《必修2》二轮复习要点突破
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《必修2》二轮复习要点突破
09高考趋势瞻望
功和能量也是力学中的重点内容，能的相互转化和守恒是自然界中最普遍、最基本的客观规律．用能量观点解题是解决动力学问题的简便途径之一．考题的内容经常与牛顿定律、曲线运动、动量以及电磁学等方面知识综合，过程复杂，难度较大，能很好的考查学生的综合分析能力和逻辑推理能力．因此，每年高考的压轴题、综合题经常涉及到这部分知识．例如：08年全国卷Ⅰ·24题的“平动的滑块与摆动小球”，08年山东卷·24题的“2008玩具轨道”，08年全国Ⅱ卷23题的“子弹射入桌边缘的物块”等处理这些多过程题目时，应将复杂的物理过程分解成若干个子过程，分析每一个过程的始末状态及物理过程中力、加速度、速度、能量的变化，对于生产、生活中的实际问题要建立相关物理模型，灵活运用牛顿定律、动能定理及机械能守恒等规律求解。
功和能
一、核心内容
1．功
(1)功是力对位移的积累，其作用效果是改变物体的能量，它与位移相对应，是标量．
(2)一对作用力和反作用力所做的功大小不一定相等，正负号也不一定相反．无论是静摩擦力还是滑动摩擦力都有可能做正功、负功或不做功，一对静摩擦力做功之和一定为零；一对滑动摩擦力做功之和必为负值．
(3)功率是描述做功快慢的物理量．由P=求平均功率．由P=Fvcosθ求瞬时功率．
2．动能定理
合外力做的功等于物体动能的变化．(这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力)．表达式为W=ΔEk．
动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化．当全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功．
3．机械能守恒定律
①机械能守恒定律的研究对象是系统，至少包括地球在内．通常我们说“小球的机械能守恒”其实也就是包括地球在内．另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度．
②当研究对象只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦力和介质阻力”来判定机械能是否守恒．
③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”．在该过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”．
④机械能守恒定律的表达形式有某些情况下，用后一种形式更方便，因为该形式不必规定重力势能的零势面．
4、功能关系和能量守恒定律
功是一个过程量，它和一段位移(或一段时间)相对应；而能是一个状态量，它与一个时刻相对应．两者的单位是相同的，但不能说“功就是能”，也不能说“功变成了能”．能量转化和守恒定律是自然界最基本的规律之一．而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色．即功是能的转化的量度．
①物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk．
②物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG=－ΔEp．
③物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其他=△E机，(W其他表示除重力以外的其他力做的功)．
④一对互为作用力和反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能．即Q=fd(d为这两个物体间相对移动的路程)．
二、典型问题
1．求变力做功的几种方法
(1)用转换对象法求变力做功
例1．如图1所示，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮(滑轮大小不计)，另一端被人拉着，人以大小为F的恒定拉力，将滑块沿水平面由A点拉至B点，滑块在A、B两点时细绳与水平方向夹角分别为α和β．求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功．
解析：由分析，绳子对滑块的拉力方向时刻改变，属于变力做功，不能直接求解．因此可采用转换对象法将研究对象由滑块转向“绳头”．设滑块由A运动到B过程中，“绳头”位移大小为Δh，由图1几何关系可求得：Δh=，又，联立得：
点评：W=Fscosθ是恒力做功的计算公式，在本题中，人拉绳头的力尽管恒定，但绳子对滑块的拉力方向时刻改变．但由于该变力的功和绳头处恒力的功相等，利用转换对象法巧妙的将变力功转化为恒力功，从而使问题迎刃而解．
(2)用微元法求变力做功
例2．如图2所示，质量为40 kg的物体，在一个水平外力作用下，沿直径为40 m的水平圆形轨道匀速运动一周，若物体与轨道间动摩擦因数为0.5，求水平外力在此过程中做功多少
解析：本题可采用微元法求解：即将圆周分成无限个小元段，在每一小元段ΔL上可认为物体做匀速直线运动，水平外力F大小等于摩擦力：
F=μmg=200 N
水平外力所做的功W1=F·ΔL1
在运动一周的过程中，水平外力做的总功即为各个小元段上做功的代数和W=W1+W2+…Wn=F·ΔL1+F·△L2+……F·△Ln
