1.2 矩形的性质与判定（2）同步作业

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1.2 矩形的性质与判定（2）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图， 的对角线与相交于点，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )
A. B. C. D. 平分
2．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．12 C．6 D．3
3．有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S（）与它的一边长之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果 等于( )
A. B. C. D.
5．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 一组对边平行而另一组对边不平行 D. 对角线互相平分
6．下列识别图形不正确的是（　　）
A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
7．已知，线段AB，BC，∠ABC=90°，求作：矩形ABCD，以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对
8．顺次连接菱形各边中点所形成的四边形是（ ）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
9．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）
A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C. 若BD=CD，则四边形AEDF是菱形 D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
10．已知：如图，在 ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N，AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC；CE，DF分别平分∠BCD，∠ADC，则四边形MFNE是（　　）
A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 正方形
二、填空题
11．要使平行四边形ABCD是矩形，还需添加的条件是________(写出一种即可).
12．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是________；若AC＝5 cm，则BD＝________．
13．四边形ABCD中，AC⊥BD，顺次连接它的各边中点所得的四边形是_________.
14．如图，平行四边形的四个内角平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是________
15．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，已知菱形ABCD的周长为20 cm，则 OE长为_________cm．
16．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=FC，则四边形DBFE的面积为_______ cm2．
三、解答题
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
18．如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）你判断四边形ABEC形状是______ ；
（2）请你添加一个条件，使四边形ABEC是矩形，并请说明理由；
（3）当△ABC满足______ 条件时，四边形ABEC是菱形．（不需说理）
19．如图，在□ABCD中，点E是边CD的中点，连接BE并延长，交AD延长线于点F，连接BD、CF.
（1）求证：△CEB≌△DEF；
（2）若AB=BF，试判断四边形BCFD的形状，并证明．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长．
21．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．
22．如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD=CE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
23．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
参考答案
1．B
【解析】试题分析：对角线相等的平行四边形为矩形，有一个角为直角的平行四边形为矩形，则根据题意可知添加的条件为AC=BD.
2．D
【解析】
试题分析：因为矩形ABCD对角线的交点O，所以OB=OD,AB//CD,所以∠ABD=∠CDB，∠BOE=∠DOF，所以 △BOE≌△DOF，所以,所以阴影部分的面积=，故选：D．
考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质．
3．C
【解析】
试题分析：因为用长60cm的铁丝围成的矩形一边长，所以另一边是（30-x）cm，所以根据矩形面积公式可得： ，故选：C．
考点：求函数关系式．
4．B
【解析】长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，所以AE垂直平分DF，AD=AF，
∠DAE=∠DAF，又因为，∠BAF=60°，∠BAD=90°，所以，∠DAF=∠BAD-∠BAF=30°，
∠DAE=15°.故选B.
5．A
【解析】分析：根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．
详解：连接AC、BD，两线交于O，
根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH一定是平行四边形，
∴EF∥AC，EH∥BD，
∵BD⊥AC，
∴EH⊥EF，
∴∠HEF=90°，
故选：A．
点睛：能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．掌握这些结论，以便于运用．
6．C
【解析】解：A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
B．有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
C．对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．
故选C．
7．A
【解析】试题分析：根据甲同学的作法可得AD＝BC、CD＝AB，由此可判断四边形ABCD为平行四边形，然后加上∠ABC＝90°，则可判断四边形ABCD为矩形，由此可判断甲同学的作业正确；利用乙同学的作法，根据对角线互相平分判断四边形ABCD为平行四边形，然后加上∠ABC＝90°，则可判断四边形ABCD为矩形，由此可判断乙同学的作业正确．
所以甲乙两人的作业都对，
故选A．
点睛：本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定．
8．C
【解析】分析：如图，根据三角形的中位线定理先证四边形EFGH为平行四边形，再证明EF⊥EH，即可判定平行四边形EFGH是矩形．
详解：
如图，四边形ABCD为菱形，
∵E，H是中点，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，EH∥BD，
∴AC⊥EH，
∵EF∥AC，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选C．
点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理及矩形的判定定理，用到的知识点为：
菱形的性质：菱形的对角线互相垂直；
矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半．
9．D
【解析】A. ∵AD⊥BC与四边形AEDF是矩形没有关系，故不正确；
B. ∵AD垂直平分BC与四边形AEDF是矩形没有关系，故不正确；
C. ∵BD=CD与四边形AEDF是菱形没有关系，故不正确；
D. ∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠BAD=∠ADF.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠CAD=∠ADF,
∴AF=DF,
∴四边形AEDF是菱形.
故选D.
10．B
【解析】分析：首先根据平行四边形的判定得出四边形BEDF和四边形AFCE是平行四边形，然后得出四边形MFNE是平行四边形，根据角平分线的性质得出∠BEC=90°，从而说明四边形MFNE是矩形．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， 又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE=BF，ME∥NF，∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF，
又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴MF∥NE，
∴四边形MFNE是平行四边形， ∵BE、CE是角平分线，
∴∠EBC+∠ECB=180°×=90°，∴∠BEC=90°，∴四边形MFNE是矩形，故选B．
点睛：本题主要考查了平行四边形的判定及性质、矩形的判定，属于简单题．解决这个问题的关键就是得出四边形MFNE是平行四边形．
11．∠A=90°或等（答案不唯一）
【解析】分析：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC=90°或AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形.（答案不唯一）
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD.
