2017-2018学年九年级数学上册第21章二次根式本章总结提升练习（新版）华东师大版

二次根式
本章总结提升
问题1　二次根式的概念
当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？为什么要强调x是这样的实数？
例1 2017·绵阳使代数式＋有意义的整数x有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
【归纳总结】 根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时二次根式才有意义，据此列出不等式(组)即可求出被开方数中所含字母的取值范围，但还要注意题中的其他限制条件，如分母不为0等．
问题2　二次根式的性质
例2 已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图22－1－1所示，化简：＋|a＋c|－＋|1－b|＝________．
图22－1－1
问题3　二次根式的运算
二次根式的运算种类及各自的法则是什么？它的混合运算的顺序如何？乘法公式在运算时起了什么作用？
例3 2017·上海改编计算：＋(－1)2－ ＋()－1＝________．
【归纳总结】 二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便．
问题4　与二次根式有关的代数式求值
化简求值问题的一般要求是什么？分母有理化的依据是什么？
例4 化简求值：(－)÷，其中a＝1－，b＝1＋
详解详析
【整合提升】
例1　[解析] B　由题意，得x＋3＞0且4－3x≥0，解得－3＜x≤，其中的整数有－2，－1，0，1，故选B.
例2　[答案] c＋a－1
[解析] 由图可知：a＜0，a＋c＞0，a－b＜0，1－b＜0，故原式＝－a＋a＋c＋a－b＋b－1＝c＋a－1.
例3　[答案] 5
[解析] 原式＝3 ＋2－2 ＋1－＋2＝5.
例4　[解析] 先按分式的运算法则计算化简，再代入求值．
解：(－)÷
＝÷
＝·
＝.
当a＝1－，b＝1＋时，原式＝.
【章内专题阅读】
二次根式中的数学思想
日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年的时间可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神和数学思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益．”由此可见数学思想是多么的重要，那么二次根式这一章中，有哪些重要的思想呢？
1．模拟探究的思想
例1　我们规定运算符号“※”的意义是当a>b时，a※b＝a＋b；当a≤b时，a※b＝a－b，其他运算符号的意义不变．按上述规定，计算－＝________．
[解析] 根据符号“※”的意义，将其转化即可．
－＝＋－＝＋－1＋－＝2 .
[点评] 例1是模拟规定、探究计算的题型，类似的模拟理论、探究实际，模拟特殊、探究一般，模拟确定、探究分类等，是近几年中考的一个热点．
2．数形结合的思想
例2　实数p在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：＋()2.
[解析] 根据实数p在数轴上对应的点的位置，确定出1－p<0，3－p>0，再进行化简．
解：由实数p在数轴上对应的点的位置，可得10.
所以＋()2＝|1－p|＋3－p＝p－1＋3－p＝2.
[点评] 例2主要是应用＝|a|和()2＝a(a≥0)化简，注意这两个性质中a表示的范围不同．()2中a≥0，而中a可以是负数．
3．整体代入的思想
例3　已知x＝(＋)，y＝(－)，求x2－xy＋y2的值．
[解析] 从整体着手，由已知式子可以看出x＋y和xy并不复杂，x＋y＝，xy＝，因此，只要把x2－xy＋y2化成只含x＋y和xy的形式，整体代入求值即可．
解：∵x＝(＋)，y＝(－)，∴x＋y＝，xy＝.
∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝()2－3×＝2017.25.
[点评] 例3如果直接将x，y的值代入，则计算量比较大，且算式长，容易出现错误，所以整体代入可以减小计算量．
4．转化的数学思想
例4　已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，求此等腰三角形的周长．
解：∵＋(2a＋3b－13)2＝0，且
∴解得
∴等腰三角形的周长是7或8.
5．归纳的数学思想
例5　计算下列各式的值：
；；；.
观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得
[答案] 102018
[解析] ＝10；＝100；＝1000；＝10000.可得，所以＝102018.
[点评] 解答例5这类题的一般步骤：算出前几个算式，找到变化规律，利用规律归纳出要解决的问题．为了促进所归纳的规律的准确性，可将规律中的n取最简单的特殊值再验证一下．