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新湘教版 数学 七年级下 5.1.2 轴对称变换教学设计
课题 5.1.2 轴对称变换 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级
学习目标 知识与技能：掌握轴对称的概念及其性质。过程与方法：会利用轴对称的性质，作对称点、对称图形、对称轴。情感态度与价值观：经历丰富材料的学习过程，提高对图形的观察、分析、判断、归纳等能力，体验数学与生活的联系、提高审美观。
重点 掌握轴对称的概念及其性质。
难点 会利用轴对称的性质，作对称点、对称图形、对称轴。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾知识+导入新课 同学们，在前面学习中，我们已经学习了图形的概念，今天我们将一起学习轴对称变换。在讲解新课之前，我们首先一起来回顾相关内容： 轴对称图形：如果一个图形沿着一条 直线 折叠，直线两旁的部分能够互相 重合 ，那么这个图形叫作轴对称图形.这条直线叫作它的 对称轴 .接下来，我们思考一个问题： 如图，用印章在一张纸上盖一个印（a），趁印迹未干之时，将纸张沿着直线l对折，得到印（b），随后打开，观察图形（a）与图形（b）有怎样的关系？我们可以发现：两个图形如果沿虚线l对折，可以完全重合。那么这样的图形成什么变换呢？ 学生回忆上节课的内容，并回答老师。学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。 导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课+例题讲解讲授新课+例题讲解 把图形（a）沿着直线l翻折并将图形“复印”下来得到图形（b），就叫做该图形关于直线l作了轴对称变换，也叫轴反射.图形（a）叫做原像，图形（b）叫做图形（a）在这个轴反射下的像. 轴对称变换：如果一个图形关于某一条直线做轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称.这条直线叫做对称轴. 原像与像中能互相重合的两个点，其中一点叫做另一个点关于这条直线的对应点. 接下来我们看一个例子。【例1】下图中的两个图形成轴对称吗？如果是，请指出原像与原像在轴反射后的像，以及一组对称点.其中，对称点：A与A’；B与B’；C与C’.我们可以总结下轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系：【例2】举例：举出生活中两个图形成轴对称的例子.在看两个图形成轴对称时候，我们需要将对称图形沿对称轴分为两个图形，这两个图形成轴对称.【做一做】图中，对称轴l两边的图形（a）与（b）的形状和大小发生变化了吗？可以发现，两个图形沿虚线l对折，可以完全重合，形状和大小都不变.所以我们说：轴对称变换性质1：1.轴对称变换不改变图形的形状和大小；2. 轴对称变换不改变图形的长度、角度和面积.【知识探究】在图中，三角形ABC和三角形A’B’C’关于直线l成轴对称，点P和P′是对应点，线段PP′交直线l于点D.么线段PP′与对称轴l有什么关系呢？∵三角形ABC和三角形A′B′C′关于直线l成轴对称，将图沿直线l折叠，则点P与P′重合，∴PD与P′D，∠1与∠2也互相重合， ∴PD=P′D，∠1=∠2=90°，∴l⊥PP′，且平分PP′，即直线l垂直平分线段PP′.从图中可以看出，如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.我们可以发现：轴对称的性质2：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.【例3】如图，已知直线l及直线外一点P，求作点P’，使它与点P关于直线l对称.作法： 1.过点P作 PQ⊥l，交l于点 O；2.在直线 PQ上，截取 OP’=OP，则点P’即为所求作的点.【做一做】已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.【例4】如图，已知三角形ABC和直线l，作出与三角形 ABC关于直线l对称的图形.分析：要作三角形ABC关于直线l的对称图形，只要作出三角形的顶点A，B，C关于直线l的对应点A＇，B＇，C＇，连接这些对应点，得到的三角形A＇B＇C＇就是三角形ABC 关于直线l对称的图形.作法：1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA’= OA，点A＇就是点A关于直线l的对应点.2. 类似地，分别作出点B，C关于直线l的对应点 B’，C’. 3. 连接A’B’，B’C’，C’A’得到的三角形A’B’C’即为所求.刚刚的做一做，我们可以发现轴对称作图：几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握成轴对称的概念以及性质。老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。在知识探究以及做一做的时候，学生需要运用自己所学的知识去解决问题，并且借助问题去探索下一个知识点。 讲授知识，让学生知道本节课的学习内容和重点。用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。
