1.1 菱形的性质与判定（3）同步作业

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1.1 菱形的性质与判定（3）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，AD=7，BF=6，则四边形ABEF的面积为（　　）
A. 48 B. 35 C. 30 D. 24
2．（2017江苏省苏州市）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E．将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'．设 P、P'分别是 EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为（ ）
A. B. C. D. ﹣8
3．若菱形的周长是16， ，则对角线的长度为（　　 ）
A. 2 B. C. 4 D.
4．下列说法中，错误的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB，AD的垂线段PE，PF，则PE＋PF等于(　　)
A. 6 B. 3 C. 1.5 D. 0.75
6．菱形ABCD中，如图，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若BE=EC，则∠EAF=（ ）
A. 75° B. 60° C. 50° D. 45°
7．己知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：( )
A. B.
C. D.
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（ ）
A. 20秒 B. 18秒 C. 12秒 D. 6秒
10．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（　　）
A. （1345,0） B. （1345.5，） C. （1345，） D. （1345.5，0）
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若∠ABC=60°，∠AEF=120°，AB=4，则EF可能的整数值是_____．
12．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，若AE=BE=2，AD=3，则CE=_____．
13．如图，在中，，BD为AC的中线，过点C作于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接 BG，DF．若AF=8，CF=6，则四边形BDFG的周长为_______________．
14．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是_______(只填写序号)．
15．如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠ABC＝120°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠ACE＝120°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使 ∠AEG＝120°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是 _____________________．
16．如图，菱形中， =2， =5， 是上一动点（不与重合），∥交于， ∥交于，则图中阴影部分的面积为______________。
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_____．
三、解答题
18．如图，在四边形中，，点是边的中点．点恰是点关于所在直线的对称点．
（1）证明：四边形为菱形；
（2）连接交于点．若，求线段的长．
19．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．
20．如图，在平行四边形中，∠BAD的平分线交于E，点在上，且，连接．
(1) 判断四边形的形状并证明；
(2) 若、相交于点，且四边形的周长为， ，求的长度及四边形的面积.
21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AC=,求菱形ABCD的面积．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）求菱形AEDF的面积；
（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？
23．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．
（1）证明：BE=CF．
（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
参考答案
1．D
【解析】分析：首先证明四边形ABEF为菱形，根据勾股定理求出对角线AE的长度，从而得出四边形的面积．
详解：∵AB∥EF，AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵BF平分∠ABC，
∴四边形ABEF为菱形， 连接AE交BF于点O， ∵BF=6，BE=5，∴BO=3，EO=4，
∴AE=8，则四边形ABEF的面积=6×8÷2=24，故选D．
点睛：本题主要考查的是菱形的性质以及判定定理，属于中等难度的题型．解决本题的关键就是根据题意得出四边形为菱形．
2．A
【解析】试题解析：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H．
由题意PP′=AA′=AB=CD，PP′∥AA′∥CD，∴四边形PP′CD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∵AF=FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′，在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∠A=60°，AF=4，∴AE=2，EF=2，∴PE=PF=，在Rt△PHF中，∵∠FPH=30°，PF=，∴HF=PF=，∵DF=，∴DH=﹣=，∴平行四边形PP′CD的面积=×8=．故选A．
3．C
【解析】∵菱形ABCD的周长是16，
∴AB=AD=CD=BC=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4.
∴对角线BD的长度为4.
故选C.
点睛：此题考查了菱形的性质与等边三角形的判定与性质，难度不大，解题的关键是利用数形结合思想.
4．B
【解析】分析：根据特殊平行四边形的判定与性质，注意判断即可.
详解：根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故正确；
根据菱形的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故不正确；
根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，故正确；
根据平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确.
故选：B.
点睛：此题主要考查了特殊平行四边形的性质与判定，熟记平行四边形的性质与判定和菱形的判定与性质是解题关键.
5．B
【解析】菱形ABCD的周长为16,4, 菱形面积为12，BC边上的高为3，
∠ABD=∠CBD,P到BC距离等于h=PE,PE＋PF=h+PF=3.所以选B.
