高中物理必修1 第二章 专题3 匀变速直线运动的应用 学案

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2.6：匀变速直线运动的规律应用
[学习目标]　
1.进一步熟练掌握匀变速直线运动的公式及其特点并能熟练应用其解决问题.
2.能推导初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式.
3.会分析简单的追及和相遇问题．
一、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．(1)初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
①T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
②T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
③第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(2)按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
①前x末、前2x末、前3x末…的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
②通过前x、前2x、前3x…前nx的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
③通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
例1　飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看做从零开始的匀加速直线运动．关于这类运动，请分析下列问题：
(1)1T末、2T末、3T末瞬时速度之比；
(2)第一个T内、第二个T内、第三个T内的位移之比；
(3)第一个x、第二个x、第三个x所用时间之比．
【解答】(1)1T末、2T末、3T末瞬时速度之比；
例1　解：(1)由于这类运动的初速度为0，即v0＝0，所以速度公式为v＝at,1T末、2T末、3T末的瞬时速度可分别表示为v1＝aT，v2＝2aT，v3＝3aT.故v1：v2：v3＝1∶2∶3.
(2)第一个T内、第二个T内、第三个T内的位移之比；
解：(2)速度公式为x＝at2，故第一个T内的位移xⅠ＝aT2
第二个T内的位移xⅡ＝X2-X1=a(2T)2－aT2＝a·3T2
第三个T内的位移xⅢ＝X3-X2=a(3T)2－a(2T)2＝a·5T2
故xⅠ：xⅡ：xⅢ＝1∶3∶5.
(3)第一个x、第二个x、第三个x所用时间之比．
解：(3)由x＝at，得第一个x所用时间tⅠ＝ .前2x所用时间t2＝
故第二个x所用时间为tⅡ＝t2－tⅠ＝(－1)
同理第三个x所用时间tⅢ＝(－)
所以有tⅠ∶tⅡ∶tⅢ＝1∶(－1)∶(－)．
答案　(1)1∶2∶3　(2)1∶3∶5　(3)1∶(－1)∶(－)
二、三个导出公式的应用[技巧点拨]
1．速度与位移的关系v2－v＝2ax，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往往会使问题变得简单．
2．与平均速度有关的公式有＝和＝v＝.其中＝普遍适用于各种运动，而＝v＝只适用于匀变速直线运动．利用＝和＝v＝＝可以很轻松地求出中间时刻的瞬时速度．
3．匀变速直线运动中，任意连续相等的时间间隔T内的位移差为常数，即Δx＝aT2.
例2　一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，
发现在相邻的两个10 s内，火车从他身边分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8 m求：
(1)火车加速度的大小；
(2)这20 s内中间时刻的瞬时速度；
(3)人刚开始观察时火车速度的大小．
例2　解析　(1)由题知，火车做匀减速运动，设火车加速度大小为a，车厢长L＝8 m，则
由Δx＝aT2，得8L－6L＝a×102，
解得a＝＝ m/s2＝0.16 m/s2.
(2)v1/2＝＝＝ m/s＝5.6 m/s.
(3)解法1：设人开始观察时火车速度大小为v0，v1/2＝5.6 m/s,
对第一个10s内有速度位移公式得由v1/22－v＝2·(－a)·8L得v0＝7.2 m/s.
解法2：由连续等时间10s内位移差为ΔS=8L-6L=2L，则观察前10s内位移为8L+2L=10L，]
则人开始观察时速度为L＝8 m/s
答案　(1)0.16 m/s2　(2)5.6 m/s　(3)7.2 m/s
三、追及相遇问题
[方法提炼]讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题．
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、两者距离最大或最小的临界条件，也是分析判断此类问题的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．
匀加速追匀速速度小者追速度大者 ①t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大②t=t0时，两物体相距最远为x0+Δx③t=t0以后，后面物体与前面物体间距离减小④能追及且只能相遇一次
匀减速追匀速速度大者追速度小者 开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻：①若Δx=x0,则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件②若Δxx0,则相遇两次，设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇
【例3】物体A、B同时从同一地点，沿同一方向运动，A以10m/s的速度匀速前进，B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离．
【解析一】　物理分析法
A做 υA＝10 m/s的匀速直线运动，B做初速度为零、加速度a＝2 m/s2的匀加速直线运动．根据题意，开始一小段时间内，A的速度大于B的速度，它们间的距离逐渐变大，当B的速度加速到大于A的速度后，它们间的距离又逐渐变小；
A、B间距离有最大值的临界条件是υA＝υB． ①
设两物体经历时间t相距最远，则υA＝at ②
把已知数据代入①②两式联立得t＝5 s
在时间t内，A、B两物体前进的距离分别为
A、B再次相遇前两物体间的最大距离为
【解析二】　相对运动法
因为本题求解的是A、B间的最大距离，所以可利用相对运动求解．选B为参考系，则A相对B的初速度、末速度、加速度分别是υ0＝10 m/s、υt＝υA－υB＝0、a＝－2 m/s2．
　　根据υt2－υ0＝2as．有
　　解得Ａ、B间的最大距离为sAB＝25 m．
【解析三】 极值法
物体A、B的位移随时间变化规律分别是sA＝10t，.
