1.3.2 正方形的判定 梯度训练题（含答案）

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正方形的判定
【基础题】
1．（2017春 南召县期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形　
2．（2017春 下陆区期中）下列说法中错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形　
3．（2016 宜昌模拟）在下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形　
4．（2016 虹口区二模）下列命题中，正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形　
5．（2016春 高阳县期末）下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（　　）
①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③
6．（2016秋 纳雍县校级期中）在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（　　）
A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
B．AB∥CD，AC=BD
C．AO=BO，∠A=∠C
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC　
7．（2015春 重庆校级期末）四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（　　）
A．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
B．AB∥CD，AC=BD
C．AD∥BC，∠A=∠C
D．OA=OC，OB=OD，AB=BC
【中档题】
8．（2017 河西区二模）已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为　 　．
9．（2017 潍坊二模）如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于　 　．
10．（2017 资中县模拟）如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为　 　．
11．（2017 东莞市一模）平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得平行四边形OBEC．
（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论；
（2）当四边形ABCD是　 　 形时，四边形OBEC是正方形．
二．以考查技能为主的试题
【中档题】
12．（2017 南京一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．
13．（2017 于洪区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=40°，则当∠EBA=　 时，四边形BFDE是正方形．
14．（2017春 洛宁县期末）如图所示，点E为正方形ABCD内部的一点，且△ABE为等边三角形，试求∠ADE的度数．
【较难题】
15．（2017春 滨海县期末）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）若CF=3，CE=4，求AP的长．
16．（2017春 韶关期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
17．（2017春 陆川县期末）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．
18．（2017春 江北区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG．
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
正方形的判定 答案
1．D．2．D．3．C．4．D．5．C．6．A．7．A．8．4．9．5；10．3．
11．【解答】解：（1）四边形OBEC是菱形，
证明：∵BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=0.5AC，OB=0.5BD，AC=BD，
∴OC=OB，
∴平行四边形OBEC为菱形；
（2）当四边形ABCD是正方形时，四边形OBEC是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，则有∠COB为直角，OB=OC，
∵四边形OBEC为平行四边形，
∴四边形OBEC为正方形．
故答案为：正方
12．【解答】证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴BE=CF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CDF．
（2）∵△BDE≌△CDF，
∴BD=DC，DE=DF，
∵BC=2AD，
∴AD=BC，
∴∠BAC=90°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA，
∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠BCA，
即∠BAE=∠BCF，
在△BAE和△BCF中，，
∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）解：若∠ABC=40°，则当∠EBA=25°时，四边形BFDE是正方形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=∠ABC=20°，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵AC⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，
∵∠EBA=25°，
∴∠OBE=25°+20°=45°，
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴OB=OE，
∴BD=EF，
∴四边形BFDE是矩形，
∴四边形BFDE是正方形；
故答案为：25．
14．【解答】解：∵E为正方形ABCD内一点，且△ABE是等边三角形，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE=BE，
∴∠DAE=∠DAB﹣∠EAB=30°，
∴∠ADE=∠AED==75°．　
15．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，∠BCD=90°，
在△APD和△CPD中，，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
（2）解：∵△APD≌△CPD，
∴AP=PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF．
∵∠DCB=90°，
∴在Rt△CEF中，EF===5，
∴AP=EF=5．
16．【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD，则AF=DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=DC，且AD⊥DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
17．【解答】解：
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∵PM=PN，
∴四边形PMAN是正方形；
（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，
∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，
∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90°，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠GAH=∠OBG，
即∠OAE=∠OBG．
∴在△OAE与△OBG中，，
∴△OAE≌△OBG（ASA）；
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