2.1
2．1.1 指数与指数幂的运算
预习课本P48～53，思考并完成以下问题
(1)n次方根是怎样定义的？
(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？
(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
1．n次方根
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0
x不存在
[点睛] 根式的概念中要求n＞1，且n∈N*.
2．根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：(n＞1，且n∈N*)
①()n＝a. ②＝
[点睛]
()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.
3．分数指数幂的意义
分数指幂
正分数
指数幂
规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数
指数幂
规定：a＝＝
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的分数
指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
[点睛] 分数指数幂a不可以理解为个a相乘．
4．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意实数的奇次方根只有一个．( )
(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．( )
(3) ＝4－π.( )
(4)分数指数幂a可以理解为个a相乘．( )
(5)0的任何指数幂都等于0.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2.可化为( )
A．a B．a C．a D．.－a
答案：A
3．化简25的结果是( )
A．5 B．15 C．25 D．.125
答案：D
4．计算：π0＋2－2×＝________.
答案：
[例1] 化简：
(1)(x＜π，n∈N*)；
(2).
[解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0.
当n为偶数时，
＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，
＝x－π.
综上可知，＝
(2)∵a≤，∴1－2a≥0，
∴＝＝＝.
根式化简应遵循的3个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．
(2)被开方数是带分数的要化成假分数．
(3)被开方数中不能含有分母；使用＝·(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
[活学活用]
1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( )
A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
解析：选B ∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.
又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.
2．若＝，则实数a的取值范围为________．
解析： ＝|2a－1|，
＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a，
故2a－1≤0，所以a≤.
答案：
[例2] 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：
(1)；(2)a3·；(3) .
[解] (1)＝＝a.
(2)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
(3) ＝＝b·＝b·(－a－2) ＝－ba
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 化为 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 化为 分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[活学活用]
3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝(－x) (x＞0) B.＝y(y＜0)
C．x－＝ (x＞0) D．x－＝－(x≠0)
解析：选C －＝－x (x＞0)；
＝[(y)2]＝－y (y＜0)；
x－＝(x－3)＝ (x＞0)；
x＝＝(x≠0)．
4．将下列根式与分数指数幂进行互化：
①a；② (a＞0)；③(a＞0)．
解：①a＝.
② ＝a·a＝a.
③原式＝a3·a·a＝a＝a.
[例3] 计算下列各式：
(1)0＋2－2×－－0.010.5；
(2)0.064－0＋[(－2)3] ＋16－0.75；
(3) · (a>0，b>0)．
[解] (1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(3)原式＝·a·a·b·b＝a0b0＝.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
[活学活用]
5．计算：
(1)0.027－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2÷4·3.
解：(1)原式＝(0.33) －＋(44) ＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－ac－1＝－.
(3)原式＝2a÷(4ab)·(3b)
＝ab·3b＝ab.
[例4] 已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[解] (1)将a＋a＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.
[一题多变]
1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.
解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
答案：±3
2．[变条件]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 值．
解：＝＝. ①
∵a＋b＝12，ab＝9， ②
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6. ③
将②③代入①，得＝＝－.
条件求值的步骤
层级一 学业水平达标
1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A．(－1)和(－1) B．0－2和0
C．2和4 D． 4和－3
解析：选C 选项A中，(－1) 和(－1) 均符合分数指数幂的定义，但(－1) ＝－1，(－1)＝＝1，故A不满足题意；选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，4和－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中，2＝，4＝＝2＝，满足题意．故选C.
2．已知：n∈N，n＞1，那么等于( )
A．5 B．－5
C．－5或5 D．不能确定
解析：选A ＝＝5.
3．计算－的结果为( )
A. B. C．－ D．－
解析：选A －＝－＝－1＝.
4．化简[]的结果为( )
A．5 B. C．－ D．.－5
解析：选B []＝[(－5) ] ＝5＝.
5．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)得( )
A．－b2 B.b2 C．－b D.b
解析：选A 原式＝＝－b2.
6．若x≠0，则|x|－＋＝________.
解析：∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋＝1.
答案：1
7．若＋＝0，则(x2 017)y＝________.
解析：因为 ＋ ＝0，
所以 ＋ ＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
所以x＝－1，y＝－3.
∴(x2 017)y＝[(－1)2 017]－3＝(－1)－3＝－1.
答案：－1
8. － ＋ 的值为________．
解析：原式＝ － ＋ ＝－＋＝.
答案：
9．计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1))÷ ；
(2)(mn－)8.
解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－
＝4ab0＝4a.
(2)原式＝(m)8(n)8＝m2n－3＝.
10．已知＋＝－a－b，求＋的值．
解：因为＋＝－a－B.
所以＝－a，＝－b，
所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，
所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
层级二 应试能力达标
1．计算(n∈N*)的结果为( )
A. B．22n＋5
C．2n2－2n＋6 D.2n－7
解析：选D 原式＝＝＝27－2n＝2n－7.
2. 0－(1－0.5－2)÷的值为( )
A．－ B. C. D.
解析：选D 原式＝1－(1－22)÷2＝1－(－3)×＝.故选D.
3．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．a B．a C．a D．.a
解析：选C ＝＝＝＝a2·a－＝a2－＝a.
