2017-2018学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县蒙古族中学九年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含解析)
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县蒙古族中学九年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含解析) |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 317.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-06-08 00:00:00 | ||
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文档简介
2017-2018学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县蒙古族中学九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、精心选一选，你一定能行!（每小题3分，共30分）请把正确答案填入答题卡中．
1．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8cm
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（3分）已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±
4．（3分）若y=（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）
A．± B．﹣ C． D．0
5．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
6．（3分）在△ABC中，sinB=cos（90°﹣C）=，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（3分）如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm，O是AB的中点，以O为顶点的抛物线经过C、D，以OA、OB为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πcm2 B．（）cm2 C．πcm2 D． cm2
8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣2
9．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（ ）
A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m
二、耐心填一填，你一定很棒!（每小题3分，共30分）
11．（3分）若抛物线y=x2+（k﹣1）x+（k+3）经过原点，则k= ．
12．（3分）已知抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣3），那么b= ，c= ．
13．（3分）抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a= ．
14．（3分）若函数y=ax2+2（a+1）x+a﹣1与x轴只有一个交点，a= ．
15．（3分）计算2sin30°+3tan30° tan45°= ．
16．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 ．
17．（3分）若二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2= ．
18．（3分）为了测量楼房BC的高度，在距离楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，那么楼房BC的高为 ．
19．（3分）在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，则BC的长为 ．
20．（3分）二次函数y=kx2+3x﹣4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
三、充满信心，成功在望．（共60分）
21．（9分）（1）
（2）2cos245°﹣tan60° tan30°
（3）﹣23+（）﹣3﹣（π﹣3.14）0﹣|1﹣tan60°|﹣．
22．（8分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D（如图1），则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有：，，所以
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图2，△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A= ；AC= ；
（2）如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图3），求此时货轮距灯塔A的距离AB．
23．（8分）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．
24．（8分）如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，点P从点A沿AB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，P、Q同时出发，速度都是1cm/s
（1）P、Q移动几秒时，△PBQ为等腰三角形；
（2）设S△PBQ=y，请写出y（cm2）与点P、Q的移动时间x（s）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）能否使S△PBQ=？若不能请说明理由，若能，也说明理由．
25．（9分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6米，跨度20米，相邻两支柱间的距离均为5米；
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式．
（2）求支柱MN的长度．（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
26．（8分）去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
27．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
2017-2018学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县蒙古族中学九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、精心选一选，你一定能行!（每小题3分，共30分）请把正确答案填入答题卡中．
1．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8cm
【解答】
解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2cm，
∴AC=AB，
∴AB=4cm，
故选B．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴∠A=∠B=45°，∴cosB=．
故选B．
3．（3分）已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±
【解答】解：把点（a，8）代入解析式得8=a3，即a=2．故选A．
4．（3分）若y=（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）
A．± B．﹣ C． D．0
【解答】解：∵这个式子是二次函数，
∴m2﹣3=2解得：m=±，
又∵开口向上，即2﹣m＞0，
∴m＜2，
∴m=﹣．
故选B．
5．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，
对称轴为x=＞0，
∴a、b异号，即b＞0．
故选D．
