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“八问八答”谈摩擦力做功
在学习功的概念后，摩擦力做功的问题是一个难点，现通过几个常见的问题来剖析如下：
1. 静摩擦力不做功吗？
用水平外力推桌子但未推动，此时桌子所受摩擦力为静摩擦力。由于桌子相对地面位移为零，所以静摩擦力对桌子不做功。那么是不是静摩擦力都不做功呢？我们找一个物体受静摩擦力作用，也发生位移的情况看看：如传送带上的工件相对传送带静止并随传送带一起匀速上升，静摩擦力就对工件做正功。
2. 静摩擦力可以做负功吗？
当然可以，我们只要分析上例中传送带受到的静摩擦力及它的位移，就不难看出，传送带受到的静摩擦力对它做了负功。还有，若工件随传送带一起匀速下降，静摩擦力对工件也做负功。
3. 是不是物体受到静摩擦力，又发生了位移（相对大地），静摩擦力就一定做功呢？
不一定，由功的定义可知：如果力的位移的方向垂直，力就不做功。我们能不能举出这样的例子呢？当然能：我们用手握住杯子（杯子保持竖直），在水平方向上移动（或者用手捏着一本书，水平移动），静摩擦力竖直向上，与物体的重力平衡，与位移垂直，没有做功。
综上所述：静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
4. 滑动摩擦力总是可以做正功吗？
箱子在地面上滑行，摩擦力阻碍物体运动，做负功。滑动摩擦力能做正功吗？如图1所示，传送带在动力驱使下匀速运动，当煤从漏斗落到传送带的瞬间，煤块的水平速度为零，煤块相对传送带向后滑动，因而受到向前的滑动摩擦力作用。以地面为参照，煤块所受滑动摩擦力方向与位移方向相同，所以滑动摩擦力对煤块做正功，煤块的速度和动能不断增大。直到煤块速度与传送带相等时，滑动摩擦力变为零。
图1
5. 滑动摩擦力可以不做功吗？
滑动摩擦力也可以不做功，如木块在固定的桌面上滑动时，桌面受到的滑动摩擦力对桌子并不做功。
6. 相互作用的两个静摩擦力，如果其中一个力做了正功，另一个力一定做等大的负功吗？
是的，一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等，方向相反，因而做功之和为零。从能量转化的角度来说，在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。
7. 两个相互作用的滑动摩擦力做功的情况又如何呢？
首先，可以都做负功。
其次，如第5问的例子中，可以一个滑动摩擦力做负功，而另一个力不做功。
第三，如第4问的例子中，如果一个滑动摩擦力做正功，则另一个力一定做负功，而且两个功的代数和一定为负值。因为物体间存在滑动摩擦力时，由于物体间存在相对运动，位移大小不同，所以一对滑动摩擦力必做负功。滑动摩擦力做功的过程中，能量的变化有两种情况：一是相互摩擦的物体之间有部分机械能的转移；二是有一部分机械能转化成了内能。所以，两个相互作用的滑动摩擦力做功之和一定为负值。
8. 相互作用的两个滑动摩擦力做的功如何计算呢？
如图2所示，木板B长为L，静止在光滑水平面上，一个小物体A以速度滑上B的左端，当A滑到B的右端时恰好相对B静止，此时物体B运动了S的位移，可以判断B对A的摩擦力做功为：；A对B的摩擦力做功：，所以这一对摩擦力对系统做功总和为：。从能量的角度说，这就是转化为内能的部分。
图2
综上可知：①相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做的总功等于零。
②相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做的功总是负值，其绝对值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，即恰等于系统损失的机械能。
［练习］
如图3所示，质量为M的木块放在光滑水平面上，质量为m的子弹以速度沿水平方向射中木块，并停留在木块中与木块一起以速度运动。已知当子弹相对于木块静止时，木块前进的距离为，子弹进入木块深度为，如果木块对子弹的阻力恒为，那么下列关系式中正确的是（ ）
图3
A.
B.
C.
D.