练习巩固练习巩固 1.下列三个图案分别成轴对称吗？如果是， 画出它们的对称轴，并标出一对对应点.2.画出点A关于直线l的对称点A′.作法：（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.（2）在垂线上截取OA′＝OA.（3）点A′就是点A关于直线l的对称点. 3.如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形.作法：1.过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线l的对称点.2.同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.3.连接A′B′，B′C′，C′A′，得到△ A′B′C′即为所求.4.如图所示，AD为 △ABC 的高，∠B＝ 2∠C ，借助于轴对称的性质想一想：CD与AB＋BD相等吗？请说明你的理由. 学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点： 1.轴对称：平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称.2.轴对称的性质：①对应点所连的线段被对称轴垂直平分.②对应线段相等，对应角相等.③轴对称变化不改变图形的形状和大小. 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。 帮助学生加强记忆知识。
板书 抽对称变换1.轴对称：平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称.2.轴对称的性质：①对应点所连的线段被对称轴垂直平分.②对应线段相等，对应角相等.③轴对称变化不改变图形的形状和大小. 借助板书，让学生知识本节课的重点。
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5.1.2 轴对称变换
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题
1．将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ）21·世纪*教育网
A． B．
C． D．
2．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（ ）
A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12
3．如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（ ）
A．AB∥DF B．∠B=∠E
C．AB=DE D．AD的连线被MN垂直平分
4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=105°，∠C′=30°，则∠B=（ ）
A．25° B．45° C．30° D．20°
5．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（ ）
（1）△ABC≌△A′B′C′
（2）∠BAC=∠B′A′C′
（3）直线L垂直平分CC′
（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题
6．△ABC与△DEF关于直线m对称，AB=4，BC=6，△DEF的周长是15，则AC= ．
7．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1=110°，∠2=46°，则x= ．
8．如图，三角形1与 和 成轴对称图形，整个图形中共有 条对称轴．
9．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=9cm，则△PMN的周长为 cm．
三．解答题
10．如图，在∠AOB外有一点P，先作点P关于直线OA的对称点P1，再作点P关于直线OB的对称点P2．21cnjy.com
（1）试猜想∠P1OP2与∠AOB的数量关系，并加以证明；
（2）当点P在∠AOB内部时，上述结论是否成立？画图加以证明．
11．如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B=125°，∠A+∠D=155°，AB=3cm，EH=4cm．21教育网
（1）试写出EF，AD的长度；
（2）求∠G的度数；
（3）连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？
试题解析
一．选择题
1．C
【分析】根据轴对称的知识可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
展开后的图形呈轴对称，
故选：C．
【点评】本题考查生活中的轴对称现象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．A
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05．21·cn·jy·com
故选：A．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
3．A
【分析】根据轴对称的性质作答．
【解答】解：A、AB与DF不是对应线段，不一定平行，故错误；
B、△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则△ABC≌△DEF，∠B=∠E，正确；
C、△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则△ABC≌△DEF，AB=DE，正确；
D、△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，A与D的对应点，AD的连线被MN垂直平分，正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质：①如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；③如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．www.21-cn-jy.com
4．B
