第二章 2.2 2.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列等式中不正确的是 ( C )
A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b| D．＝＋＋
[解析] 当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|.
2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于 ( D )
A． B．
C． D．
[解析] ＋＝.
3．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则 ( A )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是共线向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
[解析] 当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.
4．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝ ( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] 连结CF，取CF中点O，连结OE，CE.
则＋＋＝(＋)＋＝.
5．在△ABC中，||＝||＝|＋|，则△ABC是 ( B )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ＋＝，则||＝||＝||，
则△ABC是等边三角形．
6．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则 ( C )
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
[解析] ∵＋＝2，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴＋＝0.故选C．
二、填空题
7．化简下列各式：
(1)＋＋＝ ；
(2)＋＋＋＝ ；
(3)化简(＋)＋(＋)＋＝ .
[解析] (1)＋＋＝＋＝0；
(2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
(3).
8．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝ .
[解析] ＋＋＝＋＋＝.
三、解答题
9．如图所示，求：
(1)a＋d；
(2)c＋b；
(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋b.
[解析] (1)a＋d＝d＋a＝＋＝；
(2)c＋b＝＋＝；
(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝；
(4)c＋f＋b＝＋＋＝.
10．如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0.
[证明] (1)由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋.
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝0＋0＋0＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是 ( A )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
[解析] 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．
即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17.
2．向量a、b均为非零向量，下列说法中不正确的是 ( B )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
[解析] 当a与b反向，且|a|<|b|时，向量a＋b与b的方向相同．
3．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为 ( C )
①a∥b ②a＋b＝a ③a＋b＝b ④|a＋b|<|a|＋|b| ⑤|a＋b|＝|a|＋|b| ⑥|a＋b|>|a|＋|b|
A．①②⑥ B．①③⑥
C．①③⑤ D．②③④⑤
[解析] ∵a＝(＋)＋(＋)
＝＋＋＋＝＋＋
＝＋＝0，
∴①③⑤均正确．
4．若M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是 ( C )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．3＋
[解析] 由三角形重心性质得＋＋＝0.
二、填空题
5．某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿__沿与水流方向成60°的(答案不唯一)__方向前进，速度为__8_km/h__.
[解析] ∵OB＝4，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°.
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝__1__.
[解析] 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABC是等边三角形，则BD＝1，则|＋|＝||＝1.
三、解答题
7．如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
[解析] 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四这形OADB，由向量加法的平行四边形法则知＋＝.
由||＝||，∠AOB＝120°，
知∠BOD＝60°，||＝||.
又∠COB＝120°，且||＝||.
∴＋＝0，故＋＋＝0.
8．如图所示，已知矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，试求|a＋b＋c|的大小.
[解析] 如图所示，过D作AC的平行线，交BC的延长线于点E.
∵DE∥AC，AD∥BE，
∴四边形ADEC为平行四边形，
∴＝，＝，
于是a＋b＋c＝＋＋
＝＋＝＋＝＝＋，
∴|a＋b＋c|＝|＋|＝8.
C级 能力拔高
如图，已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是__①②③④__.
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③|＋|＝||；
④||2＋||2＝||2.
第二章 2.2 2.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是 ( C )
A．＝
B．＋＝
C．－＝
D．＋＝0
[解析] A项显然正确，由平行四边形法知B正确；C项中－＝，故C错误项中＋＝＋＝0，故选C．
2．化简以下各式：
①＋＋； ②－＋－；
③－＋； ④＋＋－.
结果为零向量的个数是 ( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①＋＋＝＋＝－＝0；
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；
③－＋＝(＋)－＝－＝0；
④＋＋－＝＋＋＝－＝0.
3．四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝ ( A )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
[解析] ＝＋＝－＋＝a－b＋c.
4．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( B )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
5．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是 ( C )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
[解析] 由于＝－，则有||－||≤||≤||＋||，即3≤||≤13.
6．O是四边形ABCD所在平面上任一点，∥，且|－|＝|－|，则四边形ABCD一定为 ( D )
A．菱形 B．任意四边形
C．矩形 D．平行四边形
[解析] 由|－|＝|－|知||＝||，且∥故四边形ABCD是平行四边形．
二、填空题
7．若非零向量a与b互为相反向量，给出下列结论：①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a.其中所有正确命题的序号为__①②④__.
[解析] 非零向量a、b互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确．
8．若向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝__2__.
三、解答题
9．已知||＝3，||＝4，∠BAC＝90°，求|－|.
[解析] ∵－＝，∠BAC＝90°，
∴||＝5，∴|－|＝5.
10．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
[解析] 作法：作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b.
如图所示；作向量＝a，则＝a－b＋a.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列说法错误的是 ( D )
A．若＋＝，则－＝
B．若＋＝，则＋＝
C．若＋＝，则－＝
D．若＋＝，则＋＝
[解析] 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知：A，B，C都正确．由相反向量定量知，共＋＝，则＋＝－－＝－(＋)＝－，故D错误．
2．在平面上有A、B、C，三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有 ( C )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
[解析] 以，为邻边作平行四边形，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，故选C．
3．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为 ( A )
A．0 B．
C． D．
[解析] ＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝0.