答案：ACD
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三种方法算冲量
编者按：在初学冲量和动量时，许多读者来信反映在理解和计算冲量的时候比较困难。应广大读者需求，本期特别为大家准备了这篇文章，希望同学们可以认真、反复的阅读，从而对“冲量”达到轻车熟路的程度。
力和力的作用时间的乘积叫做力的冲量。用公式可表示为I＝Ft。冲量是矢量，冲量的运算遵循平行四边形定则。
冲量的定义式是I＝Ft，可该公式并不能计算所有情况的冲量，只能用于计算恒力的冲量。下文所要阐述的是高中阶段常见的计算冲量的方法。
一、用I＝Ft计算恒力冲量
恒力的冲量分为单个恒力冲量和几个恒力的合冲量。
1. 单个恒力的冲量
单个恒力的冲量直接用该力乘以该力作用的时间，即I＝Ft。冲量的方向与力的方向一致。
（1）曲线运动中单个恒力的冲量
例1. 一个质量为m的物体，从离地面高为h的位置以初速度v0水平抛出，求物体从开始抛出到落至地面这段时间内重力的冲量。
解析：因为重力为恒力，其大小为mg，方向竖直向下，所以重力的冲量可直接用I＝Ft解。设物体运动的时间为t，因在竖直方向上，平抛运动是自由落体运动，所以h＝，t＝。
重力在这段时间内的冲量大小为：
I＝Ft＝mgh＝
冲量的方向与重力的方向一致，即竖直向下。
点评：（1）谈到冲量，一定要明确是哪个力、在哪段时间内的冲量。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。（2）不论是直线运动还是曲线运动，只要是恒力的冲量，都可以直接用I＝Ft计算。
（2）直线运动中单个恒力的冲量
例2. 如图1所示，质量为m的小滑块沿倾角为的斜面向上滑动，经过时间t1，速度为零后又下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为Ff，在整个运动过程中，重力对滑块的总冲量为（ ）
图1
A. B.
C. D. 0
解析：重力是恒力，重力的冲量等于重力与重力作用时间的乘积，即整个运动过程中重力的冲量。选项C正确。
点评：（1）本题在运动过程中，物体的重力没有做功，可重力有冲量。（2）在计算某个恒力的冲量时，不需要考虑被作用的物体是否运动，作用力是何性质的力，也不需要考虑作用力是否做功及是否还有其它力存在。
2. 几个恒力合力的冲量
物体同时受到几个恒力的作用，物体受到的合冲量可以有以下求法：
（1）先求出几个力的合力F合，再求合力的冲量，即I合＝F合t。
（2）先求出每个力的冲量Ii＝Fiti，再求每个力冲量的矢量和
提示：（1）如果作用在物体上的几个力的作用时间是同一段时间，则可选择上述两种方法之一求合冲量；如果几个力作用的时间不是同一段时间，则合冲量只能用第二种方法求。（2）冲量的运算应依据平行四边形定则，如果物体所受的外力的冲量都在一条直线上，那么选定正方向后，冲量的方向可以用正、负号表示，冲量的运算就可以简化为代数运算。
例3. 静止在水平面上的物体，用水平恒力F推它ts，物体始终处于静止状态，那么在这ts内，恒力F对物体的冲量和该物体所受合力的冲量大小分别是（ ）
A. 0，0 B. Ft，0
C. Ft，Ft D. 0，Ft
解析：恒力F的冲量IF＝Ft。
因为物体静止，则物体受到的合力一定为零，即F合＝0，所以合力的冲量I合＝F合t＝0。选项B正确。
二、用动量定理求变力冲量
1. 求单个变力冲量
例4. 一个质量为m＝100g的小球从h＝0.8m高处自由下落，落到一个厚软垫上，若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了t＝0.2s，则这段时间内，软垫对小球的冲量是多少？（g＝10m/s2）
解析：设小球自由下落h＝0.8m的时间为t1，由得。如设IN为软垫对小球的冲量，并令竖直向下的方向为正方向，则对小球整个运动过程运用动量定理得：，得。
负号表示软垫对小球的冲量方向和重力的方向相反。
点评：动量定理是一个矢量式，对一维情况，应用时要先选定一个正方向，把矢量运算简化为算术法再运算。动量定理可以分过程列，也可以对整个过程列。
2. 求合变力的冲量
例5. 如图2所示，一个质量为1kg的滑块在固定于竖直平面内半径为R的光滑轨道内运动，若滑块在圆心等高处的C点由静止释放，到达最低点B时的速度为5m/s，求滑块从C点到B点的过程中合外力的冲量。
图2
解析：滑块从C点滑到B点的过程中，受到重力和支持力FN作用。支持力是变力，故滑块受到的合力是一个变力，不能直接用合力跟时间的乘积来求。
因为滑块从C点滑到B点的过程中动量变化的大小为，方向水平向右。
根据动量定理可知，滑块从C点滑到B点的过程中合力的冲量大小I合＝，方向水平向右。
