2.1平面向量的实际背景及基本概念+Word版含解析

第二章 2.1
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列说法中，正确的个数是 (　B　)
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
2．下列说法中，不正确的是 (　D　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
[解析]　很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．
3．下列命题中正确的个数为 (　B　)
①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；
③若非零向量a与b共线，则a＝b；
④四边形ABCD是平行四边形，则必有||＝||；
⑤a∥b，则a、b方向相同或相反．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析]　①显然错误；②中与共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；
③a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以③错；
④对；
⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．
4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是 (　C　)
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
[解析]　如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．
5．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c” (　C　)
A．恒成立 B．当a≠0时成立
C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立
6．下列说法正确的是 (　C　)
A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反
B．若向量、满足||>||，且与同向，则>
C．若a≠b，则a与b可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线
[解析]　A不正确．|a|＝|b|，但a与b方向可任意．B不正确，向量不能比较大小．C正确．D不正确.与平行，则直线AB与CD可能平行，可能重合，则A，B，C，D四点不一定共线，故选C．
二、填空题
7．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”、“相等”、“无关”).
8．等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是　||＝||　.
三、解答题
9．如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
[解析]　(1)与相等的向量为、，与相等的向量为.
(2)，，.
10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
[解析]　(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2)与向量平行且模为的向量共有24个．
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
B级　素养提升
一、选择题
1．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为 (　C　)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
[解析]　由＝?BA∥CD且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD为菱形.
2．下列说法中错误的是 (　C　)
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
[解析]　长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C错误．
3．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是 (　D　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
[解析]　由相等向量的定义，显然＝.
4．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是 (　B　)
A．C?A B．A∩B＝{a}
C．C?B D．A∩B?{a}
[解析]　因为A∩B中还含有a方向相反的向量，所以B错．
二、填空题
5．如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有__2__对.
[解析]　＝，＝.其余不等．
6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__.
[解析]　这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
三、解答题
7．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
(3)若||＝1.5，求||的大小．
[解析]　(1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有，.
(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有，，，，，，.
(3)若||＝1.5，则||＝||＝||＋||＝2||＝3.
8．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
[解析]　如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，∴AC＝2000km.
又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，
∴△ACD为直角三角形，即AD＝1000km，∠CAD＝45°.
答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.
C级　能力拔高
如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是 (　C　)
A．|＝|| B．与共线
C．＝ D．与共线
[解析]　A一定成立，B一定成立，D因与一定不共线，故一定不成立，故选C．