2009届高三二轮复习书稿[常见的数学方法]

数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”．高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题．
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程．本讲中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法．处理中学物理问题，常用的数学方法有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等．如下表：
名称 内容
极限法 1.三角函数求极值：y(θ)=cosθ+μsinθ，ymax=
2.二次函数求极值：y=ax2+bx+c，ym=(a＞0时，有ymin；a＜0时，有ymax)
3.均值不等式：a+b≥2( a＞0 ,b＞0), a+b+c≥3( a＞0 ,b＞0, c＞0)
几何法 1.对称点的性质、镜像对称
2.两点间的直线距离最短
3.正弦定理： = = ；余弦定理：a2=b2+c2+2bccosα
4.全等、相似三角形的特征
5.圆轨道及圆的相关性质、圆方程
图象法 1.直线型图象：y=kx+b
2.正(余)弦曲线型图象
3.抛物线型图象
4.描述一个物理量随另一个物理量变化的曲线等，如闭合电路中各物理量间关系
数列法 1.等差数列：其和Sn= =na1+d(d为公差)
2.等比数列：Sn= ,a1为首项，q为公比，当q＜1时，qn→0.
微元法 无穷小等分，往往对其中的一个微元作处理.
数学归纳法 对于一个复杂的过程由特殊到一般，归纳成某一通式，求解.
三角函数变换 sin2θ+cos2θ=1，sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ=cos2θ-sin2θ
方程法 直线方程，一元二次方程的判别式，椭圆方程，二次函数，圆方程等
另外还有比值法、不等式法
【例1】 [2008年高考上海卷·4·向量与矢量三角形] 如图7-1所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m的质点在外力F　的作用下，从坐标原点O由静止沿直线ON斜向下运动，直线ON与y轴负方向成θ角（θ＜π/4）。则F大小至少为____________；若F＝mgtanθ，则质点机械能大小的变化情 况是______________________________。
某同学这样解第2问，若F＝mgtanθ时，正好F力的方向沿着x轴正方向，因此外力F与运动位移方向成锐角，质点的机械能增加。
实际上该同学忽视了题干只给出外力F的大小，而未给出该力的方向。F＝mgtanθ时，外力F的方向不仅仅为沿着x轴正方向，还可能有其它方向。为了能够严密的找出F＝mgtanθ时的所有可能性，需要运用力的矢量三角形定则。
如图7-2所示，质点受到的力有重力mg和外力F，合力的方向沿着ON方向，将重力、外力、合力归结到一个三角形中，该质点受到重力和外力F从静止开始做直线运动，说明质点做匀加速直线运动，如图中显示当F力的方向为a方向（垂直于ON）时，F力最小为mgsinθ；若F＝mgtanθ，即F力可能为b方向或c方向，故F力的方向可能与运动方向相同，也可能与运动方向相反，除重力外的F力对质点做正功，也可能做负功，故质点机械能增加、减少都有可能。两空分别填：mgsinθ，增大、减小都有可能。
力的矢量三角形定则是从平行四边形定则中演绎出来的新的数学方法，解决共点力问题有很好的作用，特别是动态平衡问题、力的合成与分解中的多解分析，这样的方法非常严密。矢量三角形的处理原则：
1、抓住“定”量，比如重力的大小和方向对应矢量三角形的边长和方向，这点很重要，它直接确定了三角形的两个顶点和一个边；再比如墙壁上的弹力方向始终不变，这确定了动态三角形中的某个边的方向；
2、找到“变”量，往往以某个力的角度发生变化引起三角形另外两个边的变化，有时候是边长变化、有时候是方向发生变化。
物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为 ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？
该题的已知量只有 和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有 和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。