【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和求解．
【解答】解：∠C=∠C'=30°，
则△ABC中，∠B=180°﹣105°﹣30°=45°．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，理解轴对称的两个图形全等是关键．
5．B
【分析】根据轴对称的性质求解．
【解答】解：（1）正确；
（2）正确；
（3）正确；
（4）“直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上”，应是一定在直线L上的．
故选：B．
【点评】轴对称的性质：①成轴对称的两个图形是全等形；②对称轴是对应点连线的垂直平分线；③对应线段或者平行，或者重合，或者相交．如果相交，那么交点一定在对称轴上．2·1·c·n·j·y
二．填空题
6．5
【分析】首先根据成轴对称的两个三角形的周长相等确定△ABC的周长，然后减去其他两边的长即可求得第三边的长．【21·世纪·教育·网】
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线m对称，△DEF的周长是15，
∴△ABC的周长为15，
∵AB=4，BC=6，
∴AC=15﹣AB﹣BC=15﹣4﹣6=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是能够根据轴对称的性质确定三角形ABC的周长，难度不大．
7．24°
【分析】根据轴对称的性质可得∠3=∠1，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵两个三角形关于某条直线对称，
∴∠3=∠1=110°，
∴x=180°﹣∠2﹣∠3=180°﹣46°﹣110°=24°．
故答案为：24°．
【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质并求出∠3的度数是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
8．与三角形1成轴对称图形是三角形2与三角形4，对称轴有2条．
【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知．
【解答】解：与三角形1成轴对称图形是三角形2与三角形4，对称轴有2条．
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
三．解答题
10．【分析】（1）利用轴对称图形的性质得出相等的角，进而得出∠P1OP2=∠3+∠4=∠1+∠2+2∠3=2∠2+2∠3=2（∠2+∠3）即可得出答案；2-1-c-n-j-y
（2）利用轴对称图形的性质得出相等的角，进而得出∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）即可得出答案．21*cnjy*com
【解答】解：（1）∠P1OP2=2∠AOB，
理由：如图1，∵点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，
∴∠1=∠2，∠POB=∠BOP2，则∠1+∠2+∠3=∠4，
∴∠P1OP2=∠3+∠4=∠1+∠2+2∠3=2∠2+2∠3=2（∠2+∠3）=2∠AOB；
（2））∠P1OP2=2∠AOB，
理由：如图2，∵点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）=2∠AOB．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用对称得出相等的角是解题关键．
11．【分析】（1）根据图形写出对应线段即可；
（2）对称图形的对应角相等，据此求解；
（3）根据“对应点的连线被对称轴垂直平分”求解；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B=125°，∠A+∠D=155°，AB=3cm，EH=4cm．21世纪教育网
∴EF=AB=3cm，AD=EH=4cm；
（2）∵∠B=125°，∠A+∠D=155°，
∴∠C=80°，
∴∠G=∠C=80°；
（3）∵对称轴垂直平分对称点的连线，
∴直线MN垂直平分BF．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解轴对称的性质，难度不大，属于基础题．
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轴对称变换
数学湘教版 七年级下
回顾知识
如果一个图形沿着一条 折叠，直线两旁的部分能够互相 ，那么这个图形叫作轴对称图形.这条直线叫作它的 .
直线
重合
对称轴
轴对称图形
观察下图，它是什么图形？
如图，用印章在一张纸上盖一个印（a），趁印迹未干之时，将纸张沿着直线l对折，得到印（b），随后打开，观察图形（a）与图形（b）有怎样的关系？
（a）
（b）
导入新知
两个图形如果沿虚线l对折，可以完全重合.
l’
把图形（a）沿着直线l翻折并将图形“复印”下来得到图形（b），就叫做该图形关于直线l作了轴对称变换，也叫轴反射.图形（a）叫做原像，图形（b）叫做图形（a）在这个轴反射下的像.
（a）
（b）
讲解新知
原像.
轴反射下的像
轴对称变换：
如果一个图形关于某一条直线做轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称.这条直线叫做对称轴.
原像与像中能互相重合的两个点，其中一点叫做另一个点关于这条直线的对应点.
讲解新知
【例1】下图中的两个图形成轴对称吗？如果是，请指出原像与原像在轴反射后的像，以及一组对称点.
例题讲解
A′
A
B
C
B′
C′
轴反射下的像
原像.
对称点：A与A’；B与B’；C与C’.
轴对称图形 两个图形成轴对称
图形
区别
联系
一个图形.
两个全等图形.
1.沿着某条直线折叠后能重合.
