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第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法
1.1 实数可以比较大小
1．数轴上点的位置与实数的大小关系
若用数轴上的点A，B分别表示实数a，b，则当a＞b时，点A在点B的__________；当a＝b时，点A与点B____________；当a＜b时，点A在点B的________.
右边
表示同一点
左边
已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若x＜y＜0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是( )
A．点P在点Q的左边 B．点P在点Q的右边
C．P，Q两点重合 D．不能确定
解析：∵x＜y＜0，∴|x|＞|y|＞0.故点P在点Q的右边．
答案：B
2．实数大小的比较
(1)a＞b __________；a＝b __________；a＜b __________.
(2)要比较两个实数的大小，可通过考察______________的大小关系来完成．
a－b＞0
a－b＝0
a－b＜0
它们的差与0
判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b＞0.( )
(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(3)若a＜b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．( )
提示：(1)× (2)√ (3)√
已知实数a，b，c，d满足下列条件：①a＜b，c＜d；②(a－c)(b－c)＞0；③(a－d)(b－d)＜0.则有( )
A．a＜c＜d＜b B．c＜a＜b＜d
C．a＜c＜b＜d D．c＜a＜d＜b
解析：∵(a－c)(b－c)＞0，∴a，b在c的同侧．
∵(a－d)(b－d)＜0，∴a，b在d的异侧．
利用数轴比较实数的大小
∵a＜b，c＜d，∴把a，b，c，d标在数轴上，只有下面一种情况(如图)．
由此得出c＜a＜d＜b.
答案：D
【点评】 比较大小时可以借助数轴，利用已知条件或推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．
实数大小的比较
∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．
【点评】 比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤如下：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
2．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
甲、乙同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，那么甲、乙谁先到达指定地点？
比较大小在实际问题中的应用
【点评】 在实际问题中，如果需要根据实际情况做出判断或选择时，可先用字母表示问题中的相关量，再通过比较两个量的大小做出判断．
3．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买一张全票，其余人即可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的三分之二优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立函数表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
1．作差法比较两个实数大小的步骤
作差法是比较两个数或式的大小的最常用的方法，因此，比较两个数或式的大小时，要树立作差的意识．
作差法比较大小的步骤如下：作差，变形(分解因式、配方、通分、根式有理化等)，判断差的符号，下结论．其中变形是关键，变形的目的是判断符号，而不是化简．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
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第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法
1.2 比较法证不等式
1．比较法
(1)求差比较法
我们已经知道a＞b a－b＞0，a＜b a－b＜0，因此，要证明a＞b，只要证明__________即可，这种方法称为求差比较法．
(2)求商比较法
a－b＞0
(1)求差比较法主要适用的类型是什么？实质是什么？
(2)求商比较法主要适用的类型是什么？
提示：(1)求差比较法主要适用于具有多项式结构特征的不等式证明．实质是把判断两个数(或式子)大小的问题转化为判断一个数(或式子)与0大小的问题．
(2)求商比较法主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明．
2．不等式的基本性质
(1)性质1：若a＞b，c∈R，则a＋c__________b＋c；
(2)性质2：若a＞b，b＞c，则a__________c；
(3)性质3：若a＞b，c＞d，则a＋c__________b＋d；
(4)性质4：①若a＞b，c＞0，则ac__________bc；
＞
＞
＞
＞
＜
＞
＞
＞
设△ABC的三边长分别是a，b，c，求证：4(ab＋bc＋ac)＞(a＋b＋c)2.
证明：∵a，b，c是△ABC的三边长．
∴a＞0，b＞0，c＞0，且b＋c－a＞0，c＋a－b＞0，a＋b－c＞0.
∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2)＝a(b＋c－a)＋b(c＋a－b)＋c(a＋b－c)＞0.
∴4(ab＋bc＋ac)＞(a＋b＋c)2.
作差比较法证明不等式
【点评】 比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法．当被证明的不等式两端是多项式、分式或对数式，一般用求差比较法．
1．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
∵a≥b＞0，
∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0.
∴(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
即2a3－b3≥2ab2－a2b.
