第二章 平面向量 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 第二章 平面向量 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 85.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-06-14 11:45:52 | ||
图片预览
文档简介
第二章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是 ( D )
A．－＝ B．＋＝0
C．0·＝0 D．＋＋＝
[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.
2．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝ ( A )
A． B．
C．1 D．
[解析] 满足＋＝0，∴点P是线段AC的中点．
∵2＋＋＝，
∴2＝－－－＝2，
∴点Q是线段AB的中点，
∵||＝λ||，
∴λ＝.
3．如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 ( D )
A．a＝b B．a·b＝1
C．a＝－b D．|a|＝|b|
[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B不正确；|a|＝|b|＝1，则选项D正确．
4．如右图，a－b等于 ( C )
A．2e1－4e2 B．－4e1－2e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
[解析] a－b＝e1－3e2.
5．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么＝ ( D )
A．＋ B．－－
C．－＋ D．－AD
[解析] ＝＝(－)．
6．(＋)·(－)等于 ( A )
A．0 B．λ1＋λ2
C．λ1－λ2 D．λ1λ2
[解析] ∵＝a0.(a0为a的单位向量)．
∴原式即(λ1a0＋λ1b0)(λ2a0－λ2b0)＝λ1·λ2(a－b)＝0.
7．已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为 ( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．
由条件知＝(2,1)，＝(5,5)，·＝10＋5＝15.
||＝＝5，则在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝，故选A．
8．已知a、b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A、B、C三点共线应满足的条件是 ( D )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
[解析] A，B，C三点共线即存在实数k，使得＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以有λa＝ka，b＝kμb，即λ＝k,1＝kμ，得λμ＝1.
9．设a、b是两个非零向量 ( C )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
[解析] 利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a、b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a、b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
10．已知非零向量m、n满足4|m|＝3|n|，cos＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为 ( B )
A．4 B．－4
C． D．－
[解析] 由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，则tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.故选B．
11．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M、N满足＝3，＝2，则·＝ ( C )
A．20 B．15
C．9 D．6
[解析] 选择，为基向量．∵＝3，∴＝＋＝＋＝＋，又＝2，∴＝＋＝－，于是·＝(＋)·(－)＝(4＋3)·(4－3)＝(16||2－9||2)＝9，故选C．
12．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则点O一定为△ABC的 ( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] ∵2＋2＝2＋2，
∴2－2＝2－2，
∴(－)·(＋)＝(＋)·(－)，
∴·(＋)＝·(－)，
∴·(＋－＋)＝0，
∴·(＋＋)＝0，
∴·＝0，
∴⊥.
同理可得：⊥，⊥.
∴O为△ABC的垂心．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则A、B、C、D四点中一定共线的三点是__A、B、D__.
[解析] ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2.
14．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__.
[解析] 由于a⊥b，由此画出以a，b为邻边的矩形ABCD，如图所示，其中，＝a，＝b，∵a＋b＋c＝0，∴＝c，＝a－b.
∵(a－b)⊥c，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为正方形．
∴|a|＝|b|＝1，|c|＝，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
15．若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”．依此规定，能说明a1＝(1,2)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,10)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取__－4,2,1__(写出一组数值即可，不必考虑所有情况).
[解析] 由k1a1＋k2a2＋k3a3＝0得
?k1＝－4k3，k2＝2k3，
令k3＝c(c≠0)，则k1＝－4c，k2＝2c.
16．(2017天津理科)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为 .
[解析] 由题意，知||＝3，||＝2，
·＝3×2×cos60°＝3，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴·＝(＋)·(λ－)＝·－2＋2
＝×3－×32＋×22
＝λ－5＝－4，解得λ＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1).
(1)若〈a，b〉为锐角，求x的范围；
(2)当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值．
[解析] (1)若〈a，b〉为锐角，则a·b>0且a、b不同向．
a·b＝x＋2>0，∴x>－2
当x＝时，a、b同向．
∴x>－2且x≠
(2)a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)
(2x＋1)(2－x)＋3×4＝0
即－2x2＋3x＋14＝0
解得：x＝或x＝－2.
18．(本题满分12分)如图，∠AOB＝，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点.
(1)用向量与表示向量.
(2)求向量的模．
[解析] (1)＝＋＋ ①，＝＋＋ ②
①＋②将＋＝2，所以＝(＋)；
(2)||2＝(2＋2·＋2)＝(1＋2×1×2×cos＋4)＝.
∴||＝.
19．(本题满分12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2).
