21.2 .4根与系数的关系同步作业

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21.2 .4根与系数的关系同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2，则另一个根是（ ）
A. ﹣6 B. ﹣3 C. 3 D. 6
2．设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（　　）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ﹣
3．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（　　）
A. x2+3x+4=0 B. x2﹣4x+3=0 C. x2+4x﹣3=0 D. x2+3x﹣4=0
4．若、为方程的两个实数根，则的值为　　
A. B. 12 C. 14 D. 15
5．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足= -1，则m的值是（ ）.
A. 3或 -1 B. 3 C. -1 D. -3 或 1
6．关于x的方程的两根互为相反数，则k的值是（ ）
A. 2 B. ±2 C. -2 D. -3
7．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　）
A. 方有两个相等的实数根 B. 方程有一根等于0
C. 方程两根之和等于0 D. 方程两根之积等于0
10．已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　）
A. 6 B. 3 C. ﹣3 D. 0
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的最大整数时，m的值为 _____．
12．已知方程x2－mx－3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则 x1x2＝_______．
13．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．若时，则= ______ ．
14．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为_____________.
15．我们知道若关于x的一元二次方程有一根是１，则a+b+c=0，那么如果，则方程有一根为____
16．若关于的一元二次方程的两个不等实数根分别为，且，则的值为_____________.
三、解答题
17．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）x12x2+x1x22； （2）（x1﹣x2）2．
18．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．
19．已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+=0.
（1）若方程有实根，求实数m的取值范围．
（2）若方程两实根分别为x1、x2且满足x12+x22=|x1x2|+，求实数m的值．
20．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为正整数的实数a的整数值．
21．（1）解方程：；
（2）已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
①如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．已知关于x的方程x2﹣（m+n+1）x+m（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2）、B（，1）、C（1，1），问是否存在点P，使m+n=？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【解析】解：设方程的另一个根为n，则有﹣2+n=﹣5，解得：n=﹣3．故选B．
2．A
【解析】解：∵x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，∴x1+x2=2．故选A．
3．B
【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程的两根分别为
故选B．
4．B
【解析】分析：根据一元二次方程解的定义得到2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=，αβ=-，然后利用整体代入的方法计算．
详解：∵α为2x2-5x-1=0的实数根，
∴2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，
∴α+β=，αβ=-，
∴2α2+3αβ+5β=5×+3×（-）+1=12．
故选B．
点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义．
5．B
【解析】分析：先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值．
详解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根；
∴α+β= 2m 3,α β=m2；
∴== 2m 3m2= 1；
∴m2 2m 3=0；
解得m=3或m= 1；
∵一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根；
∴△=(2m+3)2 4×1×m2=12m+9>0；
∴m> ；
∴m= 1不合题意舍去；
∴m=3.
点睛：此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，根据根与系数的关系结合=1，找出关于m的方程是解题的关键.
6．C
【解析】分析：若方程的两根互为相反数，则两根的和为0；可用含k的代数式表示出两根的和，即可列出关于k的方程，解方程求出k的值，再把所求的k的值代入判别式△进行检验，使△<0的值应舍去．
详解：设原方程的两根为 ,则
由题意,得
∴
又∵
∴当k1=2时，△= 4<0，原方程无实根；
当k2= 2时，△=12>0，原方程有实根。
∴k= 2.
故选C.
点睛：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式
是解决本题的关键.
7．B
【解析】分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=-k-1，结合x1x2=-3可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根，
∴x1x2=-k-1．
∵x1x2=-3，
∴-k-1=-3，
解得：k=2．
故选B．
点睛：一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则有：x1+x2=，x1x2=.
8．D
【解析】∵α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴α2+2006α+1=0，β2+2006β+1=0，
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=2α 2β=4αβ，
∵α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴αβ=1，
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=4×1=4．
故选C．
9．C
【解析】试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．
解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，
把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，
∴1+（﹣1）=0，
即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故选C．
10．A
【解析】已知m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，可得m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=2a，mn=2，再由（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣ ）2﹣3，因a≥2，所以当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，即（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2-3=4（2﹣）2﹣3=6，故选A．
11．0或．
12．－3
【解析】分析：根据韦达定理求出m的值，然后再根据韦达定理得出两根之积．
详解：∵， ∴．
点睛：本题主要考查的是一元二次方程的韦达定理，属于基础题型．理解韦达定理的公式是解决这个问题的关键．
13．
【解析】分析：由x12-x22=0得x1+x2=0或x1-x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到-2m-1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．
详解：由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，
由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m=，
∵＞，
∴m=不合题意，舍去，
若x1-x2=0，即x1=x2
∴△=0，由（1）知，m=，
故当x12-x22=0时，m=．
故答案为：．
点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
14．-1或-4
【解析】分析：
设“倍根方程”的一个根为，则另一根为，由一元二次方程根与系数的关系可得，由此可列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.
详解：
由题意设“倍根方程”的一个根为，另一根为，则由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴，
∴，
化简整理得：，解得 .
