2017-2018学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析） |
|
|
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 304.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-06-08 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
2017-2018学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共30分在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求）
1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c=3a，则sinA的值是（ ）
A． B． C．3 D．以上都不对
2．（3分）如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA等于（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
3．（3分）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A．cm B．3cm C．4cm D．4cm
4．（3分）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
5．（3分）函数y=x2+2x+1写成y=a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+ C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣1
6．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
7．（3分）把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+1 B．y=﹣2（x﹣1）2+1 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x+1）2﹣1
8．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s=10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．72m B．m C．36m D．m
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0； ③若OC=2OA，则2b﹣ac=4； ④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是 ．
12．（3分）抛物线y=﹣2x2+6x﹣1的顶点坐标为 ．
13．（3分）抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为： ．
14．（3分）用不等号“＞”或“＜”连接：
sin50° cos50°．
15．（3分）如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为 ．
16．（3分）如图，在⊙O中，弦AB=8，M是弦AB上的动点，且OM的最小值为3．则⊙O的半径为 ．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B=110°，则∠ADE的度数为 ．
18．（3分）如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于D，E两点，且cosA=，则S△ADE：S四边形DBCE的值为 ．
三、解答题（本大题共66分）
19．（5分）﹣2sin45°．
20．（5分）结合二次函数的学习，求不等式x2+5x﹣6＞0的解集．
21．（6分）已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
22．（7分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732．）
23．（8分）如图，已知直线y=﹣2x+12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．
（1）求证：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以（﹣，）为顶点，且过点M的抛物线的解析式．
24．（8分）某百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）当每件童装降价多少元时，一天的盈利最多？
（2）若商场要求一天的盈利为1200元，同时又使顾客得到实惠，每件童装降价多少元？
25．（8分）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB（见示意图），可供使用的工具有测倾器、皮尺．
（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m，n，…表示，角用α，β，…表示，测倾器高度忽略不计）；
（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB（用字母表示）．
26．（9分）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA﹣1=0，求⊙O的直径．
27．（10分）已知，如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求）
1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c=3a，则sinA的值是（ ）
A． B． C．3 D．以上都不对
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c=3a，
∴sinA=，
故选A．
2．（3分）如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA等于（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
【解答】解：∵弦AB⊥OC，AB=4，OC=2，
∴AC=AB=2，
∴OA===2．
故选A．
3．（3分）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A． cm B． 3cm C．4cm D．4cm
【解答】解：L==4π（cm）；
圆锥的底面半径为4π÷2π=2（cm），
∴这个圆锥形筒的高为=4（cm）．
故选：C．
4．（3分）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
【解答】解：∵函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，
∴2﹣a≠0，即a≠2，
故选：B．
5．（3分）函数y=x2+2x+1写成y=a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+ C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣1
【解答】解：y=x2+2x+1=（x2+4x+4）﹣2+1=（x+2）2﹣1
故选D．
6．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选B．
