2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
　
一．选择题（每题3分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣3 D．3
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．m m=2m B．（mn）3=mn3 C．（m2）3=m6 D．m6÷m2=m3
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）点（﹣4，2）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣1，﹣8） C．（2，4） D．（﹣2，4）
5．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）不等式组的解集为（　　）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1 D．x＜4
7．（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（　　）
A．6米 B．12米 C．3米 D．6米
8．（3分）如图，若DF∥BC，CF∥AB，则下列结果正确的是（　　）
A． = B． = C． = D． =
9．（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　）
A．1000（1+x）2=1000+440 B．1000（1+x）2=440
C．440（1+x）2=1000 D．1000（1+2x）=1000+440
10．（3分）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地．甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，有下列说法：
①A、B之间的距离为2400m；②甲、乙行走的速度比是2：3
③a=800；④b=34
其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
二．填空题（每题3分）
11．（3分）肥皂泡沫的泡壁厚度大约是0.0007mm，则数据0.0007用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）计算：|﹣2|+（﹣2）0=　 　．
13．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．
14．（3分）分解因式：16m2﹣4=　 　．
15．（3分）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是　 　．
16．（3分）一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为　 　cm．
17．（3分）如图，CD是⊙O直径，AB是弦，若CD⊥AB，∠BCD=25°，则∠AOD=　 　°．
18．（3分）在不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，若从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是，则黄球的个数为　 　个．
19．（3分）如图，等边△ABC中，AD是中线，以AD为一边，在同一平面内作等边△APD，连接CP，若CP=2，则AB=　 　．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC边上，连接AD，作BE⊥AD于点E，连接CE．若∠CED=45°，CD=2，则CE=　 　．
　
三.解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=﹣4sin45°+2．
22．（7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画一个以线段AC为对角线、周长为20的四边形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上，并求出BD的长；
（2）在图2中画一个以线段AC为对角线、面积为10的四边形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
23．（8分）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中的样本容量是　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．
24．（8分）如图，AD是△ABC的中线，P是线段AD上一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点．
（1）如图1，当AP=BC时，求证：四边形EGHF是菱形；
（2）如图2，当点P在AD与EF交点时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△AEP面积相等的三角形（不包括△AEP本身）．
25．（10分）雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题备受人们关注，为了减少雾霾影响，某单位计划为职工购买A、B两种型号的防霾口罩．已知每个B种型号防霾口罩价格比每个A种型号防霾口罩价格多30元，花300元购买A种型号防霾口罩和花480元购买B种型号防霾口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号防霾口罩每个价格各多少元？
（2）根据单位实际情况，需购买A、B两种型号防霾口罩共200个，总费用不高于1.4万元，求A种型号防霾口罩至少要购买多少个？
26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CH⊥AB于H，∠CAB=30°．
（1）如图1，求证：AH=3BH；
（2）如图2，点D为AB下方⊙O上一点，点E为AD上一点，若∠BOE=∠CAD，连接BD，求证：OE=BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，若CE⊥AD，OA=14，求BD的长．
27．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（A左B右），与y轴交于C，直线y=﹣x+5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB=180°，求d的值．
　
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
　
一．选择题（每题3分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣3 D．3
【解答】解：﹣3的绝对值等3．
故选：D．
　
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．m m=2m B．（mn）3=mn3 C．（m2）3=m6 D．m6÷m2=m3
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A不符合题意；