4．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A. B. C．1 D.
解析：选B ∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.
∴x8＝9.∴x＝＝.
5．如果a＝3，b＝384，那么an－3＝________.
解析：an－3＝3n－3＝3[(128)]n－3＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
6．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
答案： 2
7．化简求值：
(1) 0.5＋0.1－2＋－－3π0＋；
(2)8－(0.5)－3＋－6×；
(3)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
解：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)8－(0.5)－3＋－6×＝(23)－(2－1)－3＋(3－)－6×＝22－23＋33×－3＝4－8＋27×＝4.
(3)原式＝(－1)－×－＋－－＋1
＝－＋(500) －10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
8．已知a＝3，求＋＋＋的值．
解：＋＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.
2．1.2 指数函数及其性质
第一课时 指数函数及其性质
预习课本P54～58，思考并完成以下问题
(1)指数函数的概念是什么？
(2)结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？
(3)指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？
1．指数函数的定义
函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
[点睛] 指数函数解析式的3个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
a＞1
0＜a＜1
图 象
a＞1
0＜a＜1
性 质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过点(0,1)即x＝0时，y＝1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
[点睛] 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x2是指数函数． ( )
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数． ( )
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方． ( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．函数y＝(－1)x在R上是( )
A．增函数 B．奇函数
C．偶函数 D．.减函数
答案：D
3．函数y＝2－x的图象是( )
答案：B
4．函数f(x)＝2x＋3的值域为________．答案：(3∞)
[例1] (1)下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3 B．a＝1
C．a＝3 D． a>0且a≠1
[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，y＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．
(2)由指数函数定义知所以解得a＝3.
[答案] (1)B (2)C
判断一个函数是指数函数的方法
(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
[活学活用]
1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________.
解析：由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，
可得解得∴a＝2.
答案：2
[例2] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝－|x|；(3)y＝ .
[解] (1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)．
(3)由题意知1－x≥0，∴x≤1＝0，∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．∵x≥0∴x≤1.
又∵x＞0，∴0＜x≤1.∴0≤1－x＜1，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)．
指数型函数的定义域、值域的求法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．
[活学活用]
2．求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝3；(2)y＝. 解：(1)由5x－1≥0，得x≥，
所以所求函数的定义域为.由≥0，得y≥1，
所以所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴x2－2x－3≤－4＝16.又∵＞0，
∴函数y＝的值域为(0,16].
题点一：指数型函数过定点问题
1．函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．
解析：因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
答案：(3,4)
题点二：指数型函数图象中数据判断
2．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D． 0＜a＜1，b＜0
解析：选D 从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
题点三：作指数型函数的图象
3．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x.
解：如图．
(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的；
(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
层级一 学业水平达标
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；
④y＝ 2x－1.
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D. (0，＋∞)
解析：选C 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(－1,0) D. (1,0)
解析：选C 当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．
4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
解析：选A 当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
5．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则( )
A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．0＜a＜1，b＞1 D.0＜a＜1,0＜b＜1
解析：选C 由图象知，函数y＝ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝bx在R上单调递增，故b＞1.
6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______.
解析：由指数函数的定义得解得a＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为______．
解析：由已知得解得
所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.
答案：7
8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，∴－x＜0,0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
答案：(－1,0)∪(0,1)
9．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1.(2)y＝2x2－2.
解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜2x2－2≤9，所以函数y＝的值域为(0,9]．
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值．
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数为f(x)＝x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜x－1≤－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．
层级二 应试能力达标
1．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，∴0≤16－4x＜16，即函数y＝ 的值域为[0,4)．
2．函数y＝2－1的定义域、值域分别是( )
A．R，(0，＋∞) B．{x|x≠0}，{y|y＞－1}
C．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠1} D．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠0}
解析：选C 要使y＝2－1有意义，只需有意义，即x≠0.若令u＝＝1－，则可知u≠1，∴y≠21－1＝1.又∵y＝2－1＞0－1＝－1，∴函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞－1，且y≠1}．
3．函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．.直线y＝－x对称
解析：选C 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于y轴对称，选C.
4．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
解析：选C 由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
5．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，
由f ＝得，a＝5－2＝5，∴a＝5，∴f(x)＝5x.
答案：5x
6．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
答案：[1，＋∞)∪{0}
7．已知函数f(x)＝|x|－1.
(1)作出f(x)的简图；
(2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝如图所示．
(2)作出直线y＝3m，当－1＜3m＜0时，即－＜m＜0时，函数y＝f(x)与y＝3m有两个交点，即关于x的方程f(x)＝3m有两个解．
8．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．
解：设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.
第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)
[例1] 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.50.3和0.81.2.
[解] (1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.
(2)∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.
(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.
比较指数式大小的三种类型及处理方法
[活学活用]
1．比较下列各题中两个值的大小．
(1)0.8－0.1,1.250.2；
(2)1.70.3,0.93.1.
解：(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1.
[例2] 求解下列不等式：
(1)已知3x≥－0.5，求实数x的取值范围．
(2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)因为－0.5＝30.5，所以由3x≥－0.5可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5.
(2)①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－.