7．（3分）把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+1 B．y=﹣2（x﹣1）2+1 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x+1）2﹣1
【解答】解：∵函数y=﹣2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y=﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+1，
故选：B．
8．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
tanC==，
故选：A．
9．（3分）一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s=10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．72m B． m C．36m D． m
【解答】解：当t=4时，s=10t+2t2=72．
设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线，
∵一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔直滑下，
∴CA=x，BC=x，
在直角△ABC中，由勾股定理得：
AB2=BC2+AC2，
x2+（x）2=722．
解得：x=36．
故选C．
10． 【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴﹣＞1，
∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，①成立；
②∵b＞﹣2a，a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，②错误；
③点A的横坐标为，点C的纵坐标为c，
∵OC=2OA，
∴﹣c=，整理得：2b﹣ac=4，③成立；
④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2，
∴﹣2a＜b＜﹣4a，
∵当x=1时，y=a+b+c＞0，
∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．
综上可知正确的结论有3个．
故选C．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是 （﹣4，﹣20） ．
【解答】解：∵当x=﹣4时，y=（﹣4）2+8×（﹣4）﹣4=﹣20，
∴抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是（﹣4，﹣20）．
12．（3分）抛物线y=﹣2x2+6x﹣1的顶点坐标为 （，） ．
【解答】解：∵y=﹣2x2+6x﹣1
=﹣2（x﹣）2+
∴顶点的坐标是（）
故填空答案：（）．
13．（3分）抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为： y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0） ．
【解答】解：∵抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），
∴设该抛物线解析式为：y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．
故答案是：y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．
14．（3分）用不等号“＞”或“＜”连接：
sin50° ＞ cos50°．
【解答】解：∵cos50°=sin40°，sin50°＞sin40°，
∴sin50°＞cos50°．
故答案为＞．
15．（3分）如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为 atanα ．
【解答】解：∵在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=α，BC=a，
∴tan∠C=，
∴AB=BC tan∠C=a tanα．
故答案为atanα．
16．（3分）如图，在⊙O中，弦AB=8，M是弦AB上的动点，且OM的最小值为3．则⊙O的半径为 5 ．
【解答】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，
此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，
连接OA，AM=AB=4，
由勾股定理知，OA2=OM2+AM2．
即OA2=42+32，
解得OA=5．
所以⊙O的半径为5；
故答案为5．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B=110°，则∠ADE的度数为 110° ．
【解答】解：∵∠B=110°，
∴∠ADE=110°．
故答案为：110°．
18．（3分）如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于D，E两点，且cosA=，则S△ADE：S四边形DBCE的值为 ．
【解答】解：连接BE；
∵BC是⊙O的直径
∴∠BEC=90°；
在Rt△ABE中，cosA=，即；
∵四边形BEDC内接于⊙O，
∴∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=；
所以S△ADE：S四边形DBCE的值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共66分）
19．（5分）﹣2sin45°．
【解答】解：原式=2﹣﹣2=﹣．
20．（5分）结合二次函数的学习，求不等式x2+5x﹣6＞0的解集．
【解答】解：设y=x2+5x﹣6，函数图象如图所示：
由函数图象可知不等式x2+5x﹣6＞0的解集为x＞1或x＜﹣6．
21．（6分）已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）把（0，5）代入y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2=5，
解得m=3
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
（2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x=﹣3．
22．（7分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732．）
【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，i=tan∠BAF==，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=5，AF=5．
∴BG=AF+AE=5+15．
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
23．（8分）如图，已知直线y=﹣2x+12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．
（1）求证：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以（﹣，）为顶点，且过点M的抛物线的解析式．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙M切线，D是切点，
∴MD⊥AB，
∴∠MDA=∠AOB=90°，
又∠MAD=∠BAO，
∴△ADM∽△AOB；
（2）解：设M（0，m），
由直线y=2x+12得，OA=12，OB=6，
