1.2 矩形的性质与判定（1）同步作业

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1.2 矩形的性质与判定（1）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．矩形ABCD的对角线AC BD交于点O,以下结论不一定成立的是（ ）
A. ∠BCD=90° B. AC=BD C. OA=OB D. OC=CD
2．如图，点E、F分别在矩形ABCD的两条边上，且EF⊥EC，EF=EC，若该矩形的周长为16，AE=3，则DE的长为（　　）
A. B. 2 C. D. 3
3．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（E、F分别是AD、BC上的点），使点B与四边形CDEF内一点重合，若°，则等于（ ）
A. 110° B. 115° C. 120° D. 130°
4．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是　　
A. B. C. D.
5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2，∠AEO=120°，则EF的长度为（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
6．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A. 6 B. 10 C. 8 D. 12
7．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点.若AD=6，DE=5，则CD的长等于（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（　　）
A. 13cm B. 12cm C. 10cm D. 8cm
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF的长为( )
A. B. C. D. 7
10．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是（　　）
A. 2 B. C. 2-2 D. 2+2
二、填空题
11．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=_________________.
12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为_____．
13．如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是边长为16的正三角形，点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则线段OC的长的最大值是_____．
15．如图，矩形ABCD中，，，CE是的平分线与边AB的交点，则BE的长为______．
三、解答题
16．如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于点F．求证：AB=DF．
17．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE ≌△CDF；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF，
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=3，∠AOD=120°，求矩形ABCD的面积．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数．
20．如图，在四边形ABCD中，,AC=AD,M,N分别为AC,AD的中点，连接BM,MN,BN.
(1)求证：BM=MN;
(2),AC平分,AC=2,求BN的长。
参考答案
1．D
【解析】分析：
根据矩形的性质进行分析判断即可.
详解：
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴∠BCD=90°，AC=BD，OA=OB，但OC=CD不一定成立，
∴上述四个结论中选项A、B、C中的结论是正确的，选项D的结论不一定成立.
故选D.
点睛：熟记“矩形的相关性质”是正确解答本题的关键.
2．B
【解析】分析：先证∠AEF=∠ECD，再证△AEF≌△DCE，然后结合题目中已知的线段关系可求出AD+DC=8，进而可求出DE的长．
详解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC=90°．
∴∠AEF+∠DEC=90°．
而∠ECD+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠ECD，
在△AEF与△DCE中，
,
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=CD=3，
∵矩形ABCD的周长为16cm．
∴2（AE+ED+DC）=32，即2（6+DE）=16，
解得：DE=2．
故选B．
点睛：本题综合考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
3．B
【解析】∵四边形A′EFB′是四边形ABFE折叠而成，
∴∠BFE=∠EFB′，
∵∠B'FC=50°，
∴∠EFB= ，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=180°-∠EFB=115°．
故选B．
点睛：本题考查的是折叠的性质及平行线的性质：（1）折叠的性质：图形折叠后与原图形完全重合；（2）平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
4．B
【解析】分析：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小，根据A的坐标为（-4，5），得到A′（4，5），B（-4，0），D（-2，0）；运用待定系数法求出直线DA′的解析式，令x=0，求得y值，即得E点的坐标.
详解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时△ADE的周长最小，
∵四边形ABOC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∵A的坐标为（-4，5），
∴A′（4，5），B（-4，0），
∵D是OB的中点，
∴D（-2，0），
设直线DA′的解析式为y=kx+b，
∴{5＝4k+b0＝ 2k+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线DA′的解析式为y=x+，
当x=0时，y=，
∴点E的坐标是（0，）.
故选B.
点睛：本题主要考查矩形的性质，待定系数法求函数解析式，轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题；
5．B
【解析】分析：根据矩形的对角线的性质和垂直的定义，求出∠EDO的度数，然后根据30°角的直角三角形的性质求出DO的值，再根据解直角三角形求出OE和OF的值，从而得解.
详解：∵∠AEO=120°，∠DOE=90°，
∴∠EDO=30°，
又∵AC=2，
∴DO=BD=AC=，
∴Rt△DOE中，OE=tan30°×DO=1，
同理可得，Rt△BOF中，OF=1，
∴EF=2，
故选：B．
点睛：此题主要考查了的矩形的性质，关键是通过矩形的性质得到含30°角的直角三角形，然后根据直角三角形的性质求解即可.