又ΔL1+△L2+……ΔLn=2πR
由以上式子得：W=200×2π×20 J=8π×103 J
点评：当力的大小不变、方向变化且位移的方向也同步变化时，可用微元法求解，此力做的功等于力和路程的乘积．由于变力F保持与速度在同一直线上，也可把往复运动或曲线运动的路线拉直考虑．如在抛体运动中，若空气阻力大小不变，则空气阻力做的功也采用此法求解．
(3)用动能定理法求变力做功
例3．如图3所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到等时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则在这一过程中细绳拉力对物体所做的功是： ( )
A．FR； B．FR； C．FR； D．零
解析：设当拉力为F时，小球的线速度为v1，有
①
拉力为时，小球的线速度为v2，有 ②
在这一过程中，设拉力对小球做的功为W，由动能定理得
W= ③
由①②③式得W=FR
点评：本题相当于小球做了变轨运动，在变轨过程中拉力逐渐减小，显然属于变力做功，不能用功的公式求解．但由于小球所受重力和支持均不做功，由此想到运用动能定理结合圆周运动向心力方程求解．另外，有同学认为细绳拉力充当小球做圆周运动的向心力，因此拉力不做功，错选为D．但应注意的是题目中求的是变轨过程中细绳拉力所做的功，而不是求稳定在某一个圆上时细绳拉力做的功．
(4)用图象法求变力做功
例4．用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm，若铁锤每次击钉做功都相等，问击第二次时，能击入多深
解析：因阻力F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F－x图象，如图4所示，函数图线与x轴所夹面积的数值等于F对铁钉做的功．
由于两次做功相等，故有：S1=S2(面积)
即
△x=x2－x1=0.41 cm
点评：一个看似复杂的变力做功问题，用常规方法无从下手，但通过图象变换，就使得解题过程简单、明了．
(5)用公式W=Pt求变力做功
例5．质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度达到最大值v，求机车的功率和在这段时间内机车克服阻力所做的功．
解析：(1)以恒定功率起动，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，牵引力与阻力相等，由此得机车功率为：P=Fv=fv=kmgv，
(2)该时间t内牵引力做功为：W=Pt，设机车克服阻力所做的功为Wf
根据动能定理：
由此得
点评：本题由于位移未知，求机车克服阻力所做的功无法直接求解．而运用动能定理求解，又需要表达出牵引力做功，但牵引力又是变力，至此有同学可能会陷入僵局．但头脑灵活、思维敏捷的同学会联想到功率恒定、时间已知，用W=Pt表达出牵引力做功，从而问题迎刃而解．
2、连接体的机械能守恒定律问题
(1)速率相等的连接体问题
例6．如图1所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球用轻绳跨过圆柱与小球m2相连，开始时让m1放在平台上，两边绳竖直，两球从静止开始m1上升m2下降．当m1上升到圆柱的最高点时，绳子突然断了，发现m1恰能做平抛运动抛出，求m2应为多大
解析：设圆柱的半径为R，当m1上升到圆柱最高点时，速度为v，m1在球顶恰能作平抛运动，则
①
由机械能守恒定律得
②
解得：
点评：本题以竖直平面内的圆周运动为背景，考查机械能守恒定律．解决这类问题时，要注意物体经过不同位置时速度不同，结合圆周运动的向心力方程、临界条件，从而列出方程．另外，求解本题还应注意到m1和m2尽管速度大小相等，但m2下降的高度和m1上升的高度并不相等．
(2)角速度相等的连接体问题
例7．如图2所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两只质量均为m的小球，O点是一垂直纸面的光滑水平轴．已知OA=L，BO=2L．使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力是多大
解析：设当B球转到O点正下方时速度分别为vA、vB，对这一过程，应用机械能守恒定律有：
mg2L一mgL= ①
由A、B两球角速度相等得： ②
设到最低点时杆对B球的拉力为T，则
③
联立①②③三式解得：T=1.8mg
由牛顿第三定律可知，B球对细杆的拉力等于1.8mg，方向竖直向下．
点评：有同学误认为杆对小球不做功，只列出B球的机械能守恒的方程，从而导致错误．绳的弹力一定沿绳的方向，杆施力的方向并不总沿杆的方向，本题中杆对a、b球既有沿杆的法向力，也有与杆垂直的切向力．所以杆对A、B都做了功，A、B的机械能都不守恒．但A、B组成的系统机械能守恒．
(3)分速度相等的连接体问题
例8．如图3所示，质量都为m的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上．细线长L=0.4 m，今将细线拉直后使A和B从同一高度上都由静止释放，当运动到使细线与水平方向成30°角时，A和B的速度分别为vA和vB，求vA和vB的大小(g取10 m/s2)
解析：当两环运动到使细线与水平方向成30°角时，将vA、vB分别沿细线和垂直细线分解，如图4所示，由分析知，它们在沿细线方向上的分速度v1和v3相等．
所以有
v1=vAsinθ ①