则AM=12﹣m，DM=2，
在Rt△AOB中，AB===6，
∵△ADM∽△AOB，
∴=，即=，
解得：m=2，
∴M（0，2），
设顶点为（﹣，）的抛物线解析式为y=a（x+）2+，
将M点坐标代入，得a（0+）2+=2，
解得：a=﹣2，
则抛物线解析式为y=﹣2（x+）2+．
24．（8分）某百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）当每件童装降价多少元时，一天的盈利最多？
（2）若商场要求一天的盈利为1200元，同时又使顾客得到实惠，每件童装降价多少元？
【解答】解：（1）设每件童装降价x元，则每天盈利为S，
则S=（40﹣x）（2x+20）=﹣2x2+60x+800，
当x==15时，S有最大值为1250元；
（2）一天盈利为1200元，则
S=﹣2x2+60x+800=1200，
整理得：﹣2x2+60x﹣400=0，
a=﹣2，b=60，c=﹣400，
△=b2﹣4ac=3600﹣（4×2×400）=400＞0，
解得：x1=20，x2=10，（舍去）
∴每件童装降价20元．
25．（8分）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB（见示意图），可供使用的工具有测倾器、皮尺．
（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m，n，…表示，角用α，β，…表示，测倾器高度忽略不计）；
（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB（用字母表示）．
【解答】解：（1）如图所示，在点C测得∠ACB=α，在点D测得∠ADB=β，测得DC=m． （4分）
（2）在Rt△ABC中，设AB=x，BC=x÷tanα，
在Rt△ABD中，BD=x÷tanβ，
∵BD=m+BC，
即x÷tanβ=m+x÷tanα，
解得x=．（10分）
26．（9分）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA﹣1=0，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°，
∴AC⊥OD；
（2）解：∵OD∥BC，O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=×4=2cm；
（3）解：∵2sinA﹣1=0，
∴sinA=，
∴∠A=30°，
在Rt△ABC，∵∠A=30°，
∴BC=AB，
∴AB=2BC=8cm，
即⊙O的直径是8cm．
27．（10分）已知，如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将x=0代入AB的解析式得：y=3，
∴B（0，3）．
将y=0代入AB的解析式得：﹣x+3=0，解得x=3，
A（3，0）．
将点A和点B的坐标代入得：，
解得：b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）设M的坐标为（x，y）．
∵△ACM与△ABC的面积相等，
∴AC |y|=AC OB．
∴|y|=OB=3．
当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或x=2，
∴M（2，3）、（0、3）．
当y=﹣3时，﹣x2+2x+3=3，解得：x=1+或x=1﹣．
∴M（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．
综上所述点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．
（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
①当∠DNA=90°时，如图所示：
∵∠DNA=90°时，
∴DN⊥OA．
又∵D（1，4）
∴N（1，0）．
∴AN=2．
∵DN=4，AN=2，
∴AD=2．
②当∠N′DA=90°时，则DN′A=∠NDA．
∴=，即=，解得：AN′=10．
∵A（3，0），
∴N′（﹣7，0）．
综上所述点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．
一、选择题（每题3分，共30分在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求）
1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c=3a，则sinA的值是（ ）
A． B． C．3 D．以上都不对
2．（3分）如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA等于（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
3．（3分）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A．cm B．3cm C．4cm D．4cm
4．（3分）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
5．（3分）函数y=x2+2x+1写成y=a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+ C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣1
6．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
7．（3分）把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+1 B．y=﹣2（x﹣1）2+1 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x+1）2﹣1
8．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s=10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．72m B．m C．36m D．m
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0； ③若OC=2OA，则2b﹣ac=4； ④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是 ．
12．（3分）抛物线y=﹣2x2+6x﹣1的顶点坐标为 ．
13．（3分）抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为： ．
14．（3分）用不等号“＞”或“＜”连接：
sin50° cos50°．
15．（3分）如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为 ．
16．（3分）如图，在⊙O中，弦AB=8，M是弦AB上的动点，且OM的最小值为3．则⊙O的半径为 ．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B=110°，则∠ADE的度数为 ．
18．（3分）如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于D，E两点，且cosA=，则S△ADE：S四边形DBCE的值为 ．
三、解答题（本大题共66分）
19．（5分）﹣2sin45°．
20．（5分）结合二次函数的学习，求不等式x2+5x﹣6＞0的解集．
21．（6分）已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
22．（7分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732．）