②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－.综上，
当0＜a＜1时，x＞－；当a＞1时，x＜－.
指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：
当a＞1时，f(x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等．
[活学活用]
2．解不等式：≤2.
解：∵＝(2－1)＝2，∴原不等式等价于2≤21.∵y＝2x是R上的增函数，∴2－x2≤1，∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}.
[例3] 判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，
∴0＜u≤－1＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
[一题多变]
1．[变条件]本例中“x∈R”变为“x∈[－1,2]”．判断f(x)的单调性，并求其值域．
解：由本例解析知，又x∈[－1,2]，
∴f(x)＝x2－2x(x∈[－1,2])在[－1,1]上是增函数，在(1,2]上是减函数．
∵u＝x2－2x(x∈[－1,2])的最小值、最大值分别为umin＝－1，umax＝3，∴f(x)的最大值、最小值分别为f(1)＝－1＝3，f(－1)＝3＝.∴函数f(x)的值域为.
2．[变设问]在本例条件下，解不等式f(x)＜f(1)．
解：∵f(x)＜f(1)，即x2－2x＜－1，∴x2－2x＞－1，∴(x－1)2＞0，∴x≠1，
∴不等式的解集为{x|x≠1}．
函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
[例4] 某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．
[解] 现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；
…
经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．
故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.
解决指数函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
[活学活用]
3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
答案：19
层级一 学业水平达标
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
解析：选D ∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，
∴0.90.3＞0.90.5.
2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是.
3．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
解析：选B ∵函数y＝x在R上为减函数，
∴2a＋1＞3－2a，∴a＞.
4．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则( )
A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2)
C．f(1)＞f(2) D. f(－2)＞f(2)
解析：选A f(2)＝a－2＝4，a＝，f(x)＝－|x|＝2|x|，则f(－2)＞f(－1)．
5．函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D. (0,1)
解析：选A 定义域为R.
设u＝1－x，y＝u，
∵u＝1－x在R上为减函数，
y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.
6．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．
解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x＜1,2－x＞1,0.2x＞1，又因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c.
答案：b＜a＜c
7．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．
解析：设t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，
∴t＝1或t＝－2.
∵t＞0，∴t＝－2舍去．
∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.
答案：0
8．函数y＝3x的值域为________．
解析：设u＝x2－2x，则y＝3u，
u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以y＝3u≥3－1＝，
所以函数y＝3的值域是.
答案：
9．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)＜g(3x)，求x的取值范围．
解：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝x，因此g(2x－1)＜g(3x)，即2x－1＜3x，所以2x－1＞3x，解得x＜－1.
10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
解：函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．若a＞1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0＜a＜1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝.综上所述，a＝3或.
层级二 应试能力达标
1．已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．a＞1
C．a＜1 D．0＜a＜1
解析：选D ∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，
又f(x)＝a－x＝x，
∴－2＞－3，
∴＞1，∴0＜a＜1.
2．已知函数f(x)＝a2－x(a＞0且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数
D．.当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数
解析：选A 令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x＞2时，f(x)＞1，所以当t＜0时，at＞1.所以0＜a＜1，所以f(x)在R上是增函数，故选A.
3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1 C．3 D.
解析：选C 函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.
4．函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：选B 由单调性定义，f(x)为减函数应满足：
即≤a＜1，故选 B.
5．函数f(x)＝的单调递增区间为________．
解析：由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数．所以函数f(x)＝的单调递增区间为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
6．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
解析：∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．
∴x>1－x.即x>.
答案：
7．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
解：(1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；
…
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210≈112.7(万人)．
8．设函数f(x)＝－，
(1)证明函数f(x)是奇函数；
(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．
解：(1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝－＝－＝＝－＋＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝.
因为x1＜x2，所以2x1－2x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．
(3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝，
f(x)max＝f(2)＝.
所以函数f(x)在[1,2]上的值域为.
2.2
2．2.1 对数与对数运算
第一课时 对数
预习课本P62～63，思考并完成以下问题
对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？
(2)什么是常用对数和自然对数？
(3)如何进行对数式和指数式的互化？
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
[点睛] logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.
3．对数与指数的关系
若a＞0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x.
对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)1的对数为零；
(2)底的对数为1；
(3)零和负数没有对数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积．( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有( )
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．loga2＝M D．.log2a＝M
答案：B
3．log21＋log22＝( )
A．3 B．2 C．1 D．.0
答案：C
4．已知log3＝0，则x＝________.
答案：3
[例1] 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝； (2)－2＝16；
(3)log27＝－3; (4)log64＝－6.
[解] (1)∵3－2＝，∴log3＝－2.
(2)∵－2＝16，∴log16＝－2.
(3)∵log27＝－3，∴－3＝27.
(4)∵log64＝－6，∴()－6＝64.
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[活学活用]
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝； (2)3a＝27；
(3)10－1＝0.1; (4)log32＝－5；
(5)lg 0.001＝－3.
解：(1)log2＝－7.
(2)log327＝a.
(3)lg 0.1＝－1.
(4)－5＝32.
(5)10－3＝0.001.
[例2] 求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
[解] (1)x＝(64)＝(43) ＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23) ＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.所以x＝－2.
