第三章 3.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．y＝sinxcosx＋sin2x可化为 ( A )
A．sin＋ B．sin－
C．sin＋ D．2sin＋1
[解析] y＝sin2x＋
＝sin2x－cos2x＋
＝＋
＝sin＋.
2．若f(tanx)＝sin2x，则f(－1)＝ ( B )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
[解析] f(－1)＝f[tan(－＋kπ)]＝sin2(－＋kπ)＝sin(－＋2kπ)＝－1.
3．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝ ( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由θ∈可得2θ∈，cos2θ＝－＝－，sinθ＝＝，答案应选D．
另解：由θ∈及sin2θ＝可得
sinθ＋cosθ＝＝＝＝＝＋，
而当θ∈时sinθ>cosθ，
结合选项即可得sinθ＝，cosθ＝.答案应选D．
4．若cosα＝，且α∈(0，π)，则cos＋sin的值为 ( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵cosα＝，且α∈(0，π)，∴∈(0，)．
∴cos＝＝＝＝.
sin＝＝＝
∴cos＋sin＝＋＝.
5.·等于 ( B )
A．tanα B．tan2α
C．1 D．
[解析] 原式＝＝＝＝tan2α.
二、填空题
6．已知cos2α＝，且<α<π，则tanα＝ － .
[解析] ∵<α<π，∴tanα＝－＝－.
7．求证：＝.
[证明] 左边＝
＝
＝＝＝＝＝右边．
∴原等式成立．
B级 素养提升
一、选择题
1．设0<θ<，且sin＝，则tanθ等于 ( D )
A．x B．
C． D．
[解析] ∵0<θ<，sin＝，
∴cos＝＝.
∴tan＝＝，tanθ＝＝＝·(x＋1)＝.
2．已知θ是第三象限的角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ等于 ( A )
A． B．－
C． D．－
[解析] sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝，
∴sin22θ＝，
∵2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，
∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π(k∈Z)，
∴sin2θ>0，∴sin2θ＝.
3．已知函数f(x)＝sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为 ( B )
A．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z}
B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
C．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}
D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
[解析] 由已知得f(x)＝2sin(x－)，
∵f(x)≥1，即sin(x－)≥，可得＋2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则下列等式中一定成立的是 ( A )
A．A＝B B．A＝C
C．B＝C D．A＝B＝C
[解析] ∵sinAsinB＝cos2＝＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)
∴cosAcosB＋sinAsinB＝.
∴cos(A－B)＝1，
∵0
∴A－B＝0，∴A＝B．
二、填空题
5．已知tan＝，则cosα＝ .
[解析] ∵tan＝±，
∴tan2＝.
∴＝，解得cosα＝.
6．设π<α<3π，cosα＝m，cos＝n，cos＝p，则下列各式中正确的是__①__.
①n＝－；②n＝；③p＝；④p＝－.
[解析] ∵π<α<3π，∴<<，
∴cos＝－，即n＝－，而<<，
∴cos的符号不能确定．
三、解答题
7．已知cos(π－α)＝，α∈(－π，0).
(1)求sinα；
(2)求cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(π－)的值．
[解析] (1)∵cos(π－α)＝－cosα＝，
∴cosα＝－，
又∵α∈(－π，0)，
∴sinα＝－＝－.
(2)cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(－)
＝[1＋cos(－α)]＋(－sin)·(－cos)
＝＋sinα＋sin·cos
＝＋sinα＋sinα
＝＋sinα
＝＋(－)＝.
第三章 3.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知tan＝3，则cosα－sinα＝ ( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] ∵tan＝3，∴tan2＝＝9，
∴cosα＝－.
∵tan＝，∴sinα＝3×()＝，
∴cosα－sinα＝－－＝－.
2．若sin＝，则cosα＝ ( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin＝，所以cosα＝1－2sin2＝1－2()2＝.
3．函数y＝的周期等于 ( C )
A． B．π
C．2π D．3π
[解析] y＝＝tan，T＝＝2π.
4．函数y＝sin2x＋sin2x的值域是 ( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵y＝sin2x＋sin2x＝sin2x＋＝＋sin，
∴值域为.
5．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是 ( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由于函数f(x)的图象关于x＝对称，
则f(0)＝f，∴a＝－－，∴a＝－，
∴g(x)＝－sinx＋cosx
＝sin，
∴g(x)max＝.
二、填空题
6．已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝ ，b＝__1__.
[解析] 由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1.
三、解答题
7．如图所示，圆心角为直角的扇形AOB，半径OA＝2，点C是上任一点，且CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，设∠AOC＝x，矩形OECF的面积为f(x).
求：(1)f(x)的解析式；
(2)矩形OECF面积的最大值．
[解析] (1)∵f(x)＝OE·EC＝OCcosx·OCsinx
＝4sinxcosx＝2sin2x，
∴f(x)＝2sin2x，x∈.
(2)∵f(x)＝2sin2x，x∈，
∴0<2x<π.
∴当x＝时，f(x)取得最大值2，
即矩形OECF面积的最大值为2.
B级 素养提升
一、选择题
1．函数y＝cos4x－sin4x＋2的最小正周期是 ( A )
A．π B．2π
C． D．
[解析] y＝cos2x－sin2x＋2＝cos2x＋2，.T＝＝π.
2．函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1是 ( C )
A．周期为2π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
[解析] y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1
＝＋－1
＝
＝
＝.
∵＝π，且sin(－2x)＝－sin2x.
3．设△ABC的三个内角为A、B、C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C等于 ( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵m·n＝1＋cos(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)．
又A＋B＝π－C，
∴整理得sin(C＋)＝.
∵0∴C＋＝.∴C＝.
4．设M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)|f(x)＝acos2x＋bsin2x}，给出M到N的映射f：(a，b)→f(x)＝acos2x＋bsin2x，则点(1，)的象f(x)的最小正周期为 ( C )
A． B．
C．π D．2π
[解析] 点(1，)的象f(x)＝cos2x＋sin2x
＝2＝2sin，
则f(x)的最小正周期为T＝＝π.
二、填空题
5．当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝ .
[解析] 由y＝sinx－cosx＝2sin(x－)
由0≤x<2π?－≤x－<可知－2≤2sin(x－)≤2，
当且仅当x－＝时即x＝取得最大值．
6．关于函数f(x)＝sin2x－cos2x，有下列命题：
①函数y＝f(x)的周期为π；
②直线x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴；
③点是y＝f(x)的图象的一个对称中心；
④将y＝f(x)的图象向左平移个单位，可得到y＝sin2x的图象．
其中真命题的序号是__①③__.
[解析] f(x)＝sin2x－cos2x＝sin，
则T＝＝π；
f＝sin＝1，f不是函数f(x)的最值，则直线x＝不是y＝f(x)的图象的一条对称轴；f＝sin＝0，则点是y＝f(x)的图象的一个对称中心；
将y＝f(x)的图象向左平移个单位，可得到y＝sin＝sin的图象，不是y＝sin2x的图象，故①③正确，②④错误．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝tan(2x＋)，
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos2α，求α的大小．
[解析] (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴f(x)的定义域为.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f＝2cos2α，得tan＝2cos2α，
即＝2(cos2α－sin2α)，整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
∵α∈，∴sinα＋cosα≠0.∴(cosα－sinα)2＝，即1－sin2α＝，∴sin2α＝，由α∈，得2α∈.∴2α＝，即α＝.
