高中物理必修1 第二章第4节　匀变速直线运动的位移与速度的关系 学案

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2.4　匀变速直线运动的速度与位移的关系 学案
[学习目标]　
1.会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义.
2.会用公式v2－v＝2ax进行分析和计算.
3.掌握三个平均速度公式及其适用条件.
4.会推导Δx＝aT2并会用它解决相关问题．
一、速度位移公式
[导学探究]　射击时，火药在枪筒中燃烧，燃气膨胀，推动弹头加速运动．如果把子弹在枪筒中的运动看做匀加速直线运动，子弹在枪筒中运动的初速度为v0，子弹的加速度是a，枪筒长为x，则子弹射出枪口时的速度是多少？
答案　
解析　v＝v0＋at①
x＝v0t＋at2②
由①②两式联立消去中间变量t，得：
v2－v＝2ax
v＝ .
1、v2－v＝2ax的理解
(1)公式仅适用于匀变速直线运动．
(2)式中v0和v是初、末时刻的速度，
x是这段时间内的位移．
(3)当初速度v0＝0时，有v2＝2ax；
当末速度v＝0时，有v＝－2ax.即减速运动
[即学即用]　某航母跑道长200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为(　　)
A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．20 m/s
答案　B
解析　由v2－v＝2ax得：
v0＝＝ m/s＝10 m/s.
2、对公式v2－v＝2ax的理解及应用
例1　汽车以10 m/s的速度行驶，刹车的加速度大小为3 m/s2，求它向前滑行12.5 m后的瞬时速度．
解析　设汽车的初速度方向为正方向，则v0＝10 m/s，a＝－3 m/s2，x＝12.5 m.
由v2－v＝2ax得
v＝± ＝± m/s
所以v1＝5 m/s，v2＝－5 m/s(舍去)．
即汽车向前滑行12.5 m后的瞬时速度大小为5 m/s，方向与初速度方向相同．
答案　5 m/s，方向与初速度方向相同
例2　美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统．已知“F－15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：
(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？
(2)航空母舰的跑道至少应该多长？
解析　(1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有
t＝＝ s＝4 s.
则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4 s.
(2)x＝＝ m＝160 m，即航空母舰的跑道至少为160 m.
答案　(1)4 s　　(2)160 m
[总结提升]
1．位移速度的关系式为矢量式，v0、v、a、x都是矢量．应用解题时一定要先设定正方向，若取v0方向为正方向：
(1)若加速运动，a取正值，减速运动，a取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
(3)v＞0速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
注意：应用比公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
2．位移速度关系式在不涉及时间的问题中应用很方便．
二、中间时刻的瞬时速度与平均速度
[导学探究]一质点做匀变速直线运动的v－t图象如图1所示．
已知一段时间内的初速度为v0，末速度为v.求：
(1)这段时间内的平均速度(用v0、v表示)
解：(1)因为v－t图象与t轴所围面积表示位移，t时间内质点位移可表示为
x＝·t①
平均速度与位移 ②
由①②两式得
＝.
(2)中间时刻的瞬时速度.
解析:由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，得：
得＝.
(3)这段位移中间位置的瞬时速度
解析：根据v2－v＝2ax将位移x分为两个相等的位移有：对前半段位移有－v＝2a·
对后半段位移有v2－＝2a·
两式联立可得＝ .
[知识梳理]　平均速度公式
做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，
也等于这段时间初、末速度和的一半，
即＝＝.
(1)适用条件：匀变速直线运动．
(2)应用：计算瞬时速度．
[即学即用]　某战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为(　　)
A．vt B. C．2vt D．不能确定
答案　B 解析　因为战机在起飞前做匀加速直线运动，由＝得，x＝t＝t＝t. B正确．
例2　一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)质点4 s末的速度；
(2)质点2 s末的速度．
解析　(1)利用平均速度公式：4 s内的平均速度
＝＝，
代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s.
(2)2 s末的速度v2＝＝ m/s＝5 m/s.
答案　(1)8 m/s　(2)5 m/s
3、位移差公式Δx＝aT2
[导学探究]物体做匀变速直线运动，加速度为a，从某时刻起T时间内的位移为x1， 紧接着第二个T时间内的位移为x2.试证明：Δx＝aT2.