方法一：如图7-3，对物体受力分析，设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，
即Fcosθ－f=0 ①
N+Fsinθ=G ②
f= N ③
联立①②③解得：
,
其中tanф= ，故
方法二：向量就是物理学中的矢量，当物体受三力平衡时，将三矢量首尾相连后，必定构成三角形。利用点到直线的垂直线段最短可求极值。对本题我们也可用矢量知识求极值。
将摩擦力f和地面对木块的弹力N合成一个力F'，如图7-4，F'与竖直方向的夹角为tanф= = （为一定值）。这样木块可认为受到三个力:重力G，桌面对木块的作用力F'和拉力F的作用。尽管F大小方向均未确定，F'方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如图7-5所示。只有当F与F'’垂直时，即拉力与水平方向成ф角时，拉力F最小为F=Gsinф
而 ，故
[2008年高考四川延考卷·21·正弦定理与矢量三角形]两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图7-6所示。己知小球a和b的质量之比为，细杆长度是球面半径的倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是 ( )
A．45° B．30° C．22.5° D．15°
通过对a和b两小球的受力分析，抓住受力的共同特点：轻杆对小球的作用力等大、反向，以及重力均竖直向下，大小关系在题干已经给出，还有重要的几何关系即细杆的长度是球面半径的倍。分别将两小球受到的共点力归结到矢量三角形中，最后利用数学的正弦定理列方程求解。
如图7-7，对a、b分别受力分析，将三个力归结到三角形Oac与Obc中，由牛顿第三定律可设两球受到杆的作用力大小Nac=Nbc，依题意可知，ab=Oa=Ob，故三角形Oab为等腰直角三角形。
可设∠aOc=90°－∠bOc=α，根据矢量三角形定则及正弦定理可得： = ， = ，解得α=30°，由几何关系可得θ=15° 。本题还有其他解法，比如杠杆平衡条件解题、利用质心找到平衡点等方法，不妨试一试。
1、试讨论一下a球和b球质量比为n发生变化时，细杆与水平面的夹角θ如何变化？
2、若撤去光滑的半球面，Oa、Ob为细绳，a、b为同性电荷，其它条件不变，思考一下结果还是不是一样？
【例2】 [2008年高考全国Ⅰ卷·21·不等式与极值] 一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角θ射入，穿过玻璃砖自下表面射出。已知该玻璃对红光的折射率为1.5。设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t1和t2，则光线从0 逐渐增大至90 的过程中 ( )
A．t1始终大干t2 B．t1始终小于t2
C．t1先大干后小于t2 D．t1先小于后大于t2
高考中某些考生解法如下：设折射角为α，玻璃砖的厚度为h，由折射定律n= ，且n= ，在玻璃砖中的时间为t= ，联立解得t2= 。研究这个函数，若对变化的入射角θ，和不同光的折射率n，设红光的折射率为n1，蓝光的折射率为n2，且n2＞n1＞1，讨论：当t红2= t蓝2时，有 = ，化简得sin2θ = ＞ ＞，由sin2θ≤1，可得n1＜时，即当红光的折射率n1=时出现极值，n1＞时，入射角θ从0 逐渐增大至90 的过程中，一定有t1＜t2 ，故B正确。实际上，当sin2θ ＞ ，即θ ＞ 45°时，t1＞t2 。
实际上能够在列出函数方程后，利用强大的数学功底，应用函数变化和不等式知识得到最后结果，是非常困难的，也会耗掉很多时间，这在高考临场中是一大禁忌。我们不禁发问高考物理试题难道要这么强大的数学函数功底才能解决问题吗？其实作为选择题，有灵活的数学处理方法。本题存在一个转折点，就是给出的该玻璃对红光的折射率为1.5这个条件。要想快速解题，列出简单的函数方程对计算量的简化和思维时间有很大的帮助。
我们从时间的表达式开始，t = = = = ，对红光的折射角α1，蓝光的折射角α2，则t红 : t蓝= ，由于α1 ＞α2 ，故在2α1≤90°，即α1≤45°时总有t1＜t2 ，要入射角θ从0 逐渐增大至90 的过程中总成立，要求红光的折射率n1= ＞，由于题干给定n1=1.5，故总有t1＜t2 ，B正确。
高考中对处理物理情景后列出数学函数方程，然后运用数学不等式的知识灵活处理临界问题，一直是考生的一大瓶颈。处理临界值问题时可以考虑：
