2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市双城区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市双城区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
　
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y=﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
3．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
4．（3分）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（　　）21*cnjy*com
A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【21教育】
5．（3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（　　）
A． B．2π C．3π D．12π
6．（3分）双曲线y=，x＞0时，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2
7．（3分）如图，菱形ABCD，AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，将等腰Rt△ABC绕点A顺时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分面积为（　　）21-cnjy*com
A． B． C． D．3
9．（3分）如图，下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是（　　）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C． D．AC2=AD?AB
10．（3分）在环城越野赛中，甲、乙两选手的行列的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象如图所示，有如下说法，其中正确的个数有（　　）
①起跑后1小时内，甲在乙的前面；
②第1小时两人都跑了10千米；
③甲比乙先到达终点；
④两人都跑了20千米．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）方程x2=2x的根为　 　．
12．（3分）若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣3），则k=　 　．
13．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则CD的长为　 　．21世纪教育网
14．（3分）在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为　 　m．
15．（3分）若一元二次方程x2+2x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
16．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为　 　．21cnjy.com
17．（3分）已知粉笔盒里有4支红色粉笔和n支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是，则n的值是　 　．
18．（3分）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是　 　．【21·世纪·教育·网】
19．（3分）如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为　 　．
20．（3分）如图，等边△ABC点D在AC边上，点E在AB边上，BD与CE相交于点F，AD=BE，CF=6，S△AEC=12，则线段BE=　 　．
　
三、解答题（共60分，其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分）
21．（7分）先化简，再求代数式÷（1+）的值，其中a是方程x2+3x﹣4=0的解．
22．（7分）如图，在13×6的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，连接AC，画出△ABC；
（2）画以AB为对角线的四边形ADBC，且四边形ADBC是中心对称图形；
（3）直接写出四边形ADBC的周长．
23．（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，点A（4，1），点B的横坐标为﹣1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．
24．（8分）如图，点D是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB=90°，将△CBD绕点C按逆时针方向旋转90°得△CAE，BD延长线与AE相交于点H．
（1）如图1，求证：BH⊥AE；
（2）如图2，连接DA、DE，当∠BDC=108°，∠ADB=153°时，试判断△ADE的形状，并说明理由．
25．（10分）沁园春茶庄经销一种花茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240，且物价部门规定这种花茶的销售单价不得高于90元/千克．设这种花茶在这段时间内的销售利润为y（元）：
（1）求y与x的关系式；并求x取何值时，y的值最大？
（2）如果沁园春茶庄想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每千克多少元？
26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，半径OD⊥BC垂足为N，连接AD与BC相交于点E，连接BD．
（1）如图1，求证：∠AEC=∠ABD；
（2）过点D作DF⊥AB垂足为F，如图2，求证：AB=AC=2BF；
（3）在（2）的条件下，延长DF与⊙O交于点G，连接OG，过点B作BH⊥OG于点H，连接NH，若OG=5HG，HN=4，AC=5，求线段AB的长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点B，交y轴于点C，A为抛物线与x轴的另一个交点，D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在对称轴左侧并且在x轴上方的抛物线上，设点P的横坐标为t，连接PB、PD，△PBD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当∠PBD=2∠CBD时，求点P到直线BD的距离．
　

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市双城区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
　
2．（3分）抛物线y=﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
【解答】解：由y=﹣（x+2）2﹣5可知抛物线的顶点是（﹣2，﹣5），
故选C．
　
3．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故选：D．
　
4．（3分）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（　　）
A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．
　
5．（3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（　　）
A． B．2π C．3π D．12π
【解答】解：根据弧长公式：l==3π，
故选：C．
　
