专题2.3.1离散型随机变量的均值-试题之课时同步2017-2018学年高二数学人教版（选修2-3）

第二章 随机变量及其分布
2.3.1 离散型随机变量的均值
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝
A．3 B．
C． D．4
【答案】C
【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.
2．已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝
A． B．
C．4 D．
【答案】B
【解析】由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
故选B．
3．已知随机变量X服从二项分布B，则E(3X＋1)＝
A．3 B．4
C．6 D．7
【答案】D
【解析】∵随机变量X服从二项分布，∴E(X)＝4×＝2，则E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝7.故选D．
4．如果a1、a2、a3、a4、a5、a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是
A．0 B．3
C．6 D．12
【答案】A
【名师点睛】本题中考查期望公式，代入公式计算，即得到答案.
5．若随机变量X的分布列如表，则E(X)等于
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，得，所以，故选C.
6．已知离散型随机变量X的分布列为：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望E(X)等于
A．1 B．0.6
C．2＋3m D．2.4
【答案】D
【解析】， ，故选D．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．已知随机变量，随机变量，则____________.
【答案】
【解析】由已知，得随机变量服从二项分布，则，故．
8．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，其中k＝1,2,3,4,5,6，则a＝____________，E(ξ)＝____________.
【答案】，
9．设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为：
X
0
1
2
P
－p
p
则E(X)的最大值为____________.
【答案】
【解析】，所以的最大值是.
【点睛】本题中由期望公式得到，根据单调性及定义域，得到最大值.
10．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝____________.
【答案】
【解析】依题意得，且概率和，解得故.
11．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的数学期望是________元．
【答案】4760
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X).
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，
所以P＝＝＝.
（2）随机变量X所有可能的取值为2，3，4.
{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；
{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，
故P(X＝3)＝＝＝；
于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
2
3
4
P
因此随机变量X的数学期望
E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
13．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为， ， ，且每个问题回答正确与否相互独立．
（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；
（2）用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．
【答案】（1）
（2）X的分布列为
X
0
1000
3000
6000
P
∴X的数学期望E(X)＝2160
X
0
1000
3000
6000
P
∴X的数学期望E(X)＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160．