1.1 菱形的性质与判定（2）同步作业

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1.1 菱形的性质与判定（2）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，对角线相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有（　　）
A. B. C. D.
2．下列命题中正确的是（　　）
A. 对角线相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3．已知四边形ABCD是平行四边形，如果要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．
4．四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
5．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（　　）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形
6．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　）
A. 正方形 B. 等腰梯形 C. 菱形 D. 矩形
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（　　）
A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B. 向左平移（）个单位，再向上平移1个单位
C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位
D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位
8．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)
A. 甲正确，乙错误 B. 甲错误，乙正确 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误
9．如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．则下列结论错误的是（ ）
A. AD平分∠MAN B. AD垂直平分BC C. ∠MBD=∠NCD D. 四边形ACDB一定是菱形
二、填空题
10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5） ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：__________ ABCD是菱形；_________ ABCD是菱形．
11．如图所示，将两张等宽的长方形条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=4cm，∠ABC=30°，则四边形ABCD的面积是____cm2．
12．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再增加一个条件，就可得出ABCD是菱形，则你添加的条件是___________．
13．如图，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F，∠1=∠2,四边形AEDF的形状是__________．
14．在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：
如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D； （2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是 ____________________．
15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为___．
三、解答题
16．如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,并且CE∥BD,连接DE.
求证:四边形BCED是菱形.
17．如图，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点F处，折痕交CD边于点E.
求证：四边形ADEF是菱形.
18．如图，在 ABCD中，O为AC的中点，过点O作EF⊥AC与边AD、BC分别相交于点E、F，求证：四边形AECF是菱形．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN．
求证：四边形ABCD是菱形．
20．如图：在△ABC中，∠BAC =，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形.
21．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2） 当AP为何值时，四边形PMEN是菱形？并给出证明。
参考答案
1．C
【解析】因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A能够判定 ABCD是菱形；因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以B能够判定 ABCD是菱形；因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以C不能够判定 ABCD是菱形；因为∠1=∠2，OB=OD，所以AB=AD，所以D能够判定 ABCD是菱形，故选C.
2．D
【解析】试题分析：在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线相互垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形。故选D
3．B
【解析】分析：由四个选项均为相等的线段这一条件，根据菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判断出所添加的条件.
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
当时，
平行四边形ABCD是菱形.
∴添加的条件为：.
故选B.
点睛：本题考查了菱形的判定方法. 结合选项并根据菱形的判定方法来选取所添加的条件是解题的关键.
4．C
【解析】试题解析：整理配方式子
由非负数的性质可知：
∴四边形一定是菱形，
故选C．
5．B
【解析】试题解析：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．
故选B．
6．C
【解析】试题解析：
过点A作于E，于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
点睛：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
7．D
【解析】过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，
过B作DH⊥x轴于H，
∵B（1，1），
∴OB= ，
∵A（ ，0），
∴C（1+，1）
∴OA=OB，
∴则四边形OACB是菱形，
∴平移点A到点C，向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到，
故选D．
8．C
【解析】试题解析：根据甲的作法作出图形，如下图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
在和中，
∴≌，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
∴四边形AECF是菱形.
故甲的作法正确.
根据乙的作法作出图形，如下图所示.
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7.
∵BF平分，AE平分
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∵AF∥BE，且
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵
∴平行四边形ABEF是菱形.
故乙的作法正确.
故选C.
点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边相等的平行四边形是菱形.
9．D
【解析】试题解析：A、由作法可得AD平分∠MAN，所以A选项的结论正确；
B、因为AB=AC，DB=DC，所以AD垂直平分BC，所以B选项的结论正确；
C、因为AB=AC，DB=DC，所以∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，则∠ABD=∠ACD，所以∠MBD=∠NCD，所以C选项的结论正确；
D、BA不一定等于BD，所以四边形ABDC不一定是菱形，所以D选项的结论错误．
故选D．
10． （1）（2）（6）, （3）（4）（5）或者（3）（4）（6）
【解析】试题解析：菱形的判定方法有三种：
定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
（1）（2）（6） ABCD是菱形．
先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，
再由（6）和（2）得出
由等角对等边得
所以平行四边形是菱形．
（3）（4）（5） ABCD是菱形．
由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．
（3）（4）（6） ABCD是菱形．
由（3）（4）得出四边形是平行四边形，
再由（6）得出
由等角对等边得
所以平行四边形是菱形．
故答案为：
11．8
【解析】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
分别作CD，BC边上的高为AE，AF，如图所示：
∵两纸条相同，∴纸条宽度AE=AF．
∵平行四边形的面积为AE×CD=BC×AF，∴CD=BC．∴平行四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=4cm，
∵∠ABC=30°，∴AE=AB=2cm，∴S菱形ABCD=BC AE=4×2=8，
故答案为8．
12．AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB或AC⊥BD或AB=BC=CD=DA
【解析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，添加的条件可以是：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB；
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，添加的条件可以是：AC⊥BD；
根据四边相等的平行四边形是菱形可得，添加的条件可以是：AB=BC=CD=DA.