例6. 质量为m的物体，沿半径为R的轨道以速率v做匀速圆周运动，求物体所受的合外力在半周期内的冲量。
解析：如图3所示，研究物体从A运动到B的过程，假设vB的方向为正方向。根据动量定理，合力的冲量大小为：
图3
合力冲量的方向与的方向相同。
点评：（1）做匀速圆周运动的物体，所受的合外力一定指向圆心，合外力提供物体作圆周运动的向心力。（2）本题的合外力（向心力）大小尽管可以求出，物体运动半周所用的时间也可由v和R求得，但由于F的方向是不断变化的，不能用冲量的定义I＝Ft求向心力F的冲量。但根据动量定理，可用物体的动量增量等效代换向心力的冲量。
三、用图象“面积”法求变力冲量
在F－t图象上，图象与坐标轴围成的面积的大小，就等于在该段时间内力对物体的冲量。
例7. 作用在物体上的力随时间变化的关系如图4所示，求该力在6秒内的冲量。
图4
解析：在6s内，作用在物体上的力的冲量等于图线与时间轴所围的面积值（图4中画有斜线部分的三角形面积），即。
点评：对于变力的冲量，若力随时间线性变化，也可用平均力代入I＝t计算。如计算本题前4s内的冲量，则可用。
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动量守恒的几种类型及应用
正确理解动量守恒的条件是掌握动量守恒定律的前提和基础，更是正确应用动量和能量观点处理动量和机械能相结合的综合问题最为关键的条件。系统动量守恒的类型包括以下几种情况：
1. 系统不受外力或者所受外力之和为零
“人船模型”是这类问题的典型应用。
（1）符合“人船模型”的条件：相互作用的物体原来都静止，且满足动量守恒条件。
（2）“人船模型”的特点：人动“船”动，人停“船”停，人快“船”快，人慢“船”慢，人上“船”下，人左“船”右。
例1. 如图1所示，等臂U形管竖直安装在光滑水平面上放置的轻质小车上，小车和试管的总质量与试管内水的质量相等，均为M。开始时试管底部的阀门K关闭，管的水平部分的水柱与右侧竖直管内的水柱等长，小车静止。打开阀门，水缓慢流动到另一侧，使两竖直管中水面平齐。已知两竖直管轴线间距离为L，则上述过程中，小车向______________移动，移动的距离为_________________。
图1
解析：由题意可知，试管内的水和小车及试管的运动符合“人船模型”的特点，试管内的水相当于“人”，小车及试管相当于“船”，打开阀门后，水缓慢流动到另一侧，最终两竖直管中水面平齐，在处理过程中，相当于右侧（质量为）的水直接运动到左侧管内，把其他部分的水（长度为，质量为）与小车及试管看成一个整体，如图2所示。如此一来，右侧（质量为）的水相当于“人”，长度为、质量为的水与小车及试管相当于“船”，“人”向左运动，故“船”向右运动，“人”与“船”的相对位移为L。
图2
①
而 ②
∴小车向右移动，移动的距离
点评：
（1）处理“人船模型”类问题首先理解此类模型符合的条件必须是系统的初动量为零且满足动量守恒定律；
（2）解决此类问题的关键是找出系统内每个物体的位移关系；
（3）在深刻理解动量守恒定律的基础上，注意此类模型的拓展变式，如“人车模型”、“物物模型”等。
2. 系统所受外力之和虽不为零，但系统的内力远大于外力时，则系统的动量可视为守恒
高中阶段，碰撞、爆炸、冲击等问题，由于作用时间极短，重力及其他阻力等外力比物体间相互作用的内力要小得多，以至外力冲量对系统动量变化的影响可以忽略，这时可近似认为系统的动量守恒。
例2. 一质量为M的木块从某一高度自由下落，在空中被一粒水平飞行的子弹击中并留在其中，子弹的速度为，质量为m，则木块下落的时间与自由下落相比将（ ）
A. 不变 B. 变长
C. 变短 D. 无法确定
解析：设木块被子弹击中时的速度为，击中后的水平和竖直速度分别为，子弹对木块的冲力远大于重力，竖直方向动量守恒：，。∴下落时间将变长。
答案：B。
3. 系统所受外力之和不为零，但在某个方向上满足条件1或条件2，则在该方向上动量守恒
例3. 如图3所示，质量为M的槽体放在光滑水平面上，内有半径为R的半圆形轨道，其左端紧靠一个固定在地面上的挡板。质量为m的小球从A点由静止释放，若槽内光滑，求小球上升的最大高度。
图3
解析：设小球由A滑到最低点B时的速度为，上升的最大高度为h。由机械能守恒定律：
①
②
小球在向上运动过程中，M和m组成的系统水平方向总动量守恒，设它们在最高点时水平方向的共同速度为
③
整个过程中系统的机械能守恒：
④
由②~④式得，小球上升的最大高度：
点评：
（1）当系统在某方向上分动量守恒时，应根据速度分解的基本方法找到该方向上各自的分速度，列出分动量守恒方程；
（2）假若同时要和机械能相结合时，应注意，代入动能表达式的速度应是物体的合速度，即实际运动方向的速度；
（3）若出现临界状态，应注意确定临界条件。
