第一章 三角函数 单元测试（含解析）

第一章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．给出下列四种说法，其中正确的有 (　D　)
①－75°是第四象限角　②225°是第三角限角　③475°是第二象限角　④－315°是第一象限角
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．设α是第三象限角，且|cos|＝－cos，则的终边所在的象限是 (　B　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]　因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
所以的终边在第二象限或第四象限．
又|cos|＝－cos，所以cos<0，
所以的终边所在的象限是第二象限．
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是 (　C　)
A．2 B．sin2
C． D．2sin1
[解析]　由题设，圆弧的半径r＝，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝.
4．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝ (　D　)
A． B．
C．－ D．－
[解析]　x<0，r＝，∴cosα＝＝x，∴x2＝9，∴x＝－3，∴tanα＝－.
5．如果＝－5，那么tanα的值为 (　D　)
A．－2 B．2
C． D．－
[解析]　∵sinα－2cosα＝－5(3sinα＋5cosα)，
∴16sinα＝－23cosα，∴tanα＝－.
6．设α为第二象限角，则·＝ (　D　)
A．1 B．tan2α
C．－tan2α D．－1
[解析]　·＝·＝·||，
又∵α为第二象限角，∴cosα<0，sinα>0.
∴原式＝·||＝·＝－1.
7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是 (　D　)
[解析]　本题用排除法，对于D选项，由振幅|a|>1，而周期T＝应小于2π，与图中T>2π矛盾．
8．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，
则＝ (　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，
x2＝2.则sinα＝－
原式＝＝－＝.
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是 (　A　)
A．f(2)C．f(－2)[解析]　∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且x＝是经过函数f(x)最小值点的一条对称轴，∴x＝－＝是经过函数f(x)最大值点的一条对称轴．
∵|2－|＝，|(π－2)－|＝，|0－|＝，∴|2－|>|(π－2)－|>|0－|，且－<2<，－<π－2<，－<0<，∴f(2)10．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin(2x＋)，则下面结论正确的是 (　D　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[解析]　因为y＝sin(2x＋)＝cos(2x＋－)＝cos(2x＋)，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋)．
11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在单调，则ω的最大值为 (　B　)
A．11 B．9
C．7 D．5
[解析]　因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，所以＝＋(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在(，)单调，所以T≥，k≤，又当k＝5时，ω＝11，φ＝－， f(x)在(，)不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝， f(x)在(，)单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.
12．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b，下表是某日各时的浪高数据：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
2
1
2
0.99
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是 (　B　)
A．y＝cost＋1 B．y＝cost＋
C．y＝2cost＋ D．y＝cos6πt＋
[解析]　∵T＝12－0＝12，∴ω＝＝＝.
又最大值为2，最小值为1，
则解得A＝，b＝，
∴y＝cost＋.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．设函数f(x)＝sin(2x＋)，给出下列命题：
①f(x)的图象关于直线x＝对称；
②f(x)的图象关于点(，0)对称；
③把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象；
④f(x)的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数．
其中正确命题的序号为__③__.
[解析]　因为f()＝sinπ＝0，所以①不正确；因为f()＝sin＝1，所以②不正确；因为f(x)的最小正周期为π，但f()＝sin＝1>＝f()，所以④不正确；把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x的图象，y＝cos2x为偶函数，所以③正确．
14．已知sinθcosθ＝，且<θ<，则cosθ－sinθ的值为　－　.
[解析]　因为<θ<，所以cosθ－sinθ<0，所以cosθ－sinθ＝－＝－＝－＝－.
15．设a为常数，且a>1,0≤x≤2π，则函数f(x)＝cos2x＋2asinx－1的最大值为__2a－1__.
[解析]　f(x)＝cos2x＋2asinx－1＝1－sin2x＋2asinx－1＝－(sinx－a)2＋a2，
∵0≤x≤2π，∴－1≤sinx≤1，
又a>1，∴f(x)max＝f(1)＝－1(1－a2)＋a2＝2a－1.
16．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(w>0，φ∈[0,2π))的部分图象如图所示，则f(2018)＝　　.
[解析]　由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.
由点(1,1)在函数图象上，可得f(1)＝sin(＋φ)＝1，故＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝.故f(x)＝sin(x＋)，所以f(2 018)＝sin(＋)＝sin(504π＋π)＝sinπ＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋cosα的值；
(2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值；
(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3︰4，求2sinα＋cosα的值.
[解析]　(1)∵r＝＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴2sinα＋cosα＝－＋＝－.
(2)∵r＝＝5|a|，∴当a>0时，r＝5a，∴sinα＝＝－，cosα＝，∴2sinα＋cosα＝－；
当a<0时，r＝－5a，∴sinα＝＝，cosα＝－，
∴2sinα＋cosα＝.
(3)当点P在第一象限时，sinα＝，cosα＝，
2sinα＋cosα＝2；当点P在第二象限时，sinα＝，
cosα＝－，2sinα＋cosα＝；当点P在第三象限时，sinα＝－，cosα＝－，2sinα＋cosα＝－2；
当点P在第四象限时，sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝－.
18．(本题满分12分)已知f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(a为常数).
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取得最大值时x的取值集合．
[解析]　(1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)当x∈[0，]时，2x＋∈[，π]，故当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值a＋3＝4，所以a＝1.
(3)当sin(2x＋)＝1时f(x)取得最大值，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f()＝(<α<)，求cos(α－)的值．
[解析]　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.由－≤φ<得φ＝－.
(2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝，
所以sin(α－)＝.由<α<得0<α－<，
所以cos(α－)＝＝＝.
20．(本题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解析]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin(2x－)．
(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]＝5sin(2x＋)
因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为(－，0)．
21．(本题满分12分)如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
[解析]　(1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．
当θ>时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin(θ－)；
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
(2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin(t－)＋5.6，t∈[0，＋∞)．
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的周期为，当x∈[0，]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－(－)＝2π，
由T＝，得ω＝1，又，
解得，令ω·＋φ＝，即＋φ＝，
解得φ＝－，∴f(x)＝2sin(x－)＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin(kx－)＋1的周期为，又k>0，∴k＝3，令t＝3x－，
∵x∈[0，]，∴t∈[－，]，
如图，sint＝s在[－，]上有两个不同的解，则s∈[，1]，
∴方程 f(kx)＝m在x∈[0，]时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1,3]，即实数m的取值范围是[＋1,3]．