v3=vBcosθ ②
v1=v3 ③
又因两球组成的系统，机械能守恒，则有
mgLsinθ= ④
由①②③④代人数值得：，vB=l m／s．
点评：若系统内的物体通过不可伸长的细绳相连接，系统的机械能守恒，但只据机械能守恒定律不能解决问题，必须求出绳连物体的速度关联式，才能解答相应的问题．
三、典型错误警示
(1)由于盲目套用公式而导致错误
例1．一学生用100 N的力将质量为0.5 kg的球迅速踢出，球在水平路面上滚动20 m远，则该学生对球做的功是： ( )
A．2 000 J； B．1 000 J： C．16 J； D．无法确定．
错解：将F=100 N，s=20 m，代入功的公式．W=Fs得，W=2 000 J，因此选A．
分析纠错：学生对球做功的过程是球从静止到获得速度的过程，因而，运动员对球做的功应等于球动能的增量，但由于球获得的动能未知，做的功也就无法确定．本题正确答案为D．
点评：公式W=Fs中，s是在恒力F作用下的位移．而本题中100 N的力是学生踢球的瞬间施加给球的，球在水平地面上滚动20 m的过程中，球在水平方向只受空气阻力和地面阻力．显然，错解由于盲目套用公式而导致错误．
(2)混淆“相对位移”与“绝对位移”而导致错误
例2．如图1所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力： ( )
A．垂直于接触面，做功为零；
B．垂直于接触面，做功不为零；
C．不垂直于接触面，做功不为零；
D．不垂直于接触面；做功不为零．
错解：斜面对小物块的作用力与物体的位移垂直，故做功为零．即A项正确．
分析纠错：由于小物块下滑过程中斜劈在光滑的水平面上向右滑动，物块的位移方向从初位置指向终末位置，如图2所示，显然弹力和位移方向成一钝角，所以弹力对小物块做负功，即B选项正确．
点评：功的计算公式中，s为物体相对地面的位移，错解由于混淆“相对位移”与“绝对位移”而导致错误．
(3)混淆“人做功”与“某个具体力做功”而导致错误
例3．质量为m1、m2的两物体，静止在光滑的水平面上，质量为m0的人站在m1上用恒力F拉绳子，经过一段时间后，两物体的速度大小分别为v1和v2，位移分别为s1和s2，如图3所示．则这段时间内此人所做的功的大小等于： ( )
A．Fs2； B．F(s1+s2)； C． D．．
错解：人所做的功等于拉力F对物体m2所做的功W=F·s2，由动能定理可得：Fs2=，即AD正确．
分析纠错：根据能量守恒可知，人通过做功消耗的化学能将全部转化为物体m1和m2的动能以及人的动能．所以人做的功的大小等于
F(sl+s2)= ，即B、C两选项正确．
点评：人做的功就是人体消耗化学能的量度，本题三者动能的增量均来源于人所做的功，而不少学生片面地认为只是人对其他物体作用力所做的功，从而导致错误．
(4)把变力当恒力而导致错误
例4．如图4所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功是： ( )
A．FLcosθ； B．FLsinθ；
C．FL(1－cosθ)； D．mgL(1－cosθ)．
错解：WF=Fs而得出WF=FLsinθ，选B
分析纠错：F缓慢地拉，即每个状态都是平衡的，从而可求得，F=mgtanθ，显然F为变力，只能用动能定理求解．WF=mgL(1－cosθ)=0，从而得，WF=mgL(1－cosθ)，选D．
点评：在求功公式W=Fscosα中，F是恒力，即在力做功过程中，F的大小、方向都不变，当F是变力时，不能直接套用该公式求解．本题中若F为恒力(如电场力)，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的．选B、D．
(5)由于对机械能守恒条件把握不准而导致错误
例5．如图5所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接，且m、M及M与地面间接触光滑，开始时，m与M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2．在两物体开始运动以后的整个运动过程中(弹簧形变不超过其弹性限度)，下面正确的说法是： ( )
A．对m、M和弹簧组成的系统，机械能守恒；
B．对m、M和弹簧组成的系统，动能不断增加；
C．对m、M和弹簧组成的系统，机械能不断增加；
D．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M的动能最大．
错解一：由于F1、F2等大反向，m、M和弹簧组成的系统所受合外力为零，因而，系统机械能守恒，A正确．
错解二：由于F1、F2对m、M都做正功，系统动能不断增加，而且弹簧形变量也不断增加，故机械能不断增加，BC正确．
分析纠错：开始阶段，拉力大于弹簧的弹力，F1、F2对m、M均做正功，故系统的机械能不断增加．随着弹簧形变量的增加，当拉力等于弹力时，物体速度最大、动能最大．之后随着弹簧形变量的增加，拉力小于弹力，物体开始做减速运动，动能不断减小．速度减小到零后，物体反向运动，拉力F1、F2均开始做负功，故系统机械能减小．所以，本题正确答案为D．
点评：机械能守恒的条件是除重力和弹簧的弹力外，没有其他力做功，而不是合外力为零．错解一是因为对机械能守恒的条件把握不准而导致错误．错解二是因为对运动过程分析不完整而导致错误．
(6)由于忽视机械能的瞬时损失而导致错误
例6．如图6所示，摆球质量为m，摆线长为L，若将小球拉至摆线与水平方向夹30°角的P点处，然后自由释放，试计算摆球到达最低点时摆线中的张力大小．
