1.1
1．1.1 集合的含义与表示
第一课时 集合的含义
预习课本P2～3，思考并完成以下问题
(1)集合和元素的含义是什么？它们各自用什么字母表示？
(2)元素和集合之间有哪两种关系？常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？
1．元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．
[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于
a是集合A中的元素
a∈A
a属于集合A
不属于
a不是集合A中的元素
a?A
a不属于集合A
[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
3．常用的数集及其记法
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)你班所有的姓氏能组成集合． ( )
(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．下列元素与集合的关系判断正确的是( )
A．0∈N B．π∈Q
C.∈Q D．－1?Z
答案：A
3．已知集合A中含有3个元素－2,4，x2－x，且6∈A，则x的值是( )
A．2 B．－2
C．3 D．3或－2
答案：D
4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．
答案：2
[例1] 考察下列每组对象，能构成一个集合的是( )
①某校高一年级成绩优秀的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2016年第31届奥运会金牌获得者．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．
[答案] B
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
[活学活用]
1．给出下列说法：
①中国的所有直辖市可以构成一个集合；
②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合．
其中正确的有________．(填序号)
解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．
答案：①③
[例2] (1)下列关系中，正确的有( )
①∈R；② ?Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[解析] (1)是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.
[答案] (1)C (2)0,1,2
判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[活学活用]
2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a?B，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D ∵a∈A，a?B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.
3．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17________A；－5________A；17________B.
解析：令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.
所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－?Z.
所以－5?A.
令6m－1＝17得，m＝3∈Z，
所以17∈B.
答案：∈ ? ∈
[例3] 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
[答案] －1
[一题多变]
1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝，或a＝－.
2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得
a≠0且a≠1.
3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
解：由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，
所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．
综上可知，a＝0.
根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤
层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和 ，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．
2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1?A
解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
3．下面几个命题中正确命题的个数是( )
①集合N*中最小的数是1；
②若－a?N*，则a∈N*；
③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N*，且a?N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．
4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：选B 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0?A.故选B.
5．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.
6．下列说法中：
①集合N与集合N＋是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________(填序号)．
解析：因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填∈或?)．
解析：∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，
故a＋b?A，ab∈A.
答案：? ∈
8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2
解析：∵x∈N,2∴结合数轴知a＝6.
答案：6
9．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
解：∵a∈A且3a∈A，
∴解得a<2.又a∈N，
∴a＝0或1.
10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．
综上知：x＝1，y＝0.
层级二 应试能力达标
1．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
解析：选A 由于A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.
2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：选A 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
3．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，，b.若集合A与集合B相等，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C 由题意可知a＋b＝0且a≠0，∴a＝－b，
∴＝－1.∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.
4．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3?M D．1∈M
解析：选B 当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．
5．不等式x－a≥0的解集为A，若3?A，则实数a的取值范围是________．
解析：因为3?A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.
答案：a>3
6．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．
(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．
(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．
综上可知：a＝0或a＝1.
答案：0或1
7．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．
解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．
综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.
8．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
第二课时 集合的表示
预习课本P3～5，思考并完成以下问题
(1)集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
(2)它们的使用条件各是什么？又如何用符号表示？
1．列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
[点睛] 列举法表示集合时的4个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
[点睛] 描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．
(3)不能出现未被说明的字母．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．方程组的解集是( )
A．(－1,2) B．(1，－2)
C．{(－1,2)} D．{(1，－2)}
答案：C
3．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案：B
4．不等式4x－5<7的解集为________．
答案：{x|4x－5<7}
[例1] 用列举法表示下列集合．
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，
故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
[活学活用]
1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．
2．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
解：(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．
[例2] 用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
描述法表示集合的2个步骤
[活学活用]
3．用符号“∈”或“?”填空：
(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；
(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
解析：(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－1?A；
(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．
答案：(1)∈ ? (2)∈
4．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
解：(1)列举法：P＝{0,2,4}．
(2)描述法：.
或列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
[例3] (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝( )
A．1 B．2
C．0 D．0或1
(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．
[解析] (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)因为∈，
所以2－a－＝0，
解得：a＝－，
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝2－4×＝>0，
所以集合的所有元素的积为方程的两根之积等于.
[答案] (1)D (2)
解答此类问题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．
[活学活用]
5．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
解：由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，因此a＝5，b＝6.
6．设集合B＝.
试判断元素1,2与集合B的关系；
用列举法表示集合B.
解：(1)当x＝1时，＝2∈N.
当x＝2时，＝?N.所以1∈B,2?B.
(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}.
[例4] 用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．
[解] 抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x，y)|y＝x2＋1}．
[一题多变]
1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，
所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．
2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
解：集合{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．
识别集合含义的2个步骤
(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．
(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．
层级一 学业水平达标
1．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选D 集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
解析：选B {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.
3．已知M＝{x|x－1<}，那么( )
A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2?M
C．2?M，－2?M D．2?M，－2∈M
解析：选A 若x＝2，则x－1＝1<，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<，所以－2∈M.故选A.
4．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：选D 选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．
5．方程组的解集是( )
A．(－5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
解析：选D 解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D.
6．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.
解析：由集合相等的概念得解得a＝1.
答案：1
7．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
答案：{1,3}
8．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．
10．含有三个实数的集合A＝，若0∈A且1∈A，求a2 016＋b2 016的值．
解：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，故a2≠0，所以＝0，即b＝0.
又1∈A，可知a2＝1或a＝1.
当a＝1时，得a2＝1，由集合元素的互异性，知a＝1不合题意．
当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互异性，舍去)．
故a＝－1，b＝0，所以a2 016＋b2 016的值为1.
层级二 应试能力达标
1．下列命题中正确的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
解析：选A {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以?{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．
2．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
解析：选D 集合A表示奇数集，B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．
3．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
解析：选C 集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．
4．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
解析：选A 若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1,2,3；若a＝2，则ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1,2,3,4,6}，共6个元素．
5．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________．
解析：∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，
∴x＝6－y∈N，
∴
∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．
答案：{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}
6．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若(x0，y0)∈A，(x0，y0)∈B，则(x0，y0)的值为________．
解析：由题意知，(x0，y0)∈A，(x0，y0)∈B，所以(x0，y0)是方程组的解，解得
答案：(2,5)
7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，A＝；
当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，
所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.
故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.
8．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解：①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
1．1.2 集合间的基本关系
预习课本P6～7，思考并完成以下问题
[预习导入]
(1)集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间这些关系？
(2)集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？
(3)空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？
1．子集的概念
定义
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
记法
与读法
记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)
图示
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C，则A?C
[点睛] “A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.
