《功和能》专题讲座(湖北省黄冈市黄州区)

《功和能》专题讲座
一、求变力做功的几种方法
1、将变力做功转化为恒力做功
我们知道变力做功不能直接用公式来计算，但在某些特殊情况下，将变力做功转换成恒力做功，就可以用求功公式直接求解．
例1、如图1所示，在光滑的水平面上，物块在恒力F=100N作用下从A点运动到B点，不计滑轮的大小，不计绳、滑轮的质量及绳、滑轮间摩擦，H=2.4m，α=37°，β=53°，求拉力F所做的功．
解析：在功的定义式W=Fscosθ中，s是指力F的作用点的位移，当物块从A点运动到B点时，连接物块的绳子在定滑轮左侧的长度变小，由于绳不能伸缩，故力F的作用点的位移大小等于s，而这里物块移动的位移大小为（Hcotα－Hcotβ），可见本例力F作用点的位移大小不等于物块移动的位移大小．
根据功的定义式，有
说明：此题利用功是力和力的作用点的位移的乘积来作，比较简单，如果用力和物体的位移相乘就比较麻烦．
常见错误：
（1）分析本题中时，有不少学生直接套用功的公式W=F·s，而作用在物体上的力是变力，故无法求解．
（2）物体的位移和力F的作用点的位移的大小不相等．
2、用动能定理求解变力所做的功
如果我们所要研究的对象所受的一个或几个力中，只有一个变力，而其余都是恒力，而且这些恒力的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功．
【例2】 质量m=1kg的物体，从轨道的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点h=0.8m，如图2所示．如果物体在B点的速度为2m/s，求物体在轨道AB上克服摩擦力所做的功．
【解析】物体由A到B过程中，共受三个力作用：重力mg、支持力N、摩擦力f，由于轨道是弯曲的，轨道对物体的支持力是一个变力，摩擦力也是一个变力，但支持力N不做功．只有重力和摩擦力做功，由动能定理得：
故物体在轨道上滑下时克服摩擦阻力所做的功为5.84J．
3、用机械能守恒定律求变力做的功
如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力和弹力做功时，则W 外是重力和弹力做功的总和，动能定理就转化成机械能守恒定律．如果重力和弹力中有一个力是变力时，要求这个变力做的功，则可用机械能守恒定律求解．
【例3】 如图3所示，质量为m=2kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平位置A，使弹簧无形变由静止释放，小球到达距O点下方h=0.5m处的B点的速度为2m/s．求小球从A到B的过程中弹簧弹力做的功．
【解析】 小球在运动过程中，只受重力和弹力作用，故系统机械能守恒．以B点为重力势能零势面，A点为弹性势能零势面，则在初态A有：
对末态B有：
由机械能守恒定律得：E1=E2
因弹性势能增加，故弹力做负功．
因此，小球从A到B的过程中，弹簧弹力做的功为－6J．
4、用功能原理求变力所做的功
功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（除重力、弹力外）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量．如果这些力中，只有一个变力做功，就可用功能原理求变力所做的功．
【例4】 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳子PQ提升井中质量为m的物体，如图4所示．绳的P端拴在车的挂钩上，Q端拴在物体上，设绳的伸长、绳的质量、定滑轮的质量、滑轮上的摩擦忽略不计．开始时车在A点，左、右两侧绳都已绷紧，并且是竖直的，左侧绳长为H，提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H，车在B点时的速度为vB，求车由A到D的过程中，Q端绳子的拉力对物体所做的功．
【解析】 Q端绳子对物体的拉力等于汽车对P端绳子的拉力，这个力是变力，故本题是变力做功问题，可用功能原理求解．
设绳的P端到达B处时，左边绳与水平地面所成的夹角为θ，物体从井底上升的高度为h，速度为v，所求的功为W，则由功能原理有：
因绳的总长不变，故有：
沿车速vB分解成垂直于绳的速度v1和沿绳的方向的速度v2，则有：
又
即
故有：
