第三章 三角恒等变换 单元测试（含解析）

第三章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于 (　D　)
A．－3 B．－
C．3 D．
[解析]　tan(α－β)＝＝＝.
2．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是 (　A　)
A． B．
C． D．1＋
[解析]　原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝.
3．已知sin(－x)＝，则sin2x的值为 (　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　sin2x＝cos(－2x)
＝cos2(－x)＝1－2sin2(－x)
＝1－2×()2＝.
4．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则||的最大值是 (　B　)
A． B．2
C．4 D．
[解析]　＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)，
则||＝
＝，故||的最大值为2.
5.＝ (　B　)
A． B．－
C．－1 D．1
[解析]　原式＝＝＝－.
6．若θ∈[，]，sin2θ＝，则cosθ＝ (　C　)
A． B．－
C． D．
[解析]　∵2θ∈[，π]，cos2θ＝－，∴2cos2θ－1＝－，解得cosθ＝.
7．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log()2等于 (　C　)
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析]　由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝得
，∴，
∴＝5，
∴log()2＝log52＝4.
8．若＝，则tan2α＝ (　B　)
A．－ B．
C．－ D．
[解析]　本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由＝得＝即2tanα＋2＝tanα－1，
∴tanα＝－3，∴tan2α＝＝＝＝，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想．
9．y＝sin(2x－)－sin2x的一个单调递增区间是 (　B　)
A．[－，] B．[，π]
C．[π，π] D．[，]
[解析]　y＝sin(2x－)－sin2x＝sin2xcos－cos2xsin－sin2x＝－(sin2xcos＋cos2xsin)＝－sin(2x＋)，其增区间是函数y＝sin(2x＋)的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，x∈[，]．
10．若tanα＝2tan，则 ＝ (　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　＝
＝＝
＝
＝＝＝3，故选C．
11．将函数f(x)＝sin2xsin＋cos2xcos－sin(＋)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为 (　C　)
A．，－ B．，－
C．，－ D．，
[解析]　f(x)＝×sin2x＋cos2x－sin＝sin2x＋cos2x－＝sin2x＋×－＝sin(2x＋)，
所以g(x)＝sin(4x＋)．因为x∈[0，]，所以4x＋∈[，]，所以当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最大值；当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－.
12．已知A、B、C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sinB·cos2(－)＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是 (　D　)
A．m<1 B．m>－3
C．m<3 D．m>1
[解析]　f(B)＝4sinBcos2(－)＋cos2B
＝4sinB＋cos2B
＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)
＝2sinB＋1.
∵f(B)－m<2恒成立，即m>2sinB－1恒成立．
∵0∴－1<2sinB－1≤1，故m>1.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．化简·＝　　.
[解析]　原式＝tan(90°－2α)·＝cot2α·tan2α＝.
14．已知α∈(，π)，且sinα＝，则sin2＋的值为　－　.
[解析]　cosα＝－，原式＝＋＝＋sin2α＝－.
15．已知A，B，C皆为锐角，且tanA＝1，tanB＝2，tanC＝3，则A＋B＋C的值为__π__.
[解析]　∵tanB＝2，tanC＝3
∴tan(B＋C)＝＝＝－1.
又B、C皆为锐角，∴B＋C∈(0，π)
∴B＋C＝π，又tanA＝1，A为锐角，∴A＝，∴A＋B＋C＝π.
16．给出下列四个命题：
①函数y＝2sin(2x－)的一条对称轴是x＝；
②函数y＝tanx的图象关于点(，0)对称；
③正弦函数在第一象限内为增函数；
④存在实数α，使sinα＋cosα＝.
以上四个命题中正确的有__①②__(填写正确命题前面的序号).
[解析]　对于①，将x＝代入，sin(－)＝sin＝1，∴x＝是对称轴；②由正切函数的图象可知是正确的；正弦函数在[2kπ，2kπ＋]上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确；对于④，sinx＋cosx＝sin(x＋)，最大值为，所以④不正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间.
[解析]　(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}．
∴f(x)＝
＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1
＝sin(2x－)－1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋]k∈Z.
18．(本题满分12分)已知cosα－sinα＝，且π<α<π，求的值.
[解析]　因为cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝.
又α∈(π，)，故sinα＋cosα＝－
＝－，
所以＝
＝＝＝－.
19．(本题满分12分)已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1.
(1)求角A；
(2)若＝－3，求tanC．
[解析]　(1)∵m·n＝1，
∴sinA－cosA＝1,2(sinA·－cosA·)＝1，
sin(A－)＝，
∵0∴A－＝.∴A＝.
(2)由题知＝－3，
∴＝－3
∴＝－3
∴＝－3，∴tanB＝2.
∴tanC＝tan[π－(A＋B)]
＝－tan(A＋B)＝－＝.
20．(本题满分12分)已知tanα＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cosβ的值.
[解析]　∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π.
又cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝＝.
又tanα＝4，
∴sin2α＝＝＝.
∴sinα＝，从而cosα＝＝，
故cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝(－)×＋×＝.
21．(本题满分12分)(2016·天津理，16)已知函数f(x)＝4tanxsin(－x)cos(x－)－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间[－，]上的单调性．
[解析]　(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
f(x)＝4tanxcosxcos(x－)－
＝4sinxcos(x－)－
＝4sinx(cosx＋sinx)－
＝2sinxcosx＋2sin2x－
＝sin2x＋(1－cos2x)－
＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，函数y＝2sinz的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝[－，]，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝[－，]．
所以，当x∈[－，]时，f(x)在区间[－，]上单调递增，在区间[－，－]上单调递减．
22．(本题满分12分)如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B(－，)，∠AOB＝α.
(1)求的值；
(2)设∠AOP＝θ(≤θ≤π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S，f(θ)＝(·－1)2＋S－1，求f(θ)的最值及此时θ的值．
[解析]　(1)依题意，tanα＝＝－2，
∴＝＝＝－10.
(2)由已知点P的坐标为P(cosθ，sinθ)，
又＝＋，||＝||，
∴四边形OAQP为菱形，∴S＝2S△OAP＝sinθ，
∵A(1,0)，P(cosθ，sinθ)，
∴＝(1＋cosθ，sinθ)，
∴·＝1＋cosθ，
∴f(θ)＝(1＋cosθ－1)2＋sinθ－1
＝cos2θ＋sinθ－1＝－sin2θ＋sinθ，
∵≤sinθ≤1，
∴当sinθ＝，即θ＝时，f(θ)max＝；
当sinθ＝1，即θ＝时，f(θ)max＝－1.