6．（3分）在△ABC中，sinB=cos（90°﹣C）=，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：sinB=cos（90°﹣C）=，
即sinB=，∴∠B=30°；
cos（90°﹣C）=，
∴90°﹣∠C=60°，
∴∠C=30°，
∴∠C=∠B．
∴△ABC是等腰三角形．
故选A．
7．（3分）如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm，O是AB的中点，以O为顶点的抛物线经过C、D，以OA、OB为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πcm2 B．（）cm2 C．πcm2 D． cm2
【解答】解：观察图形，
根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积，
其半径为AB的，
∵AB=4cm，
∴即半径为1，其面积为： =，
故选D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣2
【解答】解：函数y=x2﹣4向右平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣4；
再向上平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣2；
故选B．
9．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意∵∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．
∴sinA=，cosA=，tanA=，cosB=．
故A、B、D错误，选C．
10．（3分）你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（ ）
A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m
【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
因为抛物线过点（﹣1，1）、（3，1）、（0，1.5）
所以有：
．
解之得．
所以y=﹣x2+x+1.5．
当x=1.5时，y==1.625．
即丁的身高是1.625米．
故选B．
二、耐心填一填，你一定很棒!（每小题3分，共30分）
11．（3分）若抛物线y=x2+（k﹣1）x+（k+3）经过原点，则k= ﹣3 ．
【解答】解：∵点（0，0）在抛物线y=x2+（k﹣1）x+（k+3）上，
∴k+3=0，
解得k=﹣3，
故答案为：﹣3．
12．（3分）已知抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣3），那么b= ﹣8 ，c= 5 ．
【解答】解：根据顶点公式：x=﹣=﹣=2，
解得：b=﹣8，
y====﹣3，
解得：c=5．
故答案为：﹣8，5．
13．（3分）抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a= ﹣2 ．
【解答】解：∵抛物线的顶点横坐标是3，
∴﹣=﹣=3，解得，a=﹣2．
14．（3分）若函数y=ax2+2（a+1）x+a﹣1与x轴只有一个交点，a= 0或﹣ ．
【解答】解：当a=0时，函数为y=2x﹣1，此一次函数与x轴只有一个交点；
当a≠0，当△=（2a+2）2﹣4a（a﹣1）=0时，二次函数y=ax2+2（a+1）x+a﹣1的图象与x轴只有一个交点，解得a=﹣．
故答案为：0或．
15．（3分）计算2sin30°+3tan30° tan45°= 1 ．
【解答】解：2sin30°+3tan30° tan45°=2××1=1+；
故填：1+．
16．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 ．
【解答】解：
连接CE，
∵根据图形可知DC=1，AD=3，AC==，
BE=CE==，∠EBC=∠ECB=45°，
∴CE⊥AB，
∴sinA===，
故答案为：．
17．（3分）若二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2= ﹣1 ．
【解答】解：由图可知，对称轴为x=1，
根据二次函数的图象的对称性，
=1，
解得，x2=﹣1．
故答案为：﹣1．
18．（3分）为了测量楼房BC的高度，在距离楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，那么楼房BC的高为 30tanα ．
【解答】解：如图；
在Rt△ABC中，AB=30米，∠A=α；
∴BC=AB tanA=30tanα．
19．（3分）在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，则BC的长为 4+4 ．
【解答】解：如图，在Rt△ABD中，
∵==，
∴BD=4，
AD==4，
∵∠C=45°，
∴AD=CD=4，
∴BC=BD+CD=4+4，
故答案为4+4．
20．（3分）二次函数y=kx2+3x﹣4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 k＞﹣且k≠0 ．
【解答】解：根据题意得△=32﹣4k×（﹣4）＞0，
解得k＞﹣．
由于该函数为二次函数，
则k≠0．
故答案为k＞﹣且k≠0．
三、充满信心，成功在望．（共60分）
21．（9分）（1）
（2）2cos245°﹣tan60° tan30°
（3）﹣23+（）﹣3﹣（π﹣3.14）0﹣|1﹣tan60°|﹣．
【解答】解：（1）原式=×﹣×=﹣；
（2）原式=2×（）2﹣×=1﹣1=0；
（3）原式=﹣8+8﹣1﹣+1+2+=2．
22．（8分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D（如图1），则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有：，，所以
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图2，△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A= 60° ；AC= 20 ；
（2）如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图3），求此时货轮距灯塔A的距离AB．
【解答】解：（1）∠A=60°，AC=；
（2）如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）
∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中， =，即=，
解之得：AB=15．
答：货轮距灯塔的距离AB=15海里．
23．（8分）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．
【解答】解：由题意得，
y=（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]=﹣10（x﹣14）2+360（10≤a＜20），
∵a=﹣10＜0
∴当x=14时，y有最大值360
答：他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元．
24．（8分）如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，点P从点A沿AB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，P、Q同时出发，速度都是1cm/s
（1）P、Q移动几秒时，△PBQ为等腰三角形；
（2）设S△PBQ=y，请写出y（cm2）与点P、Q的移动时间x（s）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）能否使S△PBQ=？若不能请说明理由，若能，也说明理由．
【解答】解：（1）设P、Q移动x秒时，△PBQ为等腰三角形，
则PB=AB﹣AP=8﹣x，BQ=x，
∵PB=BQ，
∴8﹣x=x，
解得x=4；
（2）如图，过点Q作QE⊥AB，垂足为E，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵∠A=45°，
∴∠QBE=∠A=45°，
∴QE=QB sin45°=x，
∴S△PBQ=y=×PB×QE，
=×（8﹣x）×x，
=﹣x2+2x；