错解：对全过程进行分析，设小球到达最低点时速度为v，由机械能守恒，有
mgL(1+sinα)=mv2 ①
在最低点，设绳子拉力为F，有F—mg= ②
解得F=4mg
分析纠错：质点的运动可分为三个过程：
第一过程：设运动至B点，绳伸直，如图7所示．设绳即将伸直时，绳与水平方向的夹角为β，小球速度为v；不难看出，β=α=30°，P→B，小球做自由落体运动，则有
v2=2g·2Lsinα ①
第二过程：绳绷直过程，将小球在B点的速度如图分解，由于绳不可伸长，故绳绷直时，vy立即减为0，损失机械能，质点仅剩速度vx，vx=vcosβ ②
第三过程：小球做圆周运动B→A，设质点到达A点时，速度为vA，根据机械能守恒守律有：
③
在最低点，F—mg= ④
由①②③④式得F=mg
点评：绳子拉直瞬间，物体将损失机械能，转化为绳的内能(类似碰撞)．本题中很多同学错误认为球初态机械能等于未态机械能，原因是错误忽略了绳拉直的短暂过程．因此力学问题中的“过程”、“状态”是非常重要的，万万不可粗心忽略．
掌握万有引力定律的六个关键
万有引力定律是高中物理的重点内容之一，也是高考热点之一，虽然题目变化多端，但究其实质仍是万有引力提供物体做圆周运动的向心力．解决此类问题要抓住以下六个关键：
关键一、知道公式及其适用范围
万有引力定律的公式F=只适用于两质点间的相互作用；但当两物体间的距离远大于物体本身的大小(如太阳和地球，地球和月球等)时，此公式也近似适用，不过此时的r表示两物体质心间的距离．
关键二、牢固掌握解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式：
(2)在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即mg=所以gR2=GM
在不知地球质量的情况下可用其半径和表面的重力加速度来表示，此式在天体运动问题中经常应用，称为黄金代换式．
关键三、会运用“四个推论”解题
推论(1)．已知天体的某卫星的轨道半径r、运行周期T，则天体的质量为
推论(2)．设天体为球体，卫星运动周期为T，若R为天体的半径，则天体的平均密度为ρ=；若天体的卫星绕天体表面运行，其轨道半径r等于天体半径R，天体的密度为ρ=，即ρT2=常量
推论(3)．已知地球表面的重力加速度为g，则离地面h高处的重力加速度为
推论(4)．同一天体的所有卫星有=常量(T和R分别为卫星的周期和轨道半径)．
关键四、熟记有关常用数据
(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103 km，表面重力加速度g=9.8 m/s2
(2)月球的公转周期为1月(约27.3天，在一般估算中常取27天)
(3)人造地球卫星的运行半径最小为r=6.4×103 km，运行周期最小为T=84.8分钟，运行速度最大为v=7.9 km/s．
关键五、知道同步卫星的几个定值
地球同步卫星是指相对于地面静止的、运行周期与地球的自转周期(T=24 h)相等的卫星，这种卫星一般用于通信，又叫做同步通信卫星．其特点可概括为“五个一定”．
(1)位置一定(必须位于地球赤道上空)
(2)周期一定(T=24 h)
(3)高度一定(h≈3.6×104 km)
(4)速率一定(v≈3.1 km/s)
(5)运行方向一定(自西向东运行)
地球同步卫星只能分布在赤道正上方的一条轨道上．从理论上讲，为了使卫星间不互相干扰，大约3°左右才能放置一颗卫星，地球的同步通信卫星的位置有120个，但对于某个国家或地区而言，有许多位置是无效的，由数学知识及以上数据可算出一颗同步卫星可覆盖大于的地球面积，故均匀分布的三颗同步卫星就可覆盖全球．同时同步卫星必须自西向东运行，才可以与地球保持相对静止，故发射阶段，火箭在合适之时应朝东输送，以便利用地球自转动能，节省火箭燃料．
关键六、注意几组概念的区别
1．人造卫星的发射速度、运行速度
发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置时的初速度，要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度，即最小发射速度是7.9 km/s；若要发射一颗轨道半径大于地球半径的人造卫星，发射速度必须大于7.9 km/s．
运行速度是指卫星在进入运行轨道后绕地球运行时的线速度．当卫星“贴着”地面(即近地)飞行时，运行速度等于第一宇宙速度，当卫星的轨道半径大于地球半径时，运行速度小于第一宇宙速度，所以最大运行速度是7.9 km/s．
2．“近地卫星”与“赤道上的物体”
“近地卫星”指环绕地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，由于距地面的高度远小于地球半径，因此在粗略计算中总把其运行轨道半径近似为地球半径，“近地卫星”的向心力等于地球对卫星的万有引力大小，卫星处于完全失重状态．
“赤道上的物体”随地球的自转也在做圆周运动，其半径等于地球半径．“赤道上的物体”周期与地球自转周期相同T自≈24 h，随地球自转的向心力是由地球对物体万有引力的一个分力来提供，其大小为F=
3．应注意公式和中“r”的不同
万有引力公式F=中的“r”是指可视为质点的两个物体(M、m)之间的距离；而圆周运动向心力公式F=中的“r”是指物体做圆周运动的曲率半径．因此两者的物理意义完全不同，不能混淆．通常情况下当一个天体绕另一个中心天体做匀速圆周运动时，这两个“r”在数值上相等．
