复习课(一) 集 合
(1)题型多为选择题或填空题，一般难度较小，考查集合元素的特性及元素的含义等．
(2)集合中元素有三个特性即确定性、互异性、无序性；元素与集合的关系是属于或不属于关系，其符号表示∈或?.
[典题示例] (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)若－3∈{x－2,2x2＋5x,12}，则x＝________.
[解析] (1)①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；
②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1；
③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0.
综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个，故选C.
(2)由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
①当x－2＝－3时，x＝－1，
把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；
②当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，
当x＝－时，集合的三个元素为－，－3,12，满足集合中元素的互异性．
由①②知x＝－.
[答案] (1)C (2)－
[类题通法]
解决集合的概念问题应关注两点
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．如本例(1)中集合B中的元素为实数，而有的是数对(点集)．
(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．
1．已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
解析：选B 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．
2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝(0,2)，则集合A*B的所有元素之和为________．
解析：依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6.
答案：6
3．若将本例(1)中的集合B更换为B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有____个元素．
解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0,1,2.故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素．
答案：6
(1)题型为选择题或填空题，主要考查集合关系的判断、两集合相等、确定已知集合子集个数及已知子集关系确定参数范围(值)等．
(2)集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．若有限集有n个元素，其子集个数是2n，真子集个数得2n－1，非空子集个数是2n－1.
[典题示例] 已知集合A＝{x|x＜－1，或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，B?A，则实数a的取值范围为__________________．
[解析] ∵a＜1，∴2a＜a＋1，∴B≠?.
画数轴如图所示．
由B?A知，a＋1＜－1，或2a≥1.
即a＜－2，或a≥.
由已知a＜1，∴a＜－2，或≤a＜1，
即所求a的取值范围是(－∞，－2)∪.
答案：(－∞，－2)∪
[类题通法]
1．判断两集合关系的两种常用方法
一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．处理集合间关系问题的关键点
已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏．
1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则下列关系正确的是( )
A．M＝N B．M?N
C．N?M D．N?M
解析：选B 由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，N＝{0,1,2}，可知M?N.
2．已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有( )
A．1个 B．2个
C．4个 D．8个
解析：选B |a|≥2?a≥2或a≤－2.又a∈M，(a－2)·(a2－3)＝0?a＝2或a＝±(舍)，即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个，选B.
3．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，且实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.
解析：∵log2x≤2＝log24，
∴0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}．
又B＝(－∞，a)，A?B，∴a＞4.
又a的取值范围是(c，＋∞)，∴c＝4.
答案：4
(1)题型为选择题和填空题，考查集合的交集、并集、补集运算，常与不等式等问题相结合，考查数形结合、分类讨论等数学思想．
(2)并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．活用集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
[典题示例] (1)已知a，b∈R，集合A＝{1,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝，则A∪B＝( )
A. B.
C. D.
(2)若集合A＝{x∈R|y＝lg(2－x)}，B＝{y∈R|y＝2x－1，x∈A}，则?R(A∩B)＝( )
A．R B．(－∞，0]∪[2，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，0]
[解析] (1)由A∩B＝可知，∈A，所以2a＝，a＝－1，又∈B，所以b＝，则A∪B＝，故选C.
(2)由2－x＞0，得x＜2，∴x－1＜1,2x－1＜21.∴A＝{x|x＜2}，B＝{y|0＜y＜2}，∴?R(A∩B)＝(－∞，0]∪[2，＋∞)．
[答案] (1)C (2)B
[类题通法]
集合基本运算的注意事项
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
1．(浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(?RQ)＝( )
A．[2,3] B．(－2,3]
C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析：选B ∵Q＝{x∈R|x2≥4}，
∴?RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．
∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，
∴P∪(?RQ)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．
2．设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2＞4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|x＞2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N}
C．{0,2} D．{1,2}
解析：选C 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(?UA)，?UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(?UA)＝{0,2}，选C.
3．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?UA)∩B＝________.
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(?UA)∩B＝{7,9}．
答案：{7,9}
1．已知集合A＝{x|2x－3＜3x}，B＝{x|x≥2}，则( )
A．A?B B．B?A
C．A??RB D．B??RA
解析：选B A＝{x|x＞－3}，B＝{x|x≥2}，∴B?A.
