第01章章末检测-试题2017-2018学年高二数学人教版（选修2-3）

第一章 计数原理
章末检测
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的解是
A．n=6 B．n=5
C．n=5或1 D．以上都不对
2．设∈N*，且，则（20?）（21?)···（100?）等于
A． B．
C． D．
3．有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字,如果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套,则不同的配套方法共有
A．7种 B．12种
C．64种 D．81种
4．的展开式中的系数为
A．10 B．20
C．40 D．80
5．将编号为的小球放入编号为的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有
A．16种 B．12种
C．9种 D．6种
6．的展开式中的系数为
A．?40 B．40
C．30 D．?30
7．“中国梦”的英文翻译为“ ”，其中又可以简写为，从“ ”中取6个不同的字母排成一排，含有“” 字母组合（顺序不变）的不同排列共有
A．360种 B．480种
C．600种 D．720种
8．第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为
A．540 B．300
C．180 D．150
9．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有
A．24 B．48
C．96 D．120
10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每“艺”安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座的不同排课顺序共有
A．种 B．种
C．种 D．种
11．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为
A． B．
C． D．
12．若,则的值为
A．2 B．0
C．?1 D．?2
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）
14．二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为__________．
15．将五个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种.(结果用数值作答)
16．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：；
（2）解不等式：.
18．对二项式（1?x）10.
（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项；
（2）求展开式中各二项式系数之和；
（3）写出展开式中系数最大的项.
19．已知（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列.
（1）求的值；
（2）写出展开式中的所有有理项.
20．函数（为实数且是常数）.
（1）已知的展开式中的系数为,求的值；
（2）已知,若在定义域中取任意值时,都有恒成立,求出的取值范围.
21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.
（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？
22．5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人.
（1）求两名女生相邻而站的概率；
（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
B
C
B
D
C
D
C
A
A
C
1．【答案】B
【解析】将代入方程式，即，显然不成立，故A错；
将代入方程式，即，不成立，故C错；
将代入方程式，即，成立，故B正确，D错，
故选B．
2．【答案】C
【解析】由题意可得：共有项，所以（20?）（21?)···（100?）=，故选C．
【名师点睛】本题考查排列及排列数公式，易错点在于项数的计算，属于基础题．
3．【答案】B
【名师点睛】分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的基础，经常要对问题进行分类或者分步进而分析求解．
（1）“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情．“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件．
（2）分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法．
4．【答案】C
【解析】由题可得，令,则，所以的展开式中的系数为，故选C．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题.写出，然后即可得结果
5．【答案】B
【名师点睛】利用分类讨论，求解每一种类型的放球方法数，然后利用分类加法计数原理求解即可．分类时要注意以下两点：
（1）要根据问题的特点确定一个适合的分类标准，然后在这个标准下进行分类；
（2）分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法．只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
6．【答案】D
【解析】的展开式的通项公式为：.
令，得，得到：；
令，得，得到：.
所以的展开式中的系数为.
故选D．
【名师点睛】先求展开式的通项公式，再由和分别与通项结合得的系数.求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
7．【答案】C
【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“”进行全排列,共有种,故选C．
【名师点睛】排列与组合的主要区别就是有序和无序，元素顺序不同结果不同的为排列；元素顺序不同，结果相同的为组合．
8．【答案】D
【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理及排列组合的应用，求解时，将人分成满足题意的组有与两种，分别计算两类情况的种数，再分配到三个不同的展馆，即可得到结果．
有关排列组合的综合问题，往往需要两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题时理解题意很关键，一定要多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
9．【答案】C
【解析】若颜色相同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，只有1种涂法，故共有种；
若颜色不同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，当和相同时，有2种涂法，当和不同时，只有1种涂法，故共有种，
根据分类加法计数原理可得，共有种，故选C．
【名师点睛】（1）排列组合问题在几何方面的应用，常常通过等价转化以便于列式计算，转化的方法是选出一组研究对象重点研究．
（2）本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理及排列组合的应用，属于难题.求解时，分两种情况进行讨论，第一类相同颜色，第二类不同颜色，分别利用分步乘法计数原理求解，然后求和即可.
10．【答案】A
【名师点睛】该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.在解决本题问题时，一是注意对“数”的位置分三种情况，二是当“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节.
11．【答案】A
【解析】从10部专著中选择2部的所有结果有种．
设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为
．
由古典概型概率公式可得．
故选A．
【名师点睛】解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A包含的基本事件的个数，然后按照公式求解．
12．【答案】C
【解析】在二项展开式中，令，得.
令，得.
∴．
故选C．
【名师点睛】因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．解本题时，令求得的值，再令得到的值，两式相减可得结果．
13．【答案】
【名师点睛】对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项．另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题．解本题时，先添加括号，利用二项式定理展开，再根据展开式特点确定的系数组成，最后求和得结果.