1、运用二次函数极值公式求极值；2、利用一元二次方程求极值；3、利用配方法求极值；4、利用不等式求极值；5、利用三角函数的有界性求极值；6、利用“化一法”（即正弦、余弦、正切等三角函数转换为同名三角函数）求三角函数极值；7、利用向量求极值；8、图象法求极值；9、利用数学求导的方法求极值；
以上求极值的方法是解高中物理题的常用方法。在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围。求最大和最小值问题，这类问题往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论，这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律，还要具备较好的运用数学解决问题的能力。
解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念，基本规律，在分析清楚物理过程后，再灵活运用所学的数学知识。无论采用何种方法解物理极值问题，首先都必须根据题意，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，这也是解决物理问题的核心，决不能盲目地将物理问题纯数学化。
[2008年高考全国Ⅱ卷·15·函数与极值]一束单色光斜射到厚平板玻璃的一个表面上，经两次折射后从玻璃板另一个表面射出，出射光线相对于入射光线侧移了一段距离。在下列情况下，出射光线侧移距离最大的是 ( )
A．红光以30°的入射角入射 B．红光以45°的入射角入射
C．紫光以30°的入射角入射 D．紫光以45°的入射角入射
高考中某些考生思路如下：因为同种介质对紫光的折射率较大，故入射角相同时，紫光侧移距离较大，排除A、B选项；设入射角为i，折射角为r，玻璃砖厚度为d则侧移距离△x = d(tani－tanr)cosi，由n= 代入化简得：。
这个函数已经列出来了，思路上没有出错，而且折射率n＞1时，△x随着入射角i的增大而增大，但要怎么该函数为单调递增函数并不容易。通过精确画图的确可以很快得到结果，而且最大侧移距离趋近于玻璃砖的厚度。利用数学函数分析以及高三教材的数据可以更加清晰的看到侧移距离的变化。
我们重新列函数方程：△x = ，在高三教材中，折射定律这一节有入射角与折射角的数据表格，从数据可知，入射角增大时，折射角也增大，且入射角与折射角的差值也在增大，故随着入射角i的增大，sin(i－r)增大，cosr减小，故△x必定增大。从而选择D选项。从这个结论中总结规律，同一种单色光，入射角增大时，侧移距离逐渐增大到玻璃的厚度；同样的入射角的前提下，折射率增大，侧移距离增大。
【例3】 [2007年高考全国Ⅰ卷·24·数学归纳法与碰撞] 如图7-8所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M＝19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ＝60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
这是一道碰撞中的动量与能量守恒问题，试题没有给出磁场的阻尼作用如何产生，但给出了磁场，您考生容易产生错觉，以为要运用磁场相关知识解决问题。对于两个金属球的运动过程，题目给出的描述并不是一目了然。特别是碰撞多次，每次碰撞过程中绝缘球的动能损失并不是一个常量，这给解决问题带来了困难。
对于每次碰撞过程中绝缘小球的动能损失量不是一个常量，那么有什么规律呢？为了找到规律，数学中常常以数学归纳法来寻找通项公式。
设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn－1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn、Vn。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左，则
解得： ，
第n次碰撞后绝缘球的动能为：
E0为第1次碰撞前的动能，即初始能量。
绝缘球在θ＝θ0＝60°与θ＝45°处的势能之比为
经n次碰撞后有：
易算出(0.81)2＝0656，(0.81)3＝0.531，因此，经过3次碰撞后θ小于45° 。
该题除了考查碰撞中的动量守恒定律以及能量守恒定律外，还运用了数学归纳法寻找通项公式，即绝缘小球每一次碰撞前与碰撞后的动能关系，从而找到了绝缘小球每次碰后的动能与初动能的关系。找不到这个通项关系，而使用递推法解题的计算量会非常大。
在解决某些物理过程比较复杂的具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的。此类题要求注意在书写上的规范，以便于找出其中的规律。