2．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1?A，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，1)
解析：选A 由题意知A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1?A，则1－2＋a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，1]，故选A.
3．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?RA)∩B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为A＝{x|x＞－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，所以(?RA)∩B＝{－2，－1}．
4．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|－3≤x≤3}，则(?UA)∩B＝( )
A．{x|－3≤x≤4} B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|－3≤x≤－2或3≤x≤4} D．{x|－2≤x≤4}
解析：选B ?UA＝{x|－2≤x≤4}．由图知(?UA)∩B＝{x|－2≤x≤3}．
5．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：选D 因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(?UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5?B(否则5∈A∩B)，从而5∈?UB，则(?UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5?A.同理1?A,7?A，故A＝{3,9}．
6．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x?N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝，B＝{x|x＜0，x∈R}，则A⊕B＝( )
A. B.
C.∪[0，＋∞) D.∪(0，＋∞)
解析：选C 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故A⊕B＝∪[0，＋∞)．故选C.
7．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2 016＝________.
解析：由M＝N知或
∴或∴(m－n)2 016＝1或0.
答案：1或0
8．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则(?RA)∩B＝________.
解析：因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，所以?RA＝{x|x＜0}．又B＝＝{x|－1＜x＜2}，所以(?RA)∩B＝{x|－1＜x＜0}．
答案：{x|－1＜x＜0}
9．已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3?A，则a2?A；③若a3∈A，则a4?A.则集合A＝________.(用列举法表示)
解析：假设a1∈A，则a2∈A，则由若a3?A，则a2?A可知，a3∈A，与题意不符，∴假设不成立；假设a4∈A，则a3?A，则a2?A，且a1?A，与题意不符，∴假设不成立，故集合A＝{a2，a3}(经检验知符合题意)．
答案：{a2，a3}
10．已知全集U为R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜－3或x＞1}．
求：(1)A∩B；
(2)(?UA)∩(?UB)；
(3)?U(A∪B)．
解：?UA＝{x|x≤0或x＞2}，?UB＝{x|－3≤x≤1}，A∪B＝{x|x＜－3或x＞0}．
(1)A∩B＝{x|1＜x≤2}．
(2)(?UA)∩(?UB)＝{x|－3≤x≤0}．
(3)?U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．
11．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{a,2,2a－1}．
(1)求集合A；
(2)若A?B，求实数a的值．
解：(1)集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2,3}．
(2)若A?B，即{2,3}?{a,2,2a－1}．
所以a＝3，或2a－1＝3.
当a＝3时，2a－1＝5，B＝{3,2,5}，满足A?B.
当2a－1＝3时，a＝2，集合B不满足元素的互异性，故舍去．
综上，a＝3.
12．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(?I M)∩N；
(2)记集合A＝(?I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0)＝{－3,2}，
∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴(?IM)∩N＝{2}．
(2)A＝(?IM)∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，∴B?A，
∴B＝?或B＝{2}，
当B＝?时，a－1＞5－a，得a＞3；
当B＝{2}时，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
复习课(三) 基本初等函数(Ⅰ)
1．题型为选择题或填空题，主要考查对数式和指数式的直接运算，利用换底公式进行运算，通过运算的转化进行大小比较等．
2．分数指数幂
(1)a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(2)a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
3．对数的运算性质
已知a＞0，b＞0，a≠1，M＞0，N＞0，m≠0.
(1)logaM＋logaN＝loga(MN)．
(2)logaM－logaN＝loga.
(3)logambn＝logab.
[典题示例] (1)(安徽高考)lg＋2lg 2－－1＝______.
(2)(浙江高考)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
解析：(1)lg＋2lg 2－－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2
＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.
(2)∵a＝log43＝log23＝log2，
∴2a＋2－a＝2＋2－＝＋2＝＋＝.
[答案] (1)－1 (2)
[类题通法]
指数、对数的运算应遵循的原则
(1)指数式的运算：
①注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．
②若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．
(2)对数式的运算：
①注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．
②熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
1．(·)6－4＝________.
解析：原式＝2×6·3×6－4×＝4×27－4×＝101.
答案：101
2．4－(3)－7＝________.