2．集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
[点睛] (1)若A?B，又B?A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A?B，且B?A.
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．
3．真子集的概念
定义
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集
记法
记作A?B(或B?A)
图示
结论
(1)A?B且B?C，则A?C；
(2)A?B且A≠B，则A?B
[点睛] 在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
4．空集的概念
定义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集
记法
?
规定
空集是任何集合的子集，即??A
特性
(1)空集只有一个子集，即它的本身，???
(2)A≠?，则??A
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )
(2)任何一个集合都有子集．( )
(3)若A＝B，则A?B.( )
(4)空集是任何集合的真子集．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A．N∈M B．N?M
C．N?M D．N?M
答案：D
3．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0} B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}
答案：B
4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.
答案：－1
[例1] 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}．
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A?B.
(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
判断集合间关系的2种方法
(1)用定义判断．
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；
若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2)数形结合判断．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
[活学活用]
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
解析：选B 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A?C；(3){2}?C；(4)2∈C.
答案：(1)＝ (2) ? (3) ? (4)∈
[例2] (1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个．
[解析] (1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为?，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.
(2)由题意可得{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；
含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；
含有五个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M共有7个．
[答案] (1)B (2)7
1．求集合子集、真子集个数的3个步骤
2．与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n个；
②A的真子集的个数为2n－1个；
③A的非空真子集的个数为2n－2个．
[活学活用]
3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
4．已知集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A?B，A?C，则满足条件的集合A的个数是________．
解析：若集合A＝?，满足A?B，A?C；若集合A≠?，集合A可能是{a}，{b}，{a，b}．故集合A共4个．
答案：4
[例3] 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A?B，求实数m的取值范围．
[解] ∵A?B，
∴解得
故3≤m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
[一题多变]
1．[变条件]本例中若将“A?B”改为“B?A”，其他条件不变，求m的取值范围．
解：(1)当B＝?时，m－6>2m－1，即m<－5.
当B≠?时，
即m∈?.
故实数m的取值范围是{m|m<－5}．
2．[变条件]本例若将集合A，B分别改为A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}，其他条件不变，求实数m的值．
解：因为A?B，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，B＝{－1,3,1}，A＝{3,1}满足A?B.
由集合间的关系求参数的2种方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
层级一 学业水平达标
1．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )
A．2 B．－1
C．2或－1 D．4
解析：选C ∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.
2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )
A．0?A B．{0}∈A
C．?∈A D．{0}?A
解析：选D 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}?A，??A，D正确．
3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
解析：选B 由已知x是正方形，则x必是矩形，所以C?B，故选B.
4．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
解析：选D 由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q?P，a＝1或a＝－1.
5．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选A 集合{0,1,2}的子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.
6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____________________．
解析：{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有?，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
答案：{(1,2)}，{(－3,4)}
7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故B?A.
答案：BA
8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x解析：将数集A在数轴上表示出来，如图所示，
要满足A?B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.
答案：m≥3
9．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
解：(1)若A?B，由图可知，a>2.
(2)若B?A，由图可知，1≤a≤2.
10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，求a的值．
解：∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
(1)当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验，满足题意．
(2)当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．
综上所述，a＝－1或a＝2为所求．
层级二 应试能力达标
1．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于( )
A．0 B．1
C．2 D．－1
解析：选C 由A＝B，得x＝0或y＝0.
当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A?C?B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故集合C有4个．
3．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )
A．A?B B．A＝B
C．A?B D．A?B
解析：选D 对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x＝6m－3(m∈Z)．由此可知A?B.
4．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．0,1 D．－1,0,1
解析：选D 因为集合A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．
当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，
即a2＝1，故a＝±1.
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．
综上所述，a＝0，或a＝±1.
5．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1,1－2a}，且B?A，则a的值为________．
解析：由题意，得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，符合题意；当a＝时，A＝，B＝，符合题意．所以a的值为－1或.
答案：－1或
6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．
解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，
∴M＝{y|y≥－2}，∴N?M.
答案：NM
7．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B?A，求实数a的取值范围．
解：∵B?A，
∴B的可能情况有B≠?和B＝?两种．
①当B≠?时，
∵B?A，∴或成立，
解得a>3；
②当B＝?时，由a>2a－1，得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．
8．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A?B，求m的取值范围．
解：化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，
∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．
(2)①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝??A；
②当m>－2时，
B＝{x|m－1因此，要B?A，
则只要?－1≤m≤2.
综上所述，知m的取值范围是
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
1．1.3 集合的基本运算
第一课时 并集与交集
预习课本P8～10，思考并完成以下问题
(1)两个集合的并集与交集的含义是什么？它们具有哪些性质？
(2)怎样用Venn图表示集合的并集和交集？
1．并集和交集的概念及其表示
类别
概念
自然语言
符号语言
图形语言
并集
由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)
A∪B＝
{x|x∈A，或x∈B}
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)
A∩B＝
{x|x∈A，且x∈B}
[点睛] (1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
2．并集与交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
A∪A＝A
A∩A＝A
A∪?＝A
A∩?＝?
A?B?A∪B＝B
A?B?A∩B＝A
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)并集定义中的“或”就是“和”．( )
(2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成．( )
(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
答案：D
3．若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3答案：A
4．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是________．
答案：2
[例1] (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )
A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}
C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2[解析] (1)由并集的定义知，M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
[答案] (1)A (2)A
求集合并集的2种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
[活学活用]
1．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
解析：选A 将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，
可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
2．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________________.
解析：A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．
答案：{0,1,2,3,4,5}
[例2] (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
(2)(全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．
则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.
[答案] (1)A (2)D
1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：(1)定义法，(2)数形结合法．
2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．
[活学活用]
3．(北京高考)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝( )
A．{0,1} B．{0,1,2}
C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}
解析：选C 集合A＝{x|－24．若集合A＝{x|2x＋1>0}，B＝{x|－1解析：∵A＝，B＝{x|－1画数轴如图：
∴A∩B＝.
答案：
题点一：由并集、交集求参数的值
1．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．
解：∵M∩N＝{3}，∴3∈M；
∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，
解得a＝－1或4.
但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．
∴a＝4.
题点二：由并集、交集的定义求参数的范围
2．设集合A＝{x|－1解：如图所示，
由A∪B＝{x|－1题点三：由交集、并集的性质求参数的范围
3．已知集合A＝{x|－3解：∵A∪B＝A，∴B?A，
①当B＝?时，k＋1>2k－1，∴k<2.
