第二章 2.4 2.4.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是 ( A )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．任意三角形
[解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．
2．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为 ( C )
A．2 B．
C．2 D．4
[解析] a在b方向上的投影为|a|cos?a，b?＝4×cos30°＝2，故选C．
3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是 ( B )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[解析] A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝ ( C )
A．2 B．4
C．6 D．12
[解析] ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72.
∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.又∵|a|≥0，∴|a|＝6.
5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为 ( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cos?a，b?＝＝＝－，所以?a，b?＝，故选C．
6．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的 ( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
二、填空题
7．(江苏高考)已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为 .
[解析] 由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝.
8．已知向量a、b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝ 3 .
[解析] |2a－b|＝?(2a－b)2＝10?4＋|b|2－4|b|cos45°＝10?|b|＝3.
三、解答题
9．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)(3a)·；
(3)(3b－2a)·(4a＋b)．
[解析] (1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60.
(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36.
(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
[解析] (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为
＝＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为 ( B )
A．3 B．
C．2 D．
[解析] a·b＝|a||b|cosθ＝|b||a|cosθ
＝3×＝.
2．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于 ( B )
A．－8 B．8
C．－8或8 D．6
[解析] 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.
3．若非零向量a、b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为 ( A )
A． B．
C． D．π
[解析] 由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝|b|，所以a·b＝3·(|b|)2－2b2＝b2，所以cos?a，b?＝＝＝，所以?a，b?＝，故选A．
4．已知△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是 ( C )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[解析] 由2－·＝·＋·，
得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，
∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形，故选C．
二、填空题
5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为 － .
[解析] ∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，
∴a·b＝－|b|2，
∴cos〈a·b〉＝＝＝－.
6．已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为 ；|2a－b|＝ 2 .
[解析] 由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，
则a·b＝3.
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，
所以|2a－b|＝2.
三、解答题
7．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，试问：当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
[解析] ∵(ka－b)⊥(a＋2b)，
∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，
即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，
∴k＝.∴当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．
8．设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
[解析] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cosθ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7＝0.解得－7当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则
∴
∴所求实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．
C级 能力拔高
若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是 ( A )
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
[解析] f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(|b2|－|a|2)x－a·b，由a⊥b，得a·b＝0，所以f(x)＝(|b|2－|a|2)x.由于|a|≠|b|，所以|b|2－|a|2≠0，即f(x)＝(|b|2－|a|2)x是一次函数，显然也是奇函数．
第二章 2.4 2.4.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于 ( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] ∵＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0.
2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为 ( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴cosθ＝＝.∴a在b上的射影为|a|cosθ＝×＝.
3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝ ( C )
A． B．－
C． D．－
[解析] 由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0，
而ka＋b＝(2－k,3k－1)，
a－2b＝(－5,5)，
故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝.
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝ ( C )
A．1 B．
C．2 D．4
[解析] 由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，
即2a·b－b2＝0.
故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.
所以，|a|＝＝＝2.
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于 ( C )
A． B．
C．5 D．25
[解析] ∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5.
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝ ( D )
A．(，) B．(－，－)
C．(，) D．(－，－)
[解析] 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故选D．
二、填空题
7．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝__2__.
[解析] 因为a＋b＝(－1，)，
所以|a＋b|＝＝2.
8．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝__1__.
[解析] cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍)．
三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值.
[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0.
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19.
10．已知a＝(，1)，b＝(2,2).
(1)求a·b；
(2)求a与b的夹角θ.
[解析] (1)a·b＝2＋2＝4.
(2)cosθ＝
＝＝，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于 ( B )
A． B．
C． D．(1,0)
[解析] 方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则
将②代入①得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，
∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝?y＝.
方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B．
2．(2016·全国Ⅲ，文)已知向量＝(，)，＝(，)，则∠ABC＝ ( A )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[解析] 由题意得cos∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，故选A．
3．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝ ( B )
A． B．
C．2 D．10
[解析] 由a⊥c，得2x－4＝0 则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，
|a＋b|＝＝.
4．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为 ( A )
A．－θ B．θ－
C．＋θ D．θ
[解析] 由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上
(∵<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，
∴a与b的夹角为－θ.
二、填空题
5．已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__2__.
[解析] ∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a·b＝，|b|2＝1，
∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2.
6．△ABO三顶点坐标为A(1,0)、B(0,2)、O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为__3__.
[解析] ∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，
∴x≤1，∴－x≥－1，
∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.
∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.
三、解答题
7．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．
[解析] (1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.∴y＝－3.
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，
设m，n的夹角为θ，则cosθ＝
＝＝＝－.
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝，即m，n的夹角为.
8．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论.
[解析] 假设m、n的夹角能为60°，
则cos60°＝，
∴m·n＝|m||n|.①
又∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，
∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0.
∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②
|m||n|＝·＝k2＋1.③
由①②③，得2k＝(k2＋1)．∴k2－4k＋1＝0.
∵该方程无整数解．
∴m、n的夹角不能为60°.
C级 能力拔高
设(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，其中mn≠0，
求证：＝.
[解析] 由题中所给式子联想到向量的夹角公式和模长公式，故可构造向量c＝(a，b)，d＝(m，n)，然后用向量知识求解．
方法一 设c＝(a，b)，d＝(m，n)，
则|c|2＝a2＋b2，|d|2＝m2＋n2，c·d＝am＋bn.
∵(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，
∴|c|2|d|2＝(c·d)2，即c·d＝±|c||d|，∴c∥d，
∴an－bm＝0，即an＝bm.
又mn≠0，∴＝.
方法二 设c＝(a，b)，d＝(m，n)，c与d的夹角为θ，则cos2θ＝()2.
由条件知＝1，
∴cos2θ＝1，即θ＝0°或θ＝180°，即c∥d，
于是有an－bm＝0.
又mn≠0，∴＝.