解析：原式＝2－(3)－7＝10－3－2＝5.
答案：5
3．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________．
解析：由2x＝3，log4＝y得x＝log23，y＝log4＝log2，所以x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3.
答案：3
1．题型为选择题或填空题，主要考查识别指数函数、对数函数、幂函数的图象，利用图象解决一些数学问题．
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)的图象恒过定点(1,0)．
[典题示例] (北京高考)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1
C．{x|－1[解析] 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
由
得
∴结合图象知不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1[答案] C
[类题通法]
(1)识别函数的图象从以下几个方面入手：①单调性：函数图象的变化趋势；②奇偶性：函数图象的对称性；③特殊点对应的函数值．
(2)已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决．
1．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵a＞1，∴函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如图．由图可知函数y＝loga(x－b)不经过第四象限，所以选D.
2．对a＞0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________．
解析：当x＝－1时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1，－1)．
答案：(－1，－1)
3．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________(填序号)．
解析：因为lg a＋lg b＝lg(ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，则f(x)＝ax，g(x)＝logax.当a＞1时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数，所以②正确；0＜a＜1时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x)是减函数，所以①③④都不正确．
答案：②
1．题型为选择题和填空题，主要以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)具有相同的单调性．指数函数的值域和对数函数的定义域都为正数，而指数函数的定义域和对数函数值域为R.
[典题示例] (1)(湖南高考)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
(2)(山东高考)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
解析：(1)由得－1则函数的定义域为(－1,1)．
又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，
故f(x)在(0,1)上为增函数．
(2)当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．当0[答案] (1)A (2)－
[类题通法]
解决此类问题要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质．方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决．
1．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
解析：选C 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，所以f(x)的值域为[1,9]．
2．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：选C 若a＞0，则由f(a)＞f(－a)得
log2a＞loga＝－log2a，即log2a＞0.∴a＞1.
若a＜0，则由f(a)＞f(－a)得
log (－a)＞log2(－a)，
即－log2(－a)＞log2(－a)，
∴log2(－a)＜0，∴0＜－a＜1，即－1＜a＜0.
综上可知，－1＜a＜0或a＞1.
3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·x (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析：选B 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3.当n＝1时，f(x)＝x－2＝关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数；当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)上是增函数．故n＝1符合题意，应选B.
4．已知函数f(x)＝ln的定义域是(1，＋∞)，则实数a的值为________．
解析：由题意得，不等式1－＞0的解集是(1，＋∞)，由1－＞0，可得2x＞a，故x＞log2a，由log2a＝1得a＝2.
答案：2
1．集合M＝{x|lg x＜0}，N＝{y|y＝2x－1}，则M∩N等于( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(－∞，1)
解析：选B ∵lg x＜0，∴0＜x＜1，
∴M＝(0,1)，N＝(－1，＋∞)，
∴M∩N＝(0,1)．
2．函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )
A．y＝ B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
解析：选A f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1,1)，结合各选项知点(1,1)不在y＝的图象上．
3．已知a＝3，b＝log，c＝log2，则( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．b＞a＞c
解析：选A a＝＞1,0＜b＝log＝log32＜1，c＝log2＝－log23＜0，故a＞b＞c，故选A.
4．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )
解析：选C 函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝x－1，此函数在R上为减函数，其图象过点(0,2)，所以选项C中的图象符合要求．
5．若f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值是( )
A. B.
C．2 D．4
解析：选B 当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝a0＋loga1＝1，所以a＋loga2＋1＝a，所以a＝，不合题意，舍去；当0＜a＜1时，f(x)max＝f(0)＝a0＋loga1＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，所以a＋loga2＋1＝a，所以a＝，故选B.
6．函数f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]的图象大致为( )
解析：选A 法一：f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]＝即f(x)＝
从而判断选项A正确．
法二：取特值f(－1)＝＝＝，从而排除选项B、C、D.
7．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．
解析：设f(x)＝xa，∵f(4)＝3f(2)，
∴4a＝3×2a，
解得a＝log23，∴f＝＝.
