第一章第三节 正方形的性质（第1课时） 梯度训练题（含答案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
正方形的定义与性质
【基础题】
1．（2017 阳谷县二模）矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（　　）
A．邻边相等 B．四个角都是直角
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．（2017 渭滨区一模）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．30 B．34 C．36 D．40
3．（2017春 南召县期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形　
4．（2017春 寿光市期中）如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（　　）
A．135° B．120° C．112.5° D．67.5°
5．（2016 毕节市）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【中档题】
6．（2016 贵阳模拟）将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2　
7．（2016 南充模拟）下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③　
8．（2016 宁阳县模拟）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（　　）
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°　
9．（2016 曹县校级模拟）如图，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CE=CH，连接DH，延长BE交DH于G，则下面结论错误的是（　　）
A．BE=DH B．∠H+∠BEC=90°
C．BG⊥DH D．∠HDC+∠ABE=90°　
10．（2016 哈尔滨模拟）如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（　　）
A．45° B．55° C．60° D．75°
11．（2017 黄冈）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　 　．
12．（2017 六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB=　 　度．
　
【中档题】
13．（2017 绍兴）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为　 　m．
14．（2017 莘县三模）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2=　　．
　
15．（2017 娄底模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是　 　．
16．（2017 和平区三模）如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC=　 　．
【较难题】
17．（2017 陕西）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．
18．（2017 杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
19．（2017 怀化）如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
20．（2017 番禺区一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为AD，CD边上的点，且DQ=CP，连接BQ，AP．求证：BQ=AP．
答案
1．D．2．B．3．D．4．C．5．B6．B．7．B．8．B．9．B．10．C．11．45°．12．75．13．4600
14．4：9．15．5×（）403016．16．
17．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．
∵AE=CF，
∴DE=DF，
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠DAF=∠DCE，
在△AGE和△CGF中，，
∴△AGE≌△CGF（AAS），
∴AG=CG．
　
18．
【解答】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2．
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x，MN=x，
在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，
∴1=x2+（2x+x）2，
解得x=，
∴BN=，
∴BG=BN÷cos30°=．
　
19．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
（2）∵BA=BE，∠ABE=30°，
∴∠BAE=（180°﹣30°）=75°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°，
∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
20．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAQ=∠ADP=90°，AB=DA，
∵DQ=CP，
∴AQ=DP，
在△ABQ和△DAP中，
，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴BQ=AP．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)