故答案是：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB或AC⊥BD或AB=BC=CD=DA.
13．菱形
【解析】根据题意，DE∥AC，DF∥AB，
则四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠DAF=∠ADE，
则AE=ED，
即四边形AEDF是菱形.
故答案是：菱形.
14．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【解析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形
15．
【解析】
连接AC,BD由题意得，四边形ABCD是菱形，∴AO=1，AC⊥BD.
由勾股定理得， , .
16．见解析
【解析】分析：根据≌得到证明≌，得到，
根据平行线的性质证明，得到，即可证明四边形BCED是菱形.
详解：∵≌，
∴ ，
在和中
,
∴≌ ，
∴，
又∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形BCED是菱形.
点睛：考查菱形的判定方法，常见的判定方法有：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
17．证明见解析
【解析】分析：利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形，根据折叠的性质得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到结论.
详解：证明：由折叠可知,DE=EF,AD=AF,∠DEA=∠FEA
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DE∥AF
∴∠DEA=∠EAF
∴∠EAF=∠FEA
∴AF=EF
∴AF=AD=DE=EF
∴四边形ADEF是菱形.
点睛：本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，理解性质和判定是解题的关键．
18．见解析
【解析】分析：先判定△AOE≌△COF得到AE=CF，，再根据AE∥CF，即可得到四边形AECF是平行四边形，最后根据EF与AC垂直，得到四边形AECF是菱形．
详解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴AE∥CF，
∴∠OAE=∠OCF，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF与AC垂直，
∴四边形AECF是菱形
点睛：考查菱形的判定，熟记菱形的判定方法是解题的关键.
19．证明见解析
【解析】分析：首先证明，可得四边形是平行四边形，然后再证明≌可得，再根据菱形的判定定理可得结论．
详解：证明：∵AD∥BC，
∴,
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM⊥BC，AN⊥DC，
∴
在△ABM和△ADN中，
∴△ABM≌△ADN(AAS)，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
点睛：考查菱形的判定，掌握判定方法是解题的关键.
20．证明见解析.
【解析】分析：根据三角形内角和定理求出∠B=∠CAD，根据角平分线性质求出AE=EF，由勾股定理求出AC=CF，证△ACG≌△FCG，推出∠CAD=∠CFG，得出∠B=∠CFG，推出GF∥AB，AD∥EF，得出平行四边形，根据菱形的判定判断即可．
详解：证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），
∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，
∵△ACG和△FCG中
∴△ACG≌△FCG，
∴∠CAD=∠CFG，
∵∠B=∠CAD，
∴∠B=∠CFG，
∴GF∥AB，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
即AG∥EF，AE∥GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE=EF，
∴平行四边形AEFG是菱形．
点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，题目比较好，综合性也比较强．
21．（1）证明见解析；（2）当PA=5时，四边形PMEN为菱形，理由见解析.
【解析】分析：(1)用三角形的中位线定理证明四边形PMEN的两组对边分别平行；(2)由(1)得四边形PMEN是平行四边形，只需证PM＝PN，即PC＝PD，故要证△APD≌△BPC.
详解：(1)∵M，E分别为PD，CD的中点，∴ME∥PC，
同理可证：ME∥PD，
∴四边形PMEN为平行四边形；
(2)当PA＝5时，四边形PMEN为菱形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，
∵AP＝5，AB＝CD＝10，∴AP＝BP，
在△APD和△BPC中，
AP＝BP，∠A＝∠B，AD＝BC，
∴△APD≌△BPC(SAS)，∴PD＝PC，
∵M，N，E分别是PD，PC，CD的中点，
∴EN＝PM＝PD，PN＝EM＝PC，∴PM＝EM＝EN＝PN，
∴四边形PMEN是菱形．
点睛：本题考查了平行四边形，菱形的判定和矩形的性质，三角形的中位定理反应了两条线段之间的数量关系与位置关系，所以，当题中有多个中点时，常常考虑用三角形的中位线来解题.
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