3.1
预习课本P86～88，思考并完成以下问题
(1)函数零点的定义是什么？
(2)函数零点存在性定理要具备哪两个条件？
(3)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
[点睛] 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[点睛] 定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数都有零点．( )
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．( )
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数f(x)＝log2x的零点是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：A
3．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
答案：D
4．函数f(x)＝x2－5x的零点是________．
答案：0,5
[例1] (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1) f (x)＝；(2) f (x)＝x2＋2x＋4；
(3) f (x)＝2x－3；(4) f (x)＝1－log3x.
[解] (1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.
所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.
函数零点的求法
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
[活学活用]
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A. ，0 B．－2,0
C. D．0
解析：选D 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.
[例2] 函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
[解析] ∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，
∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln 3－＞0，
∴f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2,3)内有零点．
[答案] B
判断函数零点所在区间的3个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
[活学活用]
2．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0 C．1 D．3
解析：选A f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.
[例3] (1)f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
(2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
(1)[解析] 当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2.
∴函数的零点个数为2.
[答案] B
(2)[解] [法一 图象法]
函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
[法二 判定定理法]
由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
判断函数存在零点的3种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
[活学活用]
3．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
解析：∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，
∴Δ＝－3b2＜0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．
答案：0
4．函数f(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．
解析：作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．
答案：3
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝x2－x－1的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选C Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0
∴方程x2－x－1＝0有两个不相等的实根，
故函数f(x)＝x2－x－1有2个零点．
2．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1 B. ，1
C. ，－1 D．－，1
解析：选B 方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
3．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
解析：选C 因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
4．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.
C. D.
解析：选B 由f(x)＝2x－，得
f ＝2－2＜0，
f (1)＝2－1＝1＞0，
∴f ·f (1)＜0.
∴零点所在区间为.
5．下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.
6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．
解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
答案：3
7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴
∴∴－1＜b＜0.
答案：(－1,0)
8．函数f(x)＝ln x＋3x－2的零点个数是________．
解析：由f(x)＝ln x＋3x－2＝0，得ln x＝2－3x，设g(x)＝ln x，h(x)＝2－3x，图象如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)＝ln x＋3x－2有一个零点．
答案：1
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；
(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
所以x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？
解：因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－＜0，
f(0)＝20－02＝1＞0，
而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )
A．(0,0)，(2,0) B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)
C．－2,0,2 D．0,2
解析：选C 令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
2．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．a≤0
C．a≥0 D．a＜0
解析：选B 函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.
3．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一个实根 B．至多有一个实根
C．没有实根 D．有唯一实根
解析：选D f(x)＝－x－x3的图象在[a，b]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)·f(b)＜0，可得f(x)＝0在[a，b]内有唯一一个实根．
4．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C 令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
答案：3 0
6．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1,0)内有实数根；
③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，
则f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0，
f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，
f(2)＝7＞0，
则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确．
答案：①②③
7．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点．
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜；
由Δ＝0，可解得m＝；
由Δ＜0，可解得m＞.
故当m＜时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m＞时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
3.2
3．2.1 几类不同增长的函数模型
预习课本P95～101，思考并完成以下问题
(1)函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？图象的变化规律是什么？
(2)函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)的增长速度有什么不同？
指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．
随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．
因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有logax
1，n>0)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )
(2)当a＞1，n＞0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax＜xn＜ax成立．( )
答案：(1)× (2)×
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝x2 D．y＝e－x
答案：A
3．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________________________．
答案：y＝－x＋50(0＜x＜200)
[例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
[解析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.
[答案] y2
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型
幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[活学活用]
1．有一组数据如下表：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律 ，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t－2
解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.
[例2] 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解] 作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
[活学应用]
2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析：选C 对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；
对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；
对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；
对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6＜0.7，相差较大，不符合题意.
[例3] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2,9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2,2 016＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，所以f(6)＜g(6)．当x＞x2时，f(x)＞g(x)，所以f(2 016)＞g(2 016)．又因为g(2 016)＞g(6)，所以f(2 016)＞g(2 016)＞g(6)＞f(6)．
[一题多变]
1．[变条件]若将本例中“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解(1)呢？
解：由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.
