专题2.3.2离散型随机变量的方差-试题之课时同步2017-2018学年高二数学人教版（选修2-3）

第二章 随机变量及其分布
2.3.2 离散型随机变量的方差
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【名师点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，其中熟记二项分布的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
2．设随机变量X的分布列如下
X
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(X)=,则D(X)等于
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，可得，得
所以D(X)=×+×+×=,故选D．
3．若样本x1+1,x2+1,…,xn+1的平均数为10,其方差为2,则对于样本2x1?1,2x2?1,…,2xn?1,下列结论正确的是
A．平均数为19,方差为4
B．平均数为17,方差为3
C．平均数为17,方差为8
D．平均数为19,方差为8
?【答案】C
?【解析】设ξ=x+1,则η=2x?1=2ξ?3,所以E(η)=2E(ξ)?3=17,D(ξ)=2，D(η)=8.
4．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝
ξ
0
1
x
P
p
A．0.36 B．0.52
C．0.49 D．0.68
【答案】C
5．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝
A． B．
C． D．5
【答案】A
【解析】两枚同时出现反面的概率为，所以为次独立重复试验，属于二项分布，方差为.
6．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则等于
A． p2 B． (1－p)2
C． 1－p D． 以上都不对
【答案】B
【解析】因为X～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以＝(1－p)2．故选B．
7．已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝1，2，3，则D（3X＋5）＝
A．6 B．9
C．3 D．4
【答案】A
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
8．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差为________．
【答案】
【解析】依题意得标准差为.
9．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B（n, ），若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________.
【答案】
【解析】根据二项分布计算公式有,所以.
10．已知随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
【答案】
【解析】设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．已知随机变量X的分布列为
若E(X)＝.
（1）求D(X)的值；
（2）若Y＝3X－2，求D(Y)的值.
（1）D(X)＝.
（2）因为Y＝3X－2，所以D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5.
【名师点睛】数学期望，方差是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平和离散程度.求解离散型随机变量的分布列、数学期望，方差时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望和方差.
12． 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0（1）求方差Dξ的最大值；
（2）求的最大值.
【解析】随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1－p，从而Eξ=0×（1－p）+1×p=p，Dξ=（0－p）2×（1－p）+（1－p）2×p=p－p2.
（1）Dξ=p－p2=－（p－）2+，
∵0（2）==2－（2p+），
∵0当且仅当2p=，即p=时，取得最大值2－2.
【名师点睛】本题将概率知识与函数知识很好的结合，较好地考查了考生灵活运用知识的能力.难度不大，计算要准.