14．【答案】
【解析】∵二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，
∴，即，
∴展开式中的第项为，故答案为．
【名师点睛】先由奇数项的二项式系数之和为32确定n值，然后根据二项展开式通项公式求出第4项即可.熟记二项式系数和：C＋C＋C＋···＋C＝2n源于(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋···＋Cbn中令a＝1，b＝1，即得到C＋C＋C＋···＋Cbn＝2n.
15．【答案】80
【解析】当都在的左侧时，按的位置分类：
当在第三个位置时，共有种不同的排法；
当在第四个位置时，共有种不同的排法；
当在第五个位置时，共有种不同的排法，
所以当都在的左侧时，共有种不同的排法，
所以都在的同侧时，共有种不同的排法.
【名师点睛】解排列、组合应用题的解题策略：
(1)特殊元素优先安排的策略；
(2)合理分类和准确分步的策略；
(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；
(4)正难则反、等价转化的策略；
(5)相邻问题捆绑处理的策略；
(6)不相邻问题插空处理的策略；
(7)定序问题除序处理的策略；
(8)分排问题直排处理的策略；
(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；
(10)构造模型的策略．
简单记成：
合理分类，准确分步；特殊优先，一般在后；先取后排，间接排除；
集团捆绑，间隔插空；抽象问题，构造模型；均分除序，定序除序．
16．【答案】
【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理及排列组合的应用，属于难题.解本题时，分三种情况讨论，即分别求出甲、乙都入选，甲不入选、乙入选，甲、乙都不入选相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.
17．【答案】（1）466；（2）.
【解析】（1）由题意得,解得
又由，可得n=10.
所以.
【名师点睛】（1）根据组合数的性质，有3n≥38?n且21+n≥3n，解不等式组可得n的取值范围，结合n是整数，可得n的值为10，代入组合数公式中计算可得答案；
（2）首先运用排列公式可将原不等式化简整理变形为，解可得x的范围，再由排列的性质可得，且，取交集可得答案．
18．【答案】（1）中间项为第6项，?252x?5；（2）1024；（3）210x?4，210x?6.
【解析】（1）由题意可知：r=0，1，2，···，11，展开式共11项，?
所以中间项为第6项：T?6=（?x）5=?252x?5.?
（2）展开式中各二项式系数之和为.
（3）∵展开式中中间项T?6的系数为负，
∴展开式中系数最大的项为T?5和T?7，?
又T?5=x?4=210x?4，T?7=x?6=210x?6，
∴展开式中系数最大的项为210x?4，210x?6.
【名师点睛】对于本题，（1）根据二项展开式得中间项为第6项，再根据二项展开式通项公式求结果；（2）赋值法求各项系数和，令x=1即得结果；（3）系数最大的项的系数必为正数，再根据二项式系数性质确定系数最大的项.
要特别注意二项式系数最大项的确定方法：
①如果是偶数，则中间一项(第项)的二项式系数最大；
②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.
19．【答案】（1）；（2），，.
（2）展开式的通项为，
所以展开式中的项当且仅当是6的倍数时为有理项，
又，，
∴或或，
∴展开式中的有理项共3项，分别为，，.
【思路点拨】（1）先利用二项式展开式的通项公式求出各项的二项式系数，再利用等差数列的定义列出方程可得结果；
（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令的幂指数为有理数，求得的值，即可求得展开式中的有理项.
【名师点睛】本题主要考查二项展开式的通项与系数，属于简单题.二项展开式的问题也是高考命题的热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：
（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和与各项的二项式系数和；
（3）二项展开式定理的应用.
20．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）的展开式的通项为,
由,解得：,
由题意得,
所以.
【思路点拨】（1）由二项展开式通项公式求得的系数并让它等于，可求得；
（2）由得，因此可利用导数求得的最小值，再解不等式可得的取值范围．
【名师点睛】本题考查的一个知识点是二项式定理，的展开式的第项为，一般把此式整理成关于的单项式，再由的系数求得．
21．【答案】（1）；（2）.
（2）同样用分步乘法计数原理：
第一步，选出4人有种方法；
第二步，选出2人有种方法；
第三步，选出1人有种方法；
第四步，将以上分出的三组人进行全排列有种方法.
所以总的分配方案有（种）.
【名师点睛】解决排列、组合的应用题时注意以下三点：
(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合，要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；
(2)深入分析，严密周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多；
(3)对于有限制条件的比较复杂的排列、组合问题，要通过分析设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决．
22．【答案】（1）；（2）.
【解析】5名师生站成一排照相留念共有种站法，
（1）记“两名女生相邻而站”为事件，
两名女生站在一起有种站法，视为一个元素与其余3个全排，有种排法，
所以事件有种不同站法，
则，
答：两名女生相邻而站的概率为.
【名师点睛】（1）解排列应用题的基本思路：
实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)．
（2）相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．
（3）在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．