专题1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-试题之课时同步2017-2018学年高二数学人教版（选修2-3）

第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有
A．24种 B．30种
C．54种 D．720种
【答案】D
【名师点睛】应用分步乘法计数原理要注意的问题：
①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．
②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．
③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．
2．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有
A．10种 B．11种
C．12种 D．13种
【答案】C
【解析】第一类：第1垄种植A作物，B作物种植在第8,9,10垄中的任一垄，有3种选法；
第二类：第2垄种植A作物，B作物种植在第9,10垄中的任一垄，有2种选法；
第三类：第3垄种植A作物，B作物种植在第10垄中，有1种选法；
第四类：第8垄种植A作物，B作物种植在第1垄，有1种选法；
第五类：第9垄种植A作物，B作物种植在第1,2垄中的任一垄，有2种选法；
第六类：第10垄种植A作物，B作物种植在第1,2,3垄中的任一垄，有3种选法．
由分类加法计数原理得，共有3＋2＋1＋1＋2＋3=12种不同的方法．故选C.
【名师点睛】使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．
3．将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
【答案】A
4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有
A．125个 B．15个
C．100个 D．10个
【答案】C
【解析】由题意可得a≠0，可分以下几类，
第一类：b＝0，c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；
第二类：c＝0，b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；
第三类：b≠0，c≠0，此时a，b，c都各有4种选择，共有4×4×4＝64个不同的函数；
第四类：b＝0，c＝0，此时a有4种选择，共有4个不同的函数．
由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有16＋16＋64＋4＝100(个)．故选C．
【名师点睛】应用分类加法计数原理要注意的问题：
①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．
②完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．
③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．
5．一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等)，那么，这样的三位数共有
A．240个 B．249个
C．285个 D．330个
【答案】C
【解析】因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，
所以当十位数字是0时有9×9=81种结果，
当十位数字是1时有8×8=64种结果，
当十位数字是2时有7×7=49种结果，
当十位数字是3时有6×6=36种结果，
当十位数字是4时有5×5=25种结果，
当十位数字是5时有4×4=16种结果，
当十位数字是6时有3×3=9种结果，
当十位数字是7时有2×2=4种结果，
当十位数字是8时有1种结果，
所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1=285种结果．
【名师点睛】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略：
(1)与数字有关的问题．可分类解决，每类中又可分步完成，也可以直接分步解决．
(2)与几何有关的问题．可先分类，再分步解决．
(3)涂色问题．可按颜色的种数分类完成，也可以按不同的区域分步完成．
6．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】常见的组数问题及解题原则：
(1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等．
(2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数．
7．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有
A．6种 B．36种
C．63种 D．64种
【答案】C
【解析】每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有26－1＝63种．故选C．
8．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是
A．8种 B．9种
C．10种 D．11种
【答案】B
9．设m∈{1,2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，则函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，f ′(x)＝3x2＋m，又因为m>0，所以f ′(x)＝3x2＋m>0，故f(x)＝x3＋mx＋n在R上单调递增，若函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点，则只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0.
∴m＋n≤－1且2m＋n≥－8，∴－2m－8≤n≤－m－1，
当m＝1时，n取－2，－4，－8；
m＝2时，n取－4，－8，－12；
m＝3时，n取－4，－8，－12；
m＝4时，n取－8，－12.
故共有3+3+3+2=11种取法，
而m有4种选法，n有4种选法，则函数f(x)＝x3＋mx＋n共有4×4＝16种情况，
故函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是，故选C．
10．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有
A．24种 B．72种
C．84种 D．120种
【答案】C
(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3=36(种)．共有84种．
【规律总结】（1）利用两个原理解决涂色问题
解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．
解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题．
（2）利用两个原理解决集合问题
解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有的子集有个，真子集有个．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
11．将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子内，则4号盒子中至少有一个球的放法有________种．
【答案】37
【名师点睛】解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理来解题的情况，其思维障碍在于不能正确区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．将问题中的条件细化、化繁为简．
12．从集合{1,2,3,4,5,6}中任取两个元素作为双曲线－＝1中的几何量a、b的值，则“双曲线渐近线的斜率k满足|k|≤1”的概率为________.
【答案】
【解析】所有可能取法有6×5＝30种，由|k|＝≤1知b≤a，满足此条件的有(2,1)，(3,2)，(3,1)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)，共15种，∴所求概率P＝＝.
【名师点睛】计数原理与其他知识交汇命题，常以“个数”或“概率”形式出现，计数常采用列举法、树状图、表格等方法．解答时，先依据其他知识转化，将所求问题归结为计数问题，再按计数原理进行计算即可．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；
（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限．
【答案】（1）729种；（2）120种；（3）216种；
根据分步乘法计数原理，可得共有6×5×4＝120种不同的报名方法．
（3）每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，
根据分步乘法计数原理，可得共有63＝216种不同的报名方法．
14．已知集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}．现从A，B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标.
（1）可以得到多少个不同的点？
（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？
【答案】（1）24；（2）8.
【解析】（1）一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：
第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12(个)不同的点；
第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12(个)不同的点．
由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24(个)．
（2）第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A、B中的正数，同样可分为两类，类似于(1)．
由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8(个)．
15．用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数？
【答案】120.
【解析】完成这件事有三类方法：
第一类，用0当结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：
第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；
第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．
依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48(个).
第二类，用2当结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：
第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0，只有3个数字可以选择，有3种选法；
第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．
依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36(个).
第三类，用4当结尾的比2000大的4位偶数，其步骤同第二类，这类数的个数有3×4×3＝36(个).
对以上三类用分类加法计数原理，可得所求无重复数字且比2000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个)．