2018年全国I卷高考文科数学真题试题及答案解析（含选择填空详解）

绝密★启用前
试卷类型：A
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．设，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（
）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为的正方形，则该圆柱的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设函数.
若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，则（
）
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.
圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表
面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧
面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
10．在长方体中，，与平面所成的角为，
则该长方体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．设函数
则满足的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数.
若，则
.
14．若，满足约束条件
则的最大值为
.
15．直线与圆交于，两点，则
.
16．的内角，，的对边分别为，，.
已知，，则的面积为
.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列满足，.
设.
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式.
18．（12分）如图，在平行四边形中，，.
以为折痕将折起，使点到达点D的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积.
19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.）
20．（12分）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：.
21．（12分）已知函数.
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为.
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案解析
一、选择题。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
A
C
B
D
A
B
B
C
B
D
二、填空题。
13．
14．
15．
16．
一、选择题。
1、A
解析：.
2、C
解析：
3、A
解析：设建设前经济收入为，则建设后经济收入为.
对于A项：种植收入原来为，后来为，增加，故A错误；
对于B项：其他收入原来为，后来为，增加的倍数为，故B正确；
对于C项：养殖收入原来为，后来为，增加的倍数为，故C正确；
对于D项：新农村建设后，养殖收入为，第三产业收入为，而经济收入的一半为，则，故D正确.
4、C
解析：由已知，得，
，则离心率为.
5、B
解析：截面面积为，则高，底面半径
表面积为.
6、D
解析：为奇函数
恒成立，则
在点处的切线斜率为，则所求切线方程为，即.
7、A
解析：如右图，.
8、B
解析：
的最小正周期为，最大值为.
9、B
解析：将此圆柱的四分之一侧面展开如右图所示：
则最短路径为.
10、C
解析：
连接、
∵与平面所成角为
，且
∴
.
11、B
解析：由已知，得：所在直线的斜率为
而
.
12、D
解析：函数的图象如右图所示：
则可化为：
综上所述，的取值范围为.
13、
解析：
14、
解析：画出可行域如右图所示：
将变形为，最大，即截距最大.
则当直线平移经过点时，截距最大.
.
15、
解析：法一：由得
，则.
法二：由消去，得
设，则
.
法三：圆可化为，则圆心为，半径为
圆心到直线的距离为
.
16、
解析：由已知及正弦定理，得
∴
又
.
17．解：（1）由已知，得.
将代入得，，而，所以.
将代入得，，所以.
，，.
（2）是首项为，公比为的等比数列.
理由如下：由已知，得，即
又
是首项为，公比为的等比数列.
（3）由（2）知，
.
18．解：（1）证明：四边形为平行四边形，
又
平面.
又平面
平面平面.
（2）由已知可得，，.
过点作于点，则.
由已知及（1）可得平面
平面，.
又，
.
19．解：（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35的频率为
，
该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35的概率的估计值为.
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
估计使用节水龙头后，一年可节省水.
20．解：（1）当与x轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或.
直线的方程为或.
（2）①当与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以.
②当与x轴不垂直时，设的方程为，，，则.
由得，则.
.
①
将，及的表达式代入①式分子，可得
.
，可知BM，BN的倾斜角互补，所以.
综上所述，.
21．解：（1）的定义域为，.
由题设知，，所以.
从而，.
当时，；当时，.
在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，.
设，则.
当时，；当时，.
是的最小值点.
故当时，.
当时，.
22、解：（1）
将代入上式，得
的直角坐标方程为，即.
（2）由（1）知，是圆心为，半径为的圆.
是过点且关于轴对称的两条射线.
记轴右边的射线为，轴左边的射线为.
由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点.
①当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或.
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点.
1
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或.
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点.
综上所述，的方程为.
23、解：（1）当时，可化为：
综上所述，不等式的解集为.
（2）法一：当时，
对任意恒成立，即
又当时，
，即的取值范围为.
法二：当时，
1
当时，，不符合题意；
2
当时，
.
综上所述，的取值范围为.
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