答案：
8．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填“＜”“＝”“＞”)
解析：当x∈(0，＋∞)时，显然有f(x)＝loga|x|＝logax，由此时函数单调递增可知a＞1.又易知f(x)为偶函数，因此f(a＋1)＞f(1＋1)＝f(2)＝f(－2)，因此应填“＜”．
答案：＜
9．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x＜0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)＞g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
答案：0
10．化简：(1)÷100；
(2).
解：(1)原式＝－2×＝－2×lg 10÷＝－20.
(2)原式＝＝a·b＝.
11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
12．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝－，
(1)判断并证明y＝f(x)在(－∞，0)上的单调性；
(2)求y＝f(x)的值域．
解：(1)设x1＜x2＜0，则0＜3x1＜3 x2＜1,3 x1＋x2＜1.
∵f(x1)－f(x2)＝－＝＝＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，即y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数．
(2)∵函数f(x)在(－∞，0)上是增函数且连续，
∴f(x)≤f(0)＝－＝0.
又f(x)＞－，∴当x≤0时，f(x)＝－的值域为.而函数f(x)为奇函数，由对称性可知，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的值域为.
综上可得，y＝f(x)的值域为.
复习课(二) 函数及其基本性质
1．题型多为选择题和填空题，对定义域、值域的考查多与二次函数、指数函数、对数函数相结合，而对解析式的考查多与函数的单调性、奇偶性等相结合命题．
2．若两个函数的定义域和对应关系相同时，则两个函数表示同一函数；函数有三种表示方法：解析法、图象法、列表法．
[典题示例] (1)函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( )
A. B.
C. D.∪
(2)若f＝lg x，则f(x)的解析式为________．
[解析] (1)由题意得解得x＜1且x≠.
(2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，
又x＞0，所以t＞1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x＞1)．
[答案] (1)D (2)lg(x＞1)
[类题通法]
1．简单函数定义域的求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
2．求函数解析式常用的方法
(1)待定系数法；
(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)；
(3)配凑法．
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(0,2] B．(0,2)
C．(－2,2) D．[－2,2]
解析：选B 依题意得∴
∴0＜x＜2，故选B.
2.若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________.
解析：由
得
相加得f(2)＝4，f(2)＝.
答案：
3．已知集合A＝{x|x≥4}，g(x)＝的定义域为B，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是________．
解析：由题可知，g(x)的定义域为{x|x集合A＝{x|x≥4}，
若使A∩B＝?，
则需a＋1≤4，解得a≤3.
答案：(－∞，3]
1．题型为选择题或填空题，主要考查求函数值、已知函数值求自变量或参数等．
2．所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集．
[典题示例] (江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f ＝f，则f(5a)的值是________．
[解析] 因为函数f(x)的周期为2，结合在[－1,1)上f(x)的解析式，得
f＝f＝f＝－＋a，
f＝f＝f＝＝.
由f＝f，得－＋a＝，解得a＝.
所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.
[答案] －
[类题通法]
解决分段函数求值问题的方法
(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．
(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．
1．(陕西高考)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1 B.
C. D.
解析：选C 因为－2＜0，所以f(－2)＝2－2＝＞0，
所以f (f(－2))＝f ＝1－＝1－＝.
2．已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A 由题意得f(－1)＝2－(－1)＝2，f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝4a＝1，∴a＝.
3．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
解析：由题意知或解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4,2]．
答案：[－4,2]
1．题型既有选择题、填空题，也有解答题．主要考查判断已知函数的单调性及奇偶性，或利用函数性质求函数的最值、比较两个数的大小及求参数范围．对于比较数的大小，多构造指数、对数函数，同时应注意底数是否大于1.
2．若函数f(x)满足对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有：f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))则f(x)在区间D上是增(减)函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(－f(x))，那么函数f(x)是偶(奇)函数．
[典题示例] 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
[解] (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.
因此，实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＝(x1－x2)·.
∵－2≤x1＜x2≤－1，
∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，
因此f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.
[类题通法]
函数奇偶性与单调性的差异
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．
1．(广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
解析：选D A选项定义域为R，由于f(－x)＝＝＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函数．
2．(天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案：
3．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任设1＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，
所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.
综上所述知a的取值范围是(0,1]．
1．题型为选择题和填空题，涉及的知识面广，形式灵活，主要考查函数图象的选择、图象变换及图象应用等问题．
2．函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、对称变换．
[典题示例] (安徽高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
[解析] 函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.