B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C符合题意；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D不符合题意；
故选：C．
　
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选A．
　
4．（3分）点（﹣4，2）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣1，﹣8） C．（2，4） D．（﹣2，4）
【解答】解：∵点（﹣4，2）在反比例函数y=的图象上，
∴k=﹣4×2=﹣8．
∵A中﹣4×（﹣2）=8；B中﹣1×（﹣8）=8；C中2×=8；D中﹣2×4=﹣8，
∴点（﹣2，4）在反比例函数y=的图象上，
故选D．
　
5．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：A．
　
6．（3分）不等式组的解集为（　　）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1 D．x＜4
【解答】解：解不等式x﹣1≤0，得：x≤1，
解不等式2x﹣5＜3，得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤1，
故选：C
　
7．（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（　　）
A．6米 B．12米 C．3米 D．6米
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比1：，
∴，
∵堤高BC=6米，
∴AC=BC=6（米）．
故选A
　
8．（3分）如图，若DF∥BC，CF∥AB，则下列结果正确的是（　　）
A． = B． = C． = D． =
【解答】解：A、∵DF∥BC，CF∥AB，∴，错误；
B、∵DF∥BC，CF∥AB，∴，正确；
C、∵DF∥BC，CF∥AB，∴，错误；
D、∵DF∥BC，CF∥AB，∴，错误；
故选B
　
9．（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　）
A．1000（1+x）2=1000+440 B．1000（1+x）2=440
C．440（1+x）2=1000 D．1000（1+2x）=1000+440
【解答】解：由题意可得，
1000（1+x）2=1000+440，
故选A．
　
10．（3分）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地．甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，有下列说法：
①A、B之间的距离为2400m；②甲、乙行走的速度比是2：3
③a=800；④b=34
其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①当x=0时，y=2400，
∴A、B之间的距离为2400m，结论①正确；
②乙的速度为2400÷（24﹣4）=120（m/min），
甲的速度为2400÷12﹣120=80（m/min），
甲、乙行走的速度比是80：120=2：3，结论②正确；
③a=（120+80）×（24﹣4﹣12）=1600，结论③错误；
④b=2400÷800+4=34，结论④正确．
故选C．
　
二．填空题（每题3分）
11．（3分）肥皂泡沫的泡壁厚度大约是0.0007mm，则数据0.0007用科学记数法表示为　7×10﹣4　．
【解答】解：0.0007=7×10﹣4，
故答案为：7×10﹣4．
　
12．（3分）计算：|﹣2|+（﹣2）0=　3　．
【解答】解：|﹣2|+（﹣2）0=2+1=3．
故答案为：3．
　
13．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠　．
【解答】解：由题意，得
2x﹣1≠0，解得x≠，
故答案为：x≠．
　
14．（3分）分解因式：16m2﹣4=　4（2m+1）（2m﹣1）　．
【解答】解：原式=4（4m2﹣1）=4（2m+1）（2m﹣1），
故答案为：4（2m+1）（2m﹣1）
　
15．（3分）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是　（3，﹣4）　．
【解答】解：∵y=2（x﹣3）2﹣4，
∴二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（3，﹣4），
故答案为：（3，﹣4）．
　
16．（3分）一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为　6　cm．
【解答】解：设该扇形的半径为R，则
=12π，
解得R=6．
即该扇形的半径为6cm．
故答案是：6．
　
17．（3分）如图，CD是⊙O直径，AB是弦，若CD⊥AB，∠BCD=25°，则∠AOD=　50　°．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴=，
∵∠BCD=25°，
∴∠AOD=2∠BCD=50°，
故答案为：50
　
18．（3分）在不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，若从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是，则黄球的个数为　4　个．
【解答】解：设黄球有x个，
根据题意得=，
解得：x=4，
即黄球有4个，
故答案为：4．
　
19．（3分）如图，等边△ABC中，AD是中线，以AD为一边，在同一平面内作等边△APD，连接CP，若CP=2，则AB=　4或4　．
【解答】解：如图由题意可知点P的位置有两个P和P′，连接PP′，作CH⊥PP′于H．设AB=4a．
则AD=2a，PH=5a，CH=a，P′H=a，
当PC=2时，∵PH2+CH2=PC2，
∴25a2+3a2=28，
解得a=1，
当CP′=2时，CH2+HP′2=CP′2，
∴4a2=28，
∴a=，
∴AB=4或4．
故答案为4或4
　
20．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC边上，连接AD，作BE⊥AD于点E，连接CE．若∠CED=45°，CD=2，则CE=　　．
【解答】解：过C作CM⊥BE，交BE的延长线于M，交AC于N，过C作CF⊥AD，交AD延长线于F，
∵∠CED=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF=FC=EC，
∵∠BED=∠DEM=90°，
∴∠CEM=45°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴EM=CM=EC，
设FC=2x，则EM=CM=EF=2x，EC=2x，
∵∠DAC+∠ACE=∠ACE+∠ECB=45°，
∴∠DAC=∠ECB，
∵∠AEC=∠BEC=90°+45°=135°，
∴△AEC∽△CEB，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AC，
∴=，
∴AE=2x，
∴AE=EF，
∵EN∥CF，
∴AN=CN，
∴EN=FC=x，
由勾股定理得：AN=x，
∴AB=AC=2x，BC=AB=2x，
Rt△ABE中，BE==4x，
∵BE∥CF，
∴△BED∽△CFD，
∴，
∴，
x=，
∴EC=2×=；
故答案为：
　