2．[变设问]本例条件不变，(2)中结论若改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小．
解：因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2,9＜x2＜10，所以x1＜8＜x2，2 015＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，所以f(8)＜g(8)．
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，
所以f(2 015)＞g(2 015)．
又因为g(2 015)＞g(8)，所以f(2 015)＞g(2 015)＞g(8)＞f(8)．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
层级一 学业水平达标
1．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
解析：选B 在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.
2．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50 B．y＝1 000x
C．y＝0.4·2x－1 D．y＝ex
解析：选D 指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D.
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：选D 由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．
4．有一组实验数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析：选C 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.
5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
解析：选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.
6．小明2015年用7 200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值________元．
解析：三年后的价格为7 200×××＝元．
答案：
7．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比xln x增长的要快．
答案：y＝x2
8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
解析：∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75
9．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：
当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x＞4时，f(x)＜g(x)．
10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，
代入题中所给公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
层级二 应试能力达标
1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
2．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.
3．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
4．以下四种说法中，正确的是( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
解析：选D 对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
5．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．
解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
答案：y1
6．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C对应______；D对应______．
解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
答案：(4) (1) (3) (2)
7．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
8．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？
解：依题意，得
即解得
所以甲：y1＝x2－x＋52，
又
②－①，得p·q2－p·q1＝2， ④
③－②，得p·q3－p·q2＝4， ⑤
⑤÷④，得q＝2.
将q＝2代入④式，得p＝1.
将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，
所以乙：y2＝2x＋50.
计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
可见，乙选择的模型较好．
3．2.2 函数模型的应用实例
预习课本P101～106，思考并完成以下问题
(1)一、二次函数的表达形式分别是什么？
(2)指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？其中待定系数有哪些限制条件？
(3)解决实际问题的基本过程是什么？
几类常见函数模型
名称
解析式
条件
一次函
数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函
数模型
y＝＋b
k≠0
二次函
数模型
一般式：
y＝ax2＋bx＋c
顶点式：y＝a2
＋
a≠0
指数函
数模型
y＝b·ax＋c
a＞0且a≠1，
b≠0
对数函
数模型
y＝mlogax＋n
a＞0且a≠1，
m≠0
幂函数
模型
y＝axn＋b
a≠0，n≠1
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．( )
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．( )
答案：(1)√ (2)√
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
答案：C
3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
答案：D
4．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃.
答案：8
[例1] 某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
销售单价x(元)
30
40
45
50
日销售量y(件)
60
30
15
0
(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
[解] (1)如图：
设f(x)＝kx＋b，
则解得
所以f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立．
(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4 500，30≤x≤50.
因为对称轴x＝－＝40∈[30,50]，
所以当销售单价为40元时，所获日销售利润最大．
二次函数模型应用题的4个步骤
(1)审题：理解题意，设定变量x，y.
(2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域．
(3)解模：运用二次函数相关知识求解．
(4)结论：回归到应用问题中去，给出答案．
[活学活用]
1．据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系．
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解：(1)由题可设y＝a(x－15)2＋17.5，将x＝10，y＝20代入上式，
得20＝25a＋17.5.
解得a＝.
所以y＝0.1x2－3x＋40(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－
＝－0.1(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
因为x＝23∈[10,25]，
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
[例2] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，当且仅当x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
构建分段函数模型的关键点
建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
[活学活用]
2．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
解：(1)依题意得y＝
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9小时，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.
[例3] 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解] (1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
指数函数模型的应用
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[活学活用]
3．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.
(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；
(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.
解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，
定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}．
(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.
层级一 学业水平达标
1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使收入每天达到最高，则每间应定价为( )
A．20元 B．18元
C．16元 D．14元
解析：选C 每天的收入在四种情况下分别为
20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)．
2．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)
解析：选D 由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.∵y＞0，∴20－2x＞0，∴x＜10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴解得x＞5，∴5＜x＜10，故选D.
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
解析：选C 若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．
4．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析：选A 由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝x2＋2x＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．22万件
C．18万件 D．9万件
解析：选C ∵利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，∴当x＝18时，L(x)取最大值．
6．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年．
解析：由题意可知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；以后各年产量为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2≤150，得1≤n≤5?1≤n≤7，故生产期限最长为7年．
答案：7
7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________．
解析：设新价为b，则售价为b(1－20%)．∵原价为a，
∴进价为a(1－25%)．依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)×25%，化简得b＝a，∴y＝b×20%·x＝a×20%·x，即y＝x(x∈N*)．
答案：y＝x(x∈N*)
8．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．
解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．
答案：6
9．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
解：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，
得所以所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.