求对数值的3个步骤
(1)设出所求对数值；
(2)把对数式转化为指数式；
(3)解有关方程，求得结果．
[活学活用]
2．求下列各式中的x值：
(1)logx27＝； (2)log2x＝－；
(3)x＝log27； (4)x＝log16.
解：(1)由logx27＝，可得x＝27，
∴x＝27＝＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝2.
∴x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝log16，可得x＝16.
∴2－x＝24，∴x＝－4.
[例3] 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3(log4(log5x))＝0.
[解] (1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
[一题多变]
1．[变条件]本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？
解：由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.
2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625的值．
解：因为x＝625，则625＝3.
3．[变条件]本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3＝1”，又如何求解x呢？
解：由3＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
1．利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用
(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
层级一 学业水平达标
1．将－2＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B．log9＝－2
C．log (－2)＝9 D．log9(－2)＝
解析：选B 根据对数的定义，得log9＝－2，故选 B.
2．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
解析：选A ∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
3．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a＞且a≠1 B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1 D．a＜
解析：选B 由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0＜a＜.
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．.log77＝1与71＝7
解析：选C 由指对互化的关系：
ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正确；C中log39＝2?9＝32.
5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0 C．x D. y
解析：选B 由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴logx(yx)＝log2(12)＝0.
6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.
解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3.
答案：4 －3
7．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________.
解析：∵log2(1－2x)＝1＝log22，
∴1－2x＝2，
∴x＝－.
经检验满足1－2x>0.
答案：－
8．已知log7(log3(log2x))＝0，那么x＝________.
解析：由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
∴x－＝8－＝＝＝＝.
答案：
9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；
(2)4－2＝；
(3)log8＝－3；
(4)log3＝－3.
解：(1)∵53＝125，∴log5125＝3.
(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.
(3)∵log8＝－3，∴－3＝8.
(4)∵log3＝－3，∴3－3＝.
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解：∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
层级二 应试能力达标
1．若loga＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5c B．b5＝ac
C．b＝5ac D. b＝c5a
解析：选A 由loga＝c，得ac＝，∴b＝(ac)5＝a5c.
2．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为( )
A．－3 B．3
C．－1或3 D．.1或－3
解析：选B 由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.
3.的值为( )
A．6 B.
C．8 D.
解析：选C ＝－1·＝2×4＝8.
4．若a>0，a＝，则loga等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B ∵a＝，a>0，
∴a＝＝3，
设loga＝x，∴x＝a.
∴x＝3.
5．使方程(lg x)2－lg x＝0的x的值为________．
解析：由lg x(lg x－1)＝0得lg x＝0或lg x＝1，即x＝1或x＝10.
答案：1或10
6．计算23＋log23＋32－log39＝________.
解析：23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋＝8×3＋＝25.
答案：25
7．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值．
解：∵log2(log3(log4x))＝0，
∴log3(log4x)＝1，
∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，
∴y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
8．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
(2)已知logx27＝31＋log32，求x的值．
解：(1)∵log189＝a，log1854＝b，∴18a＝9,18b＝54，
∴182a－b＝＝＝.
(2)logx27＝31＋log32＝3·3log32＝3×2＝6.
∴x6＝27，∴x6＝33，又x＞0，∴x＝.
第二课时 对数的运算
预习课本P64～67，思考并完成以下问题
(1)对数具有哪三条运算性质？
(2)换底公式是如何表述的？
1．对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，
(2)loga＝logaM－logaN，
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
[点睛] 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
2．换底公式
若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差． ( )
(2)loga(xy＝logax·logay. ( )
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)． ( )
(4)由换底公式可得logab＝. ( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．计算log84＋log82等于( )
A．log86 B．8 C．6 D．.1
答案：D
3．计算log510－log52等于( )
A．log58 B．lg 5 C．1 D．.2
答案：C
4．log48＝________.
答案：
[例1] 求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；
(2)lg；
(3)lg 14－2 lg＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[解] (1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
(2)lg ＝lg 100＝lg 100＝×2＝.
(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
[活学活用]
1．求下列各式的值：
(1)lg 0.000 01；
(2)ln .
(3)2log32－log3＋log38－5log53 ；
(4).
解：(1)lg 0.000 01＝lg 10－5＝－5lg 10＝－5.
(2)ln＝ln e＝.
(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
(4)原式＝
＝＝.、
[例2] 计算(1)log29·log34；(2).
[解] (1)由换底公式可得，
log29·log34＝·＝·＝4.
(2)原式＝×＝log×log 9
＝×＝×＝－.
换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．
[活学活用]
2．计算(log43＋log83)×.
解：原式＝×
＝×＋×
＝＋＝.
[例3] (1)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底)．(ln 3≈1.099)
当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
[解] (1)因为v＝ln2 000
＝2 000·ln，
所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
(2)因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝
＝.
[一题多变]
1．[变设问]若本例(2)条件不变，如何求log1845(用a，b表示)?
解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋ B.
2．[变条件]若将本例(2)条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，则又如何求解呢？
解：因为9b＝5，所以log95＝B.
所以log3645＝＝
＝＝.
