专题1.3二项式定理-试题之课时同步2017-2018学年高二数学人教版（选修2-3）

第一章 计数原理
1.3 二项式定理
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(1+x)7的展开式中x2的系数是
A．42　　　 B．35
C．28　　 D．21
【答案】D
【解析】(1+x)7的展开式的通项公式为Tr+1=xr,令r=2,得x2的系数为=21.故选D.
【技巧点拨】熟记二项式定理：，是解决此类问题的关键.
2．二项式的展开式的第二项是
A．6x4 B．﹣6x4
C．12x4 D．﹣12x4
【答案】D
【解析】展开式的通项公式,令,可得展开式的第二项为=.选D．
3．在的展开式中,含项的系数为
A．30 B．20
C．15 D．10
【答案】C
【名师点睛】（1）求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项，Tr=Can－r＋1br－1；
②求含xr的项(或xpyq的项)；
③求常数项；
④求有理项．
（2）求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
4．的展开式中x2y2的系数为
A．70 B．80
C．－1 D．－80
【答案】A
【名师点睛】本题主要考查二项展开式的通项与系数，属于简单题.由二项展开式的通项公式可得，令即可得解.
二项式定理问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式，可以考查某一项，也可以考查某一项的系数；
（2）考查各项的系数和与各项的二项式系数和；
（3）二项展开式定理的应用.
5．已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
【答案】D
【解析】展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.
【名师点睛】对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．
6．已知的展开式中常数项为，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果.
7．已知二项式，则展开式的常数项为
A． B．
C． D．49
【答案】B
【解析】，
二项式中的常数项产生在中，分别是,
它们的和为，故选B．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题. 解题时，首先将变形为，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果.
8．已知，若，则
A．?5 B．?20
C．15 D．35
【答案】A
【总结归纳】二项式系数与项的系数的区别：
二项式系数是指，，…，，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如的展开式中，第r＋1项的二项式系数是，而该项的系数是.当然，某些特殊的二项展开式如，各项的系数与二项式系数是相等的．
9．若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.
的展开式的通项公式为，令，得.
∴展开式中含项的系数是，故选D．
【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；
（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
10．已知的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则该展开式中所有有理项的项数为
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】C
【解析】由题意可知：，..
要求该展开式中的有理项，只需令，，所以所有有理项的项数为6项.故选C.
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
11．若(?x)n的展开式的各个二项式系数的和为256,则(?x)n的展开式中的常数项为__________.
【答案】70
【技巧点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．利用二项展开式的通项时注意下列问题：
（1）是第k＋1项，而不是第k项．
（2）通项公式中a，b的位置不能颠倒．
（3）通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.
12．设,则_________.
【答案】2
【解析】令x＝1可得,令x＝0可得,所以＝2.
【名师点睛】“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令x=－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
13．233除以9的余数是_________.
【答案】8
【解析】233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C910＋C99－···＋C9－1＝9(910－C99＋···＋C－1)＋8，
∴233除以9的余数是8.
【名师点睛】利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．在二项式(2x?3y)9的展开式中,求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）各项系数绝对值之和.
【答案】（1）29；（2）?1；（3）59.
15．已知a>0,b>0,m≠0,n≠0,若二项式(axm+bxn)12的展开式中系数最大的项恰好是常数项,且2m+n=0,求的取值范围.
【答案】.
【解析】Tr+1=(axm)12?r·(bxn)r=a12?rbrxm(12?r)+nr.
令m(12?r)+nr=0,
又2m+n=0,
所以m(12?r)?2mr=0,
又m≠0,得r=4.
所以展开式中的常数项为第5项,且为系数最大的项,
则.
又a>0,b>0,
所以,
所以，即的取值范围是.
16．在二项式(＋)n的展开式中，前三项系数成等差数列.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）；（2）系数最大的项为7x2，7x.
令4－r＝0，得r＝4，
所以展开式中的常数项为T5＝C·()4＝.
（2）设第r＋1项的系数最大，则由，解得2≤r≤3，
因为r∈Z，
所以r＝2或r＝3，
故第三项和第四项的系数最大，
利用通项公式可得系数最大的项为T3＝7x2，T4＝7x.
【名师点睛】（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
（2）注意展开式中某一项、某一项的二项式系数、某一项的系数三者的区别．
17．已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.
（1）试求f(x)的展开式中x2的系数的最小值；
（2）对于使f(x)的展开式中x2的系数最小的m，n，求出此时x3的系数；
（3）利用（1）中m与n的值，求f(0.003)的近似值(精确到0.01).
【答案】（1）9；（2）5；（2）2.02.
（2）当m＝3，n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；
当m＝4，n＝3时，x3的系数为C＋C＝5.
（3）f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003＝2.02.