∵P从点A沿AB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，
∴0≤x≤6，
∴函数关系式为：y=﹣x2+2x（0≤x≤6）；
（3）不能．
理由如下：假设能，
∵AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，
∴SABCD=AB BCsin45°=8×6×=24，
∴﹣x2+2x=×24，
整理得x2﹣8x+32=0，
∵△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×1×32=﹣64＜0，
∴此方程无解．
故不能．
25．（9分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6米，跨度20米，相邻两支柱间的距离均为5米；
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式．
（2）求支柱MN的长度．（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【解答】解：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y=ax2+c，得
，
解得：a=﹣，c=6．
所以抛物线的表达式是y=﹣x2+6（﹣10≤x≤10）；
（2）可设N（5，yN），于是yN=﹣×52+6=4.5．
从而支柱MN的长度是8﹣4.5=3.5米；
（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则G点坐标是（，0），
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH=﹣×（）2+6=3.465＞3，
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
26．（8分）去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
【解答】解：计划修筑的这条公路不会穿过公园．理由如下：
过C点作CD⊥AB于D，
由题可知：∠CAD=30°，
设CD=x千米，tan∠CAD=，
所以AD==x，
由CD⊥AB，得到∠CDB=90°，又∠CBD=45°，
所以△CDB为等腰直角三角形，
则BD=CD=x，
∵AB=2，
∴x+x=2，
∴x=﹣1＞0.7．
∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．
27．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
∵正方形的边长2，
∴B的坐标（2，﹣2）A点的坐标是（0，﹣2），
把A（0，﹣2），B（2，﹣2），D（4，﹣）代入得：，
解得a=，b=﹣，c=﹣2，
∴抛物线的解析式为：，
答：抛物线的解析式为：．
（2）①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
=（2﹣2t）2+t2，
即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．
②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1），
∴当S=时，5t2﹣8t+4=，得20t2﹣32t+11=0，
解得t=，t=（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，﹣2），Q点的坐标为（2，﹣），
若R点存在，分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边，如图（1）所示，这时QR=PB，RQ∥PB，
则R的横坐标为3，R的纵坐标为﹣，
即R（3，﹣），
代入，左右两边相等，
∴这时存在R（3，﹣）满足题意；
（ii）假设R在QB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，
则R（1，﹣）代入，，
左右不相等，∴R不在抛物线上．
综上所述，存在一点R（3，﹣）满足题意．
则存在，R点的坐标是（3，﹣）；
（3）如图（2），M′B=M′A，
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
理由是：∵MA=MB，若M不为L与DB的交点，则三点B、M、D构成三角形，
∴|MD|﹣|MB|＜|DB|，
即M到D、A的距离之差为|DB|时，差值最大，
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：，
解得：k=，b=﹣，
∴y=x﹣，
抛物线的对称轴是x=1，
把x=1代入得：y=﹣
∴M的坐标为（1，﹣）；
答：M的坐标为（1，﹣）．
一、精心选一选，你一定能行!（每小题3分，共30分）请把正确答案填入答题卡中．
1．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8cm
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（3分）已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±
4．（3分）若y=（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）
A．± B．﹣ C． D．0
5．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
6．（3分）在△ABC中，sinB=cos（90°﹣C）=，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（3分）如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm，O是AB的中点，以O为顶点的抛物线经过C、D，以OA、OB为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πcm2 B．（）cm2 C．πcm2 D． cm2
8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣2
9．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（ ）
A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m
二、耐心填一填，你一定很棒!（每小题3分，共30分）
11．（3分）若抛物线y=x2+（k﹣1）x+（k+3）经过原点，则k= ．
12．（3分）已知抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣3），那么b= ，c= ．
13．（3分）抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a= ．
14．（3分）若函数y=ax2+2（a+1）x+a﹣1与x轴只有一个交点，a= ．
15．（3分）计算2sin30°+3tan30° tan45°= ．
16．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 ．
17．（3分）若二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2= ．
18．（3分）为了测量楼房BC的高度，在距离楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，那么楼房BC的高为 ．
19．（3分）在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，则BC的长为 ．
20．（3分）二次函数y=kx2+3x﹣4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
三、充满信心，成功在望．（共60分）
21．（9分）（1）
（2）2cos245°﹣tan60° tan30°
（3）﹣23+（）﹣3﹣（π﹣3.14）0﹣|1﹣tan60°|﹣．
22．（8分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D（如图1），则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有：，，所以