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变力做功的求解方法
在求功公式中，F是恒力，即在做功过程中，F的大小、方向都不变。当F是变力时，该怎样求功呢？本文介绍以下方法：
1. 转化为恒力做功
在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用求解。
例1. 如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图1中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。
图1
分析：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。
由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为：
所以绳对物体做功：
2. 用动能定理
动能定理表达式为，其中是所有外力做功的代数和，△Ek是物体动能的增量。如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
例2. 如图2所示，质量的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点。物体到达B点时的速度为，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。
图2
分析：物体由A运动到B的过程中共受到三个力作用：重力G、支持力和摩擦力。由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。
由动能定理，其中
所以
代入数据解得
3. 用W=Pt
利用此式可求出功率保持不变的情况下变力所做的功。
例3. 质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。
分析：汽车的功率不变，根据知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功
再由动能定理得：
所以
4. 用图象法
在图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功。
例4. 放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过程中拉力所做的功。
分析：由题意作出图象如图3所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即
图3
5. 用平均值
当力的方向不变，而大小随位移线性变化时，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。
例5. 要把长为的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？
分析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。
钉子在整个过程中受到的平均阻力为：
钉子克服阻力做的功为：
设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：
所以
6. 用功能原理
除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于系统机械能的增量。若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。
例6. 如图4所示，将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？
图4
分析：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用求解。
该过程中，物体要经历图4所示的状态，当矩形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为：
由功能原理可知
当时，最小，为：
。
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用图象法巧解机车功率问题
不少问题若通过一般计算法进行分析处理，往往很难顺利地、鲜明地得出结论，而用图象法有时会事半功倍，简洁明了。
例1. 火车在恒定功率下由静止出发，沿水平轨道行驶，5 min后速度达到最大20m/s，若火车在运动过程中所受阻力大小恒定。则该火车在这段时间内行驶的距离：（ ）
A. 可能等于3km B. 一定大于3km