6．（3分）双曲线y=，x＞0时，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2
【解答】解：∵y=，x＞0时，y都随x的增大而增大，
∴m+2＜0，解得m＜﹣2．
故选：B．
　
7．（3分）如图，菱形ABCD，AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△AFD∽△EFB，
∴BF：DF=BE：AD，
∵AD=BC，EC=2CE，
∴AD=3BE
∴=，
故选B．
　
8．（3分）如图，将等腰Rt△ABC绕点A顺时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分面积为（　　）【21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．3
【解答】解：如图，设B′C′与AB交点为D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′=15°，AC′=AC=1，
∴∠C′AD=∠BAC﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，
∵AD=2C′D，
∴AD2=AC′2+C′D2，
即（2C′D）2=12+C′D2，
解得C′D=，
故阴影部分的面积=×1×=．
故选B．
　
9．（3分）如图，下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是（　　）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C． D．AC2=AD?AB
【解答】解；∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD?AB，即=，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选C．
　
10．（3分）在环城越野赛中，甲、乙两选手的行列的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象如图所示，有如下说法，其中正确的个数有（　　）
①起跑后1小时内，甲在乙的前面；
②第1小时两人都跑了10千米；
③甲比乙先到达终点；
④两人都跑了20千米．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：有图象可知，
起跑后1小时内，甲在乙的前面，故①正确；
第1小时两人都跑了10千米，故②正确；
乙比甲先到达终点，故③错误；
乙跑的路程为：2×=20千米，甲乙的终点一样，故④正确；
故选C．
　
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）方程x2=2x的根为　x1=0，x2=2　．
【解答】解：x2=2x，
x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，或x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2．
　
12．（3分）若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣3），则k=　﹣6　．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，﹣3），
∴﹣3=，
解得，k=﹣6，
故答案为：﹣6．
　
13．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则CD的长为　2　．21教育网
【解答】解：连接OA，
∵半径OD过AB的中点C，
∴OD⊥AB，
∴∠OCA=90°，
∵弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，
∴AC=BC=4，
∵AO=5，
∴由勾股定理得：OC==3，
∴CD=OD﹣OC=5﹣3=2，
故答案为：2．
　
14．（3分）在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为　24　m．21*教*育*名*师
【解答】解：设这栋建筑物的高度为xm，
由题意得， =，
解得x=24，
即这栋建筑物的高度为24m．
故答案为：24．
　
15．（3分）若一元二次方程x2+2x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是　k≤1　．
【解答】解：根据题意，得
△=22﹣4×1×k=4﹣4k≥0，解得k≤1．
故答案为：k≤1．
　
16．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为　20%　．
【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，
125（1﹣x）2=80，
解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）；
故答案为：20%
　
17．（3分）已知粉笔盒里有4支红色粉笔和n支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是，则n的值是　6　．
【解答】解：由题意得： =，
解得：n=6，
故答案为：6．
　
18．（3分）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是　10或　．2-1-c-n-j-y
【解答】解：∵x2﹣14x+48=0，
∴x=6和x=8，
当长是8的边是直角边时，第三边是=10；
当长是8的边是斜边时，第三边是=2．
总之，第三边长是10或．
　
19．（3分）如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为　6cm　．
【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，
设AB的长为xcm，
∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=x；
∵OA=4cm，BC=10cm，
∴BE=5cm，DE=（x﹣5）cm，OD=（x﹣4）cm
又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD，
∴x﹣5=（x﹣4），
解得：x=6．
∴AB=6cm，
故答案为：6cm．
　
20．（3分）如图，等边△ABC点D在AC边上，点E在AB边上，BD与CE相交于点F，AD=BE，CF=6，S△AEC=12，则线段BE=　4　．
【解答】解：如图，作CH⊥BD于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠BCD=60°，AB=AC=BC，
∵BE=AD，
∴AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴CE=BD，∠DBC=∠ACE，
∴∠DFC=∠DBC+∠FCB=∠ACE+∠fFCB=∠ACB=60°
在Rt△CFH中，∵∠CFD=60°，CF=6，
∴CH=CF?sin60°=3，
∴S△AEC=S△BDC=?BD?CH=12，
∴BD=CE=8，EF=2，
∵∠BEF=∠BEC，∠EFB=∠EBC=60°，
∴△EBF∽△ECB，
∴BE2=EF?EC=2?8=16，
∴BE=4，
故答案为4
　
三、解答题（共60分，其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分）
21．（7分）先化简，再求代数式÷（1+）的值，其中a是方程x2+3x﹣4=0的解．
【解答】解：÷（1+）
=÷
=
=，
∵a是方程x2+3x﹣4=0的解，
∴a=﹣4或1（舍弃），
∴a=﹣4，
∴原式=．
　
22．（7分）如图，在13×6的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．21·cn·jy·com
（1）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，连接AC，画出△ABC；