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图2，△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A= ；AC= ；
（2）如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图3），求此时货轮距灯塔A的距离AB．
23．（8分）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．
24．（8分）如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，点P从点A沿AB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，P、Q同时出发，速度都是1cm/s
（1）P、Q移动几秒时，△PBQ为等腰三角形；
（2）设S△PBQ=y，请写出y（cm2）与点P、Q的移动时间x（s）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）能否使S△PBQ=？若不能请说明理由，若能，也说明理由．
25．（9分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6米，跨度20米，相邻两支柱间的距离均为5米；
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式．
（2）求支柱MN的长度．（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
26．（8分）去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
27．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
2017-2018学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县蒙古族中学九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、精心选一选，你一定能行!（每小题3分，共30分）请把正确答案填入答题卡中．
1．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8cm
【解答】
解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2cm，
∴AC=AB，
∴AB=4cm，
故选B．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴∠A=∠B=45°，∴cosB=．
故选B．
3．（3分）已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±
【解答】解：把点（a，8）代入解析式得8=a3，即a=2．故选A．
4．（3分）若y=（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）
A．± B．﹣ C． D．0
【解答】解：∵这个式子是二次函数，
∴m2﹣3=2解得：m=±，
又∵开口向上，即2﹣m＞0，
∴m＜2，
∴m=﹣．
故选B．
5．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，
对称轴为x=＞0，
∴a、b异号，即b＞0．
故选D．
6．（3分）在△ABC中，sinB=cos（90°﹣C）=，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：sinB=cos（90°﹣C）=，
即sinB=，∴∠B=30°；
cos（90°﹣C）=，
∴90°﹣∠C=60°，
∴∠C=30°，
∴∠C=∠B．
∴△ABC是等腰三角形．
故选A．
7．（3分）如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm，O是AB的中点，以O为顶点的抛物线经过C、D，以OA、OB为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πcm2 B．（）cm2 C．πcm2 D． cm2
【解答】解：观察图形，
根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积，
其半径为AB的，
∵AB=4cm，
∴即半径为1，其面积为： =，
故选D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣2
【解答】解：函数y=x2﹣4向右平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣4；
再向上平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣2；
故选B．
9．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意∵∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．
∴sinA=，cosA=，tanA=，cosB=．
故A、B、D错误，选C．
10．（3分）你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（ ）
A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m
【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
因为抛物线过点（﹣1，1）、（3，1）、（0，1.5）
所以有：
．
解之得．
所以y=﹣x2+x+1.5．
当x=1.5时，y==1.625．
即丁的身高是1.625米．
故选B．
二、耐心填一填，你一定很棒!（每小题3分，共30分）
11．（3分）若抛物线y=x2+（k﹣1）x+（k+3）经过原点，则k= ﹣3 ．
【解答】解：∵点（0，0）在抛物线y=x2+（k﹣1）x+（k+3）上，
∴k+3=0，
解得k=﹣3，
故答案为：﹣3．
12．（3分）已知抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣3），那么b= ﹣8 ，c= 5 ．
【解答】解：根据顶点公式：x=﹣=﹣=2，
解得：b=﹣8，
y====﹣3，
解得：c=5．
故答案为：﹣8，5．
13．（3分）抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a= ﹣2 ．
【解答】解：∵抛物线的顶点横坐标是3，
∴﹣=﹣=3，解得，a=﹣2．
14．（3分）若函数y=ax2+2（a+1）x+a﹣1与x轴只有一个交点，a= 0或﹣ ．
【解答】解：当a=0时，函数为y=2x﹣1，此一次函数与x轴只有一个交点；
当a≠0，当△=（2a+2）2﹣4a（a﹣1）=0时，二次函数y=ax2+2（a+1）x+a﹣1的图象与x轴只有一个交点，解得a=﹣．
故答案为：0或．
15．（3分）计算2sin30°+3tan30° tan45°= 1 ．
【解答】解：2sin30°+3tan30° tan45°=2××1=1+；
故填：1+．
16．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 ．
【解答】解：
连接CE，
∵根据图形可知DC=1，AD=3，AC==，
BE=CE==，∠EBC=∠ECB=45°，
∴CE⊥AB，
∴sinA===，
故答案为：．
17．（3分）若二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2= ﹣1 ．
【解答】解：由图可知，对称轴为x=1，
根据二次函数的图象的对称性，
=1，
解得，x2=﹣1．
故答案为：﹣1．
18．（3分）为了测量楼房BC的高度，在距离楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，那么楼房BC的高为 30tanα ．
【解答】解：如图；
在Rt△ABC中，AB=30米，∠A=α；
∴BC=AB tanA=30tanα．
19．（3分）在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，则BC的长为 4+4 ．
【解答】解：如图，在Rt△ABD中，
∵==，
∴BD=4，
AD==4，
∵∠C=45°，