②当B≠?，则根据题意如图所示：
根据数轴可得
解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围为.
4．把3题中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．
解：∵A∩B＝A，∴A?B.
又A＝{x|－3由数轴
可知解得k∈?，
即当A∩B＝A时，k不存在．
由集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：当题目中含有条件A∩B＝A，A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化如：A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等．
此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．
(2)关注点：当题目条件中出现B?A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝?的情况．
层级一 学业水平达标
1．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0解析：选A 借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．
2．(天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
解析：选D 因为集合B中，x∈A，
所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
3．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
解析：选A 注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.
4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
解析：选D ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}．
∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1解析：选C ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x可知a>－1.
6．(江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.
解析：在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．
答案：{－1,2}
7．若集合A＝{x|－1解析：借助数轴可知：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}．
答案：R {x|－1＜x≤1，或4≤x<5}
8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设所求人数为x，则x＋10＝30－8?x＝12.
答案：12
9．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N.
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
解：(1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M?N.∵M＝{2}，∴2∈N.
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
10．已知集合A＝{x|－2(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
解：(1)∵A＝{x|－2又A∩B＝?，∴m≤－2.
(2)∵A＝{x|－2由A∩B＝A，得A?B，∴m≥4.
层级二 应试能力达标
1．设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
解析：选B 由题意，得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}．
2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
解析：选D 集合M，N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解得
3．下列四个命题：①a∈(A∪B)?a∈A；②a∈(A∩B)?a∈(A∪B)；③A?B?A∪B＝B；④A∪B＝A?A∩B＝B.其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C a∈(A∪B)?a∈A或a∈B，所以①错，由交集、并集的定义，易知②③④正确．
4．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N等于( )
A．{y|y＝－1或0} B．{x|x＝0或1}
C．{(0，－1)，(1,0)} D．{y|y≥－1}
解析：选D M＝{x|y＝x2－1}＝R，N＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，故M∩N＝{y|y≥－1}．
5．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
解析：∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，
A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4(舍去)，
解得a＝4.
答案：4
6．已知A＝{x|a5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
解析：由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，
则解得－3≤a<－1.
答案：－3≤a<－1
7．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．
解：∵A∪B＝A，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠?时，此时a≠0，则B＝，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，a＝0或a＝.
8．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．
(1)当a＝10时，求A∩B，A∪B；
(2)求能使A?(A∩B)成立的a的取值范围．
解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}．
又B＝{x|3≤x≤22}，
所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}．
(2)由A?(A∩B)，可知A?B，
又因为A为非空集合，
所以解得6≤a≤9.
第二课时 补集及综合应用
预习课本P10～11，思考并完成以下问题
(1)全集与补集的含义是什么？
(2)如何用Venn图表示给定集合的补集？
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
[点睛] 全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．
2．补集
定义
文字
语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?UA
符号
语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形
语言
性质
(1)?UA?U；
(2)?UU＝?，?U?＝U；
(3)?U(?UA)＝A；
(4)A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?
[点睛] ?UA的三层含义：
(1)?UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A?U；
(3)?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全集一定包含任何元素( )
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同( )
(3)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，则A＝( )
A．{0} B．{1} C．? D．{0,1}
答案：D
3．设全集为U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，则U等于( )
A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}
C．{6} D．?
答案：A
4．全集U＝{x|0答案：{x|5≤x<10}
[例1] (1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM＝( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
(2)设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<0}，则?UM＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0C．{x|x<0，或x>2} D．{x|x≤0，或x≥2}
[解析] (1)因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，由补集的定义，可知?UM＝{3,5,6}．
(2)如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM＝{x|0≤x≤2}．
[答案] (1)C (2)A
求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
[活学活用]
1．设全集U＝R，集合A＝{x|2解析：用数轴表示集合A为图中阴影部分，
∴?UA＝{x|x≤2或x>5}．
答案：(1){x|x≤2或x>5}
2．设U＝{x|－5≤x<－2，或2解析：法一：在集合U中，
∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
法二：可用Venn图表示．
则?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
答案：{－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
[例2] (1)(天津高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩?UB＝( )
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解析] (1)由题意得?UB＝{2,5,8}，∴A∩?UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．
(2)把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．
∵?RA＝{x|x<3，或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|2[答案] (1)A (2){x|x≤2，或x≥10} {x|2解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[活学活用]
3．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩?UB等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．?
解析：选A ∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，
∴{3}?A?{1,2,3}．
又?UB＝{3,4}，
∴A∩?UB＝{3}．
4．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于( )
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
解析：选C 因为S＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}
＝{x|x≤1}.
[例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，
得?UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是m≥2.
[一题多变]
1．[变条件]本例将条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UA)∩B≠?”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以?UA＝{x|x<－m}，
又(?UA)∩B≠?，
所以－m>－2，解得m<2.
2．[变条件]本例将条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知A＝{x|x≥－m}，?UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又(?UB)∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
由集合的补集求解参数的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
层级一 学业水平达标
1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则?U(A∩B)等于( )
A．{2,3} B．{1,4,5}
C．{4,5} D．{1,5}
解析：选B A∩B＝{2,3}．∴?U(A∩B)＝{1,4,5}．
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(?RB)＝( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|1解析：选D ∵B＝{x|x<1}，∴?RB＝{x|x≥1}．
∴A∩(?RB)＝{x|1≤x≤2}．
3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a等于( )
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
解析：选D 由题意，知则a＝2.
4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )
A．A∪B B．A∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
解析：选D ∵A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，
∴A∪B＝{1,3,4,5,6}，
又U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
∴?U(A∪B)＝{2,7}．
5．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1解析：选A 阴影部分表示的集合为N∩(?UM)＝{x|－2≤x<1}，故选A.
6．(湖南高考)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝________.
解析：?UB＝{2}，A∪(?UB)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．
答案：{1,2,3}
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析：∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，
∴m＝－3.
答案：－3
8．已知全集U＝R，M＝{x|－1解析：∵U＝R，?UN＝{x|0∴N＝{x|x≤0或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1＝{x|x<1或x≥2}．
答案：{x|x<1或x≥2}
9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1解：将集合A，B，P表示在数轴上，如图．
∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1∴A∩B＝{x|－1∵?UB＝{x|x≤－1或x>3}，
∴(?UB)∪P＝，
∴(A∩B)∩(?UP)＝{x|－110．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)，?U(A∪B)．
解：如图所示．
∵A＝{x|－2∴?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3，或2A∩B＝{x|－2故(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2?U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．
层级二 应试能力达标
1．设全集U＝R，集合A＝{x|0A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B ∵U＝R，A＝{x|0∴?UA＝{x|x≤0或x≥9}，
又∵B＝{x∈Z|－4∴(?UA)∩B＝{x∈Z|－42．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，那么集合(?UA)∩(?UB)等于( )
A．{x|3C．{x|3≤x<4} D．{x|－1≤x≤3}
解析：选A ∵?UA＝{x|x<－2或x>3}，
?UB＝{x|－2≤x≤4}，
∴(?UA)∩(?UB)＝{x|33．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩?IM＝?，则M∪N等于( )
A．M B．N
C．I D．?