故答案为：-1或-4.
点睛：本题解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两根分别为，则.
15．-3
【解析】根据一元二次方程的解的定义知，当x=-3时，9a-3b+c=0，即9a+c=3b，因此可知x=-3满足方程ax2+bx+c=0，所以方程ax2+bx+c=0的另一根是x=-3．
故答案为：-3．
点睛：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
16．-5
【解析】分析：根据根与系数的关系得出p+q=3，pq=a，把变形后代入，求出a的值，再变形代入求出即可．
详解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不相等的实数根分别为p和q，∴p+q=3，pq=a．
∵，∴（p+q）2﹣3pq=18，∴9﹣3a=18，解得：a=﹣3，即pq=﹣3，
∴====﹣5．
故答案为：﹣5．
点睛：本题考查了完全平方公式和根与系数的关系，能根据根与系数的关系求出p+q=3和pq=a是解答此题的关键．
17．（1）；（2）．
【解析】试题分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=，x1x2=．
（1）利用因式分解法把x12x2+x1x22变形为x1x2（x1+x2 ），然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式得到（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
试题解析：解：根据题意得x1+x2=，x1x2=．
（1）x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）= ×= ；
（2）（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=﹣4×=．
18．（1）m＞﹣2；（2）实数m的值为1．
【解析】分析：
（1）根据“一元二次方程中，当根的判别式△=时，方程有两个不相等的实数根”列出不等式进行解答即可；
（2）根据“一元二次方程根与系数的关系”可得，将所得等式代入x12+x22=22+x1x2中得到关于m的方程，并结合（1）中所得m的取值范围即可求得m的值.
详解：
（1）由题意可得：在关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0中，
△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，
∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0有两个不相等的实数根时，
∴△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，
得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，
∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，
∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），
化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），
∴实数m的值为1．
点睛：（1）在一元二次方程中，当△=时，方程有两个不相等的实数根；当△=时，方程有两个相等的实数根；当△=时，方程没有实数根；（2）若一元二次方程有两个实数根分别为，则.
19．（1）m≥﹣；（2）m=2．
【解析】试题分析：（1）根据根的判别式，可得不等式，根据解不等式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
试题解析：(1)由关于x的方程 得
解得
(2)由根于系数的关系,得
解得 (不符合题意,舍),
20．（1）24；（2）a=0 ，3，4，5．
【解析】试题分析： 根据根与系数的关系求得将已知等式变形为即通过解该关于的方程即可求得的值；
（2）根据限制性条件“为正整数”求得的取值范围，然后在取值范围内取的整数值．
试题解析：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知,
∵一元二次方程有两个实数根，
∴且a 6≠0，
解得， ，且a≠6；
(1)∵
∴
即
解得，a=24>0；
∴存在实数a,使成立，a的值是24；
(2)∵
∴当为正整数时， 且a 6是6的约数，
∴
∴使为正整数的实数a的整数值有
21．（1） ;(2)①等腰三角形;②直角三角形;③
【解析】试题分析：（1）先移项，再用因式分解法求解即可；
（2）①直接将x=-1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
②利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
③利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
试题解析：（1）移项，得
（3-x）2-2x（3-x）=0，
（3-x）（3-x-2x）=0，
∴3-x=0或3-3x=0，
∴x1=3，x2=1；
（2）①△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=-1是方程的根，
∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，
∴a+c-2b+a-c=0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
②∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，
∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
③当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=-1．
22．（1）m=αβ，n=α+β﹣αβ﹣1；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】分析：(1)、根据韦达定理即可得出答案；(2)、首先求出（1﹣α）（1﹣β）的值为－n，从而根据n的取值范围得出答案；(3)、先根据条件确定动点所在的边，然后再确定点的坐标．
详解：解：（1）∵α、β为方程x2﹣（m+n+1）x+m=0（n≥0）的两个实数根，
∴判别式△=（m+n+1）2﹣4n=（m+n﹣1）2+4n≥0，且α+β=m+n+1，αβ=m，
于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1；
（2）∵（1﹣α）（1﹣β）=1﹣（α+β）+αβ=﹣n≤0（n≥0），又α≤β，∴α≤1≤β；
（3）若使m+n成立，只需α+β=m+n+1=，
①当点M（α，β）在BC边上运动时，由B（，1），C（1，1），得≤α≤1，β=1，
而α=﹣β=﹣1=＞1，故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点
②当点M（α，β）在AC边上运动时，由A（1，2），C（1，1），得α=1，1≤β≤2，
此时β=﹣α=﹣1=，又因为1＜＜2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ）；
③当点M（α，β）在AB边上运动时，由A（1，2），B（，1），得≤α≤1，1≤β≤2，
由平面几何知识得， ，于是β=2α，由，解得α=，β=，
又因为＜＜1，1＜＜2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（， ）．
综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1， ）和点（， ），使m+n=成立．
点睛：本题主要考查的是一元二次方程的韦达定理以及分类讨论思想的应用，难度中等．知道韦达定理的公式
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