三.解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=﹣4sin45°+2．
【解答】解：原式= =﹣，
当x=2﹣2+2=2时，原式=﹣2．
　
22．（7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画一个以线段AC为对角线、周长为20的四边形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上，并求出BD的长；
（2）在图2中画一个以线段AC为对角线、面积为10的四边形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
【解答】解：（1）如图1所示，四边形ABCD即为所求，
BD==4；
（2）如图2，四边形ABCD即为所求．
　
23．（8分）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中的样本容量是　100　；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．
【解答】解：（1）本次抽样调查中的样本容量=30÷30%=100，
故答案为100．
（2）其他有100×10%=10人，打球有100﹣30﹣20﹣10=40人，
条形图如图所示：
（3）估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为2000×40%=800人．
　
24．（8分）如图，AD是△ABC的中线，P是线段AD上一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点．
（1）如图1，当AP=BC时，求证：四边形EGHF是菱形；
（2）如图2，当点P在AD与EF交点时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△AEP面积相等的三角形（不包括△AEP本身）．
【解答】（1）证明：如图1，∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC，GH∥BC，GH=BC，
∴EF=GH=BC，
同理得：EG=FH=AP．
∵AP=BC，
∴EF=GH=EG=FH，
∴四边形EGHF是菱形；
（2）如图2，S△AEP=S△BEP，S△AEP=S△AFP，S△AEP=S△CFP，S△AEP=S△GHP．
　
25．（10分）雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题备受人们关注，为了减少雾霾影响，某单位计划为职工购买A、B两种型号的防霾口罩．已知每个B种型号防霾口罩价格比每个A种型号防霾口罩价格多30元，花300元购买A种型号防霾口罩和花480元购买B种型号防霾口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号防霾口罩每个价格各多少元？
（2）根据单位实际情况，需购买A、B两种型号防霾口罩共200个，总费用不高于1.4万元，求A种型号防霾口罩至少要购买多少个？
【解答】解：（1）设A种型号防霾口罩每个价格为x元，则B种型号防霾口罩每个价格为（x+30）元，
根据题意得： =，
解得：x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解，符合题意，
∴x+30=80．
答：A种型号防霾口罩每个价格为50元，B种型号防霾口罩每个价格为80元．
（2）设购买A种型号防霾口罩m个，则购买B种型号防霾口罩（200﹣m）个，
根据题意得：50m+80（200﹣m）≤14000，
解得：m≥．
∵m为整数，
∴m≥67．
答：A种型号防霾口罩至少要购买67个．
　
26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CH⊥AB于H，∠CAB=30°．
（1）如图1，求证：AH=3BH；
（2）如图2，点D为AB下方⊙O上一点，点E为AD上一点，若∠BOE=∠CAD，连接BD，求证：OE=BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，若CE⊥AD，OA=14，求BD的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，AB=2BC，
∵CH⊥AB，
∴∠BCH=30°，
∴BC=2BH，
∴AB=4BH，
∴AH=3BH，
（2）证明：连接BC、DC，
∵∠CAD+∠CBD=180°，∠BOE=∠CAD，
∴∠BOE+∠CBD=180°，
∵∠BOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=∠CBD，
∵=，
∴∠EAO=∠BCD，
由（1）得AB=2BC，AB=2OA，
∴OA=BC，
∴△OAE≌△BCD，
∴OE=BD；
（3）解：过O作OM⊥AD于D，
∴AM=MD，
∵AO=OB，
∴BD=2OM，
∵∠BOE=∠CAD，∠BOE=∠BAE+∠OEA，
∠CAD=∠BAE+∠BAC，
∴∠OEA=∠BAC=30°，
设OM=x，则ME=x，
由（2）得：△OAE≌△BCD，
∴AE=CD，
∵=，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∵CE⊥AD，
∴∠DCE=30°，
∴CD=2DE，AE=CD，
∴AE=2DE，
设AM=MD=y，则AE=y+x，DE=y﹣x，
∴y+x=2（y﹣x），
y=3x，
在Rt△OAM中，OA=14，AM=3x，OM=x，
OM2+AM2=OA2，
=142，
解得：x1=，x2=﹣（舍），
∴OM=，
∴BD=2OM=2．
　
27．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（A左B右），与y轴交于C，直线y=﹣x+5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB=180°，求d的值．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+5经过点B、C，
∴B（5，0），C（0，5），
把B、C坐标代入y=﹣x2+bx+c得到：，
解得，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+5．
（2）如图1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．
∵P（m，﹣m2+m+5），
∵PF∥AB，
∴点F的纵坐标为﹣m2+m+5，
则有﹣m2+m+5=﹣x+5，
∴x=m2﹣m，
∴PF=m2﹣m﹣m=m2﹣m，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠EFP=∠OBC=45°，∵PE⊥EF，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴d=PE=PF=m2﹣m（﹣2＜m＜0）；
（3）如图2中，取BC的中点H，连接PH．
∵∠PCB+∠POB=180°，
∴O、B、C、P四点共圆，
∴∠CPB=∠COB=90°，
∴PH=BC=，
∵P（m，﹣m2+m+5），H（，），
∴（m﹣）2+（﹣m2+m+5﹣）2=，
整理得：m（m﹣5）（m2﹣m﹣2）=0，
解得m=0或5或﹣1或2，
∵P在第二象限，
∴m=﹣1，
∴d=m2﹣m=．