(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.所以给出的这套桌椅是配套的．
10．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．
(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15，
所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．
(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．
租赁公司的月收益为y元，
y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，
其中x∈[0,100]，x∈N，
整理，得y＝－60x2＋3 120x＋284 000
＝－60(x－26)2＋324 560，
当x＝26时，y＝324 560，
即最大月收益为324 560元．
此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．
层级二 应试能力达标
1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
解析：选B y＝0.2＋0.1×([x]－3)，([x]是大于x的最小整数，x＞0)，令x＝，故[x]＝10，则y＝0.9.故选B.
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．3 100元 B．3 000元
C．2 900元 D．2 800元
解析：选B 设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1,8 000)，(2,13 000)，
则解得∴y＝5 000x＋3 000，
当x＝0时，y＝3 000，∴营销人员没有销售量时的收入是3 000元．
3．用长度为24的材料围一个中间有两道隔墙的矩形场地，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 B．4 C．6 D．12
解析：选A 设隔墙长度为x，如图所示，x则与隔墙垂直的边长为＝12－2x，
∴矩形面积S＝x·(12－2x)＝－2x2＋12x,0＜x＜6，∴当x＝3时，Smax＝18.
4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
解析：选C 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e-，
∴＝(e－k) t1＝，
∴＝，t1＝75.
5．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需付的电话费为________元；
(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
解析：(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，即需付电话费6元．
(3)当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，则
解得故y关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．
答案：(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
答案：e6－1
7．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解：(1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积变为a，则a(1－p%)m＝a，即＝，＝，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．
8．某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：
时间
第4天
第32天
第60天
第90天
价格(千元)
23
30
22
7
(1)写出价格f(x)关于时间x的函数关系式(x表示投放市场的第x天，x∈N*)；
(2)销售量g(x)与时间x的函数关系式为g(x)＝－x＋(1≤x≤100，x∈N*)，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？
解：(1)当0＜x≤40时，设f(x)＝kx＋b，
则有?
∴f(x)＝x＋22(0＜x≤40，x∈N*)．
同理可得f(x)＝－x＋52(40＜x≤100，x∈N*)，
故f(x)＝其中x∈N*.
(2)设日销售额为S(x)千元，则当0＜x≤40，x∈N*时，S(x)＝f(x)g(x)＝＝－(x＋88)(x－109)．
其图象的对称轴为x＝＝10.5，∴当x＝10,11时，S(x)取最大值，S(x)max＝808.5.
当40＜x≤100，x∈N*时，S(x)＝＝(x－104)(x－109)．
其图象的对称轴为x＝＝106.5，
∴当40＜x≤100，x∈N*时，S(x)＜S(40)＝736＜808.5.
综上可得，该产品投放市场第10天和第11天的销售额最高，最高销售额为808.5千元．
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题40分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝lg|x|的零点是( )
A．(1,0) B．(1,0)和(－1,0)
C．1 D．1和－1
解析：选D 由f(x)＝0，得lg|x|＝0，所以|x|＝1，x＝±1.故选D.
2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选B 因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
3．以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD＝x的函数关系式是( )
A．S＝Rx B．S＝2Rx(x＞0)
C．S＝Rx(0＜x≤R) D．S＝πR2
解析：选C S△PAB＝·AB·PD＝Rx，
又0＜PD≤R，∴S＝Rx(0＜x≤R)．
4．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是( )
解析：选C 把y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度后，只有选项C中图象与x轴无交点．
5．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )
A．[5,6) B．(5,6]
C．[6,7) D．(6,7]
解析：选B 若按x千米(x∈Z)计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．
6．设函数f(x)＝ln x－x2＋1(x＞0)，则函数y＝f(x)( )
A．在区间(0,1)，(1,2)内均有零点
B．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点
C．在区间(0,1)，(1,2)内均无零点
D．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点
解析：选A f＝ln －×2＋1＜0，f(1)＝ln 1－＋1＞0，f(2)＝ln 2－2＋1＜0，故选A.
7．若函数f(x)唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，内，则与f(0)符号相同的是( )
A．f(4) B．f(2)
C．f(1) D．f
解析：选C 由函数零点的判断方法可知，f(2)，f(4)与f(0)符号相反，f(1)与f(2)符号相反，故f(1)与f(0)符号相同，故选C.