解析：选A 因为N∩?IM＝?，所以N?M(如图)，所以M∪N＝M.
4．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|xA．a>3 B．a≥3
C．a≥7 D．a>7
解析：选A 因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以?UA＝{x|3≤x<7}，又(?UA)∩B≠?，则a>3.
5．设集合M＝{3,4,7,9}，N＝{4,5,7,8,9}，全集U＝M∪N，则集合?U(M∩N)中的元素共有________个．
解析：∵U＝M∪N＝{3,4,5,7,8,9}，M∩N＝{4,7,9}，
∴?U(M∩N)＝{3,5,8}，即共有3个元素．
答案：3
6．已知集合A＝{x|x解析：∵B＝{x|1又∵A∪(?RB)＝R，A＝{x|x观察?RB与A在数轴上表示的区间，如图所示：
可得当a≥2时，A∪(?RB)＝R.
答案：{a|a≥2}
7．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝?，且A∩(?UB)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B.
解：∵A∪B＝U，A∩B＝?，
∴A＝?UB，又A∩?UB＝{1,2}，
∴A＝{1,2}，
∴B＝{3,4,5}．
8．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3(1)求A∪B，(?RA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3因为A＝{x|2≤x<7}，所以?RA＝{x|x<2，或x≥7}，则(?RA)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x2，所以a的取值范围是{a|a＞2}．
1.2
1．2.1 函数的概念
预习课本P15～18，思考并完成以下问题
(1)在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？
(2)如何用区间表示数集？
(3)相等函数是指什么样的函数？
1．函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
[点睛] 对函数概念的3点说明
(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
3．其它区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
[点睛] 关于无穷大的2点说明
(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )
(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )
(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( )
(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．函数y＝的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
答案：C
3．已知f(x)＝x2＋1，则f ( f (－1))＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
4．用区间表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________．
(2){x|x>1}用区间表示为________．
答案：(1)[10,100] (2)(1，＋∞)
[例1] (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？
① f：把x对应到3x＋1； ② g：把x对应到|x|＋1；
③ h：把x对应到； ④ r：把x对应到.
(1)[解析] ①中，因为在集合M中当1[答案] B
(2)[解] ①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应．
同理，②也是实数集R上的一个函数．
③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在．
④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，的值不存在．
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[活学活用]
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
解析：选B A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.
[例2] 下列各组函数中是相等函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
[解析] 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是相等函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是相等函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是相等函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．
[答案] B
判断函数相等的方法
判断函数是否相等，关键是树立定义域优先的原则．
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
[活学活用]
2．下列各组式子是否表示同一函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，y＝；
(4)y＝，y＝x－3.
解：(1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．
(2)y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一函数．
(3)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一函数．
(4)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝与y＝x－3不是同一函数.
[例3] 求下列函数的定义域：
(1)y＝－；(2)y＝.
[解] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1，且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[活学活用]
3．求下列函数的定义域：
(1)y＝2＋；
(2)y＝·；
(3)y＝(x－1)0＋ .
解：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(3)函数有意义，当且仅当
解得x>－1，且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.
[例4] (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________.
(2)求下列函数的值域：
①y＝x＋1；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
③y＝；
④y＝2x－.
(1)[解析] ∵f (x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g (x)＝x2＋2，
∴g (2)＝22＋2＝6，
∴f ( g(2))＝f (6)＝＝.
[答案]
(2)[解] ①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
③(分离常数法)y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
[活学活用]
4．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝.
解：(1)因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)因为y＝＝－1＋，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].
层级一 学业水平达标
1．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：选D 由题意可知解得0≤x≤1.
2．若函数y＝f (x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f (x)的图象可能是( )
解析：选B A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f (x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f (x)＝和g(x)＝
解析：选D A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
4．设f(x)＝，则＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选B ＝＝＝×＝－1.
5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
解析：选B y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：由题意知3a－1>a，则a>.
答案：
7．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
解析：∵x＝1,2,3,4,5，
∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
8．设f (x)＝，则f ( f ( x ))＝________.
解析：f ( f (x))＝＝＝.
答案：(x≠0，且x≠1)
9．已知f(x)＝x2－4x＋5.
(1)求f (2)的值．
(2)若f (a)＝10，求a的值．
解：(1)由f (x)＝x2－4x＋5，
所以f (2)＝22－4×2＋5＝1.
(2)由f (a)＝10，得a2－4a＋5＝10，
即a2－4a－5＝0，解得a＝5或a＝－1.
10．求函数y＝的定义域，并用区间表示．
解：要使函数解析式有意义，需满足：
即
所以－2≤x≤3且x≠.
所以函数的定义域是.
用区间表示为∪.
层级二 应试能力达标
1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝
解析：选A 对于A，由x＝y2＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝±2，故y不是x的函数；对于B，y＝2x2＋1是二次函数；对于C，x－2y＝6?y＝x－3是一次函数；对于D，由x＝得y＝x2(x≥0)是二次函数．故选A.
2．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B＝( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选C 集合A表示函数y＝的定义域，则A＝{x|x≥1}，集合B表示函数y＝x2＋2的值域，则B＝{y|y≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}．
3．若函数f (x)＝ax2－1，a为一个正数，且f ( f (－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：选A ∵f (x)＝ax2－1，∴f (－1)＝a－1，
f (f(－1))＝f (a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
4．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，1]
解析：选A 由于y＝f(x)与y＝＋是相等函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．
5．函数y＝的定义域是A，函数y＝ 的值域是B，则A∩B＝________(用区间表示)．
解析：要使函数式y＝有意义，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝ ≥0，即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|0≤x<2，或x>2}．
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
6．函数y＝的定义域用区间表示为________．
解析：要使函数有意义，需满足即
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
7．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f (x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f (x)＝(x－1)2＋1；
(3)f (x)＝；
(4)f (x)＝x－.
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2－.又t≥0，故f (t)≥－.所以函数的值域是.