作商比较法证明不等式
【点评】 当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般用求商比较法．
利用不等式的基本性质求取值范围
【点评】 求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的基本性质时，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
1．不等式的基本性质是解不等式和证明不等式的依据，注意以下两个方面的问题：
(1)理解不等式基本性质的条件和结论，注意条件的加强或减弱与结论的关系．
(2)正确运用不等式的性质，注意结论成立的条件．
2．作差比较法
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的是判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用其他有效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差的符号，常将差变形为一个常数或几个因式积的形式，当所得的差是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．当差的符号不能确定时，要对差式进行分类讨论．
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第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法
1.3 基本不等式
1.4 基本不等式实际应用举例
a＝b
不小于
2ab
4．解决数学的实际应用问题，首先，要认真审题，即理解关键的字、词、句，理清主要的数量关系；其次，要转化为数学问题，即通过将关键量符号化、字母化，将主要数量关系用数学模型来描述；最后，解决数学问题，并回答实际问题．
5．运用基本不等式求函数的最值时，注意验证“一_____、二______、三_______”．
正
定
相等
要建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．
当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
答案：1 760
利用基本不等式证明不等式
【点评】 基本不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．但应注意连续多次使用基本不等式时等号成立的条件是否保持一致．
利用基本不等式求最值
【点评】 利用基本不等式求函数的最值或值域时，需要同时满足三个条件：“一正、二定、三相等”．“正”可通过题设得到，各项为负的函数表达式可通过提出负号达到目的；“相等”可通过最后的验证得到；“定”往往需要一定的灵活性和技巧性．构造定值条件的常用技巧有拆分、添项、去项、统一变量等．
甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v km/h的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y元表示为速度v km/h的函数，并指出这个函数的定义域．
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
利用基本不等式解决实际问题
【点评】 用基本不等式求最值，始终要验证“一正、二定、三相等”，如果不确定时，还要注意分情况讨论．
解决不等式恒成立问题
【点评】 解决某些含参数的不等式恒成立的问题时，可通过分离参数的方法，使参数与变量分别位于不等式两端，从而将问题转化为求关于变量的函数的最值，进而通过基本不等式求出参数的取值范围．
4．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0,2)恒成立，则a的取值范围是__________.
1．应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小，解题策略是对所给不等式进行变形，然后利用基本不等式求解．
2．利用基本不等式求最值，一般按以下三步进行：
(1)看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，则需对式子进行变形，凑出需要的定值．
(2)看所用的两项是否同正，若不满足，则通过分类解决．同负时，可提取“－1”变为同正．
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值；若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．
切记利用基本不等式求最值时的三个条件：“一正、二定、三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以．
3．求参数的值或取值范围的问题，解题策略是观察题目特点，利用基本不等式确定成立的相关条件，从而得到参数的值或取值范围．
4．利用基本不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次分析题目中给出的条件，建立函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后利用基本不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的取值范围的制约．
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第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法
1.5 分析法与综合法
1．分析法
从欲证的不等式出发，执“果”索“因”，层层推求使结论成立的__________条件，直至能够肯定这些__________条件已经具备为止，进而断言原不等式成立，这种方法称为分析法．
充分
充分
2．综合法
所谓综合法就是由“因”导“果”，从题设条件出发，利用已知__________、__________、__________等逐步推进，证得所要求证的结论的方法．
定义
公理
定理
试分析综合法与分析法证明不等式的逻辑关系．
用分析法证明不等式
【点评】 用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B也可以是A的充要条件．
∵[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)，
又x≥1，y≥1，
∴(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.
故所要证明的不等式成立．
用综合法证明不等式
结合分析法与综合法来证明不等式
【点评】 在证明不等式的过程中，分析法、综合法常常是不能分离的．当运用综合法证明不等式难以入手时，常运用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律．有时问题的证明难度较大，常运用分析综合法，实现从两头往中间靠以达到证题的目的．
1．分析法证明不等式
(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．
(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．
2．综合法证明不等式
揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式．
3．分析法与综合法
(1)分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法综合运用．
(2)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论出现为止．
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第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法
1.6 反证法和放缩法
1．反证法
(1)反证法：先假设所要证的不等式不成立，也就是说________________成立，以此为出发点，结合已知条件，进行推理论证，最后推出和__________或_____________相矛盾的结果，从而断定假设错误，因而确定要证的不等式成立．
(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．
不等式的反面
已知条件
已知不等式
用反证法证不等式应把握哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握好以下三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
2．放缩法
放缩法是不等式证明的基本方法，它的依据是不等式的基本性质：“若____________，则__________.”一般可考虑利用添项、__________、已知不等式及函数的__________等将欲证不等式的左边或右边进行放大或缩小．
a＞b，b＞c
a＞c
舍项
单调性
运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是证明中常用的方法技巧，也是放缩法中的主要形式．
已知0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2.
求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.
用反证法证明不等式
【点评】 (1)用反证法证明问题要严格按照证明步骤进行，其证明步骤可以概括为“否定—推理—否定”．
(2)反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一进行论证，缺少任何一种可能，证明都不完全．
用放缩法证明不等式
【点评】 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处．目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知的不等式、利用基本不等式、利用函数的性质进行放缩等．
1．反证法适宜证明的问题
反证法适宜证明“存在性问题”“唯一性问题”或“否定性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者直接证明有困难时，常采用反证法．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设如下表.