故Q端绳子对物体做的功为
5、利用求变力所做的功
【例5】 一辆汽车的质量为105kg，该车从静止开始以恒定功率行驶，经过40s，前进40m，速度达到最大值．如果车受的阻力始终是车重的0.05倍，问车的最大速度是多少？
【解析】 汽车在运动过程中，功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值．汽车所受阻力是恒力，牵引力是变力．牵引力做功不能直接用公式来求解，但可用公式W=P·t来求解．因为汽车达到最大速度时牵引力等于阻力，故有：
牵引力的功为：
设阻力f做的功为W1，由动能定理得：
即：
将：
代入上式得：
故此汽车的最大速度为20m/s．
6、用图象求变力所做的功
函数f =－ kx的图象如图所示，图中OA同x轴及f轴的平行线所围成的面积就是阻力f所做的功．
【例6】 用锤子把铁钉钉入木块中，设每次打击时，锤子给予铁钉的动能都相同，铁钉进入木块所受阻力跟钉入的深度成正比．如果钉子第一次被击入木块的深度为2cm，求第二次打击后可再进入的深度．
【解析】 钉子进入木块所受的阻力f跟钉子进入木块的深度x间的大小关系为：f=kx
钉子得到锤子给予的动能，克服木块的阻力而做功，因阻力是变力，在钉子进入木块的过程中，阻力做功的过程是变力做功的问题．
作出f = kx的图象如图6所示．第一次钉子克服阻力所做的功等于OA线下三角形的面积W1，第二次钉子克服阻力所做的功为AB线下面的梯形面积W2，因为每次打击时给予钉子动能都相等．故有 W1=W2
设第二次打击后，钉子再进入的深度为x，由图6可知：△OAC∽△OBD
故由相似三角形的性质可知
即：
故在第二次打击后，钉子再进入木块的深度为
二、动能定理的应用
1、在力学中的应用
【例1】（06年北京22题 ）（16分）下图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图。整个雪道由倾斜的助滑雪道AB和着陆雪道DE，以及水平的起跳平台CD组成，AB与CD圆滑连接。运动员从助滑雪道AB上由静止开始，在重力作用下，滑到D点水平飞出，不计飞行中的空气阻力，经2s在水平方向飞行了60m，落在着陆雪道DE上，已知从B点到D点运动员的速度大小不变。（g取10m/s）求
（1）运动员在AB段下滑到B点的速度大小；
（2）若不计阻力，运动员在AB段下滑过程中下降的高度；
解析：（1）运动员从D点飞出时的速度
v=
依题意，下滑到助雪道末端B点的速度大小是30m/s
（2）在下滑过程中机械守恒，有
下降的高度
（3）根据动能定理关系，有
运动员克服阻力做功
2、在电磁学中的应用
例2、（05年北京25题）（20分）右图是导轨式电磁炮实验装置示意图。两根平行长直金属导轨沿水平方向固定，其间安放金属滑块（即实验用弹丸）。滑块可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨保持良好接触。电源提供的强大电流从一根导轨流入，经过滑块，再从另一导轨流回电源。滑块被导轨中的电流形成的磁场推动而发射。在发射过程中，该磁场在滑块所在位置始终可以简化为匀强磁场，方向垂直于纸面，其强度与电流的关系为B＝kl，比例常量k＝2.5×10－6T/A。
已知两导轨内侧间距l＝1.5cm，滑块的质量m＝30g，滑块沿导轨滑行5cm后获得的发射速度v＝3.0km/s（此过程视为匀加速运动）。
（1）求发射过程中电源提供的电流强度；
（2）若电源输出的能量有4%转换为滑块的动能，则发射过程中电源的输出功率和输出电压各是多大；
（3）若此滑块射出后随即以速度沿水平方向击中放在水平面上的砂箱，它嵌入砂箱的深度为s’。设砂箱质量为M，滑块质量为m，不计砂箱与水平面之间的摩擦。求滑块对砂箱平均冲击力的表达式。
解析：（1）由匀加速运动公式
由安培力公式和牛顿第二定律，有
因此
（2）滑块获得的动能是电源输出能量的4%，即
发射过程中电源供电时间
所需电源输出功率为
由功率P=IU，解得输出电压
（3）分别对砂箱和滑块用动能定理，有
由牛顿定律和相对运动
故平均冲击力
三、机械能守恒定律及其应用
【例1】 如图1所示，质量为m1和m2的物体A、B通过定滑轮连接，A放在光滑水平面上，且m1>m2，B由静止开始下落．下落过程中绳始终拉紧，A在水平面上向右运动．当B下落h高度时，拉A的绳子与水平方向成θ角．若不计绳的质量和滑轮的摩擦．求此时B的速度．
