21.2 解一元二次方程（2）同步作业

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21.2 解一元二次方程（2）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．一元二次方程的根的情况是　　
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
2．若关于x的不等式x﹣＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是（　　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
3．（2016贵州省黔南州）是关于x的一次函数，则一元二次方程的根的情况为（　　）
A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根
4．关于x的方程的两个相异实根均大于-1且小于3，那么k的取值范围是 （ ）
A. -1＜k＜0 B. k＜0 C. k＞3或k＜0 D. k＞-1
5．已知a，b，c为常数，且点Q（b，a）在第三象限，则关于x的方程bx2﹣cx﹣a=0的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
6．若a．b．c是△ABC的三边，且关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0有两个相等的实数根，则△ABC是（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形．
7．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（　　）
A. y= B. y= C. y= D. y=
8．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于( )
A. 3 B. 2 C. 1 D.
9．下列方程有实数根的是
A. B. C. +2x 1=0 D.
10．已知m，n是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（　　）
A. 7 B. 11 C. 12 D. 16
二、填空题
11．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
12．利用解一元二次方程的方法，在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1=________．
13．已知关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m的值为______．
14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于_____．
15．已知关于x的一元二次方程有实数根，若k为非负整数，则k等于___．
16．已知是关于x的方程的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为__________．
三、解答题
17．解下列方程
（1）x2+4x+3=0； （2）3x2+10x+5=0．
18．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣1=0；
（2）x2﹣2x=2x+1；
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；
（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．
19．已知关于x的方程．
求证：无论k取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
若方程的一根为2，试求出k的值和另一根．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．
21．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=c，这时我们把关于x的形如ax +cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
写出一个“勾系一元二次方程”；
求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax +cx+b=0必有实数根；
若x= 1是“勾系一元二次方程”ax +cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是，求△ABC面积.
参考答案
1．B
【解析】分析：将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．
详解：在方程x2-4x+4=0中，
△=（-4）2-4×1×4=0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选B．
点睛：本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解的个数是关键．
2．C
【解析】分析：解不等式组，求出的取值范围，根据一元二次方程由实数根求出满足条件的整数，求和即可.
详解：解不等式 得
不等式的解集是
故 解得
∵关于x的一元二次方程，
∴
关于x的一元二次方程无实数根.
故选C．
点睛：属于一元一次不等式和一元二次方程的综合题，较为简单.按照解一元一次不等式的步骤解不等式，一元二次方程没有实数根.
3．A
【解析】试题解析：∵是关于x的一次函数，∴≠0，∴k﹣1＞0，解得k＞1，又一元二次方程的判别式△=4﹣4k，∴△＜0，∴一元二次方程无实数根，故选A．
4．A
【解析】分析：令y=x2+2kx+3k，由题意可得当x=-1时，y>0；当x=3时，y＞0； >0 同时成立，由此求得k的取值范围．
详解：令y=x2+2kx+3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程y=0的解，
由图象可知，要使二根都在-1，3之间，
只需当x=-1时，y>0；当x=3时，y＞0； >0 同时成立，
∴
解得-1＜k<0，
故选A.
点睛：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，一元二次方程根的判别式，不等式组的解法，依题意列出不等式组是解题的关键．
5．A
【解析】分析：由点Q在第三象限可得出b＜0以及ab＞0，再根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=c2+4ab＞0，由此可得出原方程有两个不相等的实数根．
详解：∵点Q（b，a）在第三象限，∴a＜0，b＜0，∴ab＞0．
∵△=（﹣c）2﹣4b（﹣a）=c2+4ab＞0，∴关于x的方程bx2﹣cx﹣a=0有两个不相等的实数根．
故选A．
点睛：本题考查了根的判别式以及点的坐标，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．B
【解析】原方程可变形为（a+b）x2﹣2cx﹣（a﹣b）=0，
∵原方程有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2c）2﹣4（a+b）（a﹣b）=4c2+4b2﹣4a2=0，即a2=b2+c2．
∵a．b．c是△ABC的三边，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
7．D
【解析】【分析】先将方程4y2=12y+3转化为一般形式，然后再根据求根公式进行求解即可.