09高考趋势瞻望
功和能量也是力学中的重点内容，能的相互转化和守恒是自然界中最普遍、最基本的客观规律．用能量观点解题是解决动力学问题的简便途径之一．考题的内容经常与牛顿定律、曲线运动、动量以及电磁学等方面知识综合，过程复杂，难度较大，能很好的考查学生的综合分析能力和逻辑推理能力．因此，每年高考的压轴题、综合题经常涉及到这部分知识．例如：08年全国卷Ⅰ·24题的“平动的滑块与摆动小球”，08年山东卷·24题的“2008玩具轨道”，08年全国Ⅱ卷23题的“子弹射入桌边缘的物块”等处理这些多过程题目时，应将复杂的物理过程分解成若干个子过程，分析每一个过程的始末状态及物理过程中力、加速度、速度、能量的变化，对于生产、生活中的实际问题要建立相关物理模型，灵活运用牛顿定律、动能定理及机械能守恒等规律求解。
功和能
一、核心内容
1．功
(1)功是力对位移的积累，其作用效果是改变物体的能量，它与位移相对应，是标量．
(2)一对作用力和反作用力所做的功大小不一定相等，正负号也不一定相反．无论是静摩擦力还是滑动摩擦力都有可能做正功、负功或不做功，一对静摩擦力做功之和一定为零；一对滑动摩擦力做功之和必为负值．
(3)功率是描述做功快慢的物理量．由P=求平均功率．由P=Fvcosθ求瞬时功率．
2．动能定理
合外力做的功等于物体动能的变化．(这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力)．表达式为W=ΔEk．
动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化．当全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功．
3．机械能守恒定律
①机械能守恒定律的研究对象是系统，至少包括地球在内．通常我们说“小球的机械能守恒”其实也就是包括地球在内．另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度．
②当研究对象只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦力和介质阻力”来判定机械能是否守恒．
③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”．在该过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”．
④机械能守恒定律的表达形式有某些情况下，用后一种形式更方便，因为该形式不必规定重力势能的零势面．
4、功能关系和能量守恒定律
功是一个过程量，它和一段位移(或一段时间)相对应；而能是一个状态量，它与一个时刻相对应．两者的单位是相同的，但不能说“功就是能”，也不能说“功变成了能”．能量转化和守恒定律是自然界最基本的规律之一．而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色．即功是能的转化的量度．
①物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk．
②物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG=－ΔEp．
③物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其他=△E机，(W其他表示除重力以外的其他力做的功)．
④一对互为作用力和反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能．即Q=fd(d为这两个物体间相对移动的路程)．
二、典型问题
1．求变力做功的几种方法
(1)用转换对象法求变力做功
例1．如图1所示，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮(滑轮大小不计)，另一端被人拉着，人以大小为F的恒定拉力，将滑块沿水平面由A点拉至B点，滑块在A、B两点时细绳与水平方向夹角分别为α和β．求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功．
解析：由分析，绳子对滑块的拉力方向时刻改变，属于变力做功，不能直接求解．因此可采用转换对象法将研究对象由滑块转向“绳头”．设滑块由A运动到B过程中，“绳头”位移大小为Δh，由图1几何关系可求得：Δh=，又，联立得：
点评：W=Fscosθ是恒力做功的计算公式，在本题中，人拉绳头的力尽管恒定，但绳子对滑块的拉力方向时刻改变．但由于该变力的功和绳头处恒力的功相等，利用转换对象法巧妙的将变力功转化为恒力功，从而使问题迎刃而解．
(2)用微元法求变力做功
例2．如图2所示，质量为40 kg的物体，在一个水平外力作用下，沿直径为40 m的水平圆形轨道匀速运动一周，若物体与轨道间动摩擦因数为0.5，求水平外力在此过程中做功多少
解析：本题可采用微元法求解：即将圆周分成无限个小元段，在每一小元段ΔL上可认为物体做匀速直线运动，水平外力F大小等于摩擦力：
F=μmg=200 N
水平外力所做的功W1=F·ΔL1
在运动一周的过程中，水平外力做的总功即为各个小元段上做功的代数和W=W1+W2+…Wn=F·ΔL1+F·△L2+……F·△Ln
又ΔL1+△L2+……ΔLn=2πR
由以上式子得：W=200×2π×20 J=8π×103 J