23．（8分）如图，已知直线y=﹣2x+12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．
（1）求证：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以（﹣，）为顶点，且过点M的抛物线的解析式．
24．（8分）某百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）当每件童装降价多少元时，一天的盈利最多？
（2）若商场要求一天的盈利为1200元，同时又使顾客得到实惠，每件童装降价多少元？
25．（8分）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB（见示意图），可供使用的工具有测倾器、皮尺．
（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m，n，…表示，角用α，β，…表示，测倾器高度忽略不计）；
（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB（用字母表示）．
26．（9分）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA﹣1=0，求⊙O的直径．
27．（10分）已知，如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求）
1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c=3a，则sinA的值是（ ）
A． B． C．3 D．以上都不对
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c=3a，
∴sinA=，
故选A．
2．（3分）如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA等于（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
【解答】解：∵弦AB⊥OC，AB=4，OC=2，
∴AC=AB=2，
∴OA===2．
故选A．
3．（3分）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A． cm B． 3cm C．4cm D．4cm
【解答】解：L==4π（cm）；
圆锥的底面半径为4π÷2π=2（cm），
∴这个圆锥形筒的高为=4（cm）．
故选：C．
4．（3分）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
【解答】解：∵函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，
∴2﹣a≠0，即a≠2，
故选：B．
5．（3分）函数y=x2+2x+1写成y=a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+ C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣1
【解答】解：y=x2+2x+1=（x2+4x+4）﹣2+1=（x+2）2﹣1
故选D．
6．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选B．
7．（3分）把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+1 B．y=﹣2（x﹣1）2+1 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x+1）2﹣1
【解答】解：∵函数y=﹣2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y=﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+1，
故选：B．
8．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
tanC==，
故选：A．
9．（3分）一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s=10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．72m B． m C．36m D． m
【解答】解：当t=4时，s=10t+2t2=72．
设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线，
∵一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔直滑下，
∴CA=x，BC=x，
在直角△ABC中，由勾股定理得：
AB2=BC2+AC2，
x2+（x）2=722．
解得：x=36．
故选C．
10． 【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴﹣＞1，
∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，①成立；
②∵b＞﹣2a，a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，②错误；
③点A的横坐标为，点C的纵坐标为c，
∵OC=2OA，
∴﹣c=，整理得：2b﹣ac=4，③成立；
④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2，
∴﹣2a＜b＜﹣4a，
∵当x=1时，y=a+b+c＞0，
∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．
综上可知正确的结论有3个．
故选C．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是 （﹣4，﹣20） ．
【解答】解：∵当x=﹣4时，y=（﹣4）2+8×（﹣4）﹣4=﹣20，
∴抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是（﹣4，﹣20）．
12．（3分）抛物线y=﹣2x2+6x﹣1的顶点坐标为 （，） ．
【解答】解：∵y=﹣2x2+6x﹣1
=﹣2（x﹣）2+
∴顶点的坐标是（）
故填空答案：（）．
13．（3分）抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为： y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0） ．
【解答】解：∵抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），
∴设该抛物线解析式为：y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．
故答案是：y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．
14．（3分）用不等号“＞”或“＜”连接：
sin50° ＞ cos50°．
【解答】解：∵cos50°=sin40°，sin50°＞sin40°，
∴sin50°＞cos50°．
故答案为＞．
15．（3分）如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为 atanα ．
【解答】解：∵在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=α，BC=a，
∴tan∠C=，
∴AB=BC tan∠C=a tanα．
故答案为atanα．