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标．
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
[解析] (1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x ①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20 ②
由①②联立，
解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
又|a|＝，|c|＝，
解得a·c＝5，
所以cosθ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝.
20．(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时.
(1)求t的值；
(2)已知a与b成45°角，求证：b与a＋tb(t∈R)垂直．
[解析] (1)设a与b的夹角为θ，则|a＋tb|2＝|a|2＋t2|b|2＋2t·a·b＝|a|2＋t2·|b|2＋2|a|·|b|·t·cosθ＝|b|2(t＋cosθ)2＋|a|2(1－cos2θ)．
∴当t＝－cosθ时，|a＋tb|取最小值|a|sinθ.
(2)∵a与b的夹角为45°，∴cosθ＝，从而t＝－·，b·(a＋tb)＝a·b＋t·|b|2＝|a|·|b|·－··|b|2＝0，所以b与a＋tb(t∈R)垂直，即原结论成立．
21．(本题满分12分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈[，]，求·的取值范围．
[解析] (1)证明：∵·＝·，
∴·(－)＝0.
又＋＋＝0则＝－(＋)，
∴－(＋)·(－)＝0.
∴2－2＝0，
∴||2＝||2.
∴||＝||，即△ABC为等腰三角形．
(2)解：∵B∈[，]，∴cosB∈[－，]．
设||＝||＝a.
∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，则有a2＋a2＋2a2cosB＝4.
∴a2＝，则·＝a2cosB＝＝2－.
又cosB∈[－，]，
∴·∈[－2，]．
22．(本题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝|a－kb|(k>0，k∈R).
(1)求a·b关于k的解析式f(k)．
(2)若a∥b，求实数k的值．
(3)求向量a与b夹角的最大值．
[解析] (1)由已知|ka＋b|＝|a－kb|，
有|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，
k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
又因为|a|＝|b|＝1，
得8ka·b＝2k2＋2，
所以a·b＝，
即f(k)＝(k>0)．
(2)因为a∥b，k>0，
所以a·b＝>0，
则a与b同向．
因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝1，
即＝1，整理得k2－4k＋1＝0，
所以k＝2±，
所以当k＝2±时，a∥b.
(3)设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝a·b＝＝(k＋)＝[(－)2＋2]．
当＝，即k＝1时，
cosθ取最小值.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是 ( D )
A．－＝ B．＋＝0
C．0·＝0 D．＋＋＝
[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.
2．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝ ( A )
A． B．
C．1 D．
[解析] 满足＋＝0，∴点P是线段AC的中点．
∵2＋＋＝，
∴2＝－－－＝2，
∴点Q是线段AB的中点，
∵||＝λ||，
∴λ＝.
3．如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 ( D )
A．a＝b B．a·b＝1
C．a＝－b D．|a|＝|b|
[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B不正确；|a|＝|b|＝1，则选项D正确．
4．如右图，a－b等于 ( C )
A．2e1－4e2 B．－4e1－2e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
[解析] a－b＝e1－3e2.
5．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么＝ ( D )
A．＋ B．－－
C．－＋ D．－AD
[解析] ＝＝(－)．
6．(＋)·(－)等于 ( A )
A．0 B．λ1＋λ2
C．λ1－λ2 D．λ1λ2
[解析] ∵＝a0.(a0为a的单位向量)．
∴原式即(λ1a0＋λ1b0)(λ2a0－λ2b0)＝λ1·λ2(a－b)＝0.
7．已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为 ( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．
由条件知＝(2,1)，＝(5,5)，·＝10＋5＝15.
||＝＝5，则在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝，故选A．
8．已知a、b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A、B、C三点共线应满足的条件是 ( D )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
[解析] A，B，C三点共线即存在实数k，使得＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以有λa＝ka，b＝kμb，即λ＝k,1＝kμ，得λμ＝1.
9．设a、b是两个非零向量 ( C )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
[解析] 利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a、b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a、b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
10．已知非零向量m、n满足4|m|＝3|n|，cos
A．4 B．－4
C． D．－
[解析] 由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，则tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.故选B．
11．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M、N满足＝3，＝2，则·＝ ( C )
A．20 B．15
C．9 D．6
[解析] 选择，为基向量．∵＝3，∴＝＋＝＋＝＋，又＝2，∴＝＋＝－，于是·＝(＋)·(－)＝(4＋3)·(4－3)＝(16||2－9||2)＝9，故选C．
12．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则点O一定为△ABC的 ( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] ∵2＋2＝2＋2，
∴2－2＝2－2，
∴(－)·(＋)＝(＋)·(－)，
∴·(＋)＝·(－)，
∴·(＋－＋)＝0，
∴·(＋＋)＝0，
∴·＝0，
∴⊥.
