1.2.3矩形的性质与判定应用 梯度训练题（含答案）

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矩形的性质与判定
第3课时　矩形的性质与判定的运用
基础题
知识点　矩形的性质与判定的运用
1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC＝(　　)
A．8 B．10 C．12 D．18
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(　　)
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
3．下列说法正确的是(　　)
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的四条边相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不正确的是(　　)
A．AC⊥BD B．AC＝BD
C．BO＝DO D．AO＝CO
5．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB＝5，BC＝12，点A表示的数是－1，则对角线AC、BD的交点表示的数是(　　)
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
6．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC.若AD＝，则OE＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°.则∠ODC＝____________.
8．木工做一个矩形桌面，量得桌面的两组对边长分别为15 cm，8 cm，对角线为17 cm，则这个桌面____________(填“合格”或“不合格”)．
9．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE∶∠EDC＝2∶1，求∠BDE的度数．
10．(聊城中考)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
中档题
11．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为____________．
13．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快____________s后，四边形ABPQ成为矩形．
14．如图，在 ABCD中，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ.
(1)若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
综合题
15．如图，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF，M为EF的中点．
(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；
(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，求CM的长度；若有变化，求CM的变化范围．
参考答案
1．C　2.D　3.A　4.A　5.A　6.A　7.25°　8.合格
9．在矩形ABCD中，∠ADC＝90°.∵∠ADE∶∠EDC＝2∶1，∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°.又∵DE⊥AC，∴∠DCE＝90°－30°＝60°.根据矩形的性质可得OC＝OD，∴∠DOC＝180°－2∠DCE＝180°－2×60°＝60°，∴∠BDE＝90°－∠DOC＝30°.
10．证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝DC.∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AC，BE＝AD.又∵AD＝DC，∴DC＝BE.∴四边形BECD是平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形BECD是矩形．
11．A　12.15°　13.4
14．(1)证明：∵∠BPQ＝∠BPC＋∠CPQ＝∠A＋∠AQP，又∵∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A.∵PQ⊥CP，∴∠CPQ＝∠A＝90°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°.在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)．∴DQ＝PQ.设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6－x.在Rt△APQ中，AQ2＋AP2＝PQ2.∴x2＋22＝(6－x)2.解得x＝.∴AQ的长是.
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