点评：当力的大小不变、方向变化且位移的方向也同步变化时，可用微元法求解，此力做的功等于力和路程的乘积．由于变力F保持与速度在同一直线上，也可把往复运动或曲线运动的路线拉直考虑．如在抛体运动中，若空气阻力大小不变，则空气阻力做的功也采用此法求解．
(3)用动能定理法求变力做功
例3．如图3所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到等时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则在这一过程中细绳拉力对物体所做的功是： ( )
A．FR； B．FR； C．FR； D．零
解析：设当拉力为F时，小球的线速度为v1，有
①
拉力为时，小球的线速度为v2，有 ②
在这一过程中，设拉力对小球做的功为W，由动能定理得
W= ③
由①②③式得W=FR
点评：本题相当于小球做了变轨运动，在变轨过程中拉力逐渐减小，显然属于变力做功，不能用功的公式求解．但由于小球所受重力和支持均不做功，由此想到运用动能定理结合圆周运动向心力方程求解．另外，有同学认为细绳拉力充当小球做圆周运动的向心力，因此拉力不做功，错选为D．但应注意的是题目中求的是变轨过程中细绳拉力所做的功，而不是求稳定在某一个圆上时细绳拉力做的功．
(4)用图象法求变力做功
例4．用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm，若铁锤每次击钉做功都相等，问击第二次时，能击入多深
解析：因阻力F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F－x图象，如图4所示，函数图线与x轴所夹面积的数值等于F对铁钉做的功．
由于两次做功相等，故有：S1=S2(面积)
即
△x=x2－x1=0.41 cm
点评：一个看似复杂的变力做功问题，用常规方法无从下手，但通过图象变换，就使得解题过程简单、明了．
(5)用公式W=Pt求变力做功
例5．质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度达到最大值v，求机车的功率和在这段时间内机车克服阻力所做的功．
解析：(1)以恒定功率起动，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，牵引力与阻力相等，由此得机车功率为：P=Fv=fv=kmgv，
(2)该时间t内牵引力做功为：W=Pt，设机车克服阻力所做的功为Wf
根据动能定理：
由此得
点评：本题由于位移未知，求机车克服阻力所做的功无法直接求解．而运用动能定理求解，又需要表达出牵引力做功，但牵引力又是变力，至此有同学可能会陷入僵局．但头脑灵活、思维敏捷的同学会联想到功率恒定、时间已知，用W=Pt表达出牵引力做功，从而问题迎刃而解．
2、连接体的机械能守恒定律问题
(1)速率相等的连接体问题
例6．如图1所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球用轻绳跨过圆柱与小球m2相连，开始时让m1放在平台上，两边绳竖直，两球从静止开始m1上升m2下降．当m1上升到圆柱的最高点时，绳子突然断了，发现m1恰能做平抛运动抛出，求m2应为多大
解析：设圆柱的半径为R，当m1上升到圆柱最高点时，速度为v，m1在球顶恰能作平抛运动，则
①
由机械能守恒定律得
②
解得：
点评：本题以竖直平面内的圆周运动为背景，考查机械能守恒定律．解决这类问题时，要注意物体经过不同位置时速度不同，结合圆周运动的向心力方程、临界条件，从而列出方程．另外，求解本题还应注意到m1和m2尽管速度大小相等，但m2下降的高度和m1上升的高度并不相等．
(2)角速度相等的连接体问题
例7．如图2所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两只质量均为m的小球，O点是一垂直纸面的光滑水平轴．已知OA=L，BO=2L．使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力是多大
解析：设当B球转到O点正下方时速度分别为vA、vB，对这一过程，应用机械能守恒定律有：
mg2L一mgL= ①
由A、B两球角速度相等得： ②
设到最低点时杆对B球的拉力为T，则
③
联立①②③三式解得：T=1.8mg
由牛顿第三定律可知，B球对细杆的拉力等于1.8mg，方向竖直向下．
点评：有同学误认为杆对小球不做功，只列出B球的机械能守恒的方程，从而导致错误．绳的弹力一定沿绳的方向，杆施力的方向并不总沿杆的方向，本题中杆对a、b球既有沿杆的法向力，也有与杆垂直的切向力．所以杆对A、B都做了功，A、B的机械能都不守恒．但A、B组成的系统机械能守恒．
(3)分速度相等的连接体问题
例8．如图3所示，质量都为m的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上．细线长L=0.4 m，今将细线拉直后使A和B从同一高度上都由静止释放，当运动到使细线与水平方向成30°角时，A和B的速度分别为vA和vB，求vA和vB的大小(g取10 m/s2)
解析：当两环运动到使细线与水平方向成30°角时，将vA、vB分别沿细线和垂直细线分解，如图4所示，由分析知，它们在沿细线方向上的分速度v1和v3相等．
所以有
v1=vAsinθ ①
v3=vBcosθ ②
v1=v3 ③
又因两球组成的系统，机械能守恒，则有
mgLsinθ= ④
由①②③④代人数值得：，vB=l m／s．