4．已知＝a，＝b，||＝5，||＝12，∠AOB＝90°，则|a－b|＝ ( C )
A．7 B．17
C．13 D．8
[解析] 如图，∵a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝＝13.
故选C．
二、填空题
5．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有__①__.
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.
[解析] －＋＝＋＝；
＋＝＋＝≠；
－＝≠；
＋＝≠.
6．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝__5或9__.
[解析] 当a与b方向相同时，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；
当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.
三、解答题
7．已知点B是?ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示向量、、、及.
[解析] ∵四边形ACDE为平行四边形．
∴＝＝c；
＝－＝b－a；
＝－＝c－a；
＝－＝c－b；
＝＋＝b－a＋c.
8．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)－；
(4)＋；
(5)－.
[解析] (1)＝－＝c－a；
(2)＝＋＝－＋＝－a＋d；
(3)－＝＝d－b；
(4)＋＝－＋＋＝b－a－c＋f；
(5)－＝－－(－)＝f－b－d＋b.
C级 能力拔高
设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝ ( C )
A．8 B．4
C．2 D．1
[解析] 由|＋|＝|－|可知，与垂直，故△ABC为直角三角形，||即斜边BC的中线，所以||＝2.
第二章 2.2 2.2.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝ ( A )
A．λ(＋) λ∈(0,1)
B．λ(＋) λ∈(0，)
C．λ(－) λ∈(0,1)
D．λ(－) λ∈(0，)
[解析] 设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平分线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)．
2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] (方法一)：由＝2，
可得－＝2(－)?＝＋，
所以λ＝.故选A．
(方法二)：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A．
3．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在 ( B )
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
[解析] ∵＝λ＋，∴－＝λ.
∴＝λ.
∴P、A、C三点共线．
∴点P一定在AC边所在的直线上．
4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于 ( C )
A．a＋b B．a＋b
C．(a＋b) D．a＋b
[解析] ＋＝＋＝＝2，
所以＝(a＋b)，故选C．
5．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是 ( A )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
[解析] ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，所以，A、B、D三点共线．
6．如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是 ( A )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
[解析] ∵＝＋，＝－3＝3，
∴＝.
∴＝＋＝＋(－)．
∴r＝q＋(r－p)．
∴r＝－p＋q.
二、填空题
7．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝ ；y＝ － .
[解析] 由题中条件得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.
8．(2016·潍坊高一检测)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 .
[解析] 由已知＝－＝－
＝(－)＋＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，
从而λ1＋λ2＝.
三、解答题
9．已知?ABCD中，＝a，＝b，对角线AC、BD交于点O，用a、b表示，.
[解析] ＝＝(＋)＝(－a－b)．
＝＝(－)＝(b－a)．
10．已知向量e1、e2是两个共线向量，若a＝e1－e2，b＝2e1＋2e2，求证：a∥b.
[证明] 若e1＝e2＝0，则a＝b＝0，
所以a与b共线，即a∥b；
若e1、e2中至少有一个不为零向量，不妨设e1≠0，则e2＝λe1(λ∈R)，且a＝(1－λ)e1，
b＝2(1＋λ)e1，所以a∥e1，b∥e1.
因为e1≠0，所以a∥b.
综上可知，a∥b.
B级 素养提升
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是 ( C )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
[解析] A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a与λ2a的方向相同．故选C．
2．设e1、e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为 ( D )
A．0 B．－1
C．－2 D．－
[解析] ∵向量a与b共线，∴存在唯一实数u，使b＝ua成立．即e1＋λe2＝u(2e1－e2)＝2ue1－ue2.∴解得λ＝－.
3.在?ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若＝a，＝b，则＝ ( D )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
[解析] ＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋(b－a)＝a＋b.
4．在△ABC中，点D在BC边所在直线上．若＝4＝s－r，则s＋r等于 ( C )
A．0 B．
C． D．3
[解析] 由题意可得，＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－
＝－，
∴s＋r＝.
二、填空题
5．若2(x－a)－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝ a－b＋c .
[解析] ∵2x－a－b－c＋x＋b＝0，
∴x＝a－b＋c.∴x＝a－b＋c.
6．如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝ (b－a) .(用a、b表示).
[解析] ＝＋＋
＝－＋＋
＝－－＋(＋)＝－b－a＋(a＋b)
＝b－a＝(b－a)．
三、解答题
7．如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形.
[证明] 在△BCD中，
∵G，F分别是CD，CB的中点，
∴＝，＝.
∴＝－＝－
＝.
同理＝.
∴＝，即与共线．
又∵G、F、H、E四点不在同一条直线上，
∴GF∥HE，且GF＝HE.
∴四边形EFGH是平行四边形．
8．设两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？
[解析] ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝k·c，
即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2
＝2ke2－9ke2.由，
得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
C级 能力拔高
过△OAB的重心G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q，设＝h·，＝k，则＋＝__3__.
[解析] 延长OG交边AB于点M，则M为AB边的中点，
∴＝(＋)＝(＋)＝＋，
又＝，
∴＝＋.
∵P、Q、G三点共线，
且，是不共线的向量，
∴＋＝1，
即＋＝3.