8．已知函数f (x)＝.
(1)求f(2)＋f ，f(3)＋f 的值；
(2)求证：f (x)＋f 是定值；
(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 016)＋f 的值．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f (3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2 016)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 016)＋f＝2 015.
1．2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示法
预习课本P19～21，思考并完成以下问题
(1)表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？
(2)函数的各种表示法各有什么特点？
[点睛] 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．( )
(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3
A.1 B．2
C．3 D．不存在
答案：C
3.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
答案：C
4．已知反比例函数f (x)满足f(3)＝－6，f (x)的解析式为________．
答案：y＝－
[例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来
[解] (1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x/台
6
7
8
9
10
y/元
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图象法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
理解函数的表示法3个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
[活学活用]
1．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f ( g(1))的值为________；
当g ( f (x))＝2时，x＝________.
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，∴f ( g(1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x)＝2，∴x＝1.
答案：1 1
[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[解] (1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
作函数y＝f(x)图象的方法
(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．
[活学活用]
2．作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解：(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
当x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．
[例3] 求下列函数的解析式：
(1)已知函数f (＋1)＝x＋2，求f (x)；
(2)已知函数f (x)是二次函数，且f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，求f (x)．
[解] (1)[法一 换元法]
设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．
∴f (t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，
∴f (x)＝x2－1(x≥1)．
[法二 配凑法]
∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f (＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f (x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f (0)＝1，∴c＝1.
又∵f (x＋1)－f (x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴解得∴f(x)＝x2－x＋1.
求函数解析式的4种常用求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
[活学活用]
3．已知f (x＋1)＝x2－3x＋2，求f (x)．
解：法一(配凑法)：∵f (x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f (x)＝x2－5x＋6.
法二(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f (t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
即f (x)＝x2－5x＋6.
4．已知函数f(x)是一次函数，若f ( f (x))＝4x＋8，求f (x)的解析式．
解：设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则f ( f (x))＝f ( ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f ( f (x))＝4x＋8，
∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即，解得或
∴f (x)＝2x＋或f (x)＝－2x－8.
5．已知f (x)＋2f (－x)＝x2＋2x，求f (x)．
解：∵f (x)＋2 f (－x)＝x2＋2x， ①
∴将x换成－x，得f (－x)＋2 f (x)＝x2－2x. ②
∴由①②得3 f (x)＝x2－6x，∴f (x)＝x2－2x.
层级一 学业水平达标
1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f (g(2))＝f(1)＝2.
2．如果f ＝，则当x≠0,1时，f (x)等于( )
A. B.
C. D.－1
解析：选B 令＝t，则x＝，代入f ＝，则有f(t)＝＝，故选B.
3．若f (x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝( )
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
解析：选B 设f(x)＝ax＋b，由题设有
解得所以选B.
4．设f (x)＝2x＋3，g(x)＝f (x－2)，则g(x)＝( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析：选B ∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.
5．若f (1－2x)＝(x≠0)，那么f 等于( )
A．1 B．3
C．15 D．30
解析：选C 令1－2x＝t，
则x＝(t≠1)，
∴f (t)＝－1(t≠1)，
即f (x)＝－1(x≠1)，
∴f ＝16－1＝15.
6．已知函数f (x)由下表给出，则f ( f (3))＝________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
解析：由题设给出的表知f (3)＝4，则f ( f (3))＝f(4)＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．
解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
答案：5
8．已知f(x)是一次函数，满足3f (x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则f (x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴∴
则f(x)＝2x－.
答案：2x－
9．(1)已知函数f (x)＝x2，求f (x－1)；
(2)已知函数f (x－1)＝x2，求f (x)．
解：(1)f ( x－1)＝(x－1)2＝x2－2x＋1.
(2)法一(配凑法)：因为f (x－1)＝x2＝(x－1)2＋2(x－1)＋1，所以f (x)＝x2＋2x＋1.
法二(换元法)：令t＝x－1，则x＝t＋1，可得f (t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.
10．已知f (x)是一次函数，且满足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)的解析式．
解：设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则3 f (x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴解得
∴f (x)＝2x＋7.
层级二 应试能力达标
1．已知函数f (x＋1)＝x2－x＋3，那么f (x－1)的表达式是( )
A．f (x－1)＝x2＋5x－9 B．f (x－1)＝x2－x－3
C．f (x－1)＝x2－5x＋9 D．f (x－1)＝x2－x＋1
解析：选C f(x＋1)＝(x＋1)2－3(x＋1)＋5，
所以f(x)＝x2－3x＋5，
f(x－1)＝(x－1)2－3(x－1)＋5＝x2－5x＋9，故选C.
2．若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )
A. B.
C．(－1,3) D．(－2,1)
解析：选A 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，得解得，所以此函数的解析式为y＝2x＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.
3．设f (x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f (x))＝x2－x＋1，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－2
解析：选B 因为g(x)＝(x2＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.
4．函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是( )
A．1 B．2
C．0或1 D．1或2
解析：选C 结合函数的定义可知，如果f：A→B成立，则任意x∈A，则有唯一确定的B与之对应，由于x＝1不一定是定义域中的数，故x＝1可能与函数y＝f(x)没有交点，故函数f(x)的图象与直线x＝1至多有一个交点．
5．已知x≠0，函数f(x)满足f ＝x2＋，则f(x)＝________.
解析：f ＝x2＋＝2＋2，所以f(x)＝x2＋2.
答案：x2＋2
6．已知函数f (2x＋1)＝3x＋2，且f (a)＝4，则a＝________.
解析：因为f (2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f (a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值．
解：因为f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
代入①得a＝.
所以f(x)＝＝.
所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝.
8．某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为：y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数，并画出图象．
解：(1)将与代入y＝ax＋中，
得??
所以所求函数解析式为y＝x＋(x∈N,0(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
197
100
68.3
53
44.2
38.7
35
32.5
30.8
29.6
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
28.8
28.3
28.1
28
28.1
28.25
28.5
28.9
29.3
29.8
依据上表，画出函数y的图象如图所示，是由20个点构成的点列．
第二课时 分段函数与映射
预习课本P21～23，思考并完成以下问题
(1)什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？
(2)怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？
(3)映射的定义是什么？映射和函数的关系怎样？
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
[点睛] (1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
2．映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中
都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
[点睛] 映射由三要素组成，集合A，B以及A到B的对应关系，集合A，B可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．( )
(2)分段函数由几个函数构成．( )
(3)函数f(x)＝是分段函数．( )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．已知f(x)＝则f(－2)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．2或4
答案：A
3．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的映射的是( )
答案：C
4．函数f(x)＝的定义域为________．
答案：[1，＋∞)
[例1] 下列对应是不是从A到B的映射？
(1)A＝B＝N*，f：x→|x－3|；
(2)A＝N，B＝Q，f：x→；
(3)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|2≤y≤5}，f：x→y＝2x.