【详解】4y2=12y+3，
4y2-12y-3=0，
a=4，b=-12，c=-3，
b2-4ac=(-12)2-4×4×(-3)=192>0，
y=，
故选D.
8．B
【解析】试题分析：2x2－6x＋3＝0，
这里a＝2，b＝－6，c＝3，
∵△＝36－24＝12，
∴x＝＝，
即p＝；
2x2－2x－1＝0，
这里a＝2，b＝－2，c＝－1，
∵△＝4＋8＝12，
∴x＝＝，
即q＝；
则p＋q＝＋＝2．
故选：B．
点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a，b，c，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解．
9．C
【解析】A．∵x4＞0，∴x4+2=0无解，故本选项不符合题意；
B．∵≥0，∴= 1无解，故本选项不符合题意；
C．∵x2+2x 1=0， =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；
D．解分式方程=，可得x=1，经检验x=1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．
故选C．
10．D
【解析】试题解析：∵△=（2t）2﹣4（）≥0，∴t≥2，又∵m+n=2t，mn=，∴= === ，根据二次函数的性质，t≥-1时，函数值随t的增大而增大，∵t≥2，∴当t=2时，的值最小，此时==16，即最小值为16．故选D．
11．4
【解析】解：由题意得
x2-8x+12=-4，
∴x2-8x+16=0，
∴△=(-8)2-4×1×16=0,
∴ ,
∴时，代数式x2-8x+12的值是-4.
点睛：本题考查了一元二次方程的解法，由题意得x2-8x+12=-4，化为一般式x2-8x+16=0，然后选择合适的方法求解.
12．（x﹣1﹣）（x﹣1+）
【解析】试题分析：令x2－2x－1＝0，
解得：x＝1±，
则原式＝(x－1－)(x－1＋)．
故答案为：(x－1－)(x－1＋)．
点睛：此题考查了实数范围内分解因式，令原式等于0求出一元二次方程的解是解决此题的关键．
13．0
【解析】分析：根据一元二次方程的根的判别式△=0列出关于m的方程，通过解方程即可求得m的值．
详解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2-（2m-2）x-1=0有两个相等的实数根，
∴△=（2m-2）2+4（m-1）=0，且m-1≠0，
∴4m-1=0，m≠1
解得，m=0．
故答案是：0．
点睛：本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
14．
【解析】分析：先根据根的判别式得到a-1=，把原式变形为，然后代入即可得出结果.
详解：由题意得：△= ，∴ ，∴，即a(a-1)=1, ∴a-1=,
故答案为：-3.
点睛：本题考查了一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b -4ac：当△>0, 方程有两个不相等的实数根；当△<0, 方程没有实数根；当△=0，方程有两个,相等的实数根，也考查了一元二次方程的定义.
