(共20张PPT)
数学北师大版 九年级上
正方形的性质与判定
（第1课时）
一、复习回顾
平行四边形、矩形与菱形有哪些性质
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等,邻角互补
对角线互相平分
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等且平分
菱形
四条边相等
边:
互相垂直且平分
分别平分两组对角
对角线:
菱形集合
平行四边形集合
矩形集合
？
矩 形
正方形
〃
〃
矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢
二、问题探究
菱 形
∟
∟
∟
∟
正方形
菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢
探究小结
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正方形
如何来给正方形下定义？
正方形的定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
D
C
B
A
正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的
菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎样的
性质？
边
对角线
角
正方形的性质
正方形对边平行且四边相等
正方形的四个角都是直角
正方形的对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
A
B
C
D
0
证明正方形性质
已知：如右图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC . （正方形的定义）
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形, （矩形的定义）
正方形是菱形.(菱形的定义)
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
请同学们动手完成以上证明？
提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理来完成该题.
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
菱形集合
平行四边形集合
矩形集合
？
定理1
正方形的四个角都是直角，四条边相等
定理2
正方形的对角线相等且互相垂直平分
归纳结论
正方形
对角线
边
边
对角线
对角线
角
对边平行且相等
相互平分
相等
四个角相等都是90°
相互垂直且
平分对角
四边相等
对称性
轴对称图形（4条对称轴）
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
典例精析
A
B
D
C
F
E
巩固 训练
1．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
A
D
B
C
O
45°
90°
45°
2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
A
D
B
C
O
E
22.5°
3.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE 、 CE ,求∠DEC的度数.
D
A
E
B
C
解：∵△ABE是等边三角形.
∴AB =AE=BE,
∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°.
又∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=BC=AE=BE,
∠DAB=∠ABC=90°.
∴∠DAE=∠CBE=150°.
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.
三、课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
谢谢
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正方形的定义与性质
【基础题】
1．（2017 阳谷县二模）矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ ）
A．邻边相等 B．四个角都是直角
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．（2017 渭滨区一模）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
3．（2017春 南召县期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
4．（2017春 寿光市期中）如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．67.5°
5．（2016 毕节市）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【中档题】
6．（2016 贵阳模拟）将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
7．（2016 南充模拟）下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
8．（2016 宁阳县模拟）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（ ）
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
9．（2016 曹县校级模拟）如图，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CE=CH，连接DH，延长BE交DH于G，则下面结论错误的是（ ）
A．BE=DH B．∠H+∠BEC=90°
C．BG⊥DH D．∠HDC+∠ABE=90°
10．（2016 哈尔滨模拟）如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
11．（2017 黄冈）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．
12．（2017 六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB= 度．
【中档题】
13．（2017 绍兴）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m．
14．（2017 莘县三模）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2= ．
15．（2017 娄底模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是 ．
16．（2017 和平区三模）如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC= ．
【较难题】
17．（2017 陕西）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．
18．（2017 杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
19．（2017 怀化）如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
20．（2017 番禺区一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为AD，CD边上的点，且DQ=CP，连接BQ，AP．求证：BQ=AP．
答案
1．D．2．B．3．D．4．C．5．B6．B．7．B．8．B．9．B．10．C．11．45°．12．75．13．4600
14．4：9．15．5×（）403016．16．
17．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．
∵AE=CF，
∴DE=DF，
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠DAF=∠DCE，
在△AGE和△CGF中，，
∴△AGE≌△CGF（AAS），
∴AG=CG．
18．
【解答】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2．
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x，MN=x，
在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，
∴1=x2+（2x+x）2，
解得x=，
∴BN=，
∴BG=BN÷cos30°=．
19．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
（2）∵BA=BE，∠ABE=30°，
∴∠BAE=（180°﹣30°）=75°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°，
∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
20．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAQ=∠ADP=90°，AB=DA，
∵DQ=CP，
∴AQ=DP，
在△ABQ和△DAP中，
，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴BQ=AP．
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正方形的判定
【基础题】
1．（2017春 南召县期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
2．（2017春 下陆区期中）下列说法中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
3．（2016 宜昌模拟）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．（2016 虹口区二模）下列命题中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
5．（2016春 高阳县期末）下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（ ）
