2.5 平面向量应用举例 同步练习（1课时，含解析）
文档属性
| 名称 | 2.5 平面向量应用举例 同步练习（1课时，含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 41.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-06-14 13:34:11 | ||
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文档简介
第二章 2.5
A级 基础巩固
一、选择题
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力、，则|＋|为 ( C )
A．(5,0) B．(－5,0)
C． D．－
[解析] ∵＝(1,1)，＝(－3，－2)，
∴|＋|＝＝，故选C．
2．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是 ( C )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
[解析] ∵＋＝0，∴＝，四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0，得·＝0，∴⊥，即此四边形对角线互相垂直，故为菱形．
3．已知点A(－2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是 ( D )
A．x2＋y2＝1 B．x2－y2＝1
C．y2＝2x D．y2＝－2x
[解析] ＝(－2－x，－y)，＝(－x，－y)
则·＝(－2－x)(－x)＋y2＝x2，
∴y2＝－2x.
4．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是 ( A )
A．5 B．－5
C． D．－
[解析] 由题意，得＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．
∵∠C＝90°，∴⊥.∴·＝0.
∴2(2－k)＋3×2＝0.∴k＝5.
5．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的 ( D )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
[解析] 由·＝·，
得·－·＝0，
∴·(－)＝0，即·＝0.
∴⊥.同理可证⊥，⊥.
∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点．
6．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为 ( B )
A．40 N B．10N
C．20N D．40N
[解析] 如图，以F1、F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．
由题意，易知|F|＝|F1|，
|F|＝20 N，
∴|F1|＝|F2|＝10N.
当它们的夹角为120°时，以F1、F2为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，
此时|F合|＝|F1|＝10N.
二、填空题
7．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做功的是__－11__.
[解析] ∵W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是 [，π] .
[解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，
所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈[，π]．
三、解答题
9．在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，用向量法证明CD＝AB．
[证明] 如图，设＝a，＝b，
则a与b的夹角为90°，
∴a·b＝0.
又＝b－a，＝(a＋b)，
∴||＝|a＋b|＝
＝＝，
||＝|b－a|＝
＝＝.
∴||＝||.∴CD＝AB．
10．某人骑车以akm/h的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2akm/h时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
[解析] 设此人行驶速度为a，则|a|＝a，无风时此人感觉到风速为－a，又设实际风速为v，由题意知，此人所感到的从正北方向吹来的风速为v－a，
如图所示，令＝－a，＝－2a，
由于＋＝，故＝v－a.
又＋＝，故＝v－2a，即此人的速度是原来的2倍时所感到的风速，由题意得∠PBO＝45°，
PA⊥BO，BA＝AO，从而△BPO为等腰三角形，
∴PB＝PO，∠POA＝∠APO＝45°，
∴PO＝a，|v|＝akm/h.
故实际吹来的风是风速为akm/h的西北风．
B级 素养提升
一、选择题
1．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m) ( C )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
[解析] 5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
2．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( C )
A． B．2
C．5 D．10
[解析] 本题考查向量的坐标运算，数量积、模等．
由题意知AC，BD为四边形对角线，
而·＝1×(－4)＋2×2＝0
∴AC⊥BD．
∴S四边形ABCD＝×||×||
＝××
＝××＝5.
3．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的 ( C )
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
[解析] 由||＝||＝||，已知点O为△ABC的外心，由＋＋＝0，知点N为△ABC的重心；由·＝·，得(－)·＝0，即·＝0，故⊥.同理，AP⊥BC，故P为△ABC的垂心，选C．
4．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝ ( D )
A．2 B．4
C．5 D．10
[解析] 将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则＝＝＝＝－6＝42－6＝10.
二、填空题
5．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30m到达点B，则此人的位移的大小是__60__m，方向是东偏北__60°__.
[解析] 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，
则||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°.
6．作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为 .
[解析] |F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19，
所以|F1＋F2|＝.
7．已知：?ABCD中，AC＝BD，求证：四边形ABCD是矩形.
[证明] 设＝a，＝b，
由于四边形ABCD是平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a.
∵AC＝BD，∴|a＋b|＝|b－a|.∴|a＋b|2＝|b－a|2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝|b|2－2a·b＋|a|2.
∴a·b＝0.∴a⊥b，即⊥.∴AB⊥AD．
∴四边形ABCD是矩形．
8．如图所示，已知?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长.
[解析] 设＝a，＝b，a与b的夹角为θ，
则|a|＝3，|b|＝1，θ＝.
∴a·b＝|a||b|cosθ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝
＝＝，
||＝＝
＝＝.
∴AC＝，DB＝.
C级 能力拔高
△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线的方程.
[解析] 向量＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，＝(－4,7)－(4,1)＝(－8,6)，从而∠A的平分线的一个方向向量为＋＝(，)＋(－，)＝(－，)，则∠A的平分线方程可设为x＋y＋m＝0，将点(4,1)的坐标代入，得m＝－，整理得7x＋y－29＝0，即∠A的平分线所在直线的方程为7x＋y－29＝0.