常见词语 至少有一个 至多有一个 唯一一个 不是 不可能 全 都是
否定假设 一个也没有 有两个或
两个以上 没有或有两个以上 是 有或存在 不全 不都是
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第2章 绝对值不等式
2.1 含有绝对值的不等式
1．绝对值的几何意义
设a是任意一个实数，在数轴上：
(1)|a|表示________________________的距离．
(2)|x－a|表示___________________________________的距离．
(3)|x＋a|表示___________________________________的距离．
实数a对应的点与原点O
实数x对应的点与实数a对应的点之间
实数x对应的点与实数－a对应的点之间
在数轴上把|a|，|b|，|a＋b|表示出来(分ab＞0，ab＜0两种情况)．
2．绝对值重要不等式
如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤__________≤|a|＋|b|.
|a＋b|
|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|具有怎样的大小关系？
提示：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
3．绝对值重要不等式的常用结论
(1)设a，b是任意实数，有||a|－|b||≤|a＋b|，当且仅当ab≤0时，__________成立．
(2)对任意实数a，b，c，有|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当(a－c)(c－b)≥0时，__________成立．
等号
等号
不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，两个等号成立的条件分别是什么？
提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|.
含绝对值不等式的证明
【点评】 含绝对值不等式的证明，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用不等式的性质|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|证明不等式，常要对绝对值内的式子进行分析组合、添项或减项使待证式与已知之间联系起来，最后通过绝对值的运算完成证明．
求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
解法一：||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.
∴ymax＝4，ymin＝－4.
利用绝对值重要不等式求函数的最值
【点评】 求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值的主要方法有如下几种：
①借助绝对值的定义，进行零点分段求解；
②利用绝对值的几何意义求解；
③利用定理||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|直接求解．
2．求函数y＝|x－3|＋|x＋1|的最小值．
解法一：|x－3|＋|x＋1|＝|3－x|＋|x＋1|≥|(3－x)＋(x＋1)|＝4，当且仅当(3－x)(x＋1)≥0时取等号．由(3－x)(x＋1)≥0，得(x－3)(x＋1)≤0.
∴－1≤x≤3，由此当－1≤x≤3时，函数y＝|x－3|＋|x＋1|取得最小值4.
画出该函数的图象，如图所示，由图象可得y≥4，∴当－1≤x≤3时，y取得最小值4.
若不等式a＜|x－4|＋|x＋3|恒成立，则实数a的取值范围是__________.
解析：∵|x－4|＋|x＋3|≥|(x－4)－(x＋3)|＝7，
∴a＜7.
故a的取值范围是(－∞，7)．
答案：(－∞，7)．
绝对值重要不等式的应用
[互动探究]若本例条件变为“若不等式a＞|x－4|－|x＋3|恒成立”，则如何求实数a的取值范围？
解析：∵|x－4|－|x＋3|≤|(x－4)－(x＋3)|＝7.
∴a＞7.
故a的取值范围为(7，＋∞)．
答案：(7，＋∞)
【点评】 利用绝对值重要不等式的性质解决恒成立问题时，通常利用|a±b|达到消去变量的目的，从而得到|a|＋|b|的最小值或|a|－|b|的最大值．
3．(1)若不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为空集，则实数a的取值范围是__________.
(2)若不等式|2x＋1|－|2x－1|＜a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是__________.
解析：(1)不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为空集，即|x－2|＋|x＋3|≥a恒成立，又|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，故a的取值范围是a≤5.
(2)|2x＋1|－|2x－1|≤|(2x＋1)－(2x－1)|＝2，因此a的取值范围是a＞2.
答案：(1)a≤5 (2)a＞2
1．证明绝对值不等式的三种方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
(2)利用重要不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
2．研究含有绝对值的函数问题时，可根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
3．不等式f(x)＜a恒成立 f(x)max＜a；不等式f(x)＞a恒成立 f(x)min＞a.
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第2章 绝对值不等式
2.2 解含绝对值的不等式举例
1．含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
不等式|x|＜a的解集是{x|－a＜x＜a}吗？
提示：当a＞0时，不等式的解集为{x|－a＜x＜a}；当a≤0时，不等式的解集为 .
2．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c＞0)型不等式的解法：
先化为________________，再利用不等式的基本性质求出原不等式的解集．
(2)|ax＋b|≥c(c＞0)的解法：
先化为__________或______________，再进一步利用不等式的基本性质求出原不等式的解集．
－c≤ax＋b≤c
ax＋b≥c
ax＋b≤－c
当c＜0时，不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的解集分别是什么？
提示：当c＜0时，|ax＋b|≤c的解集为 ；|ax＋b|≥c的解集为R.