2. ①把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；
②把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称.
知识要点
导入新知
【例2】举例：举出生活中两个图形成轴对称的例子.
将对称图形沿对称轴分为两个图形，这两个图形成轴对称.
图中，对称轴l两边的图形（a）与（b）的形状和大小发生变化了吗？
（a）
（b）
说 一 说
两个图形沿虚线l对折，可以完全重合，形状和大小都不变.
轴对称变换性质1：
2. 轴对称变换不改变图形的长度、角度和面积.
1.轴对称变换不改变图形的形状和大小；
讲解新知
知识探究
在图中，三角形ABC和三角形A’B’C’关于直线l成轴对称，点P和P′是对应点，线段PP′交直线l于点D.么线段PP′与对称轴l有什么关系呢？
∵三角形ABC和三角形A′B′C′关于直线l成轴对称，将图沿直线l折叠，则点P与P′重合，
∴PD与P′D，∠1与∠2也互相重合，
∴PD=P′D，∠1=∠2=90°，
∴l⊥PP′，且平分PP′，
即直线l垂直平分线段PP′.
讲解新知
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
轴对称变换性质2：
讲解新知
从图中可以看出，如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【例3】如图，已知直线l及直线外一点P，求作点P’，使它与点P关于直线l对称.
作法：
1.过点P作 PQ⊥l，交l于点 O；
2.在直线 PQ上，截取 OP’=OP，
则点P’即为所求作的点.
O
.
P’
l
Q
例题讲解
P.
已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.
A
B
(图1)
(图2)
(图3)
A
B
l
l
A
B
l
A ′
A ′
A ′
B ′
(B ′)
B ′
做 一 做
分析：要作三角形ABC关于直线l的对称图形，只要作出三角形的顶点A，B，C关于直线l的对应点A＇，B＇，C＇，连接这些对应点，得到的三角形A＇B＇C＇就是三角形ABC 关于直线l对称的图形.
作法：1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA’= OA，点A＇就是点A关于直线l的对应点.
2. 类似地，分别作出点B，C关于直线l的对应点 B’，C’.
3. 连接A’B’，B’C’，C’A’得到的三角形A’B’C’即为所求.
【例4】如图，已知三角形ABC和直线l，作出与三角形 ABC关于直线l对称的图形.
l
A
C
A＇
B＇
C＇
O
B
例题讲解
轴对称作图
几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
知识总结
巩固提升
1.下列三个图案分别成轴对称吗？如果是， 画出它们的对称轴，并标出一对对应点.
2.画出点A关于直线l的对称点A′.
﹒
l
A
﹒
A′
O
作法：
（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.
（2）在垂线上截取OA′＝OA.
（3）点A′就是点A关于直线l的对称点.
巩固提升
3.如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形.
作法：
1.过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线l的对称点.
2.同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′ .
3.连接A′B′，B′C′，C′A′，得到△ A′B′C′即为所求.
A
B
C
A′
B′
C′
O
巩固提升
巩固提升
4.如图所示，AD为 △ABC 的高，∠B＝ 2∠C ，借助于轴对称的性质想一想：CD与AB＋BD相等吗？请说明你的理由.
巩固提升
答：相等，理由如下：
在DC上截取DE使DE＝DB，连接AE
∵AD⊥BE且DB＝DE
∴B、E关于AD对称
∴△ABD与△AED关于直线AD对称
∴ △ABD ≌ △AED
∴AB＝AE，∠AED＝ ∠B
又∵ ∠B＝2 ∠C ∴ ∠AED＝ 2 ∠C
而∠AED＝ ∠C ＋ ∠CAE ∴ ∠CAE ＝ ∠ C
∴AE＝CE ∴AB＝CE 故AB＋BD＝DE＋EC
即：AB＋BD＝CD
课堂小结
1.轴对称：平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称.
2.轴对称变换的性质：
①轴对称变换不改变图形的形状和大小.
②轴对称变换不改变图形的长度、角度和面积.
③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
谢谢
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