则A、B间的距离，可见，Δs有最大值，且最大值为
图1-5-1
【解析四】 图象法
根据题意作出A、B两物体的υ-t图象，如图1-5-1所示．由图可知，A、B再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是υA＝υB，得t1＝5 s．
A、B间距离的最大值数值上等于ΔOυAP的面积，即．
【答案】25 m
【点拨】相遇问题的常用方法
(1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，按（解法一）中的思路分析．
(2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．
(3)极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若△＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若△＝0，说明刚好追上或相碰；若△＜0，说明追不上或不能相碰．
(4)图象法：将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解。
2.6 匀变速直线运动的应用 针对训练
一、选择题
1．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，经过斜面中点时速度为2 m/s，则物体到达斜面底端时的速度为(　　)
A．3 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．2 m/s
2．一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2 s(汽车未停下)，汽车行驶了36 m．汽车开始减速时的速度是(　　)
A．9 m/s B．18 m/s
C．20 m/s D．12 m/s
3．质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内三段位移之比为(　　)
A．1∶4∶25 B．2∶8∶7
C．1∶3∶9 D．2∶2∶1
4．从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为(　　)
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶2∶3 D．1∶∶
5．一个向正东方向做匀变速直线运动的物体，在第3 s内发生的位移为8 m，在第5 s内发生的位移为5 m，则关于物体运动加速度的描述正确的是(　　)
A．大小为3 m/s2，方向为正东方向
B．大小为3 m/s2，方向为正西方向
C．大小为1.5 m/s2，方向为正东方向
D．大小为1.5 m/s2，方向为正西方向
6多项. 甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v－t图象如图1所示，由图可知(　　)
A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B．t＝20 s时，乙追上甲
C．在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快
D．由于乙在t＝10 s时才开始运动，所以t＝10 s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离
7多项．一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有(　　)
A．物体经过AB位移中点的速度大小为
B．物体经过AB位移中点的速度大小为
C．物体通过AB这段位移的平均速度为
D．物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为
二、非选择题
8．一辆巡逻车最快能在10 s内由静止加速到最高速度50 m/s，并能保持这个速度匀速行驶，问该巡逻车在平直的高速公路上由静止开始追上前方2 000 m处正以35 m/s的速度匀速行驶的汽车，至少需要多长时间？(巡逻车加速过程的加速度恒定)
2.6 匀变速直线运动的应用 针对训练 答案
一、选择题
1．答案　D
解析　由题意得v2＝2ax,22＝2a·，故v＝2 m/s，D正确．
2．答案　C
解析　由位移公式x＝v0t＋at2得汽车的初速度v0＝＝ 20 m/s，C正确．
3．答案　C
解析　质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以质点在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内的三段位移之比为1∶3∶9，因此选C.
4．答案　A
解析　由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，而平均速度＝，三段时间都是1 s，故三段时间的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确．
5．答案　D
解析　设第3 s内、第5 s内的位移分别为x3、x5，则
x5－x3＝2aT2
代数得a＝－1.5 m/s2.
a的方向为正西方向，故D正确．
6答案　C
解析　从题图中看出开始甲比乙运动快，且早出发，但是乙做匀加速运动，最终是可以追上甲的，A项错误；t＝20 s时，速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙没有追上甲，B项错误；在t＝20 s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20 s之后，乙的速度大于甲的速度，C项正确；乙在追上甲之前，当它们速度相同时，它们之间的距离最大，对应的时刻为t＝20 s，D选项错误．
7答案　BCD
解析　设经过位移中点时的速度为v，则对前半段的位移有2a·＝v2－v，对后半段的位移有2a·＝v－v2，联立两式得v＝ ，选项A错误，B正确；对匀变速直线运动而言，总有＝v＝，选项C、D正确．
二、非选择题
8．答案　150 s
解析　巡逻车加速过程位移
x＝ t0＝250 m<2 000 m＋x汽车，所以巡逻车先加速再匀速行驶才能追上汽车．
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