3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(1)可以利用绝对值不等式的__________.
(2)利用分类讨论的思想，以绝对值的“______”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的__________，进而去掉_____________.
(3)可以通过__________，利用__________，得到不等式的解集．
几何意义
零点
符号
绝对值符号
构造函数
函数图象
当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集是什么？
提示：因为|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|，所以当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集为R.
不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1,4) D．(1,5)
解析：①当x＜1时，原不等式等价于1－x－(5－x)＜2，即－4＜2，所以x＜1.
②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)＜2，
即x＜4，所以1≤x＜4.
③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2，
即4＜2，无解．
综合①②③知x＜4.
答案：A
(1)下列不等式中，解集为{x|－1＜x＜3}的是( )
A．1＜|1＋x|≤2 B．1＜|1－x|≤2
C．|1－x|＜2 D．|2－x|＞3
解析：由题意知，解集是一个开区间，所以排除选项A，B．∵|1－x|＜2，即|x－1|＜2，∴－2＜x－1＜2，则－1＜x＜3.故选项C正确．∵|2－x|＞3，即|x－2|＞3，∴x－2＞3或x－2＜－3，则x＜－1或x＞5.故选项D错误．
答案：C
|f(x)|＞a或|f(x)|＜a(a＞0)型不等式的解法
【点评】 解|f(x)|＞a或|f(x)|＜a(a＞0)型的不等式，就是利用等价命题法将其绝对值符号去掉，即当a＞0时，|f(x)|＞a f(x)＞a或f(x)＜－a，|f(x)|＜a －a＜f(x)＜a，分别求出相应的不等式的解集，即可达到解题目的．
1．解下列不等式：
(1)|6－2x|＞4；
(2)2≤|x－4|＜3；
(3)|x＋1|＞2－x.
解：(1)|6－2x|＞4 |2x－6|＞4 2x－6＞4或2x－6＜－4，
整理，得2x＞10或2x＜2，解得x＞5或x＜1.
∴原不等式的解集是{x|x＞5或x＜1}．
(1)不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )
A．[－5,7]
B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
解法一：当x≤－3时，原不等式可化为5－x－x－3≥10，即2x≤－8，
∴x≤－4，此时不等式的解集为{x|x≤－4}．
当－3＜x≤5时，原不等式可化为5－x＋x＋3≥10，此时无解．
当x＞5时，原不等式可化为x－5＋x＋3≥10，解得x≥6，此时不等式的解集为{x|x≥6}．
综上可知，原不等式的解集为{x|x≤－4或x≥6}．
解法二：不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集的几何意义是：数轴上到－3对应的点的距离与到5对应的点的距离之和不小于10的点．点－4和6到点－3与5的距离之和都为10，如图所示，故满足|x－5|＋|x＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
答案：D
(2)解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
解法一：|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.
由图知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，
即解集为{x|x≤－1}．
解法二：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立．∴x＜－7.
当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1.∴－7≤x≤－1.
当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立．∴x∈ .
∴原不等式的解集为{x|x≤－1}．
【点评】 (1)如果一个不等式中含有两个或两个以上的绝对值符号，应考虑用零点分段法去掉绝对值符号，这实质上是将原不等式转化为几个不等式组，把每个不等式组的解集求出后，取它们的并集得到原不等式的解集．
(2)对于|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型的不等式，有三种解法：①零点分段法；②图象法；③几何法．其中零点分段法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．其中几何法解题的关键是要理解绝对值的几何意义．
2．解下列不等式：
(1)|2x－1|＜|x|＋1；
(2)|x－3|－|x＋1|＜1.
解：(1)①当x＜0时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1，解之得x＞0，与x＜0矛盾，此时无解；
已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为 ，求实数a的取值范围．
含参数的绝对值不等式的解法
解法二：|x＋2|＋|x－1|表示数轴上的点A(x)到B(－2)和C(1)两点的距离之和，而|BC|＝3，
∴A到B，C两点的距离之和的最小值为3.
即对一切x∈R，总有|x＋2|＋|x－1|≥3.
∵|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为 ，
∴只需a＜3即可．
∴a的取值范围是a＜3.
[互动探究]若本例条件变为“已知关于x的不等式|x＋2|－|x－1|≥a的解集为R”，求实数a的取值范围．
解法二：|x＋2|－|x－1|表示数轴上的点A(x)到点B(－2)和C(1)两点的距离之差，而|BC|＝3，
∴A到点B与到点C的距离之差的最大值为3，最小值为－3.
∵|x＋2|－|x－1|≥a的解集为R，∴a＜－3.