解对数综合应用问题的3种方法
(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．
(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．
(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．
层级一 学业水平达标
1.＝( )
A. B．2 C. D.
解析：选B 原式＝＝＝2.
2．2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．.4
解析：选C 原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
3．若a＞0，且a≠1，则下列说法正确的是( )
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．.若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析：选B 在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．
4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
解析：选A ∵a＝log32，
∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
5．计算log225·log32·log59的结果为( )
A．3 B．4 C．5 D．.6
解析：选D 原式＝··＝··＝6.
6．已知a2＝(a＞0)，则loga＝________.
解析：由a2＝(a＞0)得a＝，
所以log＝log2＝2.
答案：2
7．lg ＋lg的值是________．
解析：lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.
答案：1
8．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
解析：logab·log3a＝·＝＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
答案：81
9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)； (2)lg；
(3)lg； (4)lg .
解：(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg(xy3)－lg
＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg －lg (y2z)
＝lg x－2lg y－lg z.
10．求下列各式的值：
(1)2log525＋3log264；
(2)lg(＋)；
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.
解：(1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4，
3log264＝3log226＝18log22＝18，
∴2log525＋3log264＝4＋18＝22.
(2)原式＝lg(＋)2
＝lg(3＋＋3－＋2)
＝lg 10＝.
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2
＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2
＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
层级二 应试能力达标
1．若log5 ·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9 B. C．25 D.
解析：选D 由换底公式，得··＝2，lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
2．若ab＞0，给出下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；
②lg ＝lg a－lg b；
③lg2＝lg ；
④lg(ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是( )
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
解析：选D ∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴＞0，lg2＝×2lg＝lg，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.
3．若lg x－lg y＝t，则lg3－lg3＝( )
A．3t B.t
C．t D.
解析：选A lg3－lg3＝3lg－3lg＝3lg＝3(lg x－lg y)＝3t.
4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则－＝( )
A. B．3
C．－ D．－3
解析：选A ∵x＝log2.51 000，y＝log0.251 000，
∴＝＝log1 0002.5，
同理＝log1 0000.25，
∴－＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝＝.
5.＝________.
解析：＝＝＝＝＝1.
答案：1
6．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
解析：因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
答案：4
7．计算下列各式的值：
(1)log535＋2log－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2
＝log5＋log2＝log553－1＝2.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64
＝÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.
8．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba )＝12.
2．2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数的图象及性质
预习课本P70～73，思考并完成以下问题
(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
(2)对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？
(3)反函数的概念是什么？
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
[点睛] 形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2．对数函数的图象及性质
a的范围
0＜a＜1
a＞1
图 象
a的范围
0＜a＜1
a＞1
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
[点睛] 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
3．反函数
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R. ( )
(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数． ( )
(3)对数函数的图象一定在y轴右侧． ( )
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
答案：A
3．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D. (－∞，1]
答案：B
4．已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)
答案：增
[例1] 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x； (2)y＝log6x；
(3)y＝logx5; (4)log2x＋1.
[解] (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．
判断一个函数是对数函数的方法
[活学活用]
1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
答案：1
[例2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x); (2)y＝log(1－x)5；
(3)y＝； (4)y＝ .
[解] (1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需解得x<1，且x≠0，所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．
(3)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域是{x|x<4，且x≠3}．
(4)要使函数式有意义，需解得＜x≤1，所以函数y＝的定义域是.
求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
[活学活用]
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝lg(x＋1)＋；
(2)y＝logx－2(5－x)．
解：(1)要使函数式有意义，需∴
∴－1＜x＜1.∴该函数的定义域为(－1,1)．
(2)要使函数式有意义，需∴
∴2＜x＜5，且x≠3.
∴该函数的定义域为(2,3)∪(3,5).
题点一：对数型函数图象的判断
1．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
解析：选C y＝a－x＝x，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C.
题点二：作对数型函数的图象
2．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
解：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
题点三：对数型函数图象的数据分析
3．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
解析：选B 作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
有关对数型函数图象问题的应用技巧
(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选C 由题意知
解得x>－1且x≠1.
2．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log4x B．y＝logx
C．y＝logx D．.y＝log2x
解析：选D 由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选A ∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∴log2(3x＋1)＞0.
∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
解析：选C 由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.
解析：由对数函数的定义可知，
解得a＝5.
答案：5
7．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
答案：(4，－1)
8．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1,3]时，f(x)的值域是________．
解析：设f(x)＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因为x∈[1,3]，所以0≤f(x)≤1.
答案：[0,1]
9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．
解：(1)由x－2＞0，得x＞2，
所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是.
层级二 应试能力达标
1．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选C 当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2.
2．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(4,10)∪(10，＋∞) D．[4,10)∪(10，＋∞)
解析：选D 由解得∴x≥4且x≠10，
∴函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10，＋∞)．故选D.
3．函数f(x)＝的定义域为(0,10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10 C．1 D.
解析：选C 由已知，得a－lg x≥0的解集为(0,10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.
4．函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为( )
解析：选C 函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，当x＞0时，f(x)＝logax＋1是增函数；当x＜0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知，选C.
5．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．
答案：(1,2)
6．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知f ＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
答案：[1,2]
7．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)
解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，
即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：当0恒有f(a)∴所求a的取值范围为(0,2)．
8．求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解：因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥logx≥－2.
设t＝logx，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
第二课时 对数函数及其性质的应用(习题课)
[例1] 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．
[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.
(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.
(3)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)同底的利用对数函数的单调性．
(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
[活学活用]
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)lg 6，lg 8； (2)log0.56，log0.54；
(3)log2与log2; (4)log23与log54.
解：(1)因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8.
(2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log0.56＜log 0.54.
(3)由于log2＝，log2＝.
又∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且＞，
∴0＞log2 ＞log2 ，∴＜.
∴log2＜log2.
(4)取中间值1，
∵log23＞log22＝1＝log55＞log54，∴log23＞log54.
[例2] (1)已知loga＞1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．
[解] (1)由loga＞1得loga＞logaa.
①当a＞1时，有a＜，此时无解．
②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1.
∴a的取值范围是.
(2)∵函数y＝log 0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7(x－1)
得解得x＞1.
∴x的取值范围是(1，＋∞)．
常见对数不等式的2种解法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
[活学活用]
2．已知loga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．
解：由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1.
当a＞1时，y＝logax是增函数，
∴解得a＞，
∴a＞1；
当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，
∴解得＜a＜.
∴＜a＜.
综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞).
[例3] 求下列函数的值域．
(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log (3＋2x－x2)．
[解] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u＞0，所以0＜u≤4.
又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，
所以logu≥log4＝－2，
所以y＝log (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．
[活学活用]
3．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．
解：y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
∵f(x)的定义域为[1,9]，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足
∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.
∴当x＝3时，y取得最大值，为13.
[例4] 已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．
求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．
[解] ∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．
∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，
∴h(x)为奇函数．
[一题多变]
1．[变条件]若f(x)变为loga(a＞1)：求f(x)的定义域．
解：因为f(x)＝loga，
需有＞0，即或所以－1＜x＜1.
所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．
2．[变设问]在本例条件下，若f(3)＝2，求使h(x)＜0成立的x的集合．
解：∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，
∴
解得－1＜x＜0.
故使h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}．
层级一 学业水平达标
1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选B ∵lg(2x－4)≤1，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是(2,7]，故选B.
2．已知logm＜logn＜0，则( )
A．n＜m＜1 B．m＜n＜1
C．1＜m＜n D．1＜n＜m
解析：选D 因为0＜＜1，logm＜logn＜0，
所以m＞n＞1，故选D.
3．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A. B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
4．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜c＜a B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：选D 由题知，a＝log45＞1，b＝0＝1，c＝log30.4＜0，故c＜b＜a.
5．函数f(x)＝lg是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.
6．比较大小：
(1)log22______log2；
(2)log3π______logπ3.
解析：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞，所以log22＞log2.
(2)因为函数y＝log3x增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.
同理1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
答案：(1)＞ (2)＞
7．不等式log (5＋x)解析：由得－2答案：{x|－28．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
解析：∵a＞1，
∴f(x)＝logax在[a,2a]上递增，
∴loga(2a)－logaa＝，
即loga2＝，
∴a＝2，a＝4.
答案：4
9．已知对数函数f(x)的图象过点(4,2)，试解不等式f(2x－3)＞f(x)．
解：设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，
因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)＞f(x)?log2(2x－3)＞log2x??x＞3，
所以原不等式的解集为(3，＋∞)．
10．求函数y＝log (1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．
解：要使y＝log (1－x2)有意义，则1－x2＞0，
∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1,1)．
令t＝1－x2，x∈(－1,1)．
当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝logt减小，
∴x∈(－1,0]时，y＝log (1－x2)是减函数；
同理当x∈[0,1)时，y＝log (1－x2)是增函数．
故函数y＝log (1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝log (1－02)＝0.
层级二 应试能力达标
1．若a＞0，且log0.25(a2＋1)＞log0.25(a3＋1)，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C ∵log0.25(a2＋1)＞log0.25(a3＋1)，∴a2＜a3，即a2(1－a)＜0，∴a＞1，故选C.
2．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
解析：选D 由于b＝log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，故b＜a＜c.
3．关于函数f(x)＝log (1－2x)的单调性的叙述正确的是( )
A．f(x)在内是增函数
B．f(x)在内是减函数
C．f(x)在内是增函数
D．.f(x)在内是减函数
解析：选C 由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝log (1－2x)的单调性与y＝1－2x的单调性相反．由1－2x＞0，得x＜，所以f(x)＝log (1－2x)的定义域为(－∞，)．因为y＝1－2x在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f(x)在内是增函数，故选C.
4．若函数f(x)＝loga(2x＋1)(a＞0，且a≠1)在区间内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调减区间是( )
A. B.
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：选B 当x∈时，2x＋1∈(0,1)，
所以0＜a＜1.
又因为f(x)的定义域为，y＝2x＋1在上为增函数，所以f(x)的单调减区间为.
5．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为________________．
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
做出函数图象如图所示．
由f ＝0，得f ＝0.