[答案] －
[类题通法]
作函数图象的方法
方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．
提醒：要利用单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图．
方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
(1)平移：y＝f(x)y＝f(x±h)；
y＝f(x)y＝f (x) ± k.(其中h＞0，k＞0)
(2)对称：y＝f(x) y＝f (－x)；
y＝f(x) y＝－f (x)；
y＝f(x) y＝－f (－x)．
1．函数y＝的图象大致是( )
解析：选B 当x＜0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.
2．函数f (x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝( )
A. B.
C．3 D.
解析：选B 由图象可得，当x≤0时，f(x)＝2x＋2，由函数f(x)＝logc(x＞0)的图象过点(0,2)可得c＝，所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.
3．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．
解析：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－1,2] B．(－1,2]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选B 法一：要使函数f(x)＝＋有意义，则解得－1＜x≤2，故选B.
法二：因为x≠－1，排除A；取x＝3，则4－2x＝4－6＝－2＜0，所以x≠3，排除C、D，故选B.
2．若函数f(x)＝则满足f (a)＝1的实数a的值为( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：选A 依题意，知满足f(a)＝1的实数a必不超过零，于是有由此解得a＝－1.
3．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝
C．y＝－(x－1)2 D．y＝31－x
解析：选B 由题意可知，y＝－x＋1与y＝31－x在定义域上均为减函数，y＝－(x－1)2的对称轴为x＝1，且开口向下，所以在区间(1，＋∞)上是减函数，只有函数y＝在区间(1，＋∞)上是增函数．故选B.
4．函数f(x)＝x5＋x3＋x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
解析：选C 易知f(x)是R上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．
5．已知f (x)＝x＋－1，f (a)＝2，则f (－a)＝( )
A．－4 B．－2
C．－1 D．－3
解析：选A ∵f(x)＝x＋－1，
∴f(a)＝a＋－1＝2，∴a＋＝3，
∴f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
6．偶函数y＝f(x)在区间[0,4]上单调递减，则有( )
A．f(－1)＞f ＞f(－π) B．f ＞f(－1)＞f(－π)
C．f(－π)＞f(－1)＞f D．f(－1)＞f(－π)＞f
解析：选A 函数y＝f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－π)＝f(π)，又函数y＝f(x)在区间[0,4]上单调递减，所以f(1)＞f ＞f(π)，则f(－1)＞f ＞f(－π)．
7．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f (2)＝0，且f (x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f (x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.
答案：(－1,3)
8．不等式x2＋2x－a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x2＋2x，x∈[1，＋∞)，
则f(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，
∴当x＝1时f(x)取最小值f(1)＝3.
∵x2＋2x－a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
∴3－a>0，即a<3.
答案：(－∞，3)
9．已知实数a≠0，函数f (x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；
②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合题意．
综上所述，a＝－.
答案：－
10．设函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f ＝－f(2x)．
解：(1)要使原函数有意义，只需4－x2≠0，即x≠±2，
所以f(x)的定义域为{x|x≠±2}．
因为f(x)的定义域为{x|x≠±2}，所以定义域关于原点对称．
又f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)为偶函数．
(2)证明：因为f ＝＝，
f(2x)＝＝，
所以f ＝－f (2x)．
11．已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值；
(2)画出函数图象．
解：(1)当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝x2＋2x, 所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
12．f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数．
(1)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(2)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解：(1)证明：设x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝，
因为－1＜x1＜x2＜1，
所以x1－x2＜0,1－x1x2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是增函数．
(2)由函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数且f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)，又由(1)可知函数f(x)在(－1,1)上是增函数，所以有?0＜t＜，所以不等式的解集是.
复习课(四) 函数的应用
1．题型为选择题或填空题，主要考查零点个数的判断及零点所在区间．
2．函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
[典题示例] 函数f(x)＝的零点个数为________．
[解析] 令f(x)＝0，得到解得x＝－1；
或
在同一个直角坐标系中画出y＝2－x和y＝ln x的图象，
观察交点个数，如图所示．函数y＝2－x和y＝ln x，x＞0，在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f(x)在x＜0时的零点有一个，在x＞0时零点有一个，所以f(x)的零点个数为2.