6．B
【解析】分析：因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB-BF．
详解：根据折叠的性质，易证△AFD′≌△CFB，
∴D′′F=BF，
设D′F=x，则AF=8-x，
在Rt△AFD′中，（8-x）2=x2+42，
解之得：x=3，
∴AF=AB-FB=8-3=5，
∴S△AFC= AF BC=10．
故选：B.
点睛：本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
7．D
【解析】分析：先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．
详解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，
∴∠ADC=90°.
∵E是AC的中点，DE=5，
∴AC=2DE=10.
∵AD=6，
∴CD===8.
故选：D.
点睛：本题主要考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键.
8．A
【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得ED//FC，BC=2DE，结合已知EF∥DC，可得四边形CDEF是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得AB=2CD，从而可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，再根据四边形DCFE的周长为25cm，可得BC=25﹣AB，再利用勾股定理进行求解即可.
【详解】如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC，BC=2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DC=EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形DCFE的周长=AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为25cm，
∴BC=25﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的长5cm，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，
解得，AB=13cm，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键.
10．C
【解析】分析：根据翻折的性质和当点D'位于AC连线上时最小解答即可．
详解：当点D'位于AC连线上时最小，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，
∴AD=AD'=BC=2，
在Rt△ABC中，AC=，
∴CD'=AC-AD'=2-2，
故选C．
点睛：本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，利用勾股定理求出AC的长度是解题的关键．
11．2
【解析】分析：由矩形的性质可知：矩形的两条对角线相等，可得BD=AC=8，即可得OD=4，在△AOD中，EF为△AOD的中位线，由此可求的EF的长．
详解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=8，
又∵矩形对角线的交点等分对角线，
∴OD=4，
又∵在△AOD中，EF为△AOD的中位线，
∴EF=2．
故答案为2．
点睛：本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，难度不大，关键熟练掌握知识点，并灵活运用．
12．
【解析】分析：根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，从而可证MN=BM，；再由∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．
详解：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，MN=AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC中点，
∴BM=AC，
∵AC=AD，
∴MN=BM，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴BM=AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN2=BM2+MN2，
∴MN=BM=AC=1，
∴BN=．
故答案为： ．
点睛：本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
13．6.5
【解析】分析：由三边关系可得到三角形△ABC直角三角形，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半求解.
详解：
解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=6.5；
故答案为：6.5．
点睛：（1）一些常见的勾股数需要熟练记忆，例如：3,4,5；6,8,10,；5,12,13……可以得到勾股定理的逆定理，证明三角形是直角三角形.
(2)直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.
14．8+8
【解析】取AB的中点D，连接OD、CD，如图所示．
∵△AOB为直角三角形，D为AB的中点，
∴OD=AB=8，
∵△ABC是边长为16的正三角形，D为AB的中点，
∴CD=AB=8．
在△OCD中，OC＜OD+CD．
当点O、C、D三点共线时，OC=OD+CD最大，
此时OC=8+8．
故答案为：8+8．
点睛：本题考查了直角三角形斜边上的中线、等边三角形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是找出当点O、C、D三点共线时OC的长取最大值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用数形结合解决问题是关键．
15．
【解析】分析：作于由≌，推出，，，设，则，在中，根据，构建方程求出x即可；
详解：作于H．
四边形ABCD是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，，设，则，
在中，，
，
，
，
故答案为:.
点睛：本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16．见解析
【解析】分析：利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB=∠EAD、∠AFD=∠B，从而证得两个三角形全等，可得结论．
详解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，∴∠AEB=∠DAE．
∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°．在△ABE和△DFA中，
∵
∴△ABE≌△DFA，∴AB=DF．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度不是很大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．
17．（1）证明见解析；（2）10．
【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF；
（2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF，∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10．
点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
18．(1)见解析;(2)9.
【解析】分析：（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=3，AC=2OA=6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=，即可得出矩形ABCD的面积．
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF；
（2）∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=3，
∴AC=2OA=6，
在Rt△ABC中，BC=，
∴矩形ABCD的面积=AB BC=3×3=9．
点睛：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．
19．70°．
【解析】【分析】在直角△EBD中，利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AD=BD，从而得∠BAD=∠B=55°，再根据三角形内角和定理即可求得.
【详解】∵ED⊥BC，∴∠BDE=90°，
又∵∠E=35°，
∴∠B=90°-∠E=55°，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=55°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=70°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题的关键.
20．（1）证明见解析；（2） .
【解析】分析：（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN =BM +MN 即可解决问题．
本题解析：
（1）证明：在中，M、N分别是AC、CD的中点
在中，M是AC的中点又。
（2）解：且AC平分
由（1）知，
∵，由（1）知，。
点睛：本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题.
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