证明：设物体的初速度为v0
自计时起T时间内的位移x1＝v0T＋aT2①
在第2个T时间内的位移x2＝（v0+aT）T＋aT2②
由①②两式得连续相等时间内的位移差为
②-① Δx＝x2－x1＝ aT2 ，
即Δx＝aT2.
[知识梳理] 位移差公式
(1)匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝x2－x1＝aT2.
(2)应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，
则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
②求加速度： 利用Δx＝aT2，可求得a＝.
例1 已知一物体做匀加速直线运动，在连续相同时间2s内通过的位移分别是18m和24m，问在过程中加速度大小是多少？
答：由位移差公式Δx＝aT2得
a=(x2-x1)/T2=（24-18）/4=1.5m/s2
例2. 某次实验得到的一段纸带如图5所示(电源频率为50 Hz)，若以每五次打点的时间作为时间单位，得到图示的5个计数点，各点到标号为0的计数点的距离已量出，分别是4 cm、10 cm、18 cm、28 cm，则小车的运动性质是________，当打点计时器打标号为1的计数点时速度v1＝________ m/s，加速度a＝________ m/s2.
答案　匀加速直线运动0.5　2
解析　0～1、1～2、2～3、3～4间距：x1＝4 cm，x2＝6 cm，x3＝8 cm，x4＝10 cm，连续相等时间内的位移之差： Δx1＝x2－x1＝2 cm，Δx2＝x3－x2＝2 cm，Δx3＝x4－x3＝2 cm，所以在连续相等时间内的位移之差为常数，故小车做匀加速直线运动．
根据某段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，有v1＝ m/s＝0.5 m/s.由Δx＝aT2得a＝＝ m/s2＝2 m/s2.
2、匀变速直线运动的几个常用推论的应用
[技巧点拨]
1.＝适用于任意的运动，而＝v＝只适用于匀变速直线运动．
2．巧用平均速度比基本公式更简捷．
例1　一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第2个4 s内经过的位移是60 m，求这个物体的加速度和初速度各是多少？
解析　(方法一)物体在前4 s内的位移
x1＝v0t＋at2，
在第2个4 s内的位移
x2＝v0(2t)＋a(2t)2－(v0t＋at2)，
将x1＝24 m、x2＝60 m代入上式，
解得a＝2.25 m/s2、v0＝1.5 m/s.
(方法二)物体在8 s内的平均速度等于中间时刻(即第4 s末)的瞬时速度，
则v4＝ m/s＝10.5 m/s，且
v4＝v0＋4a＝10.5 m/s
物体在前4 s内的平均速度等于第2 s末的瞬时速度v2＝ m/s＝6 m/s，
而v2＝v0＋2a＝6 m/s，
由以上联立解得a＝2.25 m/s2、v0＝1.5 m/s.
(方法三)由公式Δx＝aT2得：a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，由于v4＝ m/s，而v4＝v0＋4a，得v0＝1.5 m/s.
答案　2.25 m/s2　1.5 m/s
2.4针对训练
1. 某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x.则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是(　　)
A.x B.x C．2x D．3x
3．一颗子弹以大小为v的速度射进一墙壁但未穿出，射入深度为x，如果子弹在墙内穿行时做匀变速直线运动，则子弹在墙内运动的时间为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图象如图2所示，那么0～t和t～3t两段时间内(　　)
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
4. 从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图3所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm.试求：
(1)小球的加速度是多少？
(2)拍摄时小球B的速度是多少？
(3)拍摄时xCD是多少？
某次实验得到的一段纸带如图5所示(电源频率为50 Hz)，若以每五次打点的时间作为时间单位，得到图示的5个计数点，各点到标号为0的计数点的距离已量出，分别是4 cm、10 cm、18 cm、28 cm，则小车的运动性质是________，当打点计时器打标号为1的计数点时速度v1＝____ m/s，加速度a＝____ m/s2.
2.4针对训练答案
1.答案　B
解析　由v2－v＝2ax得102－52＝2ax,152－102＝2ax′两式联立可得x′＝x，故B正确．
3．答案　B
由＝和x＝ t得t＝，B选项正确．
3. 答案　BD解析　两段的加速度大小分别为a1＝，a2＝，＝，A错．两段的位移x1＝vt，x2＝vt，＝，B对．两段的平均速度1＝2＝，C错，D对．
4. 答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m
解析　小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置．
(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为
a＝ ＝＝ m/s2＝5 m/s2.
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝AC＝＝ m/s＝1.75 m/s.
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