[答案] 2
[类题通法]
确定函数零点个数的方法
(1)解方程f(x)＝0有几个根．
(2)利用图象找y＝f(x)的图象与x轴的交点或转化成两个函数图象的交点个数．
(3)利用f(a)·f(b)与0的关系进行判断．
1．函数f(x)＝lg x－的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8)
C．(8,9) D．(9,10)
解析：选D ∵f(6)＝lg 6－＝lg 6－＜0，f(7)＝lg 7－＜0，f(8)＝lg 8－＜0，f(9)＝lg 9－1＜0，
f(10)＝lg 10－＞0，
∴f (9) · f (10)＜0.
∴f(x)＝lg x－的零点的大致区间为(9,10)．
2．已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C ∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)是增函数，
又f(1)＝ln 1－－1＝ln 1－2＜0，
f(2)＝ln 2－0＜0，
f(3)＝ln 3－1＞0，
∴x0∈(2,3)．
3．函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________．
解析：在同一直角坐标系内，画出y1＝|x|和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0＜m＜1.
答案：(0,1)
1．通过对近几年高考试题的分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．
2．函数实际应用的示意图
[典题示例] 某网店经营的某消费品的进价为每件12元，周销售量p(件)与销售价格x(元)的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．
(1)写出周销售量p(件)与销售价格x(元)的函数关系式；
(2)写出利润周利润y(元)与销售价格x(元)的函数关系式；
(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．
[解] (1)由题设知，当12≤x≤20时，设p＝ax＋b，
则∴a＝－2，b＝50.
∴p＝－2x＋50，
同理得，当20＜x≤28时，p＝－x＋30，
所以p＝
(2)当12≤x≤20时，y＝(x－12)(－2x＋50)－20＝－2x2＋74x－620；
当20＜x≤28时，y＝(x－12)(－x＋30)－20＝－x2＋42x－380.
∴y＝
(3)当12≤x≤20时，y＝－2x2＋74x－620，
∴x＝时，y取得最大值.
当20＜x≤28时，y＝－x2＋42x－380，
∴x＝21时，y取得最大值61.
∵＞61，∴该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为.
[类题通法]
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示．
(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．
(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．
1.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速率越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的是序号是________．
解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0＜α＜1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
答案：②③
2．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选D 令a＝aent，即＝ent，由已知得＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.
3．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：
年固定成本
(万美元)
每件产品成
本(万美元)
每件产品销
售价(万美元)
每年最多可
生产件数
甲产品
20
a
10
200
乙产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3≤a≤8.另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(x∈N)之间的函数关系式；
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．
解：(1)由题知y1＝10x－(20＋ax)＝(10－a)x－20,0≤x≤200且x∈N；
y2＝18x－(40＋8x)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x≤120且x∈N.
(2)∵3≤a≤8，∴10－a＞0，
∴y1＝(10－a)x－20为增函数．
又0≤x≤200，x∈N，
∴x＝200时y1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10－a)×200－20＝1 980－200a(万美元)．
又y2＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x≤120，x∈N，
∴x＝100时y2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元．
1．已知函数f(x)＝则该函数的零点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 当x＜0时，令x(x＋4)＝0，解得x＝－4；当x≥0时，令x(x－4)＝0，解得x＝0或4.综上，该函数的零点有3个．
2．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(0,1)
C．(2，e) D．(3,4)
解析：选A f(1)＝ln 2－2＝ln＜ln 1＝0，
f(2)＝ln 3－1＝ln＞ln 1＝0，
所以函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(1,2)．
3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D 设该家具的进货价是x元，由题意得132(1－10%)－x＝x·10%，解得x＝108元．
4．下列函数：①y＝lg x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有2个零点的函数是( )
A．①② B．③④
C．②③ D．④
解析：选D 分别作出这四个函数的图象，其中④y＝|x|－1的图象与x轴有两个交点，即有2个零点，选D.
5．已知函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]内( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
解析：选B 由于f(a)f(b)＜0，则f(a)＜0＜f(b)或f(b)＜0＜f(a)，又函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则至多有一个实数x0∈[a，b]，使f(x0)＝0，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内至多有一实根．
6．已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
解析：选A 设y1＝a|x|，y2＝|logax|，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个根．故选A.