点睛：菱形的面积公式有两个：
( 1)知道底和高，按照平行四边形的面积公式计算：S=ah.
(2)知道两条对角线的长a和b，面积S=.
6．B
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AE垂直平分边BC，AF垂直平分边CD，
∴AB=AC，AC=AD
∴△ABC，△ACD均是等边三角形，
∴∠BCA=60°，∠DCA=60°
∴∠BCD=120°
∴在四边形AECF中，
∠EAF=360°-180°-120°=60°．
故选：B
7．A
【解析】过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．
∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE=（1-x），BG=,
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，
∴y=
=
当x=0或x=1时，S△EFB有最大值；
故选A。
【点睛】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定、二次函数的顶点坐标公式，依据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积列出y与x的函数关系式是解题的关键。
8．A
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质和角平分线的性质，可知四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，可知BF的一半为6，由勾股定理可求得AE=16.
故选：A
9．A
【解析】∵直角△ABC中,∠C=90° ∠A=30°.
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中,∠C=30°，
∴DF=12CD=2t，
∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠CFD
∴DF∥AB，
由(1)得：DF=AE=2t，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即120 4t=2t，
解得：t=20，
即当t=20时， AEFD是菱形；
故选A.
点睛:用菱形的性质进行计算或证明时,一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到边上,再利用相等等条件求解,从而解决问题.本题中易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
10．B
【解析】连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2017=336×6+1，
∴点B1向右平移1344（即336×4）到点B2017．
∵B1的坐标为（1.5， ），
∴B2017的坐标为（1.5+1344，），
故选B．
点睛：本题是规律题，能正确地寻找规律 “每翻转6次，图形向右平移4”是解题的关键.
11．2，3，4．
【解析】分析：根据题意得出EF的取值范围，从而得出EF的值．
详解：∵AB=4，∠ABC=60°， ∴BD=4，
当点E和点B重合时，∠FBD=90°，∠BDC=30°，则EF=4；
当点E和点O重合时，∠DEF=30°，则△EFD为等腰三角形，则EF=FD=2，
∴EF可能的整数值为2、3、4．
点睛：本题主要考查的就是菱形的性质以及直角三角形的勾股定理，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是找出当点E在何处时取到最大值和最小值，从而得出答案．
12．
【解析】连接BD，交AC于O点，设EO=x，
因为菱形ABCD，∴AD=AB，BD⊥AC，AO=OC
在直角三角形△ABO和△EBO中，根据勾股定理
∴AB2﹣AO2=BO2=BE2﹣EO2
∵AE=BE=2，AD=3
∴3×3﹣（2+x）2=2×2﹣x2
解得x=，
∴CE=OC+EO=OA+EO=2+x+x=，
∴CE=．
点睛：本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决．
13．20
【解析】分析：首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．
详解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=AC=5，
∴四边形BGFD是菱形，
∴四边形BDFG的周长=4GF=20．
点睛：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．
14．②
【解析】分析: 根据点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，即可证明四边形BECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理即可作出判断．
详解：∵BD=CD，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；
②AB=AC时，∵D是BC的中点，
∴AF是BC的中垂线，
∴BE=CE，
∴平行四边形BECF是菱形．
③四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形；
故答案是：②．
点睛:本题考查了菱形的判定方法，菱形的判别常用三种方法：
①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．
15．
【解析】连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=，
∴AM=，
∴AC=，
同理可得AE=AC=()2，AG=AE=3=()3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为()n 1，
故答案为()n 1.
点睛：本题是一道找规律的题目.探寻数列规律：认真观察、席子思考、善用联想是解决问题的方法.利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其它未知数，然后列方程.
16．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,BO=OD=12BD=2.5，
∴△ABC的面积是×AC×BO=2.5，
∵AD∥BC,AB∥DC，
又∵PE∥BC,PF∥CD，
∴PF∥AB,PE∥AD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5.
故答案为：2.5.
17．
【解析】试题分析：根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA=4、OB=3，再利用勾股定理列式求出AB=5，然后根据△AOB的面积列式得，解得OH=．
故答案为： .