A级 基础巩固
一、选择题
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力、，则|＋|为 ( C )
A．(5,0) B．(－5,0)
C． D．－
[解析] ∵＝(1,1)，＝(－3，－2)，
∴|＋|＝＝，故选C．
2．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是 ( C )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
[解析] ∵＋＝0，∴＝，四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0，得·＝0，∴⊥，即此四边形对角线互相垂直，故为菱形．
3．已知点A(－2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是 ( D )
A．x2＋y2＝1 B．x2－y2＝1
C．y2＝2x D．y2＝－2x
[解析] ＝(－2－x，－y)，＝(－x，－y)
则·＝(－2－x)(－x)＋y2＝x2，
∴y2＝－2x.
4．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是 ( A )
A．5 B．－5
C． D．－
[解析] 由题意，得＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．
∵∠C＝90°，∴⊥.∴·＝0.
∴2(2－k)＋3×2＝0.∴k＝5.
5．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的 ( D )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
[解析] 由·＝·，
得·－·＝0，
∴·(－)＝0，即·＝0.
∴⊥.同理可证⊥，⊥.
∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点．
6．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为 ( B )
A．40 N B．10N
C．20N D．40N
[解析] 如图，以F1、F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．
由题意，易知|F|＝|F1|，
|F|＝20 N，
∴|F1|＝|F2|＝10N.
当它们的夹角为120°时，以F1、F2为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，
此时|F合|＝|F1|＝10N.
二、填空题
7．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做功的是__－11__.
[解析] ∵W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是 [，π] .
[解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，
所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈[，π]．
三、解答题
9．在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，用向量法证明CD＝AB．
[证明] 如图，设＝a，＝b，
则a与b的夹角为90°，
∴a·b＝0.
又＝b－a，＝(a＋b)，
∴||＝|a＋b|＝
＝＝，
||＝|b－a|＝
＝＝.
∴||＝||.∴CD＝AB．
10．某人骑车以akm/h的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2akm/h时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
[解析] 设此人行驶速度为a，则|a|＝a，无风时此人感觉到风速为－a，又设实际风速为v，由题意知，此人所感到的从正北方向吹来的风速为v－a，
如图所示，令＝－a，＝－2a，
由于＋＝，故＝v－a.
又＋＝，故＝v－2a，即此人的速度是原来的2倍时所感到的风速，由题意得∠PBO＝45°，
PA⊥BO，BA＝AO，从而△BPO为等腰三角形，
∴PB＝PO，∠POA＝∠APO＝45°，
∴PO＝a，|v|＝akm/h.
故实际吹来的风是风速为akm/h的西北风．
B级 素养提升
一、选择题
1．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m) ( C )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
[解析] 5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
2．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( C )
A． B．2
C．5 D．10
[解析] 本题考查向量的坐标运算，数量积、模等．
由题意知AC，BD为四边形对角线，
而·＝1×(－4)＋2×2＝0
∴AC⊥BD．
∴S四边形ABCD＝×||×||
＝××
＝××＝5.
3．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的 ( C )
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
[解析] 由||＝||＝||，已知点O为△ABC的外心，由＋＋＝0，知点N为△ABC的重心；由·＝·，得(－)·＝0，即·＝0，故⊥.同理，AP⊥BC，故P为△ABC的垂心，选C．
4．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝ ( D )
A．2 B．4
C．5 D．10
[解析] 将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则＝＝＝＝－6＝42－6＝10.
二、填空题
5．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30m到达点B，则此人的位移的大小是__60__m，方向是东偏北__60°__.
[解析] 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，
则||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°.
6．作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为 .
[解析] |F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19，
所以|F1＋F2|＝.
7．已知：?ABCD中，AC＝BD，求证：四边形ABCD是矩形.
[证明] 设＝a，＝b，
由于四边形ABCD是平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a.
∵AC＝BD，∴|a＋b|＝|b－a|.∴|a＋b|2＝|b－a|2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝|b|2－2a·b＋|a|2.
∴a·b＝0.∴a⊥b，即⊥.∴AB⊥AD．
∴四边形ABCD是矩形．
8．如图所示，已知?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长.
[解析] 设＝a，＝b，a与b的夹角为θ，
则|a|＝3，|b|＝1，θ＝.
∴a·b＝|a||b|cosθ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝
＝＝，
||＝＝
＝＝.
∴AC＝，DB＝.
C级 能力拔高
△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线的方程.
[解析] 向量＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，＝(－4,7)－(4,1)＝(－8,6)，从而∠A的平分线的一个方向向量为＋＝(，)＋(－，)＝(－，)，则∠A的平分线方程可设为x＋y＋m＝0，将点(4,1)的坐标代入，得m＝－，整理得7x＋y－29＝0，即∠A的平分线所在直线的方程为7x＋y－29＝0.