16．14
【解析】∵2是关于x的方程x2–2mx+3m=0的一个根，∴把x=2代入方程整理得：4–4m+3m=0，∴解得m=4，∴原方程为：x2–8x+12=0，∴方程的两个根分别是2，6，
又∵等腰△ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，∴若2是等腰△ABC的腰长，则2+2=4<6构不成三角形，∴等腰△ABC的腰长为6，底边长为2，∴△ABC的周长为：6+6+2=14，故答案为：14．
17．（1）x1=﹣1，x2=﹣3；（2），．
【解析】试题分析：（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据公式法，可得答案．
试题解析：解：（1）因式分解得：（x+1）（x+3）=0，∴x+1=0或x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3；
（2）∵a=3，b=10，c=5，△=b2﹣4ac=100﹣4×3×5=40＞0，∴x=，∴x1= ，x2= ．
18．（1）x1=，x2=（2）x1=2+，x2=2﹣（3）x1=，x2=（4）x1=﹣，x2=4
【解析】试题分析：(1)、利用公式法来进行求解，即，将a、b、c代入进行计算即可得出答案；(2)、利用配方法进行求解，得出方程的解；(3)、首先将方程整理成一般式，然后利用公式法求出方程的解；(4)、首先根据平方差公式将方程进行因式分解，然后求出方程的解．
试题解析：（1）x2﹣x﹣1=0； 这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5． x==，
所以：x1=，x2=．
（2）移项，得x2﹣4x=1， 配方，得x2﹣4x+4=1+4， 即（x﹣2）2=5．
两边开平方，得x﹣2=±， 即x=2±， 所以x1=2+，x2=2﹣．
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1， 整理，得2x2+2x﹣1=0， 这里a=2，b=2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（﹣1）=12．
x===，
即原方程的根为x1=，x2=．
（4）移项，得（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，
因式分解，得（x+3+1﹣2x）[x+3﹣（1﹣2x）]=0，
整理，得（3x+2）（﹣x+4）=0， 解得x1=﹣，x2=4．
点睛：本题主要考查的就是一元二次方程的解法，属于基础题型．解一元二次的主要方法有：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法．在利用配方法解方程时，我们首先需要将二次项系数化为1，方程的左边保留二次项和一次项，右边为常数项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后再利用直接开平方法求出方程的解．
19．（1）见解析；（2）k=-2，另一根为-3.
【解析】分析：（1）代入数据求出b2-4ac的值，由b2-4ac≥24可证出结论；
（2）将x=2代入到原方程中得到关于k的一元一次方程，解方程可得出k值，将k值代入到原方程，解方程即可得出方程的另外一根．
详解： 证明： ，
无论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
解：将代入方程中，
，即，
解得： ．
原方程为： ，即，
解得： ， ．
故k的值为，方程的另一根为．
20．（1）该方程有两个实数根；
（2）等腰三角形的周长为7或8，面积为或2．
【解析】分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（2k-3）2≥0，由此即可得出该方程有两个实数根；
（2）分3为底边长及腰长两种情况考虑：①当3为底边长是，由△=0可求出k值，将其代入原方程可求出三角形的腰长，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积；②当3为腰长时，将x=3代入原方程可求出k值，代入k值可求出等腰三角形的底边长度，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积．综上即可得出结论．
详解：（1）∵△=[-（2k+1）]2-4×4（k-）=4k2-12k+9=（2k-3）2≥0，
∴该方程有两个实数根；
（2）①当3为底边长时，△=（2k-3）2=0，
∴k=，
此时原方程为x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2．
∵2、2、3能组成三角形，
∴三角形的周长为2+2+3=7，三角形的面积为×3×
=；
②当3为腰长时，将x=3代入原方程，得：9-3×（2k+1）+4（k-）=0，
解得：k=2，
此时原方程为x2-5x+6=0，
解得：x1=2，x2=3．
∵2、3、3能组成三角形，
∴三角形的周长为2+3+3=8，三角形的面积为×2×．
综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或．
点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）分3为底边长及腰长两种情况考虑．
21．详见解析.
【解析】试题分析：（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
试题解析：
（1）解：令a＝3，b＝4则c＝5，写出一个“勾系一元二次方程”：3x ＋5x＋4＝0；
（2）证明：
∵△＝（c） 4ab＝2c 4ab＝2（a ＋b ） 4ab＝2（a 2ab＋b ）＝2（a b） ≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax ＋cx＋b＝0必有实数根；
（3）代入x＝ 1得a c＋b＝0，∴a＋b＝c．
由四边形ACDE的周长是得a＋b＋a＋b＋c＝，
∴2（a＋b）＋c＝，2c＋c＝，3c＝，c＝2，a＋b＝2，
∴2ab＝（a＋b） （a ＋b ）＝（a＋b） （c ）＝8 4＝4，
∴ab＝2，
∴△ABC面积＝ab＝1．
点睛：此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
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