∴f(logx)＞0?logx＜－或logx＞?x＞2或0＜x＜，
∴x∈∪(2，＋∞)．
答案：∪(2，＋∞)
7．求函数f(x)＝log2(4x)·log，x∈的值域．
解：f(x)＝log2(4x)·log
＝(log2x＋2)·
＝－.
设log2x＝t.∵x∈，∴t∈[－1,2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴它在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
8．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解：(1)要使函数有意义，则有
解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3＜x＜1，所以0＜－(x＋1)2＋4≤4.
因为0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－＝.
2.3
预习课本P77～78，思考并完成以下问题
(1)幂函数是如何定义的？
(2)幂函数的解析式具有什么特点？
(3)常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？
1．幂函数的概念
函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
[点睛] 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
2．常见幂函数的图象与性质
解析式
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x
图象
定义域
R
R
R
{x|x≠0}
[0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
{y|y≠0}
[0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
解析式
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
在[0，＋∞)上单调递增
定点
(1,1)
[点睛] 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数． ( )
(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)． ( )
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限． ( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
答案：C
3．已知f(x)＝(m－1)x是幂函数，则m＝( )
A．2 B．1
C．3 D．0
答案：A
4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点，则f(4)＝________.
答案：
[例1] 已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
[解] ∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或y＝x0，定义域为{x|x≠0}．
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[活学活用]
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x
C．y＝22x D．y＝x－1
解析：选C 显然C中y＝22x＝4x，不是y＝xα的形式，所以不是幂函数，而A、B、D中的α分别为，，－1，符合幂函数的结构特征，故选C.
[例2] 比较下列各组数中两个数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)与.
[解] (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵函数y1＝x为R上的减函数，又>，
∴>.
又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，
∴>，∴>.
比较幂值大小的方法
(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；
(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；
(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
[活学活用]
2．比较下列各组值的大小：
(1)(－0.31)，0.35.
(2)1.2，1.4，1.42；
解：(1)∵y＝x为R上的偶函数，
∴(－0.31) ＝0.31.
又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31＜0.35，
∴0.31＜0.35，即(－0.31) ＜0.35.
(2)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，
∴1.2<1.4.
又∵y＝1.4x为增函数，且<2，∴1.4<1.42，
∴1.2<1.4<1.42.
[例3] 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P ，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
[解] 因为f(x)＝xα的图象过点P ，所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，试判断f(x)的奇偶性．
解：由本例知，f(x)＝x－2，
则f(－x)＝(－x)－2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
2．[变条件]本例中点P变为，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)的单调性，
解：∵f(x)的图象过点P ，
∴8α＝，即23α＝2－1，
∴3α＝－1，即α＝－，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x－(x≠0)．
(1)∵f(－x)＝(－x)－＝＝－＝－f(x)，
又f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
∴f(x)是奇函数．
(2)∵－<0，∴f(x)＝x－在(0，＋∞)上是减函数．
由(1)，知f(x)是奇函数，
∴f(x)＝x－在(－∞，0)上也是减函数．
∴f(x)＝x－在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是减函数．
幂函数图象的画法
(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
层级一 学业水平达标
1．在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是( )
A．①②④⑤ B．③④⑥
C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
解析：选C 幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常数函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．
2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1 C. D．.2
解析：选A ∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝α＝，
即α＝－，∴k＋α＝.
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D.y＝x
解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
4．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
解析：选B y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项 B.
5.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.
6．若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________．
解析：由已知y＝ax是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x
1
f(x)
1
则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为f ＝，所以α＝，即α＝，所以f(x)＝x的单调递增区间是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
8．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．
解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.
答案：－1
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
10．比较下列各组数的大小．
(1)3和3.2；
(2)和；
(3)4.1和3.8.
解：(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3＞3.2.
(2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，所以＞.
(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－＜1－＝1，
所以4.1＞3.8－.
层级二 应试能力达标
1．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为( )
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
解析：选C 因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.
2．下列结论中，正确的是( )
A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
解析：选C 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α＞0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C.
3．设a＝，b＝，c＝，则( )
A．aC．b解析：选D 构造幂函数y＝x (x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，所以aa> B.
4．如下图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．.2，，－2，－
解析：选B 要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，，－，－2.
5．若(a＋1) ＜(3－2a) ，则a的取值范围是________．
解析：函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，
所以解得－1＜a＜.
答案：
6．已知函数f(x)＝x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.
解析：取值验证．α＝1时，y＝x0，不满足；α＝2时，y＝x，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y＝x满足题意．
答案：3
7．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解：(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝x2.
当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]．
∵A∪B＝A，∴B?A，
∴?0≤k≤1.
∴实数k的取值范围是[0,1]．
8．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m(m＋1)为偶数．
∴函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2.
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
由f(2－a)＞f(a－1)得解得1≤a＜.
∴实数a的取值范围为.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝·ln(2－x)的定义域为( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
解析：选B 要使解析式有意义，则解得1≤x＜2，所以所求函数的定义域为[1,2)．
2．下列函数中定义域与值域相同的是( )
A．f(x)＝2 B．f(x)＝lg
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：选C A中，定义域为(0，＋∞)，值域为(1，＋∞)；B中，定义域为(0，＋∞)，值域为R；C中，由2x≥1，得x≥0，所以定义域与值域都是[0，＋∞)；D中，由lg x≥0，得x≥1，所以定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)．选C.