C. 一定小于3km D. 无法确定
解析：火车由静止出发保持功率不变，必定是一个加速度不断减小的加速运动，则图象各点的斜率（即瞬时加速度）随时间逐渐减小，其图线为下图曲线部分，且曲线为向上凸；而在对应时间内的匀加速运动为斜直线，这段时间的位移（画阴影线面积）一定要小于向上凸的曲线与时间轴围成的面积。其图线很直观地表现出它们的大小关系。所以选B。
例2. 完全相同的两辆汽车，以相同速度在平直的公路上并排匀速行驶，当它们从车上轻推下质量相同的物体后，甲车保持原来的牵引力继续前进，乙车保持原来的功率继续前进，一段时间后：（ ）
A. 甲车超前 B. 乙车超前
C. 仍齐头并进 D. 先是甲车超前，后乙车超前
解析：如果考虑列式分析，恐难以解决的。那么我们利用所熟悉的匀加速运动和功率不变条件下的速度—时间图象解决此题就十分方便了。两辆车以相同的速度并排行驶时，当同时从两辆车上轻推下质量相同的物体，它们所受阻力必定有所减小，使牵引力大于阻力，速度增大。不过此后，甲车保持原来的牵引力则做匀加速运动；乙车保持功率不变（，速度增大，则牵引力减小）做加速度越来越小的加速运动。容易看出，它们的初速度一致，匀加速运动的图线一定是功率不变的加速运动图线在零时刻的切线，很明显乙曲线与时间轴围成的面积小于甲图线与时间轴围成的面积，即相同时间内乙的位移小于甲的位移。故甲车一定超前乙车，所以本题应选A。
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平抛运动中的解题技巧
平抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动和自由落体运动的合运动。由于竖直分运动为自由落体运动，则匀变速直线运动的解题方法和技巧都可以用到平抛运动中来。
一、巧选参考系
例1. 如图1所示，飞机离地面的高度为，水平飞行速度为，追击一辆速度为同向行驶的汽车，欲投弹击中汽车，飞机应在距离汽车多远处投弹（）。
图1
解析：炸弹做平抛运动，飞行时间，由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系。水平方向，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离
二、巧用△s=aT2
例2. 在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹。小方格的边长为，若小球在平抛运动中先后经过的几个位置（如图2所示中的a、b、c、d），则小球做平抛运动的初速度的计算式___________，（用L，g表示）其值为________。
图2
解析：从图中可以看出a、b、c、d四点沿水平方向相邻两点间的距离均为2L；根据平抛运动的规律，物体由a到b，由b到c，由c到d，所用时间相等，设为t；则，a、b、c、d四点沿竖直方向依次相距为L、2L、3L，由于平抛物体竖直方向做自由落体运动，且任意两个连续相等的时间里的位移之差相等；，由此可得，由上式可得初速度的计算式，代入数值得。
三、巧用初速v0=0的匀加速直线运动在连续相等的时间内通过的位移之比为1：3：5：7…
例3. 在研究物体平抛运动的实验中，某同学记录了A、B、C三点。各点的坐标如图3，则开始平抛的初始位置坐标为________________。
图3
解析：由于平抛运动水平分运动为匀速直线运动，从轨迹上可以看出AB段和BC段对应的水平位移相同，因而所用时间也相同。设时间间隔为，对应的竖直位移为和，由于，所以平抛运动的抛出点不在A点。应在轨迹A点前对应一个时间间隔t的位置。由初速的匀加速直线运动在连续相等的时间内通过的位移之比为1：3：5：7…，抛出点的坐标为。
四. 巧用对称性
例4. 在一房间内靠近右墙的A点处，沿水平方向抛出一个小球与左墙B点碰撞，碰撞前后竖直速度不变，水平速度等大反向，最后落在C处，已知A点与C点的高度差为H，则B点与C点的高度差为多少？
图4
解析：小球在B点和墙壁碰撞时竖直速度不变，水平速度等大反向，由于水平位移相同，则AB段和BC段对应的时间相同。由对称性可知，BC段可以和BD段等效，则从A→B→C的运动可以等效为从A→B→D的运动。由自由落体运动的特点可知，AB段和BC段竖直位移之比为1：3，因此BC段的竖直位移为。
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动量定理的难点突破
一、动量定理
动量定理反映的是物体在状态变化过程中动量与外力冲量的关系，是物体所受合外力的冲量等于物体动量变化的关系，表达式为：。
1. 动量定理说明合外力的冲量是物体动量变化的原因。