【点评】 (1)含有参数的绝对值不等式的解法与不含参数的绝对值不等式的解法完全相同，但要注意对参数取值的讨论．
(2)对已知含参数的绝对值不等式的解集情况或恒成立情况，求参数值或取值范围的问题，关键是根据其解集或恒成立的式子构建关于参数的方程、不等式或函数，再去求解．
3．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－a|，a∈R.
(1)当a＝3时，解不等式f(x)≤4.
(2)设f(x)＝|x－1＋a|，求实数x的取值范围．
1．含绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法：对于a∈(0，＋∞)，有|x|＜a －a＜x＜a；|x|＞a x＜－a或x＞a.
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．
(3)零点分段法(或定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解．
(5)数形结合法：在平面直角坐标系中做出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
2．求解|f(x)|＞a或|f(x)|＜a型的不等式时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．
3．绝对值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立，其他类似推导．
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第3章 数学归纳法与不等式证明
3.1 数学归纳法
3.2 数学归纳法证不等式
1．数学归纳法
在证明一个与正整数n有关的命题时，可采用下面两个步骤：
(1)证明n＝1时命题成立；
(2)证明：如果n＝k时命题成立，那么__________时命题也成立．
这样就可以知道对任何__________命题都成立．这种证明方法叫作数学归纳法．
n＝k＋1
正整数n
2．数学归纳法适用范围
数学归纳法的适用范围仅限于与__________有关的数学命题的证明．
3．数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤
(1)证明当n取第一个值n0(如取n0＝1或2等)时命题成立；
(2)证明：假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，那么n＝k＋1时命题也成立．
由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n，命题都成立．
正整数
(1)数学归纳法中，n取得的第一个值n0是否一定是1
(2)如何理解归纳假设在证明中的作用？
提示：(1)n0不一定是1，是符合命题的第一个正整数．
(2)归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，用于联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形．在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明，否则，就不是数学归纳法．
用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
没有用到归纳假设
4．用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：
(1)在从n＝k到n＝__________的推证过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地进行放缩、作差比较、分析等；
(3)活用起点的位置；
(4)有的试题需要先作等价变换．
k＋1
利用数学归纳法证明恒等式
【点评】 应用数学归纳法证明代数恒等式，关键是运用归纳假设，应分析p(k)与p(k＋1)的差异及联系，利用拆、添、并、放等手段，从p(k＋1)中分离出p(k)，再进行局部调整，也可考虑寻求两者的结合点，以便顺利过渡，利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论需要的形式．
利用数学归纳法证明不等式
【点评】 在利用数学归纳法证明不等式问题中，从n＝k到n＝k＋1的过渡中，进行归纳假设是比较困难的一步．它与用数学归纳法证明恒等式问题时只需拼凑出所需要的结构不同，证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1，只用拼凑的方法有时也行不通．因为对不等式来说，还涉及“放缩”的问题，可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用归纳假设．因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从n＝k到n＝k＋1的变化，从中找到“放缩”尺度，准确地拼凑出所需要的结构．
利用数学归纳法解决与正整数n有关的探索型问题
【点评】 解决该类问题的思路如下：先通过给n赋一些特殊值，对得到的结果进行观察、判断，猜想出一般性结论，然后用数学归纳法证明．
设Sn＝(n＋1)2，Tn＝3n，试比较Sn与Tn的大小，并给出证明．
解：当n＝1时，S1＝4，T1＝3，S1＞T1；
当n＝2时，S2＝9，T2＝9，S2＝T2；
当n＝3时，S3＝16，T3＝27，S3＜T3；
当n＝4时，S4＝25，T4＝81，S4＜T4.
猜想当n≥3时，Sn＜Tn，下面用数学归纳法证明：
数学归纳法的综合应用
(1)当n＝3时，已证不等式成立；
(2)假设当n＝k(k≥3)时，猜想正确．即(k＋1)2＜3k.
那么Tk＋1＝3k＋1＝3×3k＞3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1＝(k＋2)2＋2k2＋2k－1＞(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2＝Sk＋1.
即n＝k＋1时，猜想正确．
由(1)(2)知当n≥3时，Sn＜Tn.
综上所述，当n＝1时，Sn＞Tn；当n＝2时，Sn＝Tn；
当n≥3时，Sn＜Tn.
【点评】 数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．通常可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律，并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．
1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证n的初始值至关重要，它是递推的基础，但n的初始值不一定是1，而是n的取值范围内的最小值．
2．第二步证明的关键是运用归纳假设．在利用归纳假设时，应分析p(k)与p(k＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，从p(k＋1)中分离出p(k)再进行局部调整．
3．数列中的许多问题都可用数学归纳法予以证明，既可以是恒等式也可以是不等式，题目有一定的综合性，其中用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出证明是常见题型．
4．在研究探索性问题时，由特例归纳猜想得出的结论不一定是真命题，这时需要利用数学归纳法证明，一般解题步骤是归纳—猜想—证明．
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第4章 平均值不等式
4.1 三个正数的平均值不等式
a＝b＝c
算术平均数
几何平均数
用平均值不等式证明不等式
【点评】 三个正数的平均值不等式是根据不等式的意义、基本性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．
1．若a＞0，b＞0，a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2，ab≤1.