3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
解析：选C A项，y＝是奇函数，故不正确；
B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；
C、D两项中的两个函数都是偶函数，但y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
4．设a＝log3π，b＝logπ，c＝π－3，则( )
A．a＞c＞b B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．c＞b＞a
解析：选A ∵a＝log3π＞1，b＝logπ＜0,0＜c＝π－3＜1，∴a＞c＞b.故选A.
5．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75 C．45 D．225
解析：选C 由loga3＝m，得am＝3，
由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
6．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
解析：选A 当a＞1时，y＝logat为增函数，t＝(a－1)x＋1为增函数，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数；当0＜a＜1时，y＝logat为减函数，t＝(a－1)x＋1为减函数，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数．综上，函数f(x)在定义域上是增函数．
7．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(3)·g(3)＜0，则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图象是( )
解析：选C ∵a＞0且a≠1，∴f(3)＝a3＞0，又f(3)·g(3)＜0，∴g(3)＝loga3＜0，∴0＜a＜1，∴f(x)＝ax在R上是减函数，g(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，故选C.
8．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B.
C．(－∞，2] D.
解析：选B 由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是，选B.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．函数y＝ 的定义域是________．
解析：由已知1－x≥0，则x≤1＝0，所以x≥0.
答案：[0，＋∞)
10．若2a＝6，b＝log23，则2a－b＝________，＝________.
解析：2a－b＝＝＝＝2.
＝＝＝＝log312.
答案：2 log312
11．已知函数f(x)＝则f的值为________，f(x)>的解集为________．
解析：因为＞0，所以f＝log3＝log33－2＝－2，所以f(－2)＝2－2＝.
f(x)>等价于或
解得x>或－1的解集为{x|x>或－1答案： {x|x>或－112．若偶函数f(x)＝x的定义域为[3a，a2＋2]，则实数a的值为________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴a2＋2＝－3a，即a2＋3a＋2＝0，解得a＝－1或a＝－2.当a＝－1时，f(x)＝ x＝，∴f(－x)＝＝＝f(x)，此时f(x)是偶函数；当a＝－2时，f(x)＝x，∴f(－x)＝－x＝－f(x)，此时f(x)是奇函数．故a＝－1.
答案：－1
13．已知函数f(x)＝log2(＋x)＋＋1，则f(1)＋f(－1)＝________；如果f(loga5)＝4(a>0，a≠1)，那么f的值是________．
解析：f(1)＋f(－1)＝log2(＋1)＋2＋log2(－1)－1＝1.f(x)＋f(－x)＝log2(＋x)＋＋1＋log2(－x)＋＋1＝＋＋2＝1.∵log5＝－loga5，∴f(loga5)＋f＝1，
∴f＝－3.
答案：1 －3
14．若函数f(x)＝且b＝f(f(f(0)))，则b＝________；若y＝xa2－4a－b是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则整数a的值是________．
解析：由分段函数f(x)可得b＝f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1.由于y＝xa2－4a－b在(0，＋∞)上是减函数，则a2－4a－1<0，解得2－答案：1 1或3
15．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．
解析：由图象可知，点A(xA,2)在函数y＝logx的图象上，所以2＝logxA，xA＝2＝.
点B(xB,2)在函数y＝x的图象上，所以2＝(xB)，xB＝4.
所以点C(4，yC)在函数y＝x的图象上，
所以yC＝4＝.
又xD＝xA＝，yD＝yC＝，
所以点D的坐标为.
答案：
三、解答题(本小题满分本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)计算：(1)－0＋－0.5＋ ；
(2)lg 500＋lg －lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2.
解：(1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－lg 26＋50×(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.
17．(本小题满分15分)已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，求b的值．
解：当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a＞0，且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝－，所以函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过定点A，
若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则－＝3－2＋b，所以b＝－1.
18．(本小题满分15分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点.
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．
解：(1)∵函数g(x)是f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，∴g(x)＝logax(a＞0且a≠1)．
∵g(x)的图象过点，∴loga2＝，
∴a＝2，解得a＝2.
∴f(x)＝2x，g(x)＝log2x.
(2)∵f(0.3)＝20.3＞20＝1，g(0.2)＝log20.2＜0，
又g(1.5)＝log21.5＜log22＝1，且g(1.5)＝log21.5＞log21＝0，
∴0＜g(1.5)＜1，
∴f(0.3)＞g(1.5)＞g(0.2)．
19．(本小题满分15分)已知f(x)＝|log3x|.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)讨论关于x的方程|log3x|＝a(a∈R)的解的个数．
解：(1)函数f(x)＝对应的函数f(x)的图象如图所示．
(2)设函数y＝|log3x|和y＝a.
当a＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个．
当a＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解．
当a＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解．
20．(本小题满分15分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.经检验a＝1，b＝1符合题意．
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵x1＜x2，∴2x2－2x1＞0.
又∵(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)为R上的减函数．
(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，
∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)．
∴f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)．
∵f(x)为减函数，∴t2－2t＞k－2t2，即k＜3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝32－≥－.∴k＜－.
故k的取值范围为.