[2008年高考四川卷·25·递推法与碰撞] 如图7-9，一倾角为θ＝45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10 m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？
在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，每一次挡板给予小物块的冲量是一个定量、还是变量，需要事先通过物理规律列方程求解，实际上试探第一次与第二次挡板给予小物块的冲量即可知晓。在这里可以运用两种途径来试探，一种是动能定理，另一种是牛顿运动定律。
方法一：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。
由功能关系得 ①
以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量
②
设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h’，则
③
同理，有 ④
⑤
式中，v’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③④⑤式得 ⑥
式中 ⑦
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为
⑧
总冲量为 ⑨
由 ⑩
得 ⑾
代入数据得 N·s ⑿
方法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得
①
设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则 ②
以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为
③
由①②③式得
④
设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a’， 依牛顿第二定律有
⑤
小物块沿斜面向上运动的最大高度为 ⑥
由②⑤⑥式得 ⑦
式中 ⑧
同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量
⑨
由④⑦⑨式得 ⑩
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为
⑾
总冲量为 ⑿
由 ⒀
得 ⒁
代入数据得 N·s ⒂
【例4】 [2007年高考上海·8·函数与物理图象] 物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面。下列7-10所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是（ ）
这是一道典型的函数与图象数学、物理两个学科相联系的试题。考查运用数学知识处理物理问题的能力。需要通过给定的运动列出物理运动方程，即拿出函数关系式。函数均为势能EP与相关时间、速度、动能、高度的关系。
该题应该从数学函数与物理图象相联系。在自由落体运动中，势能与下落的高度成正比，下落的高度与时间的平方成正比；任意高度的势能值等于该处的动能值，与速度的平方成正比。再根据函数方程对应的图象即可获取答案。
由机械能守恒定律：EP=E－EK，故势能与动能的图像为倾斜的直线，C错；由动能定理：EK =mgh=mv2=mg2t2，则EP=E－mgh，故势能与h的图像也为倾斜的直线，D错；且EP=E－mv2，故势能与速度的图像为开口向下的抛物线，B对；同理EP=E－mg2t2，势能与时间的图像也为开口向下的抛物线，A错。本题答案B。
本题的突破口在于建立数学函数与运动学方程的关系，转换为图象。考查了对图象的理解与认识。解决此类问题往往需要理解图象的物理意义，是一次函数还是二次函数或其它函数，一次函数中的斜率的大小、倾斜的方向、横轴和纵轴的截距等都是重要信息；二次函数中要注意图象的开口、对称轴以及与横轴的交点等信息；还有圆方程、椭圆方程以及双曲线方程等，都是要注意掌握的数学知识。
[2008年高考海南卷·5·分段函数与图象] 一质子和中于是由更基本的粒子即所谓“夸克”组成的．两个强作用电荷相反（类似于正负电荷）的夸克在距离很近时几乎没有相互作用（称为“渐近自由”）；在距离较远时，它们之间就会出现很强的引力（导致所谓“夸克禁闭”）．作为一个简单的模型，设这样的两夸克之间的相互作用力F与它们之间的距离r的关系为：
式中F0为大于零的常量，负号表示引力．用U表示夸克间的势能，令U0＝F0(r2—r1)，取无穷远为势能零点．下列7-11所示U－r图示中正确的是 （ ）