①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③
6．（2016秋 纳雍县校级期中）在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
B．AB∥CD，AC=BD
C．AO=BO，∠A=∠C
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
7．（2015春 重庆校级期末）四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
B．AB∥CD，AC=BD
C．AD∥BC，∠A=∠C
D．OA=OC，OB=OD，AB=BC
【中档题】
8．（2017 河西区二模）已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为 ．
9．（2017 潍坊二模）如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于 ．
10．（2017 资中县模拟）如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为 ．
11．（2017 东莞市一模）平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得平行四边形OBEC．
（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论；
（2）当四边形ABCD是 形时，四边形OBEC是正方形．
二．以考查技能为主的试题
【中档题】
12．（2017 南京一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．
13．（2017 于洪区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=40°，则当∠EBA= 时，四边形BFDE是正方形．
14．（2017春 洛宁县期末）如图所示，点E为正方形ABCD内部的一点，且△ABE为等边三角形，试求∠ADE的度数．
【较难题】
15．（2017春 滨海县期末）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）若CF=3，CE=4，求AP的长．
16．（2017春 韶关期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
17．（2017春 陆川县期末）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．
18．（2017春 江北区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG．
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
正方形的判定 答案
1．D．2．D．3．C．4．D．5．C．6．A．7．A．8．4．9．5；10．3．
11．【解答】解：（1）四边形OBEC是菱形，
证明：∵BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=0.5AC，OB=0.5BD，AC=BD，
∴OC=OB，
∴平行四边形OBEC为菱形；
（2）当四边形ABCD是正方形时，四边形OBEC是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，则有∠COB为直角，OB=OC，
∵四边形OBEC为平行四边形，
∴四边形OBEC为正方形．
故答案为：正方
12．【解答】证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴BE=CF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CDF．
（2）∵△BDE≌△CDF，
∴BD=DC，DE=DF，
∵BC=2AD，
∴AD=BC，
∴∠BAC=90°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA，
∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠BCA，
即∠BAE=∠BCF，
在△BAE和△BCF中，，
∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）解：若∠ABC=40°，则当∠EBA=25°时，四边形BFDE是正方形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=∠ABC=20°，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵AC⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，
∵∠EBA=25°，
∴∠OBE=25°+20°=45°，
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴OB=OE，
∴BD=EF，
∴四边形BFDE是矩形，
∴四边形BFDE是正方形；
故答案为：25．
14．【解答】解：∵E为正方形ABCD内一点，且△ABE是等边三角形，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE=BE，
∴∠DAE=∠DAB﹣∠EAB=30°，
∴∠ADE=∠AED==75°．
15．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，∠BCD=90°，
在△APD和△CPD中，，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
（2）解：∵△APD≌△CPD，
∴AP=PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF．
∵∠DCB=90°，
∴在Rt△CEF中，EF===5，
∴AP=EF=5．
16．【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD，则AF=DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=DC，且AD⊥DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
17．【解答】解：
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∵PM=PN，
∴四边形PMAN是正方形；
（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，
∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，
∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90°，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠GAH=∠OBG，
即∠OAE=∠OBG．
∴在△OAE与△OBG中，，
∴△OAE≌△OBG（ASA）；
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正方形的性质与判定
（第2课时）
数学北师大版 九年级上
一、复习回顾
1、什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
O
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
2、矩形、菱形的判定方法有哪些？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
三个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
二、新课引入
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
菱形
思考：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
思考：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
正方形的判定定理：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的两条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件
菱形条件
(1)
(2)
一个直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线垂直
三、定理应用
例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
例2：已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.
D
C
E
B
A
F
四、中点四边形
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，顺次连接平行四边形、矩形、菱形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
平行四边形
E
F
G
H
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
正方形的中点四边形是正方形
特殊四边形的中点四边形：
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
五、随堂练习
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
D
C
3.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证： ADB= CDB;
(2) 若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
1
2
有一个角是90°
（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等
（或对角线相等）
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分且相等）
有一个角是90°
（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等
（或对角线相等）
谢谢
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