[解] (1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0?B，即A中的元素3在B中没有元素与之对应，所以(1)不是映射．
(2)当x＝0∈A时，无意义，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以(2)不是映射．
(3)当1≤x≤2时，2≤2x≤4，而且对于A中每一个x值，按照对应关系y＝2x，在B中都有唯一的元素与之对应，所以(3)是映射．
判断一个对应是不是映射的2个关键
(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应．
(2)B中的对应元素是不是唯一的．
[点睛] “一对一”或“多对一”的对应才可能是映射．
[活学活用]
1．已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
解：(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
[例2] 已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝，求x的值．
[解] (1)因为f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
(2)f(x)＝，若|x|≤1，则|x－1|－2＝，
得x＝或x＝－.
因为|x|≤1，所以x的值不存在；
若|x|>1，则＝，得x＝±，符合|x|>1.
所以若f(x)＝，x的值为±.
1．求分段函数的函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．求某条件下自变量的值的方法
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
[活学活用]
2．已知f(x)＝则f(－5)的值等于________．
解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2.
答案：2
3．函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
解析：当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍去)；
当x0>2时，f(x0)＝x0，∴x0＝10.
综上可知，x0＝－或x0＝10.
答案：－或10
题点一：分段函数的图象的判定
1．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
解析：选B 法一：函数的解析式可化为y＝画出此分段函数的图象，故选B.
法二：由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A、C、D，故选B.
题点二：分段函数图象的作法
2．已知f(x)＝画出f(x)的图象．
解：利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
题点三：由函数的图象确定其解析式
3．已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式是________．
解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1.
答案：f(x)＝
题点四：分段函数的图象及应用
4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
解析：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
层级一 学业水平达标
1．下列对应关系f中，能构成从集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝{x|x>0}，B＝R，f：x→|y|＝x2
B．A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→y＝x2
C．A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝
D．A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：x→y＝
解析：选D 对于A，集合A中元素1在集合B中有两个元素与之对应；对于B，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应；对于C，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应．故A、B、C均不能构成映射．
2．已知f(x)＝则f(f(－7))的值为( )
A．100 B．10
C．－10 D．－100
解析：选A ∵f(x)＝∴f(－7)＝10.
f(f(－7))＝f(10)＝10×10＝100.
3．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )
解析：选D 函数y＝x|x|＝故选D.
4．已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{0|0≤y≤2}，按对应关系f不能构成从M到N的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
解析：选C 因为当x＝4时，y＝×4＝?N，所以C中的对应关系f不能构成从M到N的映射．
5．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0,3]
解析：选B 先求各段上的图象，再求各段值域的并集，即为该函数的值域．
6．已知f(x)＝则f＝________.
解析：依题意，得f＝＝3，则f＝f(3)＝32－1＝8.
答案：8
7．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．
解析：当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1舍去，
当－1答案：
8．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中的元素为________．
解析：由题意知，与A中元素(－1,2)对应的B中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)．
答案：(－3,1)
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
解：(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，
f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，
由x－4＝8，
得x0＝±2(舍去)；
当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.
∴x0＝4.
10．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
层级二 应试能力达标
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的图象是( )
解析：选A 当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.
2．已知函数y＝使函数值为5的x的值是( )
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
解析：选A 当x≤0时，令x2＋1＝5，解得x＝－2；当x>0时，令－2x＝5，得x＝－，不合题意，舍去．
3．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素在A中都能找到元素与之对应，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选A 注意到对应法则是f：a→|a|，因此3和－3对应集合B中的元素3；2和－2对应集合B中的元素2；1和－1对应集合B中的元素1；4对应集合B中的元素4.所以B＝{1,2,3,4}，有4个元素．
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
解析：选A 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为
y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
5．函数f(x)＝的值域是________．
解析：当x≥0时，f(x)≥1，
当－2≤x<0时，2∴f(x)≥1或2答案：[1，＋∞)
6．设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
解析：当a≥0时，f(a)＝a－1>1，
解得a>4，符合a≥0；
当a<0时，f(a)＝>1，无解．
答案：(4，＋∞)
7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．
(1)求f(f(0))的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
解：(1)直接由图中观察，可得
f(f(0))＝f(4)＝2.
(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，
将与代入，
解得得
∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．
同理，线段BC所对应的函数解析式为
y＝x－2(2∴f(x)＝
8．A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．
解：(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s＝50t，到达B地所需时间为＝3(小时)．
(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.
(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，从B地到A地用时＝2.5(小时)．
综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为s＝
函数图象如图所示．
1.3
1．3.1 单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性
预习课本P27～29，思考并完成以下问题
(1)增函数、减函数的概念是什么？
(2)如何表示函数的单调区间？
(3)函数的单调性和单调区间有什么关系？
1．定义域为I的函数f(x)的增减性
[点睛] 定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
2．单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2在R上是增函数．( )
(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
答案：C
3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
答案：B
4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．
答案：(－∞，－1]
[例1] 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
[证明] 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1∵x1∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)∴函数f (x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f (x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
利用定义证明函数单调性的4个步骤
[活学活用]
1．证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1(x1－x2)＝.
∵0∴x1－x2<0,0∴>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数.
[例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
[解] y＝
即y＝
函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
求函数单调区间的2种方法
法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
[活学活用]
2．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________．
解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．
答案：[－1.5,3]和[5,6]
3．求函数f(x)＝的单调减区间．
解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).
题点一：利用单调性比较大小
1．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)解析：选D 因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)题点二：利用单调性解不等式
2．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围．
解：∵函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，∴2x－3>5x＋6，解得x<－3.∴x的取值范围为(－∞，－3)．
题点三：已知单调性求参数范围
3．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
层级一 学业水平达标
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.
3．函数y＝的单调递减区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：选C 函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．
4．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有( )
A．a≥ B．a≤
C．a> D．a<
解析：选D 函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D.
5．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是( )
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
解析：选C 分别作出f(x) 与g(x)的图象得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.
6．若f(x)在R上是减函数，则f(－1)________f(a2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．
解析：∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1f(x2)．又∵－1f(a2＋1)．
答案：>
7．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)解析：由题设得
解得－1≤x<.
答案：
8．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，
∴≤，即a≤2.