【解析】 取A、B这个系统及地球—起为研究对象，在整个过程中只有重力对系统做功，所以系统的机械能守恒．
设B下落h时速度为v2，那么此时A的速度为：（想一想，为什么）
由机械能守恒定律得：
即：
∴
【例2】（05年北京23题）（16分）AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨道相切，如图所示。一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦。求
（1）小球运动到B点时的动能；
（2）小球下滑到距水平轨道的高度为1/2R时速度的大小和方向；
（3）小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大？
解析：（1）根据机械能守恒
（2）根据机械能守恒
小球速度大小
速度方向沿圆弧的切线向下，与竖直方向成30°
（3）根据牛顿运动定律及机械能守恒，在B点
解得： 在C点：
四、动量与能量综合问题的分析方法
【例1】 如图1所示， 在光滑水平地面上有一辆质量为M的小车，车上装有一个半径为R的光滑圆环．一个质量为m的小滑块从跟车面等高的平台以v0的初速度滑入圆环．试问：小滑块的初速度v0满足什么条件时，才能使它运动到环顶时恰好对环顶无压力？
【解析】 滑块滑到圆环的最高点恰对环顶无压力时，应有：
①
式中v是滑块相对圆心O点的线速度，方向向左．
设小车此时的速度为v1，并以该速度为正方向，则滑块对地的速度为对滑块和小车组成的系统，由于水平方向所受合外力为零，由动量守恒定律得：
②
由滑块和小车组成的系统机械能守恒得：
③
由①②③式联立解得：
说明：（1）公式中的v是相对圆心O的线速度，而本题中的圆心是以v1向右运动的，所以滑块对地的速度为v－v1．
（2）动量守恒定律、机械能守恒定律表达式中的速度均应为对地的．
【例2】（04年北京24题）（20分）对于两物体碰撞前后速度在同一直线上，且无机械能损失的碰撞过程，可以简化为如下模型：A、B两物体位于光滑水平面上，仅限于沿同一直线运动。当它们之间的距离大于等于某一定值d时，相互作用力为零；当它们之间的距离小于d时，存在大小恒为F的斥力。
设A物体质量，开始时静止在直线上某点；B物体质量，以速度从远处沿该直线向A运动，如图所示。若，，，求：
（1）相互作用过程中A、B加速度的大小；
（2）从开始相互作用到A、B间的距离最小时，系统（物体组）动能的减少量；
（3）A、B间的最小距离。
解析：（1）
v0
m2 m1

（2）两者速度相同时，距离最近，由动量守恒
（3）根据匀变速直线运动规律
当时
解得A、B两者距离最近时所用时间
将代入，解得A、B间的最小距离
【例3】 如图2所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一个砂箱，砂箱左侧连着一水平轻弹簧，小车和砂箱的总质量为M，车上放有一物块A，质量是m，物块A随小车以速度v0向右匀速运动．物块A与左侧的车面的动摩擦因数为，与车右面摩擦不计．车匀速运动时，距砂面H高处有一质量为m的泥球自由下落，恰好落在砂箱中，求：
（1）小车在前进中，弹簧弹性势能的最大值．
（2）为使物块A不从小车上滑下，车面粗糙部分应多长？
【解析】 本题应用动量守恒、机械能守恒及能量守恒定律联合求解．
在m下落在砂箱中的过程中，由于车与小泥球m在水平方向不受任何外力作用，故车及砂、泥球整个系统的水平方向动量守恒，则有：
①
此时物块A由于水平方向不受外力作用，而继续向右作匀速直线运动而与轻弹簧相碰，以物块A、弹簧、车系统为研究对象，水平方向仍未受任何外力作用，系统动量守恒，当弹簧被压缩到最短，达最大弹性势能时，整个系统的速度为v2，则由动量守恒和机械能守恒有：
②
③
由①②③式联立解得：
④
之后物块A相对地面仍向右做减速运动，而相对车则向车的左面运动，直到脱离弹簧，获得对车向左的动能，设刚滑至车尾，则相对车静止，由能量守恒，弹性势能转化为系统克服摩擦力做功转化的内能有： ⑤
由④⑤两式得：
A
h
B
图2
h
O
C
B
m
A
图3
v
C
B
H
A
P
H
θ
h
Q
图4
f/N
O
2
2－x
x/cm
图6
A
B
C
D
m2
B
h
m1
θ
A
A
图1
x
f
A
o
m
v0
R
M
图1
图2
B
A
m
v0
H
B
A
图1