点睛：此题主要考查了菱形的性质，解题时根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据△AOB的面积列式计算即可得解．
18．（1）证明见解析；（2）
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得CE=AE，再根据轴对称的性质可得AE=AF，CE=CF，从而问题得证；
（2）由菱形的性质可得OE=OF，AO=CO，根据三角形的中位线可求得OE的长，从而即可得到OF的长.
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、轴对称的性质等，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键.
19．(1)见解析;(2)4
【解析】分析：（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD=BD，得证；
（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．
详解：（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，
∴四边形DBEC为平行四边形．
又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴CD=BD=AC，
∴平行四边形DBEC是菱形；
（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=3，DF=1，
∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=6，S△BCD=S△ABC
∴BC=2DF=2．
又∵∠ABC=90°，
∴AB===4．
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB BC=×4×2=4．
点睛：本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，，三角形中位线定理.由点D是AC的中点，得到CD=BD是解答（1）的关键，由菱形的性质和三角形的面积公式得到S四边形DBEC=S△ABC是解（2）的关键.
20．（1）四边形是菱形，证明略，（2）AE=8；四边形ABEF的面积是24
【解析】试题分析：（1）由角平分线的定义可得∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；
（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长，根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出结论．
试题解析：解：（1）∵AE是∠BAF的角平分线，∴∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∵AB=AF，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；
（2）∵四边形ABEF为菱形，且周长为20，∴AB=5，AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8，菱形ABEF面积=AE×BF=×8×6=24．
点睛：此题主要考查了菱形的性质和判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．
21．（1）证明见解析；（2）菱形ABCD的面积为
【解析】试题分析：（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=AD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；
（2）根据（1）的结论，以及菱形的性质可求出两对角线，然后根据菱形的面积=对角线之积的一半可求解.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD.；
又∵BE=AB，
∴BE=CD.
∵BE∥CD,
∴四边形BECD是平行四边形.
（2）∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE.
∴∠ABO=∠E=60°.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC丄BD,OA=OC.
∴∠BOA=90°，
∴∠BAO=30°.
∵AC=,
∴OA=OC=.
∴OB=OD=2.
∴BD=4.
∴菱形ABCD的面积=
22．（1）证明见解析；（2）20；（3）2秒
【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的三线合一可得出D为BC的中点，结合E、F分别为AB、AC的中点可得出DE和DF是△ABC的中位线，根据中位线的定义可得出DE∥AC、DF∥AB，即四边形AEDF是平行四边形，根据三角形中位线定义可得出DE=AC、DF=AB，结合AB=AC即可得出DE=DF，从而得出四边形AEDF是菱形；
（2）根据中位线的定义可得出EF的长度，根据菱形的面积公式可求出菱形AEDF的面积；
（3）由中位线的定义可得出EF∥BC，根据平行四边形的判定定理可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点．
∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴DE和DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，
∴AE=AF，
∴四边形AEDF是菱形，
（2）解：∵EF为△ABC的中位线，
∴EF=BC=5．
∵AD=8，AD⊥EF，
∴S菱形AEDF=AD EF=×8×5=20．
（3）解：∵EF∥BC，
∴EH∥BP．
若四边形BPHE为平行四边形，则须EH=BP，
∴5﹣2t=3t，
解得：t=1，
∴当t=1秒时，四边形BPHE为平行四边形．
∵EF∥BC，
∴FH∥PC．
若四边形PCFH为平行四边形，则须FH=PC，
∴2t=10﹣3t，
解得：t=2，
∴当t=2秒时，四边形PCFH为平行四边形．
点睛：本题考查了菱形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的面积、等腰三角形的性质、平行四边形的判定以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据三角形中位线的性质找出DE∥AC、DF∥AB；（2）牢记菱形的面积公式；（3）根据平行四边形的判定定理找出关于t的一元一次方程．
23．(1)见解析；（2）；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；
（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.
试题解析：（1）证明：连接AC，
∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC、△ACD为等边三角形
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF．（ASA）
∴BE=CF．
（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF．
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，
是定值．
作AH⊥BC于H点，
则BH=2，
S四边形AECF=S△ABC
=
=
=；
（3）解：由“垂线段最短”可知，
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．
由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF
=﹣=．
点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．
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