（2）画以AB为对角线的四边形ADBC，且四边形ADBC是中心对称图形；
（3）直接写出四边形ADBC的周长．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；
（2）如图所示：四边形ADBC是中心对称图形；
（3）四边形ADBC的周长为：2（5+5）=10+10．
　
23．（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，点A（4，1），点B的横坐标为﹣1．www.21-cn-jy.com
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=的图象上，
∴1=，
解得：m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=；
∵点B的横坐标为﹣1，
∴y==﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4），
将点A与B代入一次函数解析式，可得：，
解得：，
∴一次函数的解析式的解析式为：y=x﹣3；
（2）如图，
∵一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于C、D两点，
∴C（3，0），
∴△AOB的面积=×3×1+×3×4=7.5．
　
24．（8分）如图，点D是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB=90°，将△CBD绕点C按逆时针方向旋转90°得△CAE，BD延长线与AE相交于点H．
（1）如图1，求证：BH⊥AE；
（2）如图2，连接DA、DE，当∠BDC=108°，∠ADB=153°时，试判断△ADE的形状，并说明理由．2·1·c·n·j·y
【解答】解：（1）∵将△CBD绕点C按逆时针方向旋转90°得△CAE，
∴∠EAC=∠CBD，
∵∠CBD+∠2=90°，
∵∠2=∠1，
∴∠CBD+∠1=90°，
∴∠HAC+∠1=90°，
∴∠AHB=90°，
∴BH⊥AE；
（2）△ADE是等腰三角形，
理由：∵CD=DE，∠ECD=90°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴∠EDC=45°，
∴∠EDB=45°+108°=153°，
∴∠ADB=∠EDB，
∵∠ADB=∠AHD+∠HAD，
∠EDB=∠DHE+∠AED，
∴∠DAH=∠AED，
∴△ADE是等腰三角形．
　
25．（10分）沁园春茶庄经销一种花茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240，且物价部门规定这种花茶的销售单价不得高于90元/千克．设这种花茶在这段时间内的销售利润为y（元）：21·世纪*教育网
（1）求y与x的关系式；并求x取何值时，y的值最大？
（2）如果沁园春茶庄想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每千克多少元？
【解答】解：（1）y=（x﹣50）?w=（x﹣50）?（﹣2x+240）=﹣2x2+340x﹣12000，
因此y与x的关系式为：y=﹣2x2+340x﹣12000，
y=﹣2x2+340x﹣12000=﹣2（x﹣85）2+2450，
∴当x=85时，在50＜x≤90内，y的值最大为2450；
（2）当y=2250时，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450=2250，
解这个方程，得x1=75，x2=95；
根据题意，x2=95不合题意应舍去．
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．
　
26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，半径OD⊥BC垂足为N，连接AD与BC相交于点E，连接BD．【21教育名师】
（1）如图1，求证：∠AEC=∠ABD；
（2）过点D作DF⊥AB垂足为F，如图2，求证：AB=AC=2BF；
（3）在（2）的条件下，延长DF与⊙O交于点G，连接OG，过点B作BH⊥OG于点H，连接NH，若OG=5HG，HN=4，AC=5，求线段AB的长．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵OD⊥BC，
∴=，
∴∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC，
∵∠AEC=∠BAD+∠ABC，
∴∠AEC=∠ABC+∠CBD，
∴∠AEC=∠ABD．
（2）如图2中，在AB上截取AR=AC，连接CR、DR、CD．
∵AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分CR，
∴DR=DC，
∵BD=DC，
∴DR=DB，
∵DF⊥BA，
∴BF=FR，
∴AB﹣AR=BR，
∴AB﹣AC=2BF．
（3）延长BH交⊙O于M．连接AM、OC、OB、CM，交OA于Q，BM交DG于S，DG交BC于T．
∵OG⊥BH，
∴BH=HM，
∵ON⊥BC，
∴BN=NC，
∴HN是△BMC的中位线．
∴CM=2HN=8，
∵OG=OD，
∴∠ODG=∠OGD，
∴90°﹣∠ODG=90°﹣∠G，
∴∠NTD=∠HSG，
∴∠BST=∠BTS，
∵AB⊥DG，
∴∠MBA=∠CBA，∠AOM=∠AOC，
∵OM=OC，
∴OQ⊥CM，
∴CQ=QM=CM=4，
∵AC=5，
∴AQ2+CQ2=AC2，
∴AQ=3，
设OC=r，则OQ=r﹣3，
∵OQ2+CQ2=OC2，
∴（r﹣3）2+42=r2，
∴r=，
∵OG=5HG，
∴HG=，
∵∠ACM=∠MBA，
∴∠OAC=∠BSF，
∴∠GSH=∠OAC，
∵∠GSH=∠AQC=90°，
∴△AQC∽△SHG，
∴=，
∴SH=，
在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，
∴BH=，
∴BS=﹣=，
∵∠BSF=∠QAC，∠BFS=∠AQC，
∴△BFS∽△CQA，
∴=，
∴=，
∴BF=，
∵AB﹣AC=2BF，
∴AB﹣5=2×，
∴AB=8．
　
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点B，交y轴于点C，A为抛物线与x轴的另一个交点，D是抛物线的顶点．www-2-1-cnjy-com
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在对称轴左侧并且在x轴上方的抛物线上，设点P的横坐标为t，连接PB、PD，△PBD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当∠PBD=2∠CBD时，求点P到直线BD的距离．
【解答】解：（1）直线y=x+5交xZ轴于B（5，0），交y轴于C（0，5）．
∴c=5，﹣25+5b+c=0，
∴b=4，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5．
（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点D（2，9），
设直线PB交对称轴于M，对称轴交x轴于N，过点P作PH⊥AB于H．
∵MN∥PH，
∴=，
∴MN=3t+3，
∴S=?DM?BH=t2﹣t+15．
（3）∵BD2=DN2+BN2，
∴BD=3，延长BD交y轴于Q，
∵B（5，0），D（2，9），
设直线BD的解析式为Y=mx+n，则有，
解得，
∴直线BD的解析式为y=﹣3x+15．
∴Q（0，15），
∴OQ=15，
∵∠PBD=2∠CBD，
∴∠PBO=45°﹣∠PBC，∠OQB=45°﹣∠QBC，
∴∠PBO=∠OQB，设PB交y轴于E，
∵∠OQB=∠EOB，
∴△OEB∽△OBQ，
∴=，
∴OE=，
∴E（0，），设直线BE的解析式为y=ax+d，则有，
解得，
∴直线BE的解析式为y=﹣x+，
由，解得或，
∴P（﹣，），
∴t=，S=，PR=，
∴P点到直线BD的距离为．