答案：(－∞，2]
9．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
10．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解：f(x)＝的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)＝的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．
层级二 应试能力达标
1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
解析：选D 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
①y＝|x|＋1；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选C ①y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；②y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．
3．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
解析：选D 依题意得实数a满足解得04．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(2)D．f(3)解析：选A 对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)5．若函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：设0f(x1)－f(x2)＝－＋＝>0.
∵00，
∴b<0.
答案：(－∞，0)
6．函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间是________．
解析：y＝－(x－3)|x|＝作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为.
答案：
7．已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)解：由题意可知解得0又f(x)在(－1,1)上是减函数，
且f(1－a)2a－1，即a<，②
由①②可知，a的取值范围是.
8．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．
解：在定义域内任取x1，x2，且使x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
∵a>b>0，x10.
只有当x1当x1∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．
∴y＝f(x)的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，无单调增区间．
第二课时 函数的最大(小)值
预习课本P30～32，思考并完成以下问题
(1)函数最大(小)值的定义是什么？
(2)从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？
函数的最大(小)值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何
意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大值或最小值．( )
(2)函数的最小值一定比最大值小．( )
答案：(1)× (2)√
2．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－1,0 B．0,2
C．－1,2 D.，2
答案：C
3．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
答案：D
4．函数f(x)＝，x∈[2,4]，则f(x)的最大值为______；最小值为________．
答案：1
[例1] 如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．
[解] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝3；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2.
用图象法求最值的3个步骤
[活学活用]
1．求函数f(x)＝的最值．
解：函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值．
[例2] 已知函数f(x)＝x＋.
(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；
(2)求f(x)在[2,4]上的最值．
[解] (1)证明：设对于任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，
又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，
故(x1－x2)·<0，即f(x1)所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．
(2)由(1)可知f(x)在[2,4]上是增函数，
∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．
又f(2)＝2＋＝，f(4)＝4＋＝，
∴f(x)在[2,4]上的最大值为，最小值为.
函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．
(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．
[活学活用]
2．已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
解：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)＝是区间[2,6]上的减函数．
因此，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.
[例3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[解] (1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，[f(x)]max＝25 000.
当x>400时，
f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，[f(x)]max＝25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．
解实际应用问题的5个步骤
(1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系．
(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数．
(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系．
(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式．
(5)答：回归实际，明确答案，得出结论．
[活学活用]
3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大值为9 000元.
[例4] 求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
[解] ∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求f(x)的最大值．
解：∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－8a，
当a>3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a.
∴f(x)max＝
2．[变设问]在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a的值．
解：由本例解析知f(x)min＝
当a＜2时，6－4a＝2，a＝1；
当2≤a≤4时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；
当a＞4时，若18－8a＝4，a＝(舍去)．
∴a的值为1.
3．[变条件，变设问]本例条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．
解：在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，
即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，
即a≥f(x)max，x∈[2,4]．
由本例探究1知f(x)max＝
(1)当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3.
(2)当a＞3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a＞3.
综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．
求解二次函数最值问题的顺序
(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图．
(2)在图象上标出定义域的位置．
(3)观察单调性写出最值．
层级一 学业水平达标
1.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )
A．f(2)，f(－2)
B．f，f(－1)
C．f，f
D．f，f(0)
解析：选C 根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f；当x＝时，有最大值f.
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )
A．10,5 B．10,1
C．5,1 D．以上都不对
解析：选B 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.
3．函数y＝(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是( )
A.，0 B.，0
C.， D．最小值为－，无最大值
解析：选C 因为函数y＝在区间[0,5]上单调递减，所以当x＝0时，ymax＝，当x＝5时，ymin＝.故选C.
4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
解析：选C 由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
5．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：选C 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a＜0.
6．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．
解析：易证函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，所以ymin＝，ymax＝1，
所以ymax－ymin＝1－＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.
故当x＝0时，函数有最小值，
当x＝1时，函数有最大值．
∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，
∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
答案：1
8．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)．
答案：f(－2) f(6)
9．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．
解：任取2≤x1则f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为2≤x1所以x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0.
所以f(x2)－f(x1)<0.
所以f(x2)所以f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数．
所以f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝.
10．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
解：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
当a≥1时，f(x)max＝f(1)＝a；
当0当a≤0时，f(x)max＝f(0)＝1－a.
根据已知条件得，或或
解得a＝2或a＝－1.
层级二 应试能力达标
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
解析：选A B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：选A ∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，
f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，
∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
解析：选D f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.
4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
解析：选C 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)
＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
5．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0,1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：法一：－x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0,1]，也就是a应大于或等于f(x)＝x2－4x在[0,1]上的最大值，函数f(x)＝x2－4x在x∈[0,1]的最大值为0，∴a≥0.
法二：设f(x)＝－x2＋4x＋a，
由题意知解得a≥0.
答案：[0，＋∞)
6．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
解析：如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，
∴1答案：(1,3]
7．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x
45
50
y
27
12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组
解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
8．已知f(x)＝3x2－12x＋5，当f(x)的定义域为[0，a]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：由于f(x)的对称轴是x＝2，因此要确定f(x)在[0，a]上的单调性，就需要确定对称轴是否落在该区间上，这就需要对a进行讨论：
(1)当0∴f(x)min＝f(a)＝3a2－12a＋5，
f(x)max＝f(0)＝5.
(2)当a>2时，f(x)在[0,2]上单调递减，在[2，a]上单调递增，因此其最大值为f(0)和f(a)中的较大者，而f(a)－f(0)＝3a2－12a.
∴①当2f(x)min＝f(2)＝－7.
②当a>4时，f(x)max＝f(a)＝3a2－12a＋5，
f(x)min＝f(2)＝－7.
1．3.2 奇偶性
预习课本P33～36，思考并完成以下问题
(1)偶函数与奇函数的定义分别是什么？
(2)奇、偶函数的定义域有什么特点？
(3)奇、偶函数的图象分别有什么特征？
函数奇偶性的概念
偶函数
奇函数
定
义
条件
对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
结论
函数f(x)叫做偶函数
函数f(x)叫做奇函数
图象特征
图象关于y轴对称
图象关于原点对称
[点睛] 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数的图象一定与y轴相交．( )
(2)奇函数的图象一定通过原点．( )
(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．( )
(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
答案：C
3．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ D．y＝x2，x∈[0,1]
答案：B
4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝____________.
答案：4
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝ ＋ ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解] (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．
②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．
③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
(2)图象法：
①若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数．
②若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数．
③若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．
④若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)性质法：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
[活学活用]
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝.