7．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为________．
解析：由题意，S＝(4＋x)，即S＝－x2＋x＋12，∴当x＝1时，S最大．
答案：1
8．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a元(价格为整数)，则a的值为________．
解析：设按出厂价y元购买x(x≤50)套应付a元，
则a＝xy.
再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元，则a＝(x＋11)(y－30)，其中x＋11＞50.
∴xy＝(x＋11)(y－30)(39＜x≤50)．
∴x＝y－30.又x∈N，y∈N(因价格为整数)，39＜x≤50，
∴x＝44，y＝150，a＝44×150＝6 600.
答案：6 600
9．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，如下图，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.
答案：(1，＋∞)
10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在规定的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．
(1)请写出规定时间内产品的总利润y与档次x之间的函数关系式，并写出x的定义域；
(2)在规定的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．
解：(1)由题意知，生产第x个档次的产品每件的利润为8＋2(x－1)元，该档次的产量为60－3(x－1)件．则规定时间内第x档次的总利润
y＝(2x＋6)(63－3x)＝－6x2＋108x＋378，其中x∈{x∈N*|1≤x≤10}．
(2)y＝－6x2＋108x＋378＝－6(x－9)2＋864，则当x＝9时，y有最大值为864.故在规定的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．
11．A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)求x的范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．
解：(1)x的取值范围为[10,90]．
(2)y＝0.25×20x2＋0.25×10(100－x)2＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝2＋.
则当x＝ km时，y最小．
故当核电站建在距A城 km时，才能使供电费用最小．
12．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y
＝100x－
＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，
所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )
A．A?B B．A∩B＝{2}
C．A∪B＝{1,2,3,4,5} D．A∩(?UB)＝{1}
解析：选D A显然错误；A∩B＝{2,3}，B错；A∪B＝{1,2,3,4}，C错，故选D.
2．设f(x)＝则f(f(2))＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ∵f(2)＝log3(22－1)＝1.
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
3．函数y＝log2|1－x|的图像是( )
解析：选D 函数y＝log2|1－x|可由下列变换得到：
y＝log2x→y＝log2|x|→y＝log2|x－1|→y＝log2|1－x|.故选D.
4．函数f(x)＝lg x－的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,10)
C．(10,100) D．(100，＋∞)
解析：选B ∵f(1)＝－1＜0，f(10)＝1－＝＞0，f(100)＝2－＞0，
∴f(1)·f(10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f(x)＝lg x－的零点所在的区间为(1,10)．
5．如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的( )
解析：选B 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.
6．已知函数f(x)＝，则有( )
A．f(x)是奇函数，且f＝－f(x)
B．f(x)是奇函数，且f＝f(x)
C．f(x)是偶函数，且f＝－f(x)
D．f(x)是偶函数，且f＝f(x)
解析：选C ∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，排除A、B.
又f＝＝＝－f(x)，故选C.
7．已知函数f(x)＝m＋log2x2的定义域是[1,2]，且f(x)≤4，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选A 因为f(x)＝m＋2log2x在[1,2]是增函数，且由f(x)≤4，得f(2)＝m＋2≤4，
得m≤2.
8．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
解析：选C 作出f(x)的大致图象．
由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a于是lg a＋lg b＝0.
故ab＝1.因而abc＝c.
由图知10二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．设U＝R，已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，且(?UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：∵A＝{x|x＞1}，
∴?UA＝{x|x≤1}．
由B＝{x|x＞a}，(?UA)∪B＝R可知a≤1.
答案：(－∞，1]
10．(浙江高考)已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析：∵logab＋logba＝logab＋＝，
∴logab＝2或.
∵a＞b＞1，∴logab＜logaa＝1，
∴logab＝，∴a＝b2.
∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，即b2b＝bb2，
∴2b＝b2，∴b＝2，a＝4.