2. 动量定理是矢量式，它说明合外力的冲量与物体动量的变化，不仅大小相等而且方向相同，在应用动量定理解题时，要特别注意各矢量的方向，若各矢量的方向在同一直线上，可选定一个正方向，用正负号表示各矢量的方向，就把矢量运算简化为代数运算了。
3. 由动量定理得，即物体动量的变化率就等于它所受的合外力，这就是牛顿第二定律的另一种表达形式。
例1. 把质量为5kg的物体放在光滑的水平面上，如图所示，在与水平方向成53°大小为5N的力F作用下从静止开始运动，在2s内力F对物体的冲量为多少？物体获得的动量为多少？
解析：对物体进行受力分析，与水平方向成53°的拉力F，竖直向下的重力G，竖直向上的支持力FN。
由冲量定理可知，力F的冲量为：
因为在竖直方向上，力F的分量Fsin53°、重力G、支持力FN的合力为零，合力的冲量也为零，所以物体所受合外力的冲量就等于力F在水平方向上的分量，由动量定理得：
所以
注意：此时物体除了受外力F的冲量，还有重力及支持力的冲量。
二、应用动量定理的解题步骤
1. 确定研究对象。研究对象可以是一个物体，也可以是两个以上的物体组成的系统。
2. 确定应用动量定理的物理过程，即确定在哪一段时间内应用动量定理。
3. 分析运动过程中的运动情况，给出外力冲量的矢量和的表达式。
4. 分析运动过程始末的动量，并由所定正方向写出增量的表达式。
5. 列出动量定理方程并求解。
例2. 据报道，1980年一架英国战斗机在威尔士上空与一只秃鹰相撞，造成飞机坠毁，小小的飞鸟撞击庞大、坚实的飞机，真难以想象，试通过估计，说明鸟类对飞机飞行的威胁，设飞鸟的质量m＝1kg，飞机的飞行速度为v＝800m/s，若两者相撞，试估算鸟对飞机的撞击力。
解析：可认为碰撞前后飞机的速度不变，一直以800m/s的速度飞行，以飞机为参考系，以鸟为研究对象，由于撞击的作用很大，碰撞后可认为鸟同飞机一起运动，相对于飞机的末速度v'＝0，设碰撞时鸟相对飞机的位移L＝20cm（可认为是鸟的身长），则撞击的时间约为：
①
选取飞机飞行的方向为正方向，根据动量定理得：
②
由①②两式解得鸟受的平均作用力：
≈3×106N
根据牛顿第三定律可知，飞鸟对飞机的撞击力大小也约为3×106N。
三、动量定理的适用范围及优点
动量定理是我们为研究短时间作用过程中而得出的规律，但它适用于所有过程，不仅适用于宏观物体的低速运动，对微观现象和高速运动依然适用。在对系统使用时要注意冲量是系统所受外力的冲量，而当合外力为变力时，F应该是合外力对作用时间的平均值。
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机械能守恒定律“五性”的理解
机械能守恒定律是能量守恒定律的特例。“在只有重力或弹力做功的条件下，系统内的动能和势能相互转化，机械能总量保持不变。”从两个角度理解：（1），即，系统的机械能保持不变，体现的物理思想是“状态=状态”；（2），在系统内动能的增加来源于势能的减少，体现的是“变”的思想，“变”与“不变”的统一构成了“守恒”，即守恒是一个动态的过程。
在理解机械能守恒定律时，应严格把握“五性”：
1. 系统性
势能是系统的概念，只有系统才具有势能，从产生的条件来讲是由于系统内相互作用的物体与相对位置有关而具有的能，即，存在于保守力场中，像重力势能（属于地球和物体系统所有）、弹簧的弹性势能（属于弹簧和与之连接的物体所组成的系统所有）、静电场中的电势能（属于电场和电荷系统所有）、分子势能（属于相互作用的分子系统）等；
2. 相对性
机械能包含动能和势能，中涉及到参考系的选择，中涉及到零势能位置（参考平面）的选取，因此相对于不同的参考系和零势能面描述的结果不相同，涉及到多个物体组成的系统或发生多个物理过程中，要选取统一的参考系和零势能面。
3. 条件性
理解“只有重力或弹力做功”的含义：①对某一个物体系统（物体和地球、弹簧组成的系统），只有重力或弹簧弹力做功，其它力不做功或做功的代数和为零。②对多物体系统（包括地球、弹簧），系统内只有重力或弹力做功；其它内力和外力不做功或做功的代数和为零。所以，运用机械能守恒定律解答问题的关键是判断系统的“条件性”，标定系统初状态和末状态的机械能。
理解“条件性”，还应根据发生的物理过程，在不同的阶段，系统所包含研究对象的不同进行具体的分析。
例1. 如图1所示，轻质弹簧一端固定，另一端系质量为m的小球，由水平位置自由释放，绕悬点O向下摆过过程中，小球的重力势能转化为动能和弹簧的弹性势能（以最低处为零势能面），小球与地球组成的系统机械能不守恒，但与弹簧三者组成的系统机械能守恒。在多个物理过程中，依据物体间的相互作用力，有无做功的过程实现能量的相互转换，根据实际情况选取不同的对象组成系统。
4. 标量性的理解
机械能守恒定律是标量表达式，初、末状态的机械能可以为正值也可以为负值，依据零势能面的选取，重力势能的正负值表明的仅是在选定零势能面的上下方，不代表方向。在某些问题中，选取恰当的零势能面，可简化解题过程，请看例2。