该题在基本物理知识的背景下，实际上纯粹考查数学知识，即数学分段函数的理解。能够从物理知识与情景中找到数学分段函数即可获取正确的图象。在物理知识中需要运用势能值与两夸克之间的相互作用力做功的值大小相等，这样从无穷远处开始逐渐缩小距离到r=r2，从r=r2到r=r1，从r=r1缩小到最小距离，三个过程，三段函数图象。
从无穷远处电势为零开始到r = r2位置，势能恒定为零，在r = r2到r = r1过程中，恒定引力做正功，势能逐渐均匀减小，即势能为负值且越来越小，此部分图像为A、B选项中所示；r ＜ r1之后势能不变，恒定为－U0，由引力做功等于势能将少量，故U0=F0(r2－r1)。本题答案B。
【训1】 [2008年高考四川卷·18·函数与物理图象]一物体沿固定斜面从静止开始向下运动，经过时间t0滑至斜面底端。已知在物体运动过程中物体所受的摩擦力恒定。若用F、v、s和E分别表示该物体所受的合力、物体的速度、位移和机械能，则下列图象中可能正确的是
【答案】AD
【解析】物体在沿斜面向下滑动过程中，所受的合力为重力沿斜面向下的分力及摩擦力，故大小不变，A正确；而物体在此合力作用下作匀加速运动，v=at，s=at2，所以B、C错；物体受摩擦力作用，总的机械能将减小，D正确．
【训2】 [改编题·函数与物理图象] 如图所示，水平地面上放置一个质量为m的物体，在与水平方向成θ角的斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面运动，物体与地面间的动摩擦因数为μ。求：
（1）若物体在拉力F的作用下能始终沿水平面向右运动，拉力F的大小范围；
（2）若物体受到拉力F的作用后，从静止开始向右做匀加速直线运动，2 s后撤去拉力，已知F＝100 N、m＝10 kg、μ＝0.5、θ＝37°，撤去拉力后物体滑行的时间t；
（3）已知m＝10 kg、μ＝0.5，若物体以恒定加速度a＝5 m/s2向右做匀加速直线运动，，维持这一加速度的拉力F的最小值。
【解析】 （1）要使物体运动时不离开水平面，应有Fsinθ≤mg， 要物体能向右运动，应有Fcosθ≥（mg－Fsinθ），所以≤F≤
（2）Fcosθ－（mg－Fsinθ）＝ma1，a1＝6 m/s2，
mg＝ma2，a2＝5 m/s2， v＝a1t1＝a2t2，所以t2＝2.4s
（3）Fcosθ－（mg－Fsinθ）＝ma，
F＝F＝ EQ \F(μmg＋ma, sin（θ＋）)，其中＝sin－1 EQ \F(1, )，
当sin（θ＋）＝1时F有最小值，Fmin＝ EQ \F(μmg＋ma, )＝40N≈89.4N
【训3】 [模拟题·矢量三角形] 一条河宽L=60m，水速v水=4m/s，船在静水中的开行速度v开=3m/s。
（1）求小船渡河的最短时间t，这样渡河船的位移是多少？
（2）小船渡河的最小位移是多少？
【解析】（1）小船渡河的运动可看作是小船在静水中的运动与水的运动两个运动的合成。由分运动之间互不影响，且河岸的宽度是一定的，只要小船在垂直于河岸方向的分速度越大，小船渡河的时间就越短，即当小船船头垂直于河岸方向运动时（如图a），时间最短：
tmin=L/v开=60/3s=20s， s=v合tmin=5×20m=100m
（2）运动的合成与分解遵循平行四边形定则，由v开< v水，即小船不可能垂直到达对岸。只有当v开、v水两个速度的合速度与河岸的夹角越大，则小船的实际位移越小。把代表v开的有向线段移到代表v水的有向线段端点，如图b所示，可见：改变船头的方向，有向线段v开的箭头端点始终在一圆弧上。随着船头方向的改变，合速度的方向也随之改变。只有当船头的朝向与合运动的方向垂直时，θ 有最小值。由几何知识可得：cosθ=v开/ v水=3/4，又cosθ=L/smin，即smin =80m。
【训4】 [模拟题·函数与极值] 一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？
【解析】当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：P=mgvcosα=mgvsinθ
小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：mgLcosθ=mv2，联立解得：
P=mg，
令y=cosθsin2θ= EQ \R(,(2cos2θsin4θ)) = EQ \R(,(2cos2θsin2θsin4θ))
根据：2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2(sin2θ+cos2θ)=2，由基本不等式a+b+c≥3，