解：(1)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数.
[例2] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
[答案] (1) 0 (2)0
利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
[活学活用]
2．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
[例3] 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
[解] 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
故f(x)＝
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，求f(－2)的值．
解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.
2．[变条件]若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
题点一：比较大小问题
1．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
解析：选A ∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．
题点二：区间内的最值问题
2．若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有( )
A．最小值6 B．最小值－6
C．最大值－6 D．最大值6
解：选C 因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.
题点三：解不等式问题
3．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)解析：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)层级一 学业水平达标
1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
解析：选B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：选B F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．
3．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
解析：选C ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
4．如果奇函数f(x)的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )
A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
解析：选C f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.
5．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π)
D．f(3)>f(－π)>f(－2)
解析：选A ∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，
∴f(π)>f(3)即f(－π)>f(3)>f(－2)．
6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
解析：由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
7．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
8．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.
答案：5
9．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，
∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，x≠0.
∵f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
层级二 应试能力达标
1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x
解析：选A 易判断A、C为偶函数，B、D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.
2．若f(x)＝(x－a)(x＋3)为R上的偶函数，则实数a的值为( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
解析：选B 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－a)(－x＋3)＝(x－a)(x＋3)，化简得(6－2a)x＝0.因为x∈R，所以6－2a＝0，即a＝3.
3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有( )
A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)f(－x)
解析：选B ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)≠0，
∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.
4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
解析：选A 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)5.设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
解析：由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．
答案：[－6，－3)∪(0,3)
6．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是____________．
解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)答案：f(－2)7．奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
解：原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)因为f(x)是减函数，所以m－1>2m－3，所以m<2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－1所以0综上得18．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．
解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减，
∵2a2＋a＋1＝22＋＞0，
2a2－2a＋3＝22＋＞0，
且f(2a2＋a＋1)＜f (2a2－2a＋3)，
∴2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，
即3a－2＞0，解得a＞，
∴a的取值范围为.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)的元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由已知条件，得U＝A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3,4}，
∴?U(A∩B)＝{1,2,5}，即集合?U(A∩B)的元素有3个，故选C.
2．设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是( )
A．{0,2,3} B．{1,2,3}
C．{－3,5} D．{－3,5,9}
解析：选D 由对应关系可知，当x＝－1时，2x－1＝－3；当x＝3时，2x－1＝5；当x＝5时，2x－1＝9.故B＝{－3,5,9}．
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为( )
A．y＝－|x|－1 B．y＝|x－1|
C．y＝－|x|＋1 D．y＝|x＋1|
解析：选C 对照题中的函数图象，当x＝0时排除A，当x＝－1时排除B，当x＝1时排除D，故选C.
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－.
5．函数f(x)＝(x>0)的值域是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C. D.
解析：选C ∵f(x)＝＝＝1－在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)∈.
6．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析：选C 正方形的对角线长为x，从而外接圆半径为y＝×x＝x.
7．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于( )
A．10 B．－10
C．－18 D．－26
解析：选D 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)是奇函数，f(x)＝g(x)－8，
f(－2)＝g(－2)－8＝10，
∴g(－2)＝18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－g(－2)－8＝－26.
8．若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)解析：选D 由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，f＝f，f(－1)＝f(1)．∵1<<2，∴f(1)>f>f(2)，即f(2)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)
9．用列举法表示集合：M＝＝________________.
解析：由∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.
答案：{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
10．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
解析：A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，解得A∩B＝{x|0≤x≤1}，A∪B＝{x|x≥－1}．
答案：{x|0≤x≤1} {x|x≥－1}
11．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：若a>0，则2a＋2＝0，得a＝－1，与a>0矛盾，舍去；若a≤0，则a＋1＋2＝0，得a＝－3，所以实数a的值等于－3.
答案：－3
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．
解析：f(x)的对称轴为直线x＝－1.
当a>0时，f(x)max＝f(2)＝4，解得a＝；
当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.
综上，得a＝或a＝－3.
答案：－3或
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
解析：∵f(x)为偶函数且定义域为[a－1,2a]，
∴a－1＝－2a，∴a＝.
∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.
又f(－x)＝f(x)恒成立，
∴x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b.
∴2bx＝0对x∈R恒成立，∴b＝0.
答案： 0
14．设函数f(x)＝则f(－2)＝________，f ＝________.
解析：f(－2)＝1－(－2)2＝－3.
∵f(2)＝22＋2－2＝4，
∴f＝f＝1－2＝.
答案：－3
15．已知函数f(x)＝(a≠1)．
(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当a>0时，由3－ax≥0，得x≤，
∴f(x)的定义域是.
(2)当a>1时，f(x)在区间(0,1]上是减函数，
∴f(x)≥0，则f(1)＝≥0，即3－a≥0，a≤3，
∴1当0当a＝0时，f(x)＝－，不合题意；
当a<0时，f(x)在区间(0,1]是减函数．
综上所述，a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．
答案：(1) (2)(－∞，0)∪(1,3]
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝.
(1)判断点(3,14)是否在f(x)的图象上；
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
解：(1)因为f(x)＝，
所以f(3)＝＝－，
所以点(3,14)不在f(x)的图象上．
(2)f(4)＝＝－3.
(3)令＝2，即x＋2＝2x－12，
解得x＝14.
17．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1∵?UA＝{x|x<2或x>8}，
∴(?UA)∩B＝{x|1(2)∵A∩C≠?，如图易知，只要a在8的左边即可，
∴a<8，即a的取值范围为(－∞，8)．
18．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
解：(1)因为f(x)＝＝2－，
所以f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1因为x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)得，函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[1,4]上是增函数．
最大值为f(4)＝＝，
最小值为f(1)＝＝.
19．(本小题满分15分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．
解：(1)若x<0，则－x>0，f(x)＝f(－x)＝－(－x－2)2＋2＝－(x＋2)2＋2，
则f(x)＝
(2)图象如图所示，
(3)由于方程f(x)－k＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝k的交点的横坐标，观察函数y＝f(x)图象与直线y＝k的交点情况可知，当－220．(本小题满分15分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1图象的上方，试确定实数m的取值范围．
解：(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，
将点(0,3)的坐标代入得a＝2，
所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由(1)知f(x)的对称轴为直线x＝1，
所以2a<1所以0即实数a的取值范围为.
(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，
由题意得2x2－6x－2m＋2>0对于任意x∈[－1,1]恒成立，
所以x2－3x＋1>m对于任意x∈[－1,1]恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
则g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m<－1，故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