∴AD=CD=4，
∴BC=BD+CD=4+4，
故答案为4+4．
20．（3分）二次函数y=kx2+3x﹣4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 k＞﹣且k≠0 ．
【解答】解：根据题意得△=32﹣4k×（﹣4）＞0，
解得k＞﹣．
由于该函数为二次函数，
则k≠0．
故答案为k＞﹣且k≠0．
三、充满信心，成功在望．（共60分）
21．（9分）（1）
（2）2cos245°﹣tan60° tan30°
（3）﹣23+（）﹣3﹣（π﹣3.14）0﹣|1﹣tan60°|﹣．
【解答】解：（1）原式=×﹣×=﹣；
（2）原式=2×（）2﹣×=1﹣1=0；
（3）原式=﹣8+8﹣1﹣+1+2+=2．
22．（8分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D（如图1），则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有：，，所以
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图2，△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A= 60° ；AC= 20 ；
（2）如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图3），求此时货轮距灯塔A的距离AB．
【解答】解：（1）∠A=60°，AC=；
（2）如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）
∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中， =，即=，
解之得：AB=15．
答：货轮距灯塔的距离AB=15海里．
23．（8分）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．
【解答】解：由题意得，
y=（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]=﹣10（x﹣14）2+360（10≤a＜20），
∵a=﹣10＜0
∴当x=14时，y有最大值360
答：他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元．
24．（8分）如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，点P从点A沿AB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，P、Q同时出发，速度都是1cm/s
（1）P、Q移动几秒时，△PBQ为等腰三角形；
（2）设S△PBQ=y，请写出y（cm2）与点P、Q的移动时间x（s）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）能否使S△PBQ=？若不能请说明理由，若能，也说明理由．
【解答】解：（1）设P、Q移动x秒时，△PBQ为等腰三角形，
则PB=AB﹣AP=8﹣x，BQ=x，
∵PB=BQ，
∴8﹣x=x，
解得x=4；
（2）如图，过点Q作QE⊥AB，垂足为E，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵∠A=45°，
∴∠QBE=∠A=45°，
∴QE=QB sin45°=x，
∴S△PBQ=y=×PB×QE，
=×（8﹣x）×x，
=﹣x2+2x；
∵P从点A沿AB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，
∴0≤x≤6，
∴函数关系式为：y=﹣x2+2x（0≤x≤6）；
（3）不能．
理由如下：假设能，
∵AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，
∴SABCD=AB BCsin45°=8×6×=24，
∴﹣x2+2x=×24，
整理得x2﹣8x+32=0，
∵△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×1×32=﹣64＜0，
∴此方程无解．
故不能．
25．（9分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6米，跨度20米，相邻两支柱间的距离均为5米；
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式．
（2）求支柱MN的长度．（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【解答】解：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y=ax2+c，得
，
解得：a=﹣，c=6．
所以抛物线的表达式是y=﹣x2+6（﹣10≤x≤10）；
（2）可设N（5，yN），于是yN=﹣×52+6=4.5．
从而支柱MN的长度是8﹣4.5=3.5米；
（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则G点坐标是（，0），
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH=﹣×（）2+6=3.465＞3，
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
26．（8分）去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
【解答】解：计划修筑的这条公路不会穿过公园．理由如下：
过C点作CD⊥AB于D，
由题可知：∠CAD=30°，
设CD=x千米，tan∠CAD=，
所以AD==x，
由CD⊥AB，得到∠CDB=90°，又∠CBD=45°，
所以△CDB为等腰直角三角形，
则BD=CD=x，
∵AB=2，
∴x+x=2，
∴x=﹣1＞0.7．
∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．
27．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
∵正方形的边长2，
∴B的坐标（2，﹣2）A点的坐标是（0，﹣2），
把A（0，﹣2），B（2，﹣2），D（4，﹣）代入得：，
解得a=，b=﹣，c=﹣2，
∴抛物线的解析式为：，
答：抛物线的解析式为：．
（2）①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
=（2﹣2t）2+t2，
即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．
②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1），
∴当S=时，5t2﹣8t+4=，得20t2﹣32t+11=0，
解得t=，t=（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，﹣2），Q点的坐标为（2，﹣），
若R点存在，分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边，如图（1）所示，这时QR=PB，RQ∥PB，
则R的横坐标为3，R的纵坐标为﹣，
即R（3，﹣），
代入，左右两边相等，
∴这时存在R（3，﹣）满足题意；
（ii）假设R在QB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，
则R（1，﹣）代入，，
左右不相等，∴R不在抛物线上．
综上所述，存在一点R（3，﹣）满足题意．
则存在，R点的坐标是（3，﹣）；
（3）如图（2），M′B=M′A，
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
理由是：∵MA=MB，若M不为L与DB的交点，则三点B、M、D构成三角形，
∴|MD|﹣|MB|＜|DB|，
即M到D、A的距离之差为|DB|时，差值最大，
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：，
解得：k=，b=﹣，
∴y=x﹣，
抛物线的对称轴是x=1，
把x=1代入得：y=﹣
∴M的坐标为（1，﹣）；
答：M的坐标为（1，﹣）．
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