已知x＞0，y＞0，且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x，y的值．
用平均值不等式求最值
1．运用平均值不等式证明不等式的方法与技巧
(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正、二定、三相等”的条件，则可直接应用该定理．
(2)若题目中不具备该条件，则要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．
2．利用平均值不等式求最值
(1)利用三个正数的平均值不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用平均值不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均值不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
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第4章 平均值不等式
4.2 三个正数平均值不等式的实际应用举例
2．应用三个正数平均值不等式解决实际问题的思路和方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱．现有三种不同规格的金属制箱材料(单位：m2)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格，并设计出相应的制作方案(要求用料最省，简便易行)．
有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器．要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？
平均值不等式在几何中的应用
1.一轻绳一端固定在点O，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示．小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？
平均值不等式在生活中的应用
∵p，q，r均不相等，∴等号不成立．
∴t1＜t2，甲先到达B地．
【点评】 解决实际应用问题，关键是找出各变量之间的关系，建立数学模型，从而将实际问题转化为数学问题．本例中的数学问题，就是用平均值不等式比较两数的大小．
2．甲、乙是两位粮食经销商，他们每次都会在同一粮食生产基地以相同的价格购进粮食．某月，他们共购粮食3次，各次的价格不同，甲每次购10 000 kg的粮食，乙每次购10 000元的粮食，谁的购粮方式更经济？
解：设他们3次购粮的单价分别为每千克a1，a2，a3元(a1，a2，a3互不相等)．
1．解应用题时必须先读懂题意，建立函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，配凑成可以应用平均值不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．
2．求最值和确定参数的取值范围等，都是典型的需要建立不等关系的问题．
不等式应用的特点是：①问题的背景一般是人们关心的社会热点问题，如物价、税收、销售、市场信息，特别是最优化问题；②题目往往篇幅较长，因而要静下心来仔细阅读题目，透彻理解题意；③对于实际应用题，常需引入恰当的未知数，并用它来表示其他的变量，进而列出不等式或函数关系，在利用不等式知识求解后，注意还原实际问题．
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第5章 三个重要不等式
5.1 柯西不等式
第一课时 简单形式的柯西不等式
1．简单形式的柯西不等式
(a1b1＋a2b2)2≤_______________.
其中a1，a2，b1，b2是________实数，当且仅当ai＝λbi(i＝1,2)时等号成立．
非零
柯西不等式中，当实数a，b，c，d满足什么条件时取等号？
提示：当向量(a，b)与向量(c，d)共线，即ad－bc＝0也就是ad＝bc时取等号．
2．柯西不等式的向量形式
设α，β是平面上任意两个向量，则|α·β|__________ |α||β|，当向量α，β__________时，等号成立．
≤
平行
若柯西不等式左边为(a2＋b2)(d2＋c2)，则右边应为什么？
提示：(ad＋bc)2.
利用柯西不等式证明不等式
【点评】 利用柯西不等式证明某些不等式比较方便，但技巧性很强，解题的关键是在结构上灵活凑出柯西不等式的形式．
1．已知a，b为非负数，a＋b＝1，x1，x2∈R＋，求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.
已知3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及取得最小值时x，y的值．
利用柯西不等式求最值
[互动探究]若将本例条件变为2x＋3y＝1，则情况如何？
【点评】 利用柯西不等式解决最值问题，将原式设法配凑成与柯西不等式的左边或右边具有一致形式的式子，再利用柯西不等式进行缩小或放大，通常在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件，从而达到解题目的．
1．柯西不等式强调的是两个非零实数项与另外两个非零实数项之间的关系，对于不符合形式的式子要从整体上进行拆分，通过“拼”“合”“变式”，转化为某两项间的关系，进而利用不等式求最值或取值范围．
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第5章 三个重要不等式
5.1 柯西不等式
第二课时 一般形式的柯西不等式
1．一般形式的柯西不等式
设有__________实数组a1，a2，…，an及b1，b2，…，bn，则(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤______________________________.当且仅当bi＝λai(i＝1,2，…，n)时等号成立．
非零
类比二维形式的柯西不等式的向量式，请你写出一般形式的柯西不等式的向量式．
提示：设α＝(a1，a2，…，an)，β＝(b1，b2，…，bn)，
则|α·β|≥|α||β|，当且仅当α，β平行时等号成立．
2．三维形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有________________________________________，当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)__________时等号成立．
平行
利用柯西不等式证明不等式
【点评】 利用柯西不等式证明不等式，关键是根据待证不等式的结构特征，对其进行代数式的恒等变形，通过“折分”“拼”“合”等构造两组实数，使其满足柯西不等式的结构后进行证明．
利用柯西不等式求函数最值
【点评】 利用柯西不等式求函数最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．
2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围．
1．应用柯西不等式的注意事项
(1)利用柯西不等式证明不等式或求函数最值等问题时，一般不能直接应用柯西不等式，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用．
(2)熟练掌握柯西不等式的一般形式，并能敏感地发现待求或待证式子与柯西不等式的关系，把数或字母的顺序对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题．
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第5章 三个重要不等式
5.2 排序不等式
5.3 贝努利不等式
学习目标 重点难点
1.了解排序不等式、贝努利不等式的基本形式．
2.会用排序不等式、贝努利不等式分析解决简单问题．
3.体会运用经典不等式的一般思想方法. 1.重点是利用排序不等式、贝努利不等式解决问题．
2.难点是排序不等式中确定两个数组的大小顺序.
