下做匀加速运动，B竖直向上做匀减速运动。
它们加速度的大小分别为： 和
B与地面碰撞后向上运动到再次落回地面所需时间为
在此时间内A的位移
要在B再次着地前A不脱离B，木棒长度L必须满足条件 L ≥ x
联立以上各式，解得 L≥
15．答案：（1）；（2）。
解析：因无磁场时，两棒匀速下滑，则有重力、弹力、摩擦力三力的合力为零，因此在滑动过程中各棒相当于只受安培力，两棒组成的系统动量守恒，并且稳定时两棒速度相等。
（1）根据动量守恒得：mv0=2mv共，，解得。
（2）设当ab棒的速度变为初速的时，cd棒的速度为v，则根据动量守恒得：，解得：，而，所以cd棒的加速度为。
21．答案：（1）；（2）；（3）。
解析：（1）导轨向左运动时，导轨受到向左的拉力F，向右的安培力F1和向右的摩擦力f。根据牛顿第二定律：，F1=BIl，f=μ(mg—BIl)，，当I=0时，即刚拉动时，a最大，。
（2）随着导轨速度增大，感应电流增大，加速度减小，当a=0时，I最大即，。
（3）当加速度a=0时，电流I最大，导轨速度最大，，，所以最大功率。