点睛：本题考查了矩形的判定方法，解答本题需要熟练掌握矩形的判定方法.
12． 矩形 5cm
【解析】试题解析：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形。
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
13．矩形
【解析】分析：有一个角是直角的平行四边形是矩形，判断即可.
详解：顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻边也互相垂直，所以是矩形.
故答案为：矩形.
点睛：考查矩形的判定，三角形中位线定理，掌握矩形的判定方法是解题的关键.
14．矩形
【解析】【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB+∠ADC=180°；
∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，
∴∠HAD+∠HDA=90°，即∠EHG=90°，
同理可证得：∠HEF=∠EFG=∠FGH=90°，
故四边形EFGH是矩形，
故答案为：矩形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质以及矩形的判定：四个角都是直角的四边形是矩形．
15．5
【解析】试题解析：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵菱形ABCD中，AC⊥BD，即∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形；
∴OE=AD，
又∵菱形ABCD中，BC=AD，
∴OE=BC．
∵菱形ABCD的周长为20 cm
∴BC=20÷4=5cm.
16．8
【解析】试题解析：∵矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=FC，
∴∠C=90°，AB=DC=8cm，DE=CE=4cm，CF=2cm，BF=1cm，
∴四边形DBFE的面积是S△BDC-S△CEF=×8cm×3cm-×2cm×4cm=8cm2
17．见解析
【解析】试题分析：先证明四边形AODE是平行四边形，再利用∠AOD=90°，证明四边形AODE是矩形.
试题解析：
证明：
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴四边形AODE是矩形．
点睛：矩形的判定定理
一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
所以证明四边形是矩形最常用的方法是先证明四边形是平行四边形，再找一个角是直角或者对角线相等即可.
18．（1）平行四边形；（2）见解析；（3）见解析
【解析】分析：（1）由将 ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，易得CE∥AB，CE=AB，即可判定四边形ABEC形状是平行四边形的性质；
（2）根据矩形的判定定理可得：可以添加AE=BC或∠ABE=90°等；
（3）根据菱形的判定定理可得：可以添加AB=AC或AE⊥BC等．
详解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
即AB∥CE，
∵CE=DC，
∴AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）答案不唯一，如添加：AE=BC．
理由：∵四边形ABEC是平行四边形．AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
（3）答案不唯一，如添加：AB=AC．
理由：∵四边形ABEC是平行四边形．AB=AC，
∴四边形ABEC是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
故答案为：AB=AC．
点睛：此题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意熟记平行四边形、矩形、菱形的判定定理是解此题的关键．
19．见解析
【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出AF∥BC，从而得到∠AFB＝∠CBF，∠FDC＝∠DCB，根据中点得到BE=EF，从而得出三角形全等；(2)、根据题意得出四边形ABCD是平行四边形，则AB=CD，根据AB=BF得出BF=CD，从而得出矩形．
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥BC ，
∴∠AFB＝∠CBF，∠FDC＝∠DCB ， ∵点E是CD的中点，∴BE=EF ，∴△CEB≌△DEF.
（2）四边形BCFD是矩形，
∵△CEB≌△DEF， ∴CE=DE， ∵BE=EF，
∴四边形BCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，
∵AB=BF，∴BF=CD， ∴ □BCFD为矩形．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及矩形的判定定理，属于基础题型．理解性质及判定是解决这个问题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）8.
【解析】分析：（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．
（2）根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．
详解：（1）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
又∵AB=AC，
∴DE=AC．
∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠ADC=90°，
又∵D为BC中点，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四边形AECD是平行四边形，
又∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）∵四边形ADCE是矩形，
∴AO=EO，
∴△AOE为等边三角形，
∴AO=4，
故AC=8．
点睛：本题考查了矩形的判定和性质，二者结合是常见的出题方式，要注意灵活运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形中位线的性质.
21．（1）证明见解析（2）证明见解析．
【解析】分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．
（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．
详解：（1）∵E是AC中点，∴EC=AC．
∵DB=AC，∴DB=EC．
又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BC=DE．
（2）连接AD、BE．
∵DB∥AE，DB=AE，
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵∠BAC=∠C，∴BA=BC．
∵BC=DE，∴AB=DE，∴ DBEA是矩形．
点睛：本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
22．（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形，证明见解析.
【解析】分析：（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED=BC，MN∥BC，MN=BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离=BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．
详解：
（1）解：由题意得，AB=AC，
∵BD，CE分别是两腰上的中线，
∴AD=AC，AE=AB，
∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD=CE；
（2）四边形DEMN是正方形，
证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，
∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，ED=BC，
∵点M、N分别为线段BO和CO中点，
∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，
∴MN∥BC，MN=BC，
∴ED∥MN，ED=MN，
∴四边形EDNM是平行四边形，
由（1）知BD=CE，
又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，
∴DM=EN，
∴四边形EDNM是矩形，
在△BDC与△CEB中，，
∴△BDC≌△CEB，
∴∠BCE=∠CBD，
∴OB=OC，
∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，
∴O到BC的距离=BC，
∴BD⊥CE，
∴四边形DEMN是正方形．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由见解析.
【解析】分析：（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；
（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定．
详解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD，
∴D是BC的中点；
（2）解：若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
点睛：本题考查了矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质.要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．
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