定和求积知：当且仅当2cos2θ = sin2θ，y有最大值。由2cos2θ=1－cos2θ，得：cosθ= EQ \F(,3)。
即：当cosθ= EQ \F(,3)时，功率P有最大值。
【训5】 [2008年高考四川卷·24·判别式与极值] 如图，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O’。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜）。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率。重力加速度为g。
【解析】据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O’。P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛仑兹力：f＝qvB
式中v为小球运动的速率。洛仑兹力f的方向指向O’。根据牛顿第二定律：
Ncosθ－mg=0，f－Nsinθ=m
联立解得：，由于v是实数，必须满足≥0
由此得B≥，
可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为
此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：
故：
【训6】 [模拟题·数学归纳法与碰撞] 滑块A质量m=0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2。用细线悬挂的小球质量均为m' =0.01kg且沿x轴均匀排列，A与第一只小球及小球与相邻小球距离均为s=2m，从左至右悬挂小球的线长分别为L1、L2、L3……。当A与第一只球间距为2 m时的运动速度v0=10m/s且正好沿着x轴正向运动，不计滑块和小球大小且当滑块与球发生碰撞时机械能不损失，碰后任一小球均恰好能在竖直平面内作完整的圆周运动。求：（g=10m/s2）
（1）最左侧悬挂小球的线长L1为多少
（2）滑块在运动中能与几个小球发生碰撞。
（3）求出碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式。
【解析】由于m滑块＝m小球，所以，当滑块与球或球与滑块发生弹性正碰时，碰撞前后两者的速度发生互换，因此每次球与滑块碰后滑块均沿某初速方向向前运动直至停止。
（1）设滑块与第一个球碰前的速度为v1 ，由动能定理 －mgμs＝mv12－mv02
滑块与第一个球碰后瞬间球的速度v'1＝v1，对球在上升过程中，由机械能守恒定律有：
mv12＝2mgL1+mv22 ，又因为球在最高点时，由牛顿第二定律有：mg=
悬挂在最左侧第一个球的绳长L1＝＝1.84m
（2）对滑块由动能定理：－μmgs0＝0－mv02 ，滑块滑行的总路程：s0＝25m
则滑块在滑行过程中与小球碰撞的个数：N＝＝12.5，即12个。
（3）设滑块与第n（n≤12）个球碰前速度为vn
则－μmgns＝mvn2－mv02 ，则滑块一球碰后，球的速度v'n＝vn ，若连接第n个球的悬线长为Ln，球运动到最高点的速度为v" n，对小球，由机械能守恒定律mv'n2=mv"n2 －2mgLn，且在最高点，由牛顿第二定律 mg＝，联立可得Ln＝＝2－0.16n（m），其中n＝1，2，3，……，12 。
正确析解
α
θ
θ
N
O
c
b
a
mg
图7-8
图7-7
图7-6
图7-5
图7-4
图7-3
图7-1
常见的数学方法
图7-2
探究——思维拓展
典题分析
T
L
O
C
B
A
mg
b
θ
v合
s
v开
v水
v合
s
v开
v水
a
指点迷津
跳出陷阱
F
θ
v
方法归类
跳出陷阱
指点迷津
正确解析
画龙点睛
c
O
b
追问
一题多变
正确析解
方法归类
跳出陷阱
a
指点迷津
正确析解
θ
N
F
f
mg
θ
F'''
F''
F
F
G
Φ
Φ
F'
F
Φ
F
一题多变
画龙点睛
析解
一题多变
m
M
跳出陷阱
指点迷津
正确析解
方法归类
一题多变
画龙点睛
正确析解
跳出陷阱
指点迷津
正确析解
方法归类
一题多变
画龙点睛
正确析解
v
θ
图7-11
图7-10
图7-9
r2
r1
r
U0
O
U
C
r2
r1
r
－U0
O
U
B
r2
r1
r
－U0
O
U
A
r2
r1
r
－U0
O
U
D
训练——能力提升
x
m
L3
L2
L1
O3
O2
O1
B．
t0
t
O
v
C．
t0
t
O
s
A．
t0
t
O
F
D．
t0
t
O
E