1．排序不等式
设两组数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn满足a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则有____________________ (反序和)≤a1bt1＋a2bt2＋…＋anbtn(乱序和)≤________________ (同序和)．
其中t1，t2，…，tn是1,2，…，n的一个排列，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时等号成立．
a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1
a1b1＋a2b2＋…＋anbn
已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25，30的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是__________，最小值是__________.
解析：
答案：220 180
对应关系 和 备注
(1,2,3) (30,25,45) S3＝a1b2＋a2b1＋a3b3＝215 乱序和
(1,2,3) (30,45,25) S4＝a1b2＋a2b3＋a3b1＝195 乱序和
(1,2,3) (45,25,30) S5＝a1b3＋a2b1＋a3b2＝185 乱序和
(1,2,3) (45,30,25) S6＝a1b3＋a2b2＋a3b1＝180(最小值) 反序和
如图所示，矩形OPAQ中 ，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和__________空白部分的矩形的面积之和．
解析：这可沿图中线段MN向上翻折比较即知．
阴影面积＝a1b1＋a2b2，而空白面积＝a1b2＋a2b1.
根据同序和≥反序和，得阴影面积≥空白面积．
答案：≥
2．贝努利不等式
对任何实数x＞－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥________.
1＋nx
在贝努利不等式中，当指数n推广到任意实数且x>－1时，不等式形式将有何变化？
提示：当指数n推广到任意实数且x>－1时，
(1)若0
(2)若a<0或a>1，则(1＋x)a≥1＋ax.
利用排序不等式证明不等式
【点评】 (1)利用排序不等式证明所给字母的大小顺序已确定的不等式，关键是根据所给字母的大小顺序构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．
(2)所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时，要使用排序不等式，先根据所给字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系，方可应用排序不等式求证．
利用排序不等式求最值
【点评】 利用排序不等式求最值时，要先对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．
贝努利不等式的应用
【点评】 贝努利不等式可把二顶式的乘方(1＋x)n缩小为1＋nx的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中可发挥较大的作用．
3．已知n为正整数，求证：(1－cos x)n≥(1－n)cos x.
证明：∵－cos x≥－1，∴当－cos x＝－1时，原不等式成立．
当－cos x＞－1时，由贝努利不等式，得
(1－cos x)n＝[1＋(－cos x)]n≥1－ncos x.
又1－ncos x＝(1－cos x)＋(1－n)cos x≥(1－n)cos x，
∴(1－cos x)n≥(1－n)cos x.
1．在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．
2．运用排序不等式，必须出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系．
3．排序不等式也有广泛的应用，许多重要的不等式(如柯西不等式、平均值不等式等)都可以由它推得．此外，它在涉及最优化问题的实际生活中也是重要的解决工具．
4．排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．
5．利用贝努利不等式一般需要换元构造(1＋x)n(x＞－1)的形式，再用不等式进行放缩、证明．
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第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法
本章整合提升
[考情分析]
1．利用不等式的基本性质判断不等式或有关结论是否成立，利用不等式基本性质进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．
2．不等式的基本性质及应用是不等式的一个基础内容，常以客观题形式呈现，难度不大．
专题一 不等式的基本性质及实数的大小比较
2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
[考情分析]
利用基本不等式求函数的最值及解决实际问题，为近几年新课标高考的热点，常与函数、数列、解析几何、立体几何综合命题，多以中档题形式出现．在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：①x，y为正数；②“和”或“积”为定值；③等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
专题二 基本不等式的应用
(1)求k的值及函数f(x)的表达式．
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[考情分析]
近几年高考中，不等式的证明有逐渐增加的趋势，在选考题中，常以解答题的形式出现，常用到的证明方法有比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等．
专题三 不等式的证明
[高考冲浪]
1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.