例2. 如图2所示，质量为m的均匀铁链长为L，平放在距离地面高为2L的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚着地时的速度？
方法1：选取地面为零势能面，由机械能守恒得
方法2：选取桌面为零势能面，由机械能守恒得
5. 守恒性的理解
守恒性包含“不变”和“变”两层含义，“不变”是指整个系统机械能不变，“变”是指系统内部动能和势能之间必须发生相互转化，即；或者系统内各物体的机械能发生相互转移，即。系统内动能和势能的相互转化是通过保守力做功（像重力、弹簧的弹力）实现的，不同物体之间机械能的转移是通过系统内弹力做功实现的，但像摩擦力这样的耗散力充当内力时，系统的机械能部分转化为内能，即系统内一物体减少的机械能并不等于另一物体增加的机械能。
例3. 如图3所示，一根长为1m，可绕O轴在竖直平面内无摩擦转动的细杆AB，已知，，质量相等的两个球分别固定在杆的A、B端，由水平位置自由释放，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？
思路：A、B球在同一杆上具有相同的角速度，，A、B组成一个系统，系统重力势能的改变量等于动能的增加量，选取AB所在水平面为零势能面，则
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没有规矩 不成方圆
——浅析机械能守恒定律的条件
在课本中明确指出，机械能守恒定律的内容是：只有重力或弹力做功的情形下，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。对于机械能守恒定律条件的阐述，有些同学不甚理解，本文就物体具体在什么情况下机械能守恒作如下阐述：
一、物体在运动中只受重力，只有重力对其做功，则物体机械能守恒。例如：自由落体运动和各种抛体运动。
例1. 把一小球从地面上以20m/s的初速度斜向上抛出，初速度与水平方向夹角为30°，求小球离地面5m高时的速度大小（不计空气阻力）。
解析：小球在运动过程中只有重力对其做功，机械能守恒，设地面重力势能为零，则有
把代入可解得：
二、物体在运动过程中除重力外还受其他力，但其他力对物体不做功，只有重力做功，则物体的机械能守恒。
例2. 如图1，质量相等的两个小球A、B分别用细线悬挂在等高的两点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经最低点时（以悬点所在平面为零势能面），A球动能与B球动能相比如何，两者机械能相比如何？
图1
解析：A、B两球在向下运动时，虽然受重力和绳子拉力，但拉力不做功，只有重力做功，因而机械能守恒。由于初始状态时两者机械能相等，因此到达最低点时，两球机械能仍相等，但A球在最低点时重力势能较小，所以A球的动能大。
三、研究轻弹簧和物体组成的系统，系统内只有重力和弹簧弹力对物体做功，即只有弹簧的弹性势能和物体的机械能之间的转化，系统总的机械能守恒。
例3. 如图2所示，轻弹簧一端与墙相连，质量为4kg的木块沿光滑的水平面以5m/s的速度运动并压缩弹簧k，求弹簧在被压缩过程中最大的弹性势能及木块速度减为3m/s时弹簧的弹性势能。
图2
解析：当木块的速度为零时，弹簧的压缩量最大，弹性势能最大，设弹簧的最大弹性势能为，木块和弹簧组成的系统机械能守恒，则有
当木块速度为时，弹簧的弹性势能为，则有，所以
四、研究两个物体组成的系统，若只有重力和这两个物体之间的弹力做功，两个物体组成的系统机械能守恒。（这两个物体各自的机械能不一定守恒）
例4. 如图3所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦转动。现使轻杆从水平状态无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放到转动90°的过程中：
图3
A. B球的重力势能减少，动能增加
B. A球的重力势能增加，动能减少
C. A球的重力势能和动能都增加了
D. A球和B球的总机械能是守恒的
解析：A、B球组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统总机械能守恒。杆从释放到转动90°的过程中，A球的动能增加，重力势能也增加，即杆对A球做正功，A球的机械能增加；B球的重力势能减少，动能增加，即杆对B球做负功，B球的机械能减少，但A球的机械能的增加量和B球机械能的减少量相等，所以答案为ACD。
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