1.2.2矩形的判定 梯度训练题（含答案）

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矩形的性质与判定
第2课时　矩形的判定
基础题
知识点1　对角线相等的平行四边形是矩形
1．下列命题中正确的是(　　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝2，若要使 ABCD为矩形，则OB的长应该为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
　　
3．(娄底中考)如图，要使 ABCD是矩形，则应添加的条件是____________________________(添加一个条件即可)．
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB.求证：四边形ABCD是矩形．
知识点2　有三个角是直角的四边形是矩形
5．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是(　　)
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
6．(来宾中考)顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是____________．
7．如图，已知MN∥PQ，EF与MN、PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是____________．
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．
9．已知：如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
中档题
10．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
甲：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1)．
乙：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2)．
图1　 　 　图2
对于两人的作业，下列说法正确的是(　　)
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
11．已知 ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD，使 ABCD是矩形的条件的序号是____________．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF.当∠ACB为____________度时，四边形ABFE为矩形．
13．(巴中中考)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是____________，并证明；
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．
综合题
14．(张家界中考)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
参考答案
1．C　2.C　3.答案不唯一，如：∠ABC＝90°或AC＝BD
4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.又∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC.∴AO＝BO＝CO＝DO.∴AO＋CO＝BO＋DO，即AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．
5．C　6.矩形　7.矩形
8．证明：∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝180°－∠BAD＝90°.又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∵AF，DF平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAE＝∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.同理：∠BHC＝∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是矩形．
10．A　11.①③④　12.60
13．(1)EH＝FH　证明：∵点H是BC的中点，∴BH＝CH.在△BEH和△CFH中，∴△BEH≌△CFH(SAS)．(2)连接BF，CE.当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．理由：∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴BC＝EF.∴平行四边形BFCE为矩形．
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