(1)求证：(a＋b)(a5＋b5)≥4.
(2)求证：a＋b≤2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
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第2章 绝对值不等式
本章整合提升
[考情分析]
求解绝对值不等式或根据绝对值不等式的解集及成立情况求参数的值或取值范围的问题，是高考中对含绝对值不等式考查的一个重要考向，每年高考均有重要体现，以填空题、解答题为主，属中档题．解绝对值不等式的基本思想，是转化、化归，不等式的性质是实现“转化”的基本依据，通过利用绝对值的几何意义、平方法、零点分段法等将绝对值不等式转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解．
专题一 含绝对值不等式的解法
[高考冲浪]
1．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出函数y＝f(x)的图象．
(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集．
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
∴f(－1)≥2且f(1)≥2，解得－1≤a≤1.
∴a的取值范围为[－1,1]．
[考情分析]
含绝对值的不等式的证明问题，是高考对绝对值不等式考查的重要考向，主要以解答题第(2)问的形式考查，属中档题，其主要考点有如下三种情况：
1．利用重要不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|进行放缩，即用放缩法证明．
专题二 含绝对值的不等式的证明
2．利用绝对值的定义或两边平方去掉绝对值转化为不含绝对值的不等式，再证明．
3．与函数有关的绝对值不等式证明时要结合函数的图象或性质进行变形．
[考情分析]
不等式的恒成立问题，是高考对绝对值不等式考查的主要考向，一般以解答题第(2)问的形式考查，其主要类型及解法如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a f(x)max≤a”或“f(x)≥a f(x)min≥a”可解决恒成立时的参数的取值范围问题．
专题三 不等式的恒成立问题
(2)更换主元法：
有些含参数不等式恒成立问题，当直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．
(3)数形结合法：
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，则可直观地解决问题．
[高考冲浪]
1．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集．
(2)若关于x的不等式f(x)≥a2－a在R上恒成立，求实数a的取值范围．
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集．
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
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第5章 三个重要不等式
本章整合提升
(第3~5章)
[考情分析]
数学归纳法一般用于解决与正整数n(n∈N*)有关的等式、不等式以及大小比较、探索性等问题，常与数列交汇命题．高考中一般在解答题中的某一问中考查．
专题一 数学归纳法的应用
2．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4并猜想an，bn的表达式．
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
[考情分析]
与三个正数的和或积有关的不等式的证明题可考虑用平均值不等式，多次用平均值不等式时，要注意各不等式的方向要相同．高考中考查不多，一般在选考题中考查．
专题二 用平均值不等式证明不等式
[考情分析]
求最值的方法有很多，在利用“三个正数的平均值不等式”求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”的原则．在处理有关凑项和拆项等方法的问题时也一定要注意这一原则．高考中一般在选考题中考查该考点．
专题三 平均值不等式的应用
2．已知球的半径为R，球的内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？最大值是多少？
[考情分析]
由于柯西不等式是用综合法证明不等式的重要依据，因此柯西不等式的考查常出现在用综合法证明含有幂，根式的和、积、商的不等式中．高考一般在选考题中考查．
专题四 利用柯西不等式证明不等式
[高考冲浪]
1．(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求证：ac＋bd≤8.
证明：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
∵a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
∴(ac＋bd)2≤64.
∴ac＋bd≤8.
2．(2014·福建卷)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
(1)求a的值．
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.
(1)解：∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，∴f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又∵p，q，r是正实数，
∴(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.
[考情分析]
柯西不等式是除平均值不等式外求解含多个变量式子最值的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．高考一般在选考题中考查．
专题五 利用柯西不等式求最值
2．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为__________.
解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥ (a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36.∴a2＋4b2＋9c2≥12.故a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
答案：12
[考情分析]
排序不等式是用综合法证明与字母顺序有关的不等式中的重要依据，也就成为证明不等式时的一种重要工具，但高考中排序不等式不做要求．
专题六 利用排序不等式证明不等式
2．已知a，b，c为某一个三角形的三条边，a≥b≥c.
(1)求证：c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．
(2)求证：a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.
证明：(1)c(a＋b－c)－b(c＋a－b)＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2＝b2－c2＋ac－ab＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)＝(b＋c－a)(b－c)．
∵b≥c，b＋c－a≥0，
∴c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0.
即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．①
同理可证b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．②
综合①②，原不等式成立．
(2)由题设及(1)，知a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)．
由排序不等式，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)，①
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋cb(b－c)．②
将①和②相加再除以2，得
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.
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