8．已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
解析：选A ∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，而00.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．若f(x)为R上的奇函数，且1是该函数的一个零点，则f(0)＋f(－1)＝________.
解析：由题意可知f(0)＝f(1)＝0.又f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(0)＋f(－1)＝0.
答案：0
10．2015年年底某市人口数达到54.8万，若人口的年平均增长率为x%，设2036年年底人口数为y(万)，那么y与x的函数解析式为________．
解析：由题意，2016年年底人口数为54.8(1＋x%)，2017年年底人口数为54.8(1＋x%)2，…，故2036年年底人口数为54.8(1＋x%)21.
答案：y＝54.8(1＋x%)21
11．已知函数f(x)＝则f(f(－9))＝________，f(x)的零点个数为________．
解析：∵f(－9)＝1，∴f(f(－9))＝f(1)＝－3.令f(x)＝0，则x＝0或x＝4，∴f(x)有两个零点．
答案：－3 2
12．设函数f(x)＝其中c>0，则函数f(x)的零点为________；若f(x)的值域是，则c的取值范围是________．
解析：令f(x)＝0，得x＝－1或x＝0.由图可知，若f(x)的值域是，则c的取值范围是0答案：－1和0 (0,4]
13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x＝________，y＝________.
解析：由三角形相似，即＝，得x＝·(24－y)，所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，故当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案：15 12
14．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2解析：∵2∴f(2)＝loga2＋2－b<1＋2－b＝3－b<0，
f(3)＝loga3＋3－b>1＋3－b＝4－b>0，
即f(2)·f(3)<0，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴函数f(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x0，
且x0∈(2,3)，
∴n＝2.
答案：2
15．设f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3，2，则此函数解析式f(x)＝____________；当函数f(x)的定义域为[0,1]时，其值域为________．
解析：因为f(x)的两个零点分别是－3,2，
所以即
解得a＝－3，b＝5，f(x)＝－3x2－3x＋18.
因为f(x)＝－3x2－3x＋18的对称轴x＝－，函数开口向下，所以f(x)在[0,1]上为减函数，f(x)的最大值f(0)＝18，最小值f(1)＝12，所以值域为[12,18]．
答案：－3x2－3x＋18 [12,18]
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．
解：(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点?方程f(x)＝0有两个相等实根?Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
(2)由题意知即
∴－5＜m＜－1，∴m的取值范围为(－5，－1)．
17．(本小题满分15分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解：(1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.
所以老江的销售利润是34万元．
18．(本小题满分15分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值集合．
解：∵－是函数的一个零点，
∴f＝0.
∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，
∴当logx≤0，即x≥1时，若f(logx)≥0，
则logx≥－，解得x≤2，即1≤x≤2.
由对称性可知，当logx＞0时，≤x＜1.
综上所述，x的取值范围为.
19．(本小题满分15分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．
若每月用水量不超过最低限量a m3，只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元；若用水量超过a m3时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每1 m3付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
该市一个家庭某年第一季度的用水量和支付费用如下表：
月份
用水量/m3
水费/元
1
9
9
2
15
19
3
22
33
根据上表中的数据，求a，b，c的值．
解：设每月用水量为x m3，支付水费为y元，
则y＝
由题意知0≤c≤5，∴8＋c≤13.
故用水量15 m3,22 m3均大于最低限量a m3.
将x＝15，y＝19和x＝22，y＝33分别代入②中，得解得b＝2.
∴2a＝c＋19.③
不妨设1月份用水量也超过最低限量，即9＞a.
这时，将x＝9代入②中得9＝8＋2×(9－a)＋c，解得2a＝c＋17，与③矛盾，
∴9≤a，则有8＋c＝9，∴c＝1，a＝10.
20．(本小题满分15分)小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3 h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13)．
由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．
解：(1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)，
∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.
即小张家距离景点150 km，
小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)．
∴当3小张从景点回家所花时间为＝2.5(h)，
故s(10.5)＝2×150＝300.
∴当8s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.
综上所述，这天小张的车所走的路程
s(t)＝
(2)当0≤t≤3时，
令－5t(t－13)＝60得t2－13t＋12＝0，
解得t＝1或t＝12(舍去)，
当8令60t－330＝2×150－60＝240，解得t＝.
所以小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．