同理可得：⊥，⊥.
∴O为△ABC的垂心．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则A、B、C、D四点中一定共线的三点是__A、B、D__.
[解析] ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2.
14．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__.
[解析] 由于a⊥b，由此画出以a，b为邻边的矩形ABCD，如图所示，其中，＝a，＝b，∵a＋b＋c＝0，∴＝c，＝a－b.
∵(a－b)⊥c，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为正方形．
∴|a|＝|b|＝1，|c|＝，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
15．若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”．依此规定，能说明a1＝(1,2)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,10)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取__－4,2,1__(写出一组数值即可，不必考虑所有情况).
[解析] 由k1a1＋k2a2＋k3a3＝0得
?k1＝－4k3，k2＝2k3，
令k3＝c(c≠0)，则k1＝－4c，k2＝2c.
16．(2017天津理科)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为 .
[解析] 由题意，知||＝3，||＝2，
·＝3×2×cos60°＝3，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴·＝(＋)·(λ－)＝·－2＋2
＝×3－×32＋×22
＝λ－5＝－4，解得λ＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1).
(1)若〈a，b〉为锐角，求x的范围；
(2)当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值．
[解析] (1)若〈a，b〉为锐角，则a·b>0且a、b不同向．
a·b＝x＋2>0，∴x>－2
当x＝时，a、b同向．
∴x>－2且x≠
(2)a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)
(2x＋1)(2－x)＋3×4＝0
即－2x2＋3x＋14＝0
解得：x＝或x＝－2.
18．(本题满分12分)如图，∠AOB＝，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点.
(1)用向量与表示向量.
(2)求向量的模．
[解析] (1)＝＋＋ ①，＝＋＋ ②
①＋②将＋＝2，所以＝(＋)；
(2)||2＝(2＋2·＋2)＝(1＋2×1×2×cos＋4)＝.
∴||＝.
19．(本题满分12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2).
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标．
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
[解析] (1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x ①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20 ②
由①②联立，
解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
又|a|＝，|c|＝，
解得a·c＝5，
所以cosθ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝.
20．(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时.
(1)求t的值；
(2)已知a与b成45°角，求证：b与a＋tb(t∈R)垂直．
[解析] (1)设a与b的夹角为θ，则|a＋tb|2＝|a|2＋t2|b|2＋2t·a·b＝|a|2＋t2·|b|2＋2|a|·|b|·t·cosθ＝|b|2(t＋cosθ)2＋|a|2(1－cos2θ)．
∴当t＝－cosθ时，|a＋tb|取最小值|a|sinθ.
(2)∵a与b的夹角为45°，∴cosθ＝，从而t＝－·，b·(a＋tb)＝a·b＋t·|b|2＝|a|·|b|·－··|b|2＝0，所以b与a＋tb(t∈R)垂直，即原结论成立．
21．(本题满分12分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈[，]，求·的取值范围．
[解析] (1)证明：∵·＝·，
∴·(－)＝0.
又＋＋＝0则＝－(＋)，
∴－(＋)·(－)＝0.
∴2－2＝0，
∴||2＝||2.
∴||＝||，即△ABC为等腰三角形．
(2)解：∵B∈[，]，∴cosB∈[－，]．
设||＝||＝a.
∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，则有a2＋a2＋2a2cosB＝4.
∴a2＝，则·＝a2cosB＝＝2－.
又cosB∈[－，]，
∴·∈[－2，]．
22．(本题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝|a－kb|(k>0，k∈R).
(1)求a·b关于k的解析式f(k)．
(2)若a∥b，求实数k的值．
(3)求向量a与b夹角的最大值．
[解析] (1)由已知|ka＋b|＝|a－kb|，
有|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，
k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
又因为|a|＝|b|＝1，
得8ka·b＝2k2＋2，
所以a·b＝，
即f(k)＝(k>0)．
(2)因为a∥b，k>0，
所以a·b＝>0，
则a与b同向．
因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝1，
即＝1，整理得k2－4k＋1＝0，
所以k＝2±，
所以当k＝2±时，a∥b.
(3)设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝a·b＝＝(k＋)＝[(－)2＋2]．
当＝，即k＝1时，
cosθ取最小值.