点评：若系统内的物体通过不可伸长的细绳相连接，系统的机械能守恒，但只据机械能守恒定律不能解决问题，必须求出绳连物体的速度关联式，才能解答相应的问题．
三、典型错误警示
(1)由于盲目套用公式而导致错误
例1．一学生用100 N的力将质量为0.5 kg的球迅速踢出，球在水平路面上滚动20 m远，则该学生对球做的功是： ( )
A．2 000 J； B．1 000 J： C．16 J； D．无法确定．
错解：将F=100 N，s=20 m，代入功的公式．W=Fs得，W=2 000 J，因此选A．
分析纠错：学生对球做功的过程是球从静止到获得速度的过程，因而，运动员对球做的功应等于球动能的增量，但由于球获得的动能未知，做的功也就无法确定．本题正确答案为D．
点评：公式W=Fs中，s是在恒力F作用下的位移．而本题中100 N的力是学生踢球的瞬间施加给球的，球在水平地面上滚动20 m的过程中，球在水平方向只受空气阻力和地面阻力．显然，错解由于盲目套用公式而导致错误．
(2)混淆“相对位移”与“绝对位移”而导致错误
例2．如图1所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力： ( )
A．垂直于接触面，做功为零；
B．垂直于接触面，做功不为零；
C．不垂直于接触面，做功不为零；
D．不垂直于接触面；做功不为零．
错解：斜面对小物块的作用力与物体的位移垂直，故做功为零．即A项正确．
分析纠错：由于小物块下滑过程中斜劈在光滑的水平面上向右滑动，物块的位移方向从初位置指向终末位置，如图2所示，显然弹力和位移方向成一钝角，所以弹力对小物块做负功，即B选项正确．
点评：功的计算公式中，s为物体相对地面的位移，错解由于混淆“相对位移”与“绝对位移”而导致错误．
(3)混淆“人做功”与“某个具体力做功”而导致错误
例3．质量为m1、m2的两物体，静止在光滑的水平面上，质量为m0的人站在m1上用恒力F拉绳子，经过一段时间后，两物体的速度大小分别为v1和v2，位移分别为s1和s2，如图3所示．则这段时间内此人所做的功的大小等于： ( )
A．Fs2； B．F(s1+s2)； C． D．．
错解：人所做的功等于拉力F对物体m2所做的功W=F·s2，由动能定理可得：Fs2=，即AD正确．
分析纠错：根据能量守恒可知，人通过做功消耗的化学能将全部转化为物体m1和m2的动能以及人的动能．所以人做的功的大小等于
F(sl+s2)= ，即B、C两选项正确．
点评：人做的功就是人体消耗化学能的量度，本题三者动能的增量均来源于人所做的功，而不少学生片面地认为只是人对其他物体作用力所做的功，从而导致错误．
(4)把变力当恒力而导致错误
例4．如图4所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功是： ( )
A．FLcosθ； B．FLsinθ；
C．FL(1－cosθ)； D．mgL(1－cosθ)．
错解：WF=Fs而得出WF=FLsinθ，选B
分析纠错：F缓慢地拉，即每个状态都是平衡的，从而可求得，F=mgtanθ，显然F为变力，只能用动能定理求解．WF=mgL(1－cosθ)=0，从而得，WF=mgL(1－cosθ)，选D．
点评：在求功公式W=Fscosα中，F是恒力，即在力做功过程中，F的大小、方向都不变，当F是变力时，不能直接套用该公式求解．本题中若F为恒力(如电场力)，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的．选B、D．
(5)由于对机械能守恒条件把握不准而导致错误
例5．如图5所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接，且m、M及M与地面间接触光滑，开始时，m与M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2．在两物体开始运动以后的整个运动过程中(弹簧形变不超过其弹性限度)，下面正确的说法是： ( )
A．对m、M和弹簧组成的系统，机械能守恒；
B．对m、M和弹簧组成的系统，动能不断增加；
C．对m、M和弹簧组成的系统，机械能不断增加；
D．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M的动能最大．
错解一：由于F1、F2等大反向，m、M和弹簧组成的系统所受合外力为零，因而，系统机械能守恒，A正确．
错解二：由于F1、F2对m、M都做正功，系统动能不断增加，而且弹簧形变量也不断增加，故机械能不断增加，BC正确．
分析纠错：开始阶段，拉力大于弹簧的弹力，F1、F2对m、M均做正功，故系统的机械能不断增加．随着弹簧形变量的增加，当拉力等于弹力时，物体速度最大、动能最大．之后随着弹簧形变量的增加，拉力小于弹力，物体开始做减速运动，动能不断减小．速度减小到零后，物体反向运动，拉力F1、F2均开始做负功，故系统机械能减小．所以，本题正确答案为D．
点评：机械能守恒的条件是除重力和弹簧的弹力外，没有其他力做功，而不是合外力为零．错解一是因为对机械能守恒的条件把握不准而导致错误．错解二是因为对运动过程分析不完整而导致错误．
(6)由于忽视机械能的瞬时损失而导致错误
例6．如图6所示，摆球质量为m，摆线长为L，若将小球拉至摆线与水平方向夹30°角的P点处，然后自由释放，试计算摆球到达最低点时摆线中的张力大小．
错解：对全过程进行分析，设小球到达最低点时速度为v，由机械能守恒，有