16．（3分）如图，在⊙O中，弦AB=8，M是弦AB上的动点，且OM的最小值为3．则⊙O的半径为 5 ．
【解答】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，
此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，
连接OA，AM=AB=4，
由勾股定理知，OA2=OM2+AM2．
即OA2=42+32，
解得OA=5．
所以⊙O的半径为5；
故答案为5．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B=110°，则∠ADE的度数为 110° ．
【解答】解：∵∠B=110°，
∴∠ADE=110°．
故答案为：110°．
18．（3分）如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于D，E两点，且cosA=，则S△ADE：S四边形DBCE的值为 ．
【解答】解：连接BE；
∵BC是⊙O的直径
∴∠BEC=90°；
在Rt△ABE中，cosA=，即；
∵四边形BEDC内接于⊙O，
∴∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=；
所以S△ADE：S四边形DBCE的值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共66分）
19．（5分）﹣2sin45°．
【解答】解：原式=2﹣﹣2=﹣．
20．（5分）结合二次函数的学习，求不等式x2+5x﹣6＞0的解集．
【解答】解：设y=x2+5x﹣6，函数图象如图所示：
由函数图象可知不等式x2+5x﹣6＞0的解集为x＞1或x＜﹣6．
21．（6分）已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）把（0，5）代入y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2=5，
解得m=3
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
（2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x=﹣3．
22．（7分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732．）
【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，i=tan∠BAF==，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=5，AF=5．
∴BG=AF+AE=5+15．
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
23．（8分）如图，已知直线y=﹣2x+12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．
（1）求证：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以（﹣，）为顶点，且过点M的抛物线的解析式．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙M切线，D是切点，
∴MD⊥AB，
∴∠MDA=∠AOB=90°，
又∠MAD=∠BAO，
∴△ADM∽△AOB；
（2）解：设M（0，m），
由直线y=2x+12得，OA=12，OB=6，
则AM=12﹣m，DM=2，
在Rt△AOB中，AB===6，
∵△ADM∽△AOB，
∴=，即=，
解得：m=2，
∴M（0，2），
设顶点为（﹣，）的抛物线解析式为y=a（x+）2+，
将M点坐标代入，得a（0+）2+=2，
解得：a=﹣2，
则抛物线解析式为y=﹣2（x+）2+．
24．（8分）某百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）当每件童装降价多少元时，一天的盈利最多？
（2）若商场要求一天的盈利为1200元，同时又使顾客得到实惠，每件童装降价多少元？
【解答】解：（1）设每件童装降价x元，则每天盈利为S，
则S=（40﹣x）（2x+20）=﹣2x2+60x+800，
当x==15时，S有最大值为1250元；
（2）一天盈利为1200元，则
S=﹣2x2+60x+800=1200，
整理得：﹣2x2+60x﹣400=0，
a=﹣2，b=60，c=﹣400，
△=b2﹣4ac=3600﹣（4×2×400）=400＞0，
解得：x1=20，x2=10，（舍去）
∴每件童装降价20元．
25．（8分）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB（见示意图），可供使用的工具有测倾器、皮尺．
（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m，n，…表示，角用α，β，…表示，测倾器高度忽略不计）；
（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB（用字母表示）．
【解答】解：（1）如图所示，在点C测得∠ACB=α，在点D测得∠ADB=β，测得DC=m． （4分）
（2）在Rt△ABC中，设AB=x，BC=x÷tanα，
在Rt△ABD中，BD=x÷tanβ，
∵BD=m+BC，
即x÷tanβ=m+x÷tanα，
解得x=．（10分）
26．（9分）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA﹣1=0，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°，
∴AC⊥OD；
（2）解：∵OD∥BC，O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=×4=2cm；
（3）解：∵2sinA﹣1=0，
∴sinA=，
∴∠A=30°，
在Rt△ABC，∵∠A=30°，
∴BC=AB，
∴AB=2BC=8cm，
即⊙O的直径是8cm．
27．（10分）已知，如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将x=0代入AB的解析式得：y=3，
∴B（0，3）．
将y=0代入AB的解析式得：﹣x+3=0，解得x=3，
A（3，0）．
将点A和点B的坐标代入得：，
解得：b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）设M的坐标为（x，y）．
∵△ACM与△ABC的面积相等，
∴AC |y|=AC OB．
∴|y|=OB=3．
当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或x=2，
∴M（2，3）、（0、3）．
当y=﹣3时，﹣x2+2x+3=3，解得：x=1+或x=1﹣．
∴M（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．
综上所述点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．
（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
①当∠DNA=90°时，如图所示：
∵∠DNA=90°时，
∴DN⊥OA．
又∵D（1，4）
∴N（1，0）．
∴AN=2．
∵DN=4，AN=2，
∴AD=2．
②当∠N′DA=90°时，则DN′A=∠NDA．
∴=，即=，解得：AN′=10．
∵A（3，0），
∴N′（﹣7，0）．
综上所述点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．
同课章节目录