答案：4 2
11．已知f(x)是定义在[m,4m＋5]上的奇函数，则m＝________，当x>0时，f(x)＝lg(x＋1)，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：由奇函数的定义区间关于原点对称可知m＋4m＋5＝0，解得m＝－1；当x<0时，－x>0，此时f(－x)＝lg(－x＋1)＝－f(x)，故f(x)＝－lg(1－x)，即当x<0时，f(x)＝－lg(1－x)．
答案：－1 －lg(1－x)
12．设函数f(x)＝则f＝________，f(x)>的解集为________．
解析：∵f＝ln<0，
∴f＝f＝eln＝.
f(x)>等价于或
解得－ln 2，
故f(x)>的解集为{x|－ln 2}．
答案： {x|－ln 2}
13．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________，f＝________.
解析：∵0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2.
∵2＞1，∴f(2)＝4＋2a，
∴f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，
∴a＝2.f＝f＝＋1.
答案：2 ＋1
14．(山东高考)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析：作出f(x)的图象如图所示．
当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，
则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.
又m＞0，解得m＞3.
答案：(3，＋∞)
15．已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________．
解析：∵要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)上，恒有f(x)≥0，∴有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)上恒成立，即2x≥b＋1恒成立．又∵指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数．∴只要2≥b＋1成立即可，解得b≤1.
答案：(－∞，1]
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知集合A＝{x|2＜2x＜8}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若B??RA，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，A＝{x|2＜2x＜8}＝(1,3)，B＝{x|a≤x≤a＋3}＝[2,5]，
故A∩B＝[2,3)．
(2)?RA＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．
故由B??RA知，a＋3≤1或a≥3，
故实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
17．(本小题满分15分)已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4,2)．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域；
(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间．
解：(1)由已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4,2)，
则2＝loga4，即a2＝4，
又a＞0且a≠1，
所以a＝2.
(2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)
＝log2(1－x)＋log2(1＋x)．
由得－1＜x＜1，定义域为(－1,1)．
(3)g(x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2(1－x2)，其单调减区间为[0,1)．
18．(本小题满分15分)某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．
(1)试求y关于x的函数解析式；
(2)当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？
解：(1)设日均销售y与销售单价x(元)的函数关系为：y＝kx＋b(k≠0)，把(3,600)，(5,500)代入上式，得
解得k＝－50，b＝750，
∴日均销售量y与销售单价x(元)的函数关系为y＝－50x＋750,3≤x≤12.
(2)设销售单价为x元，日均获利W元，根据题意得，
W＝(x－3)(－50x＋750)－300＝－50(x－9)2＋1 500，
∵a＝－50＜0，且3＜9＜12，
∴当x＝9时，W有最大值，最大值为1 500元．
19．(本小题满分15分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1.
(1)求f(3)＋f(－1)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若x∈A，f(x)∈[－7,3]，求区间A.
解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(3)＋f(－1)＝f(3)－f(1)＝23－1－2＋1＝6.
(2)设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝2－x－1，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，
∴f(x)＝
(3)作出函数f(x)的图象，如图所示．
根据函数图象可得f(x)在R上单调递增，
当x＜0时，－7≤－2－x＋1＜0，
解得－3≤x＜0；
当x≥0时，0≤2x－1≤3，解得0≤x≤2；
∴区间A为[－3,2]．
20．(本小题满分15分)对于函数f(x)＝a－(a∈R，b＞0，且b≠1)．
(1)探索函数y＝f(x)的单调性；
(2)求实数a的值，使函数y＝f(x)为奇函数；
(3)在(2)的条件下，令b＝2，求使f(x)＝m(x∈[0,1])有解的实数m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为R，设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
当b＞1时，由x1＜x2，
得bx1＜bx2，从而bx1－bx2＜0，
于是f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x1)＜f(x2)，
此时函数f(x)在R上是单调增函数；
当0＜b＜1时，由x1＜x2，
得bx1＞bx2，从而bx1－bx2＞0，
于是f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2)，
此时函数f(x)在R上是单调减函数．
(2)函数f(x)的定义域为R，由f(0)＝0得a＝1.
当a＝1时，
f(x)＝1－＝，
f(－x)＝1－＝＝.
满足条件f(－x)＝－f(x)，
故a＝1时，函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)＝1－，∵x∈[0,1]，
∴2x∈[1,2]，2x＋1∈[2,3]，∈，
∴f(x)∈，
要使f(x)＝m(x∈[0,1])有解，
则0≤m≤，即实数m的取值范围为.