mgL(1+sinα)=mv2 ①
在最低点，设绳子拉力为F，有F—mg= ②
解得F=4mg
分析纠错：质点的运动可分为三个过程：
第一过程：设运动至B点，绳伸直，如图7所示．设绳即将伸直时，绳与水平方向的夹角为β，小球速度为v；不难看出，β=α=30°，P→B，小球做自由落体运动，则有
v2=2g·2Lsinα ①
第二过程：绳绷直过程，将小球在B点的速度如图分解，由于绳不可伸长，故绳绷直时，vy立即减为0，损失机械能，质点仅剩速度vx，vx=vcosβ ②
第三过程：小球做圆周运动B→A，设质点到达A点时，速度为vA，根据机械能守恒守律有：
③
在最低点，F—mg= ④
由①②③④式得F=mg
点评：绳子拉直瞬间，物体将损失机械能，转化为绳的内能(类似碰撞)．本题中很多同学错误认为球初态机械能等于未态机械能，原因是错误忽略了绳拉直的短暂过程．因此力学问题中的“过程”、“状态”是非常重要的，万万不可粗心忽略．
掌握万有引力定律的六个关键
万有引力定律是高中物理的重点内容之一，也是高考热点之一，虽然题目变化多端，但究其实质仍是万有引力提供物体做圆周运动的向心力．解决此类问题要抓住以下六个关键：
关键一、知道公式及其适用范围
万有引力定律的公式F=只适用于两质点间的相互作用；但当两物体间的距离远大于物体本身的大小(如太阳和地球，地球和月球等)时，此公式也近似适用，不过此时的r表示两物体质心间的距离．
关键二、牢固掌握解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式：
(2)在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即mg=所以gR2=GM
在不知地球质量的情况下可用其半径和表面的重力加速度来表示，此式在天体运动问题中经常应用，称为黄金代换式．
关键三、会运用“四个推论”解题
推论(1)．已知天体的某卫星的轨道半径r、运行周期T，则天体的质量为
推论(2)．设天体为球体，卫星运动周期为T，若R为天体的半径，则天体的平均密度为ρ=；若天体的卫星绕天体表面运行，其轨道半径r等于天体半径R，天体的密度为ρ=，即ρT2=常量
推论(3)．已知地球表面的重力加速度为g，则离地面h高处的重力加速度为
推论(4)．同一天体的所有卫星有=常量(T和R分别为卫星的周期和轨道半径)．
关键四、熟记有关常用数据
(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103 km，表面重力加速度g=9.8 m/s2
(2)月球的公转周期为1月(约27.3天，在一般估算中常取27天)
(3)人造地球卫星的运行半径最小为r=6.4×103 km，运行周期最小为T=84.8分钟，运行速度最大为v=7.9 km/s．
关键五、知道同步卫星的几个定值
地球同步卫星是指相对于地面静止的、运行周期与地球的自转周期(T=24 h)相等的卫星，这种卫星一般用于通信，又叫做同步通信卫星．其特点可概括为“五个一定”．
(1)位置一定(必须位于地球赤道上空)
(2)周期一定(T=24 h)
(3)高度一定(h≈3.6×104 km)
(4)速率一定(v≈3.1 km/s)
(5)运行方向一定(自西向东运行)
地球同步卫星只能分布在赤道正上方的一条轨道上．从理论上讲，为了使卫星间不互相干扰，大约3°左右才能放置一颗卫星，地球的同步通信卫星的位置有120个，但对于某个国家或地区而言，有许多位置是无效的，由数学知识及以上数据可算出一颗同步卫星可覆盖大于的地球面积，故均匀分布的三颗同步卫星就可覆盖全球．同时同步卫星必须自西向东运行，才可以与地球保持相对静止，故发射阶段，火箭在合适之时应朝东输送，以便利用地球自转动能，节省火箭燃料．
关键六、注意几组概念的区别
1．人造卫星的发射速度、运行速度
发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置时的初速度，要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度，即最小发射速度是7.9 km/s；若要发射一颗轨道半径大于地球半径的人造卫星，发射速度必须大于7.9 km/s．
运行速度是指卫星在进入运行轨道后绕地球运行时的线速度．当卫星“贴着”地面(即近地)飞行时，运行速度等于第一宇宙速度，当卫星的轨道半径大于地球半径时，运行速度小于第一宇宙速度，所以最大运行速度是7.9 km/s．
2．“近地卫星”与“赤道上的物体”
“近地卫星”指环绕地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，由于距地面的高度远小于地球半径，因此在粗略计算中总把其运行轨道半径近似为地球半径，“近地卫星”的向心力等于地球对卫星的万有引力大小，卫星处于完全失重状态．
“赤道上的物体”随地球的自转也在做圆周运动，其半径等于地球半径．“赤道上的物体”周期与地球自转周期相同T自≈24 h，随地球自转的向心力是由地球对物体万有引力的一个分力来提供，其大小为F=
3．应注意公式和中“r”的不同
万有引力公式F=中的“r”是指可视为质点的两个物体(M、m)之间的距离；而圆周运动向心力公式F=中的“r”是指物体做圆周运动的曲率半径．因此两者的物理意义完全不同，不能混淆．通常情况下当一个天体绕另一个中心天体